高考数学复数专题（精选6篇）
篇1：高考数学复数专题
§2 复数的应用
一、复习要点
复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点．在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点：
1．《考试说明》对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高．
2．使学生在思想上明确：
（1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和；
（2）应用复数可以证明不等式；
（3）应用复数可以解决解析几何问题；
（4）应用复数可以证明平面几何问题．
3．熟练掌握并应用复平面内的：
（1）两点间的距离公式；
（2）过原点的射线、直线方程；
（3）线段垂直平分线的方程；
（4）圆的方程；
（5）椭圆的方程．
4．本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上．
二、例题讲解
例1（1）已知复数ｚ１＝3－ｉ，｜ｚ２｜＝2，则｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值是（）．Ａ．
Ｂ．
5Ｃ．2＋
Ｄ．2＋2－
2（2）已知复数ｚ满足｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜且ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝π／4，则ｚ等于________．讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答．在复平面中，方程｜ｚ２｜＝2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ２－（－ｚ１）｜表示ｚ２与－ｚ１所对应的两点P２与Ｐ１间的距离，即线段Ｐ１Ｐ２的长，如图6-1所示．显然当Ｐ１Ｐ２经过原点时，线段Ｐ１Ｐ２最长，其值为2＋．∴ 选Ｃ．
图6-
1本题亦可选用代数方法解答，把ｚ２用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题．运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论．简解如下：
设ｚ２＝2（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（0≤θ＜2π），则
｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜2ｃｏｓθ＋3＋ｉ（2ｓｉｎθ＋1）｜２２
＝（2ｃｏｓθ＋3）＋（2ｓｉｎθ＋1）
＝14＋
4≤14＋4ｓｉｎ（θ＋φ）＝（1＋）．２２２
当ｓｉｎ（θ＋φ）＝1时，等号成立．
∴ ｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值为2＋，选Ｃ．
图6-
2（2）显然用数形结合方法解答最为适宜．方程｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝（π／4）的图形，是复平面中以复数ｉ所对应的点为端点，倾斜角为（π／4）的射线，如图6-2所示．故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即ｚ＝2＋3ｉ．
例2已知复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｋ（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），ｚ３＝（2－ｋ）（ｃｏｓγ＋ｉｓｉｎγ），且满足ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0．问ｋ为何值时，ｃｏｓ（β－γ）分别取最大值、最小值（0＜ｋ＜2）．
讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题．则有
解法1．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得
ｃｏｓα＋ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝0，ｓｉｎα＋ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝
ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝－ｃｏｓα，ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα．
①＋②，得
ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3／2ｋ（ｋ－2））＝1＋[3／2ｋ（ｋ－2）]．
若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有
解法2．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得
｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，两边平方，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，∴（ｚ２＋ｚ３）（２２２２２２２① ② ＋３）＝1，３即｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜＋ｚ２
注意到ｚ２
