中考数学综合题专题（精选6篇）
篇1：中考数学综合题专题
2012中考数学分项专题：几何综合题
发布时间：2012-02-11 15:45 来源：武汉巨人学校 作者：巨人网整理
在数学试卷中，综合题的题型最难，涉及到的知识点也最多，期中几何类型的综合题，既有涉及到图形变量，又有涉及到函数公式，解答起来很费周折。
想这种题该如何求解你？这里给出了学校专家的几点建议，希望对您有所帮助。
几何综合题的特点是：先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段)运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前，不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，1、一般题型
1）在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；
2）四边形是菱形、梯形等；
3）探索两个三角形满足什么条件相似；
4）探究线段之间的位置关系等；
5）探索面积之间满足一定关系求x的值等；
6）直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。
2、解题关键
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程)，变形写成y＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f(x)的形式)，当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。
3、解题技巧
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。
篇2：中考数学综合题专题
专题15
动点综合问题
【考点1】动点之全等三角形问题
【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【答案】0；4；8；12
【分析】
此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．
【详解】
解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为0或4或8或12．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点
（1）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），且AE⊥BF时，问点E在什么位置？并证明你的结论；
（2）如果动点E、F满足BE＝CF（如图），写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．
【答案】（1）当AE⊥BF时，点E在BO中点，见解析；（2）以点E或F为顶点的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF.【分析】
（1）根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案；
（2）根据正方形性质及BE＝CF即可得出全等的三角形．
【详解】
解：（1）当时，点在中点．证明如下：
延长交于点，如图所示：，，，，，，故当时，点在中点；
（2）四边形是正方形，，，，，，在△ABE和△BCF中，同理可得，；
以点或为顶点的全等三角形有，；
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s
（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts
（0≤t≤5）．
（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；
（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；
（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．
【答案】（1）1；（2）；（3）a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5．
【分析】
（1）由题意得∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，由三角形面积得AQ＝3BQ，则AB＝4BQ＝8，得BQ＝2＝2a，则a＝1；
（2）由题意得点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，则AP＝AC﹣PC＝4，PQ⊥AC，得t＝2，则PQ＝BQ＝2a，再由三角形面积关系即可得出答案；
（3）分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，求出a＝2，BQ＝BE﹣EQ＝t，则AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得t＝2；
②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，求出t＝5，则AQ＝EQ＝5a，得BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，再分别求出a的值即可．
【详解】
解：（1）由题意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝AF×AQ，S△BQC＝BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；
故答案为：1；
（2）∵以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边，∴点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∵△ABC的面积＝△ACQ的面积+△BCQ的面积，∴×8×6＝×10×2a+×2a×6，解得：a＝；
（3）由题意得：∠A＝∠E，∴∠A与∠E为对应角，分两种情况：
①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；
②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，当BQ＝15﹣5a时，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（无意义），解得：a＝2.3；
当BQ＝5a﹣15时，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（无意义），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，不合题意，舍去；
综上所述，a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，关键是根据题意找到动点之间的联系，然后结合全等三角形的性质进行求解问题即可，注意分类讨论思想的运用．
【考点2】动点之直角三角形问题
【例2】如图，在四边形纸片中，，，点是边上的动点，点是折线上的动点，将纸片沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接，若是直角三角形，则的长为________．
