添加辅助线解特殊四边形题

2024-05-01

添加辅助线解特殊四边形题（共2篇）

篇1：添加辅助线解特殊四边形题

添加辅助线解特殊四边形题

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形．在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线．下面介绍一些辅助线的添加方法．

一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形．

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形．

求证:OE与AD互相平分．

分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证．证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，所以A0//ED，AO=ED，所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分．

图1 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形．

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G．求证:ED+FG=AC．

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH．

证明:过点E作EH//BC,交AC于H, 因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形, 所以ED=HC, 又FG//AC,EH//BC, 所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又AE=BF, 所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG，图2 所以FG+DE=AH+HC=AC．

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题．

3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证BF=AC．分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换．寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形．

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC．

图3

图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形．当已知中点或中线应思考这种方法．

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题．

例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE．求AD平分CE．

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，图5 又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分．所以四边形CDEF是菱形．

例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长．

分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题．证明：连结BD、DF．

因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长．

图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线．

三、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题．和矩形有关的试题的辅助线的作法较少．

例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求 PD的长．

分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题．

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G．

因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=32 ．

图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长．

四、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多．解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线．

例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE．求证：∠BCF= 1∠AEB． 2分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=∠BCF=15°．

证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H．

1AC，可算出∠E=∠ACF=30°，2在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=

1AC，2因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=

图8 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质．通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题．

五、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的．主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等．例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0．求证：CO=CD．

分析：要证明CO=CD，可证明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题．

证明：过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=所以AE=DF=

1∠AEB．

21BC，∠ACB=45°，21，2180DBC75，2又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°．所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD．

图9 说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决．

例9 如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E．求DE的长．分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决．

解：过点D作DF//AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DE⊥BC，所以BE=EF==

111BF=(BC+CF)=(BC+AD)2221×10=5． 2因为AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF, 因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5, 即DE的长为5．

图10 说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决．

六、和中位线有关辅助线的作法

例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG=OH．

分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题．证明：取AD中点P，连结PE，PF．因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE//BD，且PE=11BD，PF//AC，且PF=AC，22所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以OG=OH．

说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题．

图11

篇2：特殊四边形的性质检测题

一､选择题

1. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交所成的锐角是().

A. 20° B. 40°

C. 80° D. 100°

2. 矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD = 90°,矩形的周长为20 cm,则AB的长为().

A. 1 cmB. 2 cm

C. 2.5 cm D.cm

3. 如图1,矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠ADE ∶ ∠EDC = 3 ∶ 2,则∠BDE =

().

A. 12°

B. 36°

C. 18°

D. 22°

4. 已知AC为矩形ABCD的对角线,则图中∠1与∠2一定不相等的是

().

5. 已知菱形的周长是40 cm,两对角线长度之比为3 ∶ 4,则两对角线的长度分别为().

A. 6 cm,8 cmB. 3 cm,4 cm

C. 12 cm,16 cmD. 24 cm,32 cm

6. 如图2,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M､N分别是AB､BC边的中点,MP + NP的最小值是().

A. 2B. 1

C. D.

7. 用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形(不包含矩形､菱形､正方形),②矩形,③菱形,④正方形,⑤等腰三角形.一定可以拼成的图形有().

A. ①②⑤

B. ②③⑤

C. ①④⑤

D. ①②③

8. 如图3,在正方形ABCD中,点E是BC边的中点,如果DE = 5,那么四边形ABED的面积是().

A. 5B. 15

C. 20D. 30

9. 在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = 4,BC = 7,AD = 2,CD = x,则x的取值范围是().

A. 2 < x < 7

B. 1 < x < 9

C. 1 < x < 13

D. 0 < x < 13

10. 如图4,点P是梯形ABCD的腰CD的中点,△ABP的面积是6 cm2,则梯形ABCD的面积为

().

A. 8 cm2 B. 9 cm2

C. 12 cm2D. 15 cm2

二､填空题

11. 矩形的对角线相交所成的钝角为120°,短边等于8 cm,则矩形的对角线长为cm.

12. 如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分,那么这个矩形的面积为cm2.

13. 菱形的两条对角线长分别为8 cm､6 cm,则菱形的边长为,面积为.

14. 如图5,正方形ABCD中,E为BC延长线上一点,且CE = AC,AE交DC于点F,则∠AFC =

15. 等腰梯形有一角为120°,腰长为3 cm,一底边长为4 cm,则另一底边长为cm.

16. 梯形ABCD中,AB∥CD,周长为30 cm,DE∥BC交AB于点E,CD = 5cm,则△ADE的周长为cm.

17. 如下页图6,菱形AB1C1D1 的边长为1,∠B1 = 60° ;作 AD2⊥B1C1于点D2 ,以AD2为一边,作第2个菱形AB2C2D2 ,使∠B2 = 60 °;作AD3⊥B2C2于点D3 ,以AD3为一边作第3个菱形AB3C3D3 ,使∠B3 = 60°…… 依此类推,这样作的第n个菱形 ABnCnDn的边ADn的长是

三､解答题

18. 如图7,菱形ABCD中,E是AB的中点,DE⊥AB,AB = 5,求

(1)∠ABC的大小.

(2)AC的长.

(3)菱形ABCD的面积.

19. 如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,AD = 1,BC = 4,AC = 3,BD = 4,求梯形ABCD的面积.

20. 如图9,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系,并说明你的理由.

21. (1)请用两种不同的方法,用尺规在图10所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形,且菱形的4个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹)

(2)写出你的作法.

22. 有一底角为60°的直角梯形,上底长为10 cm,与底垂直的腰长为10 cm,以上底或与底垂直的腰为一边作三角形,使三角形的另一边长为15 cm,第三个顶点落在下底上.请计算所作的三角形的面积.

23. 如图11,把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在边 AD上的点 B′处,点A 落在点A′ 处.

(1) B′E = BF成立吗?为什么?