２３２＋２ｚ３＝1． ＋２２ｚ３＝2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜ｃｏｓ（β－γ），则ｋ＋（2－ｋ）＋2ｋ（2－k）ｃｏｓ（β－γ）＝1．
∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．
若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有
解法3．∵ ｜ｚ２－ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ２＋ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ１｜， 而且注意到复平面内的余弦定理：
ｃｏｓ（β－γ）＝（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜－｜ｚ２－ｚ３｜／2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜）， ∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．
上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的．这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视．
下面完成此题的解答．
令 ｙ＝ｆ（ｋ）＝1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝1－（3／2ｋ（2－ｋ））（0＜ｋ＜2）≤1－（3／2·（（ｋ＋2－ｋ／2）））＝－（1／2）．
∵ ｜ｃｏｓ（β－γ）｜≤1，∴ －1≤ｙ≤－（1／2）．
由ｙｍａｘ＝－（1／2），得
1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－（1／2）ｋ＝1；
由ｙｍｉｎ＝－1，得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－1ｋ＝（1／2）或（3／2）．
所以当ｋ＝1时，ｃｏｓ（β－γ）取最大值－（1／2）；
当ｋ＝（1／2）或（3／2）时，ｃｏｓ（β－γ）取最小值－1．
此题实际上只是以复数作为载体，求给条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值．运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值．（留给读者自己完成）
例3 设复平面内两点A、B对应的复数分别为α、β，且｜α－2｜＝1，β＋（1＋ｉ）α＝0，O为原点．试求△ＡＯＢ面积的最大值和最小值，并且求相应的复数α、β．
讲解：由三角形面积公式Ｓ＝（1／2）｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜·ｓｉｎ∠ＡＯＢ知，只要求得｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜及∠ＡＯＢ的值就行了．由复数的几何意义知，｜ＯＡ｜＝｜α｜，｜ＯＢ｜＝｜β｜；由复数乘法的几何意义可求得∠ＡＯＢ的值．于是有如下解法：
由β＋（1＋ｉ）α＝0，得β＝－（1＋ｉ）α．
∴ ｜β｜＝
β＝｜α｜，２２２２２２２２２２２２２２２（ｃｏｓ（5π／4）＋ｉｓｉｎ（5π／4））α．
由乘法的几何意义及三角形内角的范围知
∠ＡＯＢ＝（3π／4），∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）｜α｜·｜β｜ｓｉｎ（3π／4）＝（1／2）｜α｜．
又∵ ｜α－2｜＝1， ∴ 可设α＝2＋ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ， 则｜α｜＝
∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）（5＋4ｃｏｓφ）．
当ｃｏｓφ＝－1，即α＝1，β＝－1－ｉ时，Ｓｍｉｎ＝（1／2）；当ｃｏｓφ＝1，即α＝3，β＝－3－3ｉ时，Ｓｍａｘ＝（9／2）．
若明确｜α－2｜＝1是以（2，0）为圆心，1为半径的圆的复数方程时，可画出图形，由图形的直观性可立即得出结果．
①在由｜ｚ－ａ｜＝ｒ（ａ∈Ｒ）求｜ｚ｜的最值时，可作出ｚ＝ａ＋ｒ（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα）的巧妙变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数的有界性求解；，２
②若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程．
三、专题训练
1．在复平面中设复数－3＋3ｉ对应的点是P，以原点为极点，实轴正半轴为极轴，建立极坐标系．那么点P的极坐标是（）．
Ａ．（Ｂ．（－
3，（3π／4）），（5π／4））
Ｃ．（3，（5π／4））
Ｄ．（－3，（3π／4））
2．设ｚ１＝－1，ｚ２＝（1／2）＋（／2）ｉ，则ｚ１、ｚ２、、所对应的点：①在单位圆１２
上；②它们是正方形的顶点；③它们关于y轴对称；④它们可构成正三角形．以上说法中，正确的只有（）．
Ａ．①
Ｂ．③
Ｃ．①③
Ｄ．①④
3．设复数ｚ＝ｓｉｎ（π／6）＋ｉｃｏｓ（π／6），若ｚｎ＝
Ａ．
3Ｂ．
4Ｃ．
5Ｄ．6
4．已知等边三角形ABC的面积等于
虚轴正半轴上，则向量，若把三角形放到复平面中，使A点重合于原点，AB边落在，则自然数ｎ的最小值是（）． 所对应的复数是（）．
Ａ．1＋
Ｂ．1－
Ｃ．
Ｄ．±ｉ ｉ＋ｉ ＋ｉ
２5．设复数ｚ＝ｃｏｓθ＋（2－ｓｉｎθ）ｉ，当θ∈（－（π／2），（π／2））时，复数ｚ在复平面内对应点的轨迹的方程是________．
6．设复数z在复平面内对应的点为Z，将点Z绕坐标原点按逆时针方向旋转（π／4），再沿实轴正方向平移1个单位，向上平移1个单位，得到点ｚ１．若点ｚ１与点Z重合，则复数z的值等于________．