【答案】1或
【分析】
如图（见解析），先利用解直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质求出AB的长，再分和两种情况，分别求出的长，然后根据折叠的性质、线段的和差即可得．
【详解】
如图，过点C作于点M，过点D作于点N，，四边形CDNM是矩形，在中，，在中，，由折叠的性质得：，点在边上，即，由题意，分以下两种情况：
（1）当时，是直角三角形，在中，，；
（2）当时，是直角三角形，在中，，；
综上，AE的长为1或，故答案为：1或．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质、折叠的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝时，S最大值＝；②存在，点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．
【解析】
【分析】
(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解．
(2)①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；
②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．
【详解】
(1)∵二次函数的图象经过A(4，0)和点D(﹣1，0)，∴，解得，所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
(2)①延长NQ交x轴于点P，∵BC平行于x轴，C(0，4)
∴B(3，4)，NP⊥OA．
根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．
∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，∴S△AMQ=AM×PQ=(4-2t)(1+t)
＝﹣t2+t+2．
∴S=-t2+t+2=-(t-)2+．
∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．
当t＝时，S最大值＝．
②存在点M，使得△AQM为直角三角形．
设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．
Ⅰ．若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．
∴PQ是底边MA的中线，∴PQ＝AP＝MA，∴1+t＝(4﹣2t)，解得，t＝，∴M的坐标为(1，0)．
Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．
∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴点M的坐标为(2，0)．
所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数．
【变式2-2】如图，在矩形中，为中点，连接.动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）.则_____时，为直角三角形
【答案】或
【分析】
△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后进行分类讨论求出t的值．
【详解】
解：
过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图1，∵B点是CH的中点，∴BH=CH=OA=6，∵AH=OC=8，∴由勾股定理可求：AB=10，∵AN=t，∴BN=10-t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴，∴，∴EN=
∴FN=8-EN=，当∠CMN=90°，由勾股定理可求：AF=，∵OM=t，∴AM=12-t，∴MF=AM-AF=12-t-
=12-，∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，∴∠OCM=∠FMN，∵∠O=∠NFM=90°，∴△COM∽△MFN，∴，∴，∴t=，当∠MNC=90°，FN=
∴EN=
∵MF=12-
∴CE=OF=OM+MF=12-
∵∠MNF+∠CNE=90°，∠ECN+∠CNE=90°，∴∠MNF=∠ECN，∵∠CEN=∠NFM=90°，∴△CEN∽△NFM，∴，∴，∴，∵0＜t＜5，∴；
当∠NCM=90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t=或.【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．
【考点3】动点之等腰三角形问题
【例3】如图，是⊙的直径，是弦，．若点是直径上一动点，当
是等腰三角形时，__________．
【答案】、或
【解析】
解：①为顶点即时，，．
②为顶点即时，中：，，∴．
③为顶点即时，与重合，∴．
综上为，或．
故答案为：，或．
点睛：解答本题的关键分三种情况讨论：①BC=BP；②CP=CB，③CP=BP．
【变式3-1】如图①，已知正方形边长为2，点是边上的一个动点，点关于直线的对称点是点，连结、、、.设AP=x.（1）当时，求长；
（2）如图②，若的延长线交边于，并且，求证：为等腰三角形；
（3）若点是射线上的一个动点，则当为等腰三角形时，求的值.【答案】（1）BP=；（2）证明见解析；（3）△CDQ为等腰三角形时x的值为4-2、、2+4.【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出BP的长即可；（2）根据对称性质及正方形的性质可得AB=BQ=BC，∠A=∠BQP=∠BCE=90°，可得∠BQE=90°，由第一视角相等性质可得∠BCQ=∠BQC，根据同角或等角的余角相等的性质可得∠EQC=∠ECQ，可得EC=EQ，可得结论；（3）若△CDQ为等腰三角形，则边CD边为该等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．
【详解】
（1）∵AP=x=1，AB=2，∴BP==，（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q点为A点关于BP的对称点，∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC，∠BQE=∠BCE=90°，∴∠BQC=∠BCQ，∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°，∴∠EQC
=∠ECQ，∴EQ=EC，即△CEQ为等腰三角形.（3）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．
