波利亚解题理论读后感（精选8篇）
篇1：波利亚解题理论读后感
乔治・波利亚的解题思维理论
本文通过对乔治・波利亚有关著作的研究,把散见其中的乔治・波利亚关于数学解题思维的理论,全面系统地整理出来,从宏观和微观两个方面加以论述,使其形成一个较为完善的`体系,以供进一步研究.
作 者：柳成行 张荣芹 作者单位：哈尔滨学院,数学系,黑龙江,哈尔滨,150080刊 名：哈尔滨学院学报英文刊名：JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY年，卷(期)：24(6)分类号：B804.1关键词：乔治・波利亚 数学 解题思维
篇2：波利亚解题理论读后感
“学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治▪波利亚，这本著作就是《怎样解题》。
波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步
即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。波利亚把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”。波利亚的“怎样解题”表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？„„”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。如果能在平时的解题中不断实践和体会该表，必能很快就会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”
在书中波利亚这样说：“一个重大的发现可以解决一道重大的难题，而在解答任何一道题目的过程中，也会有点滴的发现。”这句话颇有现实意义，人如果缺乏善于发现的眼睛和发现题目的本质，就无法摒弃无关紧要的繁琐条件和层层陷阱，就无法抓住问题的关键，因此也就无从下笔解答题目了。他还认为当你解答的题目并不陌生，有些似曾相识的时候可能会不以为然，但你若因此而感到有兴趣，并被好奇所激发时，你的创造力将被激起，并被发挥出来；特别是如果你用自己独一无二的方法做出时，你将饱含成就感，从而更加激发你学习的热情和对问题探索的渴望。也就是说，学好数学不只在于练习、操作、演算，最重要的是从心底萌发出的对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路。书中还讲到了教师对于学生的解题应该进行怎样的指导，书的第一章节，为“在教室中”，分为“目的”“主要问题，主要部分”在“目的”这一节中，波利亚系统地指导了教师如何让帮助学生，他说：“教师最重要的任务就是帮助学生。学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一个合理的工作量。如果学生不太能够独立工作，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。”而在指导学生的过程中，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。例如，在大量的问题中，我们总是问：未知数是什么？我们可以变换提问的方法，以各种不同的方式提问同一个问题：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。在波利亚看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。“怎样解题”表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。而在读者们充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动之后，他们会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，当然，除去普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。如果能够在遇到一些困难的问题的时候，我们能联想到与之相关却为我们所熟悉的内容，那么我们走的这条路也是对的。波
篇3：波利亚解题理论读后感
美国数学家哈尔莫斯认为:“问题是数学的心脏.”美籍匈牙利数学家波利亚说:“掌握数学就意味着善于解题.”但在平时的解题中, 学生常常会提出这样的疑惑:“我应该怎样着手去分析这些数学题?”“为什么有些同学可以很容易地就想出了它们的解决方法?他们是怎么想的?”而作为教师, 我们也应常常思考:“我应该怎样让学生学会自主分析呢?对于数学解题, 有没有一般性的解题方法呢?”
正是基于这样的一些考虑, 波利亚形成了著作《怎样解题》.书中的解题表给我们提供了解题的一般方法.他将解题过程分成四个步骤:弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾.下面我们利用波利亚的解题表剖析2012年广东中考数学压轴题, 以提供数学解题的有效思路和方法.
2. 考题呈现
例: (2012广东22) 如图1, 抛物线与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点C, 连接BC、AC.
(1) 求AB和OC的长;
(2) 点E从点A出发, 沿x轴向点B运动 (点E与点A、B不重合) .过点E作直线l平行BC, 交AC于点D.设AE的长为m, △ADE的面积为s, 求s关于m的函数关系式, 并写出自变量m的取值范围;
(3) 在 (2) 的条件下, 连接CE, 求△CDE面积的最大值, 此时, 求出以点E为圆心, 与BC相切的圆的面积 (结果保留π) .
易得:AB=9, OC=9.下面主要讨论 (2) 、 (3) 小题.
2.1 利用波利亚解题表剖析小题 (2) .
第一步:弄清问题
问:已知是什么?