7．已知辐角分别为θ１、θ２的复数ｚ１、ｚ２满足ｚ１＋ｚ２＝5ｉ，｜ｚ１·ｚ２｜＝14，则ｃｏｓ（θ１－θ２）的最大值是________．
8．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为ｚ１、ｚ２，ｚ１、ｚ２的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为（1／3）+（1／15）i，求tg（α+β）．
9．如图6-3，B是半圆O上的动点，OB=1,OA=2,△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，建立适当的坐
标系，利用复数求点B对应何复数时，O、C两点距离最大，并求此最大值．
图6-
310．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数ｚＯ、ｚＡ、ｚＢ、ｚＣ依次是0、2＋（ａ／2）ｉ、－2ａ＋3ｉ、－ｂ＋ａｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），求平行四边形OABC的面积．
篇2：高考数学复数专题
14复数、推理与证明
一、选择题:
1.（2011年高考山东卷文科2)复数z=2i
2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
2.（2011年高考海南卷文科2)复数5i
12i=()
A.2iB.12iC.2iD.1
2i
5．(2011年高考广东卷文科1)设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z=（）A．iB．iC．1D．
16.（2011年高考江西卷文科1)若(xi)iy2i,x,yR，则复数xyi=（）
A.2iB.2iC.12iD.12i.7.（2011年高考江西卷文科6)观察下列各式：则749,7343,72401，…，则7的末两位数字为（）A.01B.43C.07D.49
10．（2011年高考湖南卷文科2)若a,bR,i为虚数单位，且(ai)ibi，则 Ａ．a1,b1Ｂ．a1,b1Ｃ．a1,b1Ｄ．a1,b1 2342011-1-
13.（2011年高考辽宁卷文科2)i为虚数单位，
i
11i
1i
1i
7（）
（A）0（B）2i（C）-2i（D）4i
二、填空题:
14.(2011年高考江苏卷3)设复数i满足i(z1)32i（i是虚数单位），则z的实部是15.（2011年高考陕西卷文科13)观察下列等式
照此规律，第五个等式应为__________________.三、解答题:
17．（2011年高考四川卷文科22)（本小题满分14分）
已知函数f(x)
23x
12,h(x)
（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x [h(x)],求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[
*
f(x-1)-
]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x);
篇3：高考数学专题复习之我见
一、要重视双基
在专题复习时, 应将第一轮复习过的基础知识和基本能力有机地贯穿到每个专题中, 既巩固所学知识, 同时又对所学知识进行概括、提炼、合成, 不断丰富解题思想和方法.数学能力的提高需要长期不断累积和深化, 所以在第一轮复习时必须踏踏实实夯实基础, 才能达到预定的目标和要求.每年的高考题有三分之二左右的基础题, 但不少学生对数学概念、公式、定理理解不透彻, 乱套乱用公式, 计算能力差, 失分现象严重.造成这种现象的原因是第一轮复习时部分学生急于求成, 舍本逐末, 没有落实到实处.因此要搞好专题复习, 提升能力, 每个专题中的基础知识部分要讲到位, 讲透彻, 力争每个知识点都过关, 同时把各个知识点链接起来, 环环相扣, 形成一个有机的整体.
二、要重视课本
在专题复习时切忌抛开课本, 一味追求难、偏、怪.高考按照教学大纲要求, 根据一个主体、两个方向的原则进行命题.主体就是高中所学的教材, 它是高考命题的依据, 然后在此基础上浓缩提炼、组合加工和迁移延展.每年的高考题有不少题或直接取自课本或稍加改造而成.如2012年全国卷文科数学中第1, 2, 4, 5题, 第13~16题, 理科数学中第1, 3, 13, 14, 15题, 这些题都可以直接在课本中找到其原型.所以在专题复习时, 要紧扣教材, 充分挖掘教材的潜在价值, 将教材中的知识、方法移植到专题中, 找出解题规律.要利用好教材, 须注意以下几个方面:
(1) 将课本主要知识进行全面梳理, 将定理、公式及例题的推理过程和解答过程弄懂弄透, 并结合对应习题进行强化训练;
(2) 在专题训练时, 将发现的问题、缺陷再回归课本中重新进行对比分析, 找出薄弱环节及易错点, 查漏补缺;
(3) 不拘泥于教材, 应活用教材, 要从教材中找一些典型例题、习题进行变式练习, 同时也要从近几年的高考题中搜集一些与课本背景相关的题目, 然后以专题的形式进行有针对性训练, 以提高应变能力;
(4) 应从课本中学习解题的规范性, 解题的基本步骤、语言、符号的描述应与课本相符, 解答过程要有理有据, 简明扼要.
三、要注重通性通法, 淡化技巧
纵观近几年的高考试题, 我们发现一个共同现象:高考虽然是选拔性考试, 但面向大多数学生, 不片面追求难、新, 考题贴近学生实际, 难易适中, 大多数题目都能用平时所学的基本方法去解决.因此在专题复习时, 应大力提倡通性通法, 对一些过分依赖技巧的题目应适当舍去, 亦不要求学生死记技巧, 滥用技巧.对高考中常考的通性通法, 要花大力气进行针对性的强化训练, 做到熟能生巧.此外要让学生充分认识到通性通法的必要性和重要性, 只有平常在复习备考时心中有数, 在高考时才能成竹在胸, 考出理想的成绩.