①讨论Q1，如图，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F，∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为2，∴FC=1，Q1F==，Q1E=2-，在四边形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，∴∠APQ1=150°，∴∠EPQ1=30°，△PEQ1为含30°的直角三角形，∴PE=EQ1=2-3，∵EF是BC的垂直平分线，∴AE=AD=1，∴x=AP=AE-PE=1-(2-3)=4-2.②讨论Q2，如图，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．
∵AB=BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．
∴AF=AE=1，FQ2==，在四边形ABQ2P中，∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°，∴∠APQ2=120°，∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，∴EQ2=EF-FQ2=2-，EG=EQ2=2-3，∴DG=DE+GE=1+2-3=2-2，∴DG=PD，即PD=2-，∴x=AP=2-PD=.③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，记Q3与F重合．
∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=2，∴Q1Q2=2，Q1E=2-，∴EF=2+，在四边形ABQ3P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，∴∠EPF=30°，∴EP=EF=2+3，∵AE=1，∴x=AP=AE+PE=1+2+3=2+4.综上所述：△CDQ为等腰三角形时x的值为4-2、、2+4.【点睛】
本题考查四边形的综合、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质，第三问是一个难度非常高的题目，可以利用尺规作图的思想将满足要求的点Q找全．另外求解各个P点也是勾股定理的综合应用熟练掌握并灵活运所学知识是解题关键．
【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和点C（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；
（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
；（2）E（-，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）作A关于x轴的对称点A′（0，-3），连接MA′交x轴于E，此时△AME的周长最小，求出直线MA＇解析式即可求得E的坐标；
（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3），分三种情况进行讨论：
①当∠PBF=90°时，由F1P⊥x轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；
②当∠BF3P=90°时，如图3，点P与C重合，③当∠BPF4=90°时，如图3，点P与C重合，从而得结论．
【详解】
（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴M（-1，4），如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A＇（0，-3），连接A＇M交x轴于点E，则点E就是使得△AME的周长最小的点，设直线A′M的解析式为：y=kx+b，把A＇（0，-3）和M（-1，4）代入得：，解得：
∴直线A＇M的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0，x=-，∴点E（-，0），（3）如图2，易得直线AB的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为（m，m+3），①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2，∵OA=OB=3，∴△AOB和△A＇OB是等腰直角三角形，∴∠F1BC=∠BF1P=45°，∴F1P⊥x轴，∴P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：
-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），∴P（2，-5）；
②当∠BF3P=90°时，如图3，∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°，∴点P与C重合，故P（1，0），③当∠BPF4=90°时，如图3，∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°，∴点P与C重合，故P（1，0），综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用．
【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线和直线都经过点，点为坐标原点，点为抛物线上的动点，直线与轴、轴分别交于两点．
（1）求的值；
（2）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）满足（2）的条件时，求的值．
【答案】（1）；；（2）点的坐标为或；（3）的值为或．
【解析】
【分析】
(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出的值；
(2)由(1)可得出抛物线及直线的解析式，继而可求出点的坐标，设点的坐标为，结合点的坐标可得出的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于的方程，解之即可得出结论；
(3)过点作轴，垂足为点，由点的坐标可得出的长，再利用正弦的定义即可求出的值．
【详解】
(1)将代入，得：，∴；
将代入，得：，∴；
(2)由(1)得：抛物线的解析式为，直线的解析式为，当时，解得：，∴点的坐标为，设点的坐标为，则，∵是以为底边的等腰三角形，∴，即，整理，得：，解得：，∴点的坐标为或；
(3)过点作轴，垂足为点，如图所示，当点的坐标为时，，∴；
当点的坐标为时，，∴，∴满足(2)的条件时，的值的值为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于的方程；(3)通过解直角三角形，求出的值．
【考点4】动点之相似三角形问题
【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【答案】AP=或AP=2或AP=6
【分析】
由AD//BC,∠B=90°,可证∠PAD=∠PBC=90°, 又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
【详解】
解：∵
AB⊥BC,∴
∠B=90°,∵
AD∥BC,∴
∠A=180°﹣∠B=90°,∴
∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:
若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=,若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=或AP=2或AP=6．