点E从点A出发, 沿x轴向点B运动, 直线l平行BC, AE的长为m, △ADE的面积为s, 另外, 别忘了还有AB、OC的长.
问:未知是什么?
s关于m的函数关系式, 自变量m的取值范围.
问:要确定未知, 条件是否充分?
自变量m的取值范围是容易得出的, 但要求△ADE的面积s似乎还有点难度.
画个图试试, 把不必要的部分删除 (如图2) , 看能否把已知和未知联系起来?
第二步:拟订计划
问:你是否见过类似的图形?它与哪个知识点相关?
平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似.这是我们常做的题型.
问:你是否知道一个可用得上的定理?
可以用相似三角形的面积比等于相似比的平方, 而且相似比容易求出, 只是两个三角形的面积都是未知的.
问:回到已知, 能否借助它们求出三角形的面积?
AB、OC分别是△ABC的底和高, 可以利用它们求出△ABC的面积.
第三步:实现计划
第四步:回顾
这里用到相似三角形的判定和性质, 看看每一步都是有根有据的, 面积也没计算错, 最后记得不要漏了m的取值范围.
2.2 利用波利亚解题表剖析 (3) 小题.
第一步:弄清问题
问:已知是什么?
AB=OC=9, AE=m, △ABC的面积为, △ADE的面积为.
问:未知是什么?
△CDE面积的最大值;圆E的半径及面积.
问:要确定未知, 条件是否充分?
这个似乎有点难, △CDE的底和高都未知且是变量, 无法从定义求出它的面积.
第二步:拟订计划
问:回归题目, 认真观察图形及已知, 有几个三角形的面积能加以利用, 把问题转化为已知?
没错, 我可以先求出△ACE的面积, 再减去△ADE的面积求出△CDE的面积.
问:圆E的面积怎么办?你原来做过类似的题吗?
我再画个图试试, 只要能确定点E的坐标, 就可以确定圆的半径.求半径可以利用三角形相似的性质, 坐标系中两个直角三角形相似是我曾经做过的, 只需再知道BC的长度, 这可以利用勾股定理实现.
第三步:实现计划
这时点E (3/2, 0) ,
如图3, 作EF⊥BC, 垂足为F,
∴以点E为圆心, 与BC相切的圆的面积为:
第四步:回顾
这道题用到了图形的割补, 二次函数的最值、相似三角形的判定和性质及圆的切线的性质, 结果是较大的数, 然而检验过程没有错误.我还发现, 求△CDE的面积时, 也可以先求出△BCE的面积, 再用△ABC的面积减去△ADE和△BCE的面积.
3. 反思
篇4：波利亚解题理论下的解题思维教学
中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-068-01
教学过程中，会遇到这样的情况：遇到一个经过变形的题目，学生百思不得其解，经过老师讲解，学生恍然大悟，觉得自己完全可以想出。但学生又为什么没有想到呢？
与高中教学相比，初中知识点相对较少，课时比较宽裕。在课程内容教学过程中，为了达到数学学习的结果性目标。老师更愿意向学生提供现成的解题过程，并加以适当的解释，要求学生进行模仿，希望他们再次遇到类似的问题，能够通过类比进行正确的解题。却在教学过程中忽略了新课程标准所提出的过程性目标，能做到授之以渔，却难做到授之以渔。
在进入高中后，新知识点、新题型呈几何型增多，甚至进入社会后，遇到新的问题时，他们更需要通过自己思考和创新来解决问题。
为回答“一个好的解题方法是如何想出来的”这个令人困惑的问题。波利亚专门研究了解题思维过程。他分析的思维解题过程主要分为：“了解问题”、“拟定计划”、“实现计划”、“回顾”。
下面结合波利亚的解题理论和三角形证明中例题来尝试展示笔者在教学过程中的解题的思维过程。
例：如图，在 中， 作AB的垂直平分线，交AB与点D，交AC于点E，连接BE平分 证明这一结论。你有几种方法？
根据思维导图，实现三总解题方法。并且提示学生在实现计划的过程中，检验每一步，确保每一步的正确性。
第四：回顾
带领学生再次回顾解题思维导图，检验推理的正确性。把本题的解题方法和结果尝试用到解决类似的题目中去。
在习题教学前，教师要进行备课，一定会先将习题自己独立做一遍。在思考的过程中，思维出现的暂时错误也可以作为教学内容，将自己思考时候出现的错误结合学生学情，寻找合适的方法展示出来，目的在于示意学生，问题的解决不会总是一路平坦的，会出现思维障碍和思路无法进行下去。遇到思维障碍，需要结合自己已有知识体系再次读题，是否有遗漏题目中的条件和隐藏。当思路无法进行下去，鼓励学生再换个思路。交给学生解题方法，培养学生专研精神，减少学生的畏难情绪，授之以渔。
参考文献：
[1] 张大均.教育心理学 [M].人民教育出版社，2011：32
[2] 张奠宙.数学教育概论[M].高等教育出版社，2009：295
篇5：波利亚解题辨析论文
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m来源 徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教 材 和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教 学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入 校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏 认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加 大力度传播波利亚思想．
有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是 客 观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强 调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训 练与题海战术有很大区别．
一、训练的目的不同
“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学 素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有 一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传 授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾 越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．
数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在 创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我 们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”． 因此，波利亚 把 “解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数 学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美 国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．
波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程 中 怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与 建 议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用 的 智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上 就是 试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题 中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问 题和建议都与它有关．”
“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“ 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回 顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．
《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的 4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题 过程中典型有用的智力活动做进一步解释．
全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展 智力活动，提高数学才能．
二、训练的方式不同
“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼 杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内 容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各 个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明 是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通 向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好 题目之中．