四、要根据高考题型选择专题
高考中代数、几何、三角的题型每年大体上都保持稳定.其中代数常考函数的性质、导数的应用、数列的通项公式及数学归纳法;解析几何常考圆锥曲线的定义、离心率, 直线与圆锥曲线的位置关系, 圆的方程及圆锥曲线方程;立体几何常考线线、线面、面面的垂直关系, 空间角;三角常考三角函数的性质、三角恒等变形、解三角形.因而在专题复习时, 应针对高考试题的题型及结构进行分析, 选取的专题应大致与高考题型接轨.在主观题上, 尤其要加强解三角形、概率的应用, 立体几何中线线、线面、面面的垂直关系, 直线与平面所成的角、二面角的求法, 解析几何中的定值及最值问题, 韦达定理的应用, 导数的应用, 数列的通项公式及数列与不等式等方面的专项强化训练, 才能收到良好的效果.
五、专题复习选题要典型、有代表性
在专题复习时, 对每个专题的题目选取要有典型性和代表性.一方面, 通过对所选题目的精讲, 把其中蕴含的数学思想和数学方法传授给学生, 激活学生的潜能, 使全体学生积极主动参与到教学活动中, 互相探究, 共同提高;另一方面, 通过对所选题目的精练, 使学生熟练掌握常用的数学方法、技巧, 逐渐形成认真和独立思考的良好习惯.如果专题所选题目过于繁杂冗长, 则无法及时进行第三轮复习并通过综合演练来检验前两轮复习的效果, 无法及时反馈信息, 从而制定相应的措施;同时大量繁杂冗长的题目使学生疲于应付, 无法及时吸收、消化、反思和评价, 实在是事倍功半的做法.
六、专题复习要根据学生的实际水平
在专题复习中, 题目的选取要根据学生的实际水平, 难易适中.如果学生的接受能力不够强, 水平参差不齐, 则应该选取一些中等难度或偏易的题目, 这样大多数学生经过自身努力能基本掌握, 学生学起来就会有兴趣, 有成功感.如果学生整体素质很高, 则应该选取一些稍有难度的题目, 这样学有余力的学生就能进一步扩大视野, 迈向更高层次.所以在专题复习时, 要因人而异, 合理调整, 才能使学生学有所获.
篇4：“复数”复习专题
考点一 复数的有关概念以及复数的几何意义
1. 复数的分类[z=a+bi(a,b∈R)]
[实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)]
2. 处理相关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部，然后根据定义解题.
例1 复数[z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i]，当实数[m]为何值时？
（1）[z]为纯虚数；
（2）[z]为实数；
（3）[z]对应的点在复平面内的第二象限内.
解 （1）若[z]为纯虚数，则[lg(m2-2m-2)=0,m2+3m+2≠0.]解得[m=3]，∴当[m=3]时[z]为纯虚数.
（2）若[z]为实数，则[m2-2m-2>0,m2+3m+2=0.]解得[m=-1]或[m=-2]，∴当[m=-1]或[m=-2]时[z∈R].
（3）若[z]对应的点在第二象限，则
[lg(m2-2m-2)<0,m2-2m-2>0,m2+3m+2>0.]