【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+；（2）D点位置见解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值为或．
【解析】
【分析】
（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；
（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC，∴BC＝×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+；
（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时＝，即AB2＝AC•AD．
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝，∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，∴点D的坐标为（，0）；
（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．
Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有＝，∴AP•AD＝AB•AQ，∴m＝5（﹣m），解得m＝；
Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有＝，∴AP•AB＝AD•AQ，∴5m＝（﹣m），解得：m＝，综上所述：符合要求的m的值为或．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．
【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．
（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；
（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．
【答案】（1）△DPE∽△QDA，证明见解析；（2）DP=2或5
【分析】
（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可证明△ADQ∽△EPD；
（2）若以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况，当△ADQ∽△EPQ时，设EQ＝x，则EP＝2x，则DE＝2−x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，则DP可求出；同理当△ADQ∽△EQP时，设EQ＝2a，则EP＝a，可得，可求出a的值，则DP可求．
【详解】
（1）△ADQ∽△EPD，证明如下：
∵PE⊥DQ，∴∠DEP＝∠A＝90，∵∠ADC＝90，∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，∴∠ADQ＝∠DPE，∴△ADQ∽△EPD；
（2）∵AB＝4，点Q为AB的中点，∴AQ＝BQ＝2，∴DQ＝，∵∠PEQ＝∠A＝90，∴若以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况，①当△ADQ∽△EPQ时，设EQ＝x，则EP＝2x，则DE＝2−x，由（1）知△ADQ∽△EPD，∴，∴，∴x＝
∴DP＝＝5；
②当△ADQ∽△EQP时，设EQ＝2a，则EP＝a，同理可得，∴a＝，DP＝．
综合以上可得DP长为2或5，使得以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）
【例5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，且满足，求出点的坐标；
（3）连接，点是轴一动点，点是抛物线上一动点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
备用图
【答案】（1）;（2），，；（3），【分析】
（1）由待定系数法求出解析式即可；
（2）先求出点C坐标，可得OA=OC=3，由面积关系列出方程即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解；
【详解】
解：
（1）∵抛物线经过点A（-3，0），点B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵抛物线的解析式为：，与y轴交于点C，∴点C坐标为（0，3），即OA=OC=3；
（2）过点P作PM⊥AO于点M，PN⊥CO于点N，设P(，)，∵，∴，∵AO=3，CO=3，∴PM=2PN，即，当点P在第一、三象限时，解得，；
∴，当点P在第二、四象限时，解得，；
∴，；
（3）若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，∴CF∥BE，∴点C与点F纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴点F（-2，3），若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，∴BE与CF互相平分，∵BE中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，∴点F的纵坐标为-3，∴，解得，∴，∴或，若BC为对角线,则四边形BECF是平行四边形，∴BC与EF互相平分，∴BC中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，∴点F的纵坐标为3，∴点F（-2，3），综上所述，点F坐标为：，；
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键.【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．
（1）如图1，当点与点重合时，________°；
（2）如图2，连接．
①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点在的平分线上；
（3）如图3，连接，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】（1）60°；（2）①
=，②见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质计算；
（2）①证明，根据角的运算解答；
②作于，交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）根据直角三角形的性质得到，证明四边形为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：（1）四边形是菱形，，故答案为：；
（2）①四边形是平行四边形，四边形是菱形，，故答案为：；
②作于，交的延长线于，则，又，，为等边三角形，在和中，，又，点在的平分线上；