过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术 问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别 类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解 决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题 的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的 贡献．
“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而 且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知 数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的 或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果． 波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试 图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式 是绝然不同的．
波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比 是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是 归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理 ；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法 ．
波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教 学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以 数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一 般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．
怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是 选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去 独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学 生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．
“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题 的能力．
这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．
三、能力培养的效果不同
应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战 术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的 ．
在数学学科中，能力指的是什么?波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指 的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性 和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题 表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和 进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法” 的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程． 事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道 与 它有关的问题吗?你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题?你是否见过形式稍微 有不同样 的题目?你能改述这题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易着 手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题?你能否解决这道题的一 部分 ?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改 变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?
波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样 解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去”，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．
这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是 为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知 道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．
《怎样解题》书中，有个精彩的实例：
已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．
观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回 到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：
在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．
这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的 题．
“你能不能用不同的方法重新叙述它?”
这道题可以换个说法叙述为：
在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．
这是第二次变化．
所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分?”可以，先放弃一个条件，第 三次变化问题．
（下略）
“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力 是有益的．
“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴 的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在 题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”
文 章
来源莲山
篇6：波利亚 教我们怎样解题
(美籍匈牙利数学家乔治•波利亚（George Polya,1887—1985），法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，杰出的数学家。波利亚一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，他热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。)
每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”
波利亚对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》一书中的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？......”
波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数学的创新发现。展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这对于学习数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题能力，而且要学习和培养创新能力。
附：波利亚解题表
一、弄清题意
1)已知是什么?
2)未知是什么?
3)题目要求你干什么?
4)可否画一个图形?
5)可否数学化?
二、拟定方案(核心)
1)你能否一眼看出结果?
2)是否见过形式上稍有不同的题目?
3)你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理,公式?
4)有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗?
5)已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或不等式?
6)你能否引入辅助元素?
7)如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?
三、执行方案
1)把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.2)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.3)解题要求是:严密具有逻辑性.四、检验回顾
1)你能拟定其它解题方案吗?
2)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗?