解得[-1 ∴当[-1 点拨 复数分类的充要性是解此类题的关键，复数与平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路，要完整理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数[z=a+bi(a,b∈R)]为纯虚数的一个必要条件是[b≠0]，计算中实部、虚部有意义也不可忽视. 考点二 复数相等 1. 两个复数相等的充要条件是两个复数的实部. 虚部分别对应相等. 2. 解复数相等问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决. 例2 设集合[M={(a+3)+(b2-1)i,8}]，集合[N={3i,(a2-1)+(b+2)i}]，同时满足[M⋂N]⫋[M,][M⋂N≠∅]，求[a+b的值]. 解 依题设有：[(a+3)+(b2-1)i=3i] ① 或[8=(a2-1)+(b+2)i]② 由①得[a=-3,b=±2]； 由②得[a=±3,b=-2.] 经检验[a=-3,b=-2]不合题意，舍去. ∴[a=-3,b=2]或[a=3,b=-2]， ∴[a+b=-1]或[a+b=1.] 点拨 1. 此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，应注意知识之间相互联系及思维的广阔性和严谨性. 2. 利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化化归思想. 考点三 复数的代数运算 1. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位[i]的看作一类同类项，不含[i]的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把[i]的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉[i]的特点及熟练应用运算技巧. 2. 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. ①[(1±i)2=±2i]； ②[1+i1-i=i,1-i1+i=-i]； ③[-b+ai=i(a+bi)]. 例3 计算：（1）[(-1+i)(2+i)i3]； （2）[(1+2i)2+3(1-i)2+i]； （3）[1-i(1+i)2+1+i(1-i)2]； （4）[1-3i(3+i)2.] 解 （1）原式[=-3+i-i=-1-3i]； （2）原式[=-3+4i+3-3i2+i=ii+2][=i(2-i)5] [=15+25i]； （3）原式[=1-i2i+1+i-2i=-2i2i=-1]； （4）原式[=(3+i)(-i)(3+i)2=-i3+i=(-i)(3-i)4] [=-14-34i.] 点拨 本题是复数四则混合运算，复数乘法类似于两个多项式相乘，复数除法与作根式除法时的处理很类似，分子、分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”. 考点四 复数的综合应用 复数容易与三角、不等式等知识建立内在联系，复数综合应用问题通常的求解思路是化归为实数问题，即“化虚为实”. 例4 设[x、y]均为实数，[i]是虚数单位，复数[x-yi1+2i+i]对应的点在第四象限，则复数[z=x+yi]在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ） [A B C D] 解 ∵[x-yi1+2i+i=x-2y5+-2x-y+55i]， ∴依题设有[x-2y5>0，-2x-y+55>0，] ∴[x-2y>0，2x+y-5<0.] 画出不等式组表示的平面区域即可知应选A. 点拨 此题是以复数知识为载体，借助复数运算和几何意义引出不等式组，进一步考查了线性规划知识. 例5 设集合[M={yy=|cos2x-sin2x|,x∈R}] [N={x|x-1i|<2,i为虚数单位,][x∈R},][则M⋂N为]（ ） A. （0，1） B. （0，1] C. [0，1） D. [0，1] 解 对于集合[M]，函数[y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,] ∴[M]=[0，1]. 对于集合[N]，根据复数模的计算方法得不等式[x2+1<2]， ∴[x2<1]， ∴[-1 ∴[M⋂N=[0,1)]，∴选C. 点拨 本题借助三角函数的图形与性质以及复数的知识考查集合的运算，本题设置借助方程中的代表元[y]实现了求函数的值域，借助复数的模构造了解不等式问题. 【专题训练十五】 1. 在复平面内，复数[z=i(1+2i)]对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. [i]是虚数单位，若[1+7i2-i=a+bi(a,b∈R)]，则乘积[ab]的值是（ ） A. -15 B. -3 C. 3 D. 15 3. 已知[z1+i=2+i]，则复数[z]= . 4. 设[z=1+i]（[i]为虚数单位），则[2z+z2]= . 5. 已知复数[z=3+i(1-3i)2]，[z]是[z]的共轭复数，则[z⋅z]=（ ） A. [14] B. [12] C. 1 D. 2 6. 在复平面内，复数[2i1-i]对应的点的坐标为 . 7. [i]为虚数单位，[i3+3i]= . 8. 设复数[z]满足[z(2-3i)=6+4i]（[i]为虚数单位），则[z]的模为 . 9. 若复数[z=1-2i]（[i]为虚数单位），则[z⋅z+z]= . 10. 对于复数[a、b、c、d]，若集合[s={a,b,c,d}]，若具有性质“对任意[x、y∈s]，必有[xy∈s]”，则当[a=1，b2=1，c2=b，]时，[b+c+d]=（ ） A. 1 B. [-1] C. 0 D. [i] 11. 复数[2+i1-2i]的共轭复数是（ ） A. [-35i] B. [35i] C. [-i] D. [i] 12. 若[z=1+2ii]，则复数[z]=（ ） A. [-2-i] B. [-2+i] C. [2-i] D. [2+i] 13. 把复数[z]的共轭复数记作[z]，[i]为虚数单位. 若[z=1+i]，则[(1+z)•z]=（ ） A. [3-i] B. [3+i] C. [1+3i] D. [3] 14. 若[a、b∈R]，[i]为虚数单位，且[(a+i)i=b+i]，则（ ） A. [a=1,b=1] B. [a=-1,b=1] C. [a=-1,b=-1] D. [a=1,b=-1] 15. 复数[z=2-i2+i]（[i]为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 16. 设[i]是虚数单位，复数[1+ai2-i]为纯虚数，则实数[a]= 17. 设复数[z]满足[(1+i)z]=2，其中[i]为虚数单位，则[z]= 18. [i]是虚数单位，复数[1-3i1-i]= 19. 设复数[z]满足[i(1+z)=-3+2i]（[i]为虚数单位），则[z]的实部是 20. [a]为正实数， [i]为虚数单位，[a+ii=2]，则[a]= 21. 