篇7：波利亚的怎样解题表
怎样解题第一步：弄清条件
第一：你必需弄清问题
未知是什么？
已知是什么？
条件是什么？
满足条件是否可能？
要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图，引入适当的符号。
把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。
怎样解题第二步：拟定计划
第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗？
你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与些有关的问题？
你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？ 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？ 你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？
为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？
一个更普遍的问题？
一个更特殊的问题？
一个类比的问题？
你能否解决这个问题的一部分？
仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？
你能不能从已知数据导出某些有用的东西？
你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？
如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？
你是否利用了整个条件？
你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？
怎样解题第三步：实现计划
第三：实行你的计划
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？
你能否证明这一步骤是正确的？
怎样解题第四步：回顾
第四：验算所得到的解
验算所得到的解。
你能否检验这个论证？
你能否用别的方法导出这个结果？
现在你能不能一下了看出它来？
你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？
篇8：波利亚《怎样解题》读后感
关键词：怎样解题表；波利亚；研究成果；发展
乔治·波利亚（George Polya），是本世纪杰出的数学家和伟大的数学教育家，他复兴了“探索法”，即数学启发法，开创了数学问题求解（Problem Solving）与合情推理的一个全新时代，他的著作已影响了全世界数以百万计的数学教育工作者。文章对波利亚最具影响力的著作之一《怎样解题》作重点介绍，并依据他的“怎样解题表”提出自己的见解和看法。
一、波利亚的生平和主要数学研究成果
1.波利亚的生平
乔治·波利亚（George Polya），1987年12月13日诞生于布达佩斯，先后在布达佩斯、维也纳、哥根廷、巴黎等地求学。1921年在布达佩斯的约特沃斯·洛轮德大学获哲学博士学位，学位论文的题目是“概率演算中的一些问题及其有关的定积分”。1914年，波利亚接受德国数学家A·胡尔维茨（Hurwitz）的邀请，到苏黎世的瑞士联邦工学院任教；1920年升为副教授；1928年任教授；1938年任数理学院院长。1940年，由于第二次世界大战，移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授、美国国家科学院院士。1953年，在斯坦福大学退休。1953年至1956年，他受美国数学会之邀到过许多地区和学校讲课、视察；1963年作为大克利夫兰（Greater Cleveland）教育研究学会的顾问，参与课程内容的建议，深入调查，掌握了丰富的现实材料；1972年，波利亚参加了第2届国际数学教育会议；1980年被选为第4届国际数学教育大会荣誉主席。1985年9月7日，波利亚在加福尼亚的帕洛阿尔托（Palo Alto）病逝，享年97岁。
2.波利亚的主要数学研究成果
（1）概率论
波利亚早期的工作主要涉及几何概率方面，有人认为波利亚是第一个在论著中使用“中心极限定理”这一术语的人。波利亚还研究了概率论中的特征函数，提出所谓的“波利亚准则”。他的一个典型例子是——罐子模型（the Polya urn sche-me），而他对概率论最重要的贡献是他在1921年发表的有关随机游动的论文。他首创了术语“随机游动”（random walk）。
（2）函数论