已知[m∈R]，复数[z=m(m-2)m-1+][(m2+2m-3)i]，当[m]为何值时？ （1）[z∈R]； （2）[z]是纯虚数； （3）[z]对应的点位于复平面第二象限； （4）[z]对应的点在直线[x+y+3=0]上. 22. 设存在复数[z]同时满足下列条件： （1）复数[z]在复平面内对应的点位于第二象限； （2）[z⋅z+2iz=8+ai(a∈R).] 试求[a]的取值范围. 【参考答案】 1. B 2. B 3. [1-3i] 4. [1+i] 5. A 6. （-1，1） 7. [14+312i] 8. 2 9. [6-2i] 10. B 11. D 12. D 13. A 14. D 15. D 16. 2 17. [1-i] 18. [2-i] 19. 1 20. [3] 21. （1）[m=-3] （2）[m=0]或[m=2] （3）[m<-3]或[1 三、复数 一、单选题 1．（2021·全国）已知，则（） A． B． C． D． 2．（2021·浙江）已知，(i为虚数单位)，则（） A． B．1 C． D．3 3．（2021·全国（文））已知，则（） A． B． C． D． 4．（2021·全国（理））设，则（） A． B． C． D． 5．（2021·全国（文））设，则（） A． B． C． D． 6．（2020·海南）=（） A． B． C． D． 7．（2020·北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）． A． B． C． D． 8．（2020·浙江）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（） A．1 B．–1 C．2 D．–2 9．（2020·海南）（） A．1 B．−1 C．i D．−i 10．（2020·全国（文））若，则z=（） A．1–i B．1+i C．–i D．i 11．（2020·全国（文））若，则（） A．0 B．1 C． D．2 12．（2020·全国（理））复数的虚部是（） A． B． C． D． 13．（2020·全国（理））若z=1+i，则|z2–2z|=（） A．0 B．1 C． D．2 14．（2020·全国（文））（1–i）4=（） A．–4 B．4 C．–4i D．4i 15．（2019·北京（理））已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5 16．（2019·全国（理））若，则 A． B． C． D． 17．（2019·全国（文））设z=i(2+i)，则= A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 18．（2019·全国（文））设，则= A．2 B． C． D．1 19．（2019·全国（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2019·全国（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 21．（2018·北京（理））在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（2018·全国（理）） A． B． C． D． 23．（2018·全国（文）） A． B． C． D． 24．（2018·全国（理）） A． B． C． D． 25．（2018·全国（文））设，则 A． B． C． D． 26．（2018·浙江）若复数，其中i为虚数单位，则 = A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 27．（2017·全国（理））＝（） A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 28．（2017·全国（文））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i) 29．（2017·全国（理））复数等于 （） A． B． C． D． 30．（2017·全国（文））下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A． B． C． D． 31．（2017·山东（理））已知，是虚数单位，若，则 A．1或 B．或 C． D． 32．（2017·山东（理））已知，是虚数单位，若，则 A．1或 B．或 C． D． 33．（2017·全国（理））(2017高考新课标III，理3)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A． B． C． D．2 34．（2017·全国（理））设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则.其中的真命题为 A． B． C． D． 35．（2017·全国（文））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（2017·山东（文））已知i是虚数单位,若复数z满足,则= A．-2i B．2i C．-2 D．2 37．（2017·北京（文））若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 38．（2017·全国（文））（2017新课标全国卷II文科） A． B． C． D． 二、填空题 39．（2020·天津）是虚数单位，复数_________． 40．（2020·江苏）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.41．（2020·全国（理））设复数，满足，则=__________.42．（2019·江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.43．（2019·天津（文））是虚数单位，则的值为__________.44．（2019·浙江）复数（为虚数单位），则________.45．（2019·上海）设为虚数单位，则的值为__________ 46．（2018·上海）已知复数满足（是虚数单位），则 ． 47．（2018·江苏）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________． 48．（2018·天津（理））i是虚数单位，复数___________.49．（2017·上海）已知复数满足，则_____________． 50．（2017·天津（文））已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 51．（2017·江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________ 三、双空题 52．（2017·浙江）已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ______，ab=________． 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 三、复数（答案解析） 1．C 【解析】因为，故，故 故选：C.2．