虽然波利亚在概率方面有引人注目的成就，但他最深奥、最艰难的工作却是复变函数论，特别是全平面内没有奇点的单位函数的研究。在这领域有许多术语都是以他的名字命名的，如“波利亚峰”“波利亚表示”和“波利亚间隙定理”等。
在1957年，波利亚和舍恩伯格提出了一个有关幂级数的猜想：“能够将单位圆映入凸区域的两个幂级数的阿达马积，仍是一个具有相同性质的幂级数。”这被称为波利亚-舍恩伯格猜想，后来被德国维尔茨堡的S.路什科威（Ruscheweyh）和英国约克的T.小希尔（Sheil-small）合作证明。在1919年的论文中，他还提出了一个猜想，被称为波利亚猜想，后来被证明不成立，可他却导致了统计方法的重大进展。
（3）组合数学
波利亚给出了同分异构体的普遍适用的一般计数方法。他在这方面发现的主要定理现已被称为“波利亚计数定理”（Polyas enumeration theorem），被写入了组合数学教材中。
（4）等周问题
在1945年统一解决了各种特征值的等周不等式以及特征值的估计问题。
（5）几何与数论
早在1913年，波利亚就证明了一个重要结论：“一条皮亚诺（Peano）曲线，它通过一个区域的每一个点至多三次。”众所周知，这样的曲线必须有至少三个重点，但波利亚证明了，这样的曲线不必须有更高重数的点。
二、解读“怎样解题表”
1.简介“怎样解题表”
《怎样解题》这本书是围绕“怎样解题表”来写的，而“怎样解题表”是由多个带有启发性的问题与五点建议构成的，对于以上问题与建议的描述类似于解决问题思维过程的“慢镜头”，能够让别人对解题的具体思维过程进一步明确。波利亚的“怎样解题表”具体步骤如下：
第一步：首先将具体问题搞清楚，即明确问题。首先了解未知数指的什么？明确已知数据与相关条件，弄清楚是否能够满足条件？如果将未知数确定了，能否得到充分的条件？或者确定条件是否是多余的、矛盾的或者是不够充分的。根据以上思维过程，用图表示出来，并将相应的符合引入进来。将各相关条件分开后，是否能够将其用语言表述出来？
第二步：将已知数与未知数的关系确定。若难以将两者的直接关系确定，那么就需要对辅助问题列入考虑范围。此时便可获得求解计划，即拟定计划。你是否曾经碰到过类似问题？你是否曾经碰到过内容类似但形式不同的问题？你是否碰到过与该问题相关的问题？你能否想起能够解答此问题的定理？再次明确未知数，并尝试回想以往碰到过的类似问题中的未知数或类似未知数。你面前有一个与此问题相关的且已经得到解题答案的问题，你能否对其充分利用起来，包括利用该问题的解题方法、解答结果？要想充分利用它，需要将哪些辅助元素引入进来？你能否将此问题进行重新复述？你能否采用其他方法将其重新复述？
将思路转回到定义上：如果无法找到方法来解决当前问题，则可以预先对类似问题进行解答。你能否想到一个相对容易解决的类似问题？比如普遍性较强的问题、相对特殊的问题、类比问题等。你能将此类问题的其中某部分进行解决吗？将问题中条件的某部分固定，将其余部分删除，能否进一步确定问题的未知数？删除后对此问题能够起到怎样的影响？你能否在问题的已知数据中得到关键的信息？你还能列出有利于进一步确定未知数的哪些数据信息？如果解题需要，你能否将问题中的未知数或数据等信息进行相应调整？或者将两者均进行相应调整，是否能够使未知数与调整后的新数据相关性更大？你是否对问题中的所有数据均充分利用起来？你是否对整个条件均利用了？你是否对此问题所涉及的所有概念均全面考虑到了？
第三步：将你的计划付诸实践，即实现计划。将你以上所有的求解计划付诸实践，并对每一步进行详细检验。你是否能够确定该步骤的正确性？你是否能够对该步骤的正确性给予相关证明？
第四步：对问题的答案进行再次验算，即回顾。你能否对自己做出的论证进行检验？你是否能够采用其他方法将问题结果导出？你能够一眼就能将其认出？你能否将此问题的结果或者解题方法转移到对其他问题的解答上？
2.对“怎样解题表”的认识
从“怎样解题表”中我们可以看出，波利亚把数学题的求解过程分为四个阶段。第一阶段，对问题产生明确的认识，明确未知数；第二阶段，了解各个项之间的联系，已知数与未知数之间的联系，并把我们的解题思路拟定成一个计划；第三阶段，将我们的计划付诸实践；第四阶段，对以上解答过程进行回顾，进行再次验算与讨论。细细想来，通常我们在实际解答问题过程中，为了获得问题的解答方法，思维中也涉及了以上某些问题，只是对解题思维没有进一步关注。而在波利亚的总结下，对我们在解答问题过程中所用的思维方式与思维过程产生强烈的应用意识。如此一来，一方面，能够进一步提升我们解答问题的能力；另一方面，还可以使我们的思维受到良好的训练，养成良好的思维习惯。
（1）明确问题