C 【解析】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．B 【解析】，.故选：B.4．C 【解析】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.5．C 【解析】由题意可得：.故选：C.6．B 【解析】 故选：B 7．B 【解析】由题意得，.故选：B.8．C 【解析】因为为实数，所以，故选：C 9．D 【解析】 故选：D 10．D 【解析】 因为，所以.11．C 【解析】 因为，所以 ． 故选：C． 12．D 【解析】 因为，所以复数的虚部为.故选：D.13．D 【解析】 由题意可得：，则.故.故选：D.14．A 【解析】 .故选：A.15．D 【解析】∵ 故选D.16．D 【解析】．故选D． 17．D 【解析】，所以，选D． 18．C 【解析】 因为，所以，所以，故选C． 19．C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 20．C 【解析】则．故选C． 21．D 【解析】的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D.22．D 【解析】 故选D.23．D 【解析】，故选D.24．D 【解析】选D.25．C 【解析】，则，故选c.26．B 【解析】，选B.27．D 【解析】由题意，故选：D.28．A 【解析】 由题意，对于A中，复数为纯虚数，所以正确； 对于B中，复数不是纯虚数，所以不正确； 对于C中，复数不是纯虚数，所以不正确； 对于D中，复数不是纯虚数，所以不正确，故选A.29．D 【解析】＝2－i.故选D.30．C 【解析】，,所以选C.31．A 【解析】 由得，所以，故选A.32．A 【解析】 由得，所以，故选A.33．C 【解析】 由题意可得，由复数求模的法则可得，则故选C.34．B 【解析】 令，则由得，所以，故正确； 当时，因为，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确； 对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.35．C 【解析】，则表示复数的点位于第三象限.所以选C.36．A 【解析】 由得,即,所以,故选A.37．B 【解析】 试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.38．B 【解析】由题意，故选B.39． 【解析】.故答案为：.40．3 【解析】∵复数∴∴复数的实部为3.41． 【解析】设，，又，所以，.42．2.【解析】，令得.43． 【解析】． 44．【解析】.45． 【解析】 由，得，即，46．5 【解析】由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为5． 47．2 【解析】因为，则，则的实部为.48．4–i 【解析】由复数的运算法则得：.49． 【解析】由，得，设，由得，即，解得，所以，则． 50．-2 【解析】为实数，则.51． 【解析】复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|． 故答案为． 52．5,2 【解析】 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15.复 数知识要点 1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b0时的复数a + bi； ④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义： abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√） ②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立） 2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程 （若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式： 设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质： zzz1z2z1z2 zz2a，zz2bi（za + bi）zz|z|2|z|2 z1z2z1z2z1z2z1z2 z1z2z1（z20）zn(z)n z2 nzzz...z(nN) n注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：z ②对任何z，z1,z2C及m,nN有 ③nzmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nznz12 42(i)12注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由i21就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论： i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1 inin1in2in30,(nZ) (1i)22i,若 31i1ii,i 1i1i112是的2立n方n1虚n2数根，即123i2，,,10,0(nZ)则 1 , .5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同 一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设aR,则arga0,arg(a),argai ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： abir(cosisin)，ra2b2，cos3,arg(ai).22ab,sin.rr ⑶几类三角式的标准形式： r(cosisin)r[cos()isin()] r(cosisin)r[cos()isin()] r(cosisin)r[cos()isin()] r(sinicos)r)isin()] 22 7.复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2 根x1,2b；若=0，则有二相等实数2ab|ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.2a2a ②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算： r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)] r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)] r2(cos2isin2)r2 棣莫弗定理：[r(cos 【高考数学复数专题】相关文章： 高考数学理科数学专题04-12 高考数学二轮专题复习11-25 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