波利亚强调：“回答一个你尚未弄清楚的问题是愚蠢的，去做一件你不愿干的事情是可悲的。”因此，我们去解答一个问题之前，首先应该熟悉这个问题。如何来熟悉这个问题呢？从问题的叙述开始，观察揣摩整个问题，使其清楚而鲜明，并把问题牢记在大脑里，直到我们不再看着问题，也可以把问题重新叙述出来。而在这张表的一开始，波利亚就提出了许多问题。如：“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？……”他教我们如何来弄清问题。
（2）拟定计划
这是“怎样解题表”的主要部分，在这一部分，波利亚主要从联想和转换两个方面教我们拟定出计划。
①联想。联想是波利亚“怎样解题表”的核心所在，它能够对人的联想行为产生启发。那么什么是联想？我们又应该怎样去联想？那就让我们再次回顾一下波利亚“怎样解题表”中的启发性问题与建议吧：“你是否曾经碰到过类似问题？你是否曾经碰到过内容类似但形式不同的问题？你是否碰到过与该问题相关的问题？你能否想起能够解答此问题的定理？再次明确未知数，并尝试回想以往碰到过的类似问题中的未知数或类似未知数。你面前有一个与此问题相关的且已经得到解题答案的问题，你能否对其充分利用起来，包括利用该问题的解题方法、解答结果？要想充分利用它，需要将哪些辅助元素引入进来？你能否将此问题进行重新复述？你能否采用其他方法将其重新复述？……”联想不仅是思维的开始，而且贯穿于整个思维过程中，只有通过由此及彼、由表及里的广泛的多层次的联想，思维才能一步步深入，最终使问题得到解决。这种有意识地引导学生去联想的方法是我们每位教师都应该学习的，只有启发和引导学生积极思维，广泛联想，由表及里、由浅入深地思考，并不断总结和改进，才能使学生在学习中获得最大的收获。
②转换。这里说的转换，就是书中所说的“变化问题”“题目变更”，这个步骤可以充分地表现出解题的过程，解题的策略和形式都尽可能地表达清晰，并合理地运用到了教学实践中。波利亚强调：“解题中的成功有赖于选择正确的方面，有赖于从好接近的一侧攻击堡垒。为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变化问题。”在波利亚的“怎样解题表”中，提出促使我们进行问题转换的多个启发式问句或建议，将当前问题转化为类似问题或已经获得解题答案的问题，对相类似的问题充分考虑，首先解决普遍性较强的问题、相对特殊的问题或类比问题。以上启发性问题均涉及当前问题的转换。“如果不‘变化问题我们几乎不能有什么进展”——这就是波利亚的结论。
（3）实现计划
这是一个比较简单的环节，它对解题者的耐心具有极高的要求。在计划的拟定阶段，首先需要列出一个相关的问题大纲，而在计划的实现阶段，则应对每一个解题细节进一步充实，并对每一个解题细节进行耐心对比、检查，直到没有其他隐藏的含糊问题为止。
（4）回顾
很多时候，我们解答完某一问题，得到论证结果后，通常不进行进一步的验证就着急写下答案。此时，我们很容易将解答问题的最后一个重要步骤忽略，也就是回顾环节。通过此环节，我们对当前问题的思维过程进行有效重复，并对问题结果进行重新考虑与验证，不但可以巩固这方面的知识，还可以提高我们的解题能力，特别是当我们的论证冗长而复杂的时候更是如此。
在“怎样解题表”中，波利亚给出了许多指引我们回顾问题的问句和建议：“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？……”这些都是帮助我们回顾问题的非常好的向导。
三、“怎样解题表”的发展
近十几年来，通过不断的反思和对解题活动的深入研究，“问题解决”和“数学思维”已经取得了全新的进展，中国式的“问题解决”也逐渐形成，这些都已成为波利亚的超越。
中国的数学教学一直以来对解题训练和解题研究均非常重视。在20世纪80年代的教育教学观点中，美国的“问题解决”影响力越来越大，很多教育学者分析并利用到教学实践中。波利亚的解题方式成为教育世界中的重要指导思路，很多学者为此专门成立了教育小组和开展各种学术研讨。20世纪90年代，张奠宙教授组织了“数学教育高级研讨班”，并提出“提倡问题解决”作为促进中国教学教育改革“突破口”的设计。“怎样解题表”在我国的广泛传播，有力地推动了中国特色解题研究，并逐渐形成“中国的数学问题解决”特色。其具体表现如下：重视数学解题思路的过程性；注重数学的解题方式与研究方法；利用解题的策略性研究；应用问题、数学建模教学研究；将情景解题、开放性试题进行合理运用；提倡探究性学习，进行“问题教学”“情景教学”和“开放性教学”。
参考文献：
[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.
[2]刘云章，赵雄辉，编.数学解题思维策略——波利亚著作选讲[M].长沙：湖南教育出版社，1992.
[3]外国数学名家——波利亚[EB/OL].http：//www.thshx.com/xueshengpindao/shuxueshihua/renwujieshao/200506/521.html，2005-6-6.