（3）四边形是菱形，，四边形为平行四边形，，，又，，，四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形，平行四边形为菱形，，．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当矩形ABCD为正方形时，m的值为4；（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6.【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，三种情况找出AQ，EF的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
【详解】
（1）将，代入，得：，解得，∴该二次函数的解析式为．
（2）当
时，解得：，∴点a的坐标为（，m），点b的坐标为（，m），∴点d的坐标为（，0），点c的坐标为（，0）．
∵矩形abcd为正方形，∴，解得：，（舍去），．
∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为．
设直线AC的解析式为，将，代入，得，解得，∴直线ac的解析式为．
当时，∴点E的坐标为（，），点F的坐标为（，-t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，∴，分三种情况考虑：
①当时，如图1所示，EF=，∴，解得：（舍去），；
②当时，如图2所示，EF=，∴，解得：（舍去），；，EF=，解得（舍去），（舍去）
综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．
【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，、两点关于直线对称，反比例函数图象经过点，点是直线上一动点.（1）点的坐标为______；
（2）若点是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是线段上一点（不与、重合），当四边形为菱形时，过点分别作直线和直线的垂线，垂足分别为、，当的值最小时，求出点坐标.【答案】（1）（3，1）；（2），；（3）（2，2）.【解析】
【分析】
（1）根据点（a，b）关于y=x对称的点的坐标为（b，a）直接写出答案即可；
（2）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；
（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，利用四边形AOBP是菱形，得到S△AOP=S△AOQ+S△APQ，从而得到PO•AD=AO•QE+AP•QF，确定QE+QF=为定值，从而求解．
【详解】
解：（1）B点的坐标为（3，1）；
（2）∵反比例函数图象经过点A（1，3），∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为，点P在直线y=x上，∴设P（m，m）
①PC为平行四边形的边，∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，∴点C在点P的下方，则点C的坐标为（m+2，m-2）如图1，若点C在点P的上方，则点C的坐标为（m-2，m+2）如图2，把C（m+2，m-2）代入反比例函数的解析式得：，∵m＞0，∴，∴
同理可得另一点，②若PC为平行四边形的对角线，如图3，∵A、B关于y=x对称，∴OP⊥AB
此时点C在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线的交点，由解得：，（舍去），∴，综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：，；
（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，如图4，∵四边形AOBP是菱形，∴AO=AP
∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ，∴PO•AD=AO•QE+AP•QF
∴QE+QF=为定值，∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，当QB⊥PO时，QB最小，所以D点即为所求的点，∵A（1，3），B（3，1）
∴D（2，2），∴当QE+QF+QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）．
【点睛】
本题是对反比例函数的综合知识的考查，熟练掌握反比例，四边形知识及分类讨论的数学思想是解决本题的关键，难度较大．
【考点6】动点之线段面积问题
【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
【答案】（1）A（0,3）A′（3,0）C（－1,0）；（2）；（3）当时,取到最大值为；M（）
【解析】
试题分析：（1）当y=0时，求出x的值，得到点A′和点C的坐标，当x=0，求出y的值，得到点A的坐标；根据点A、C的坐标得出点B的坐标，从而求出OB的长度和△AOB的面积，根据旋转得到∠ACO=∠OC′D，根据∠ACO=∠ABO得到∠ABO=∠OC′D，从而说明△
C′OD
∽△BOA，根据相似三角形得出△C′OD的面积；设点M的坐标为（），连接OM，得到△AMA′的面积与m的函关系式，从而得出最大值和点M的坐标．
试题解析：（1）解：（1）当时，解得
∴C（-1，0），A′（3，0）．当x=0时，y=3．∴A（0，3）
（2）∵C（-1，0），A（0，3），∴B（1,3）
∴
∴△AOB的面积为
又∵平行四边形ABOC旋转得平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO=∠OC′D
又∵∠ACO=∠ABO，∴∠ABO=∠OC′D．
又∵∠C′OD=∠AOB，∴△
C′OD
∽△BOA
∴∴
（3）设M点的坐标为（），连接OM
=
当时,取到最大值为∴M（）
考点：二次函数的应用、三角形相似、旋转图形的性质、平行四边形的性质．
【变式6-1】（1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，当点位于
时，线段的长取得最大值，最大值为
（用含的式子表示）；
（2）应用：如图2，点为线段外一动点，，以为边作等边，连接，求线段的最大值；
（3）拓展：如图3，线段，点为线段外一动点，且，，求线段长的最大值及此时的面积．
【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）6；（3）最大值为3+，△PBM的面积为
【分析】
（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE，利用（1）中的结论即可得到结果；
（3）将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△AP＇N，连接BN，得到△APP＇是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到P＇A=PA=2，AN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为+3，过点P作PQ⊥AB的延长线于点Q，利用勾股定理求出PB的长，根据△PBM为等腰直角三角形，可求出面积.【详解】
解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）如图2中，以AC为边向上作等边△ACE，连接BE．
∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；
∴线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段BE的长取得最大值时，点E在BA的延长线上，∴最大值为=4+2=6．
∴线段CD的最大值为6；
（3）解：如图3中，将△APM绕着点A顺时针旋转90°得到△AP＇N，连接BN，PP′．
∴△APM≌△AP＇N，∴AN=AM，AP=AP＇=2，∴线段AM长的最大值=线段AN长的最大值，∴当N在线段AB的延长线时，线段AN取得最大值，最大值=AB+BN，∴∠PAP＇=90°，∴△APP＇是等腰三角形，∴PP＇=，∵△BPM是等腰直角三角形，∴∠BPM=∠MAN=90°，PM=PB=P＇N，∴∠AMP=∠ABP=∠N，∴PB∥P＇N，∴四边形PBNP＇是平行四边形，∴BN=PP＇，∴AN的最大值为：AB+BN=AB+PP＇=3+，∴AM的最大值为3+，过点P作PQ⊥AB的延长线于点Q，∵∠PAP′=90°，∠P′AB=∠PP′A=45°，∴∠PAQ=45°，∴△PAQ为等腰直角三角形，∵AP=2，由勾股定理可得：
∴AQ=PQ=，在△PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，即，∴PB2=，∵△PBM为等腰直角三角形，此时△PBM的面积=×=.【点睛】
本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、平行四边形的性质和判定等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线．
【变式6-2】如图，矩形中，点是对角线上一动点（不与重合），连接，过点作，交射线于点，以线段为邻边作矩形，过点作。分别交于点。
（1）求证：的值；
（2）求的值；
（3）求矩形的面积的最小值。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【解析】
【分析】
(1)根据矩形的性质和同角的余角相等证明，从而求证三角形相似；（2）设，由相似三角形对应边成比例列出比例式，从而求解；（3）当时，矩形面积最小，从而求解.【详解】
（1）
∵过点作且矩形中，AB∥DC
又∵过点作
∴
∴，∴；
（2）设，则，∵矩形中，AB∥DC
∴△APG∽△CPH
即∴，即
∴
∵
∴；
（3）如图∵，∴当时，矩形面积最小，此时，此时点与点重合，所以最小面积为
【点睛】
本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理,解题的关键是学会利用相似三角形的判定和性质列出相应的比例式从而解决问题．
【变式6-2】已知：在四边形中，，．
（）求四边形的面积．
（）点是线段上的动点，连接、，求周长的最小值及此时的长．
（）点是线段上的动点，、为边上的点，连接、，分别交、于点、，记和重叠部分的面积为，求的最值．
【答案】（）．（）．3．（）．
【解析】
试题分析：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四边形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，连接CG交AD于P，则BC+PB+PC=BC+PG+PC即为△BCP周长的最小值，根据勾股定理得到，于是得到△BCP周长的最小值为：4+12；根据三角形中位线的性质得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到结论．
（3）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图所示，设，则．因为，所以∽，得；同理可得∽，∽，得：，所以，进而求得答案.试题解析：（）如图1，过作于，于．
则四边形是矩形．
∴，．
∴．
∴．
（）如图2，作点关于直线的对称点，连接交于，则．
即为的最小周长．
由（）知．
在中，．
∴的．
∵，∴．
∵，∴．
（）过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，过点作的垂线分别交、于、点，如图3所示，设，则．
因为，所以∽，所以，又，所以；
同理可得∽，∽，所以，求得：，其中，所以，即
．
因此当时，有最大值；当或时，有最小值了．
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【分析】
当△PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可以知道P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【详解】
解：作中垂线交抛物线于，（在左侧），交轴于点;连接P1D,P2D．
易得
．
∴，．
将代入中得，．
∴，．
∴，．
故选B．
2．如图，在菱形中，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，的度数是（）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】
在菱形ABCD中，根据菱形的性质得到
∠ABD=∠ABC=40°，再分三种情况讨论，当AE=BE时，当AB=BE时，当时，从而根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，，，∵△ABE是等腰三角形，∴AE=BE，或AB=BE，或，当AE=BE时，∴∠ABE=∠BAE=40°，∴；
当AB=BE时，∴∠BAE=∠AEB=，∴∠DAE=，当时，与重合，不合题意舍去，综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE=30°或60°，故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论是解题的关键．
3．已知等腰中，，底角为，动点从点向点运动，当是直角三角形是长为（）
A．4
B．2或3
C．3或4
D．3
【答案】C
【分析】
先画出符合的两种情况，图1中，根据等腰三角形的性质求出BP即可；图2中先求出BP＝2PA，再根据勾股定理求出即可．
【详解】
当∠APB＝90时，如图1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BP＝CP＝BC＝3；
∵∠B＝30，∴AB＝2AP，由勾股定理得：（2AP）2＝AP2＋32，解得：AP＝，AB＝2AP＝2，当∠BAP＝90，如图2，∵∠B＝30，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2＋AP2＝BP2，（2）2＋AP2＝（2AP）2，解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；
所以BP＝3或4，故选：C．
【点睛】
本题考查了含30角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，能熟练地运用含30角的直角三角形的性质进行推理是解此题的关键．
4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，点是线段上一动点(不与，重合)，过点分别作轴和轴的垂线，交反比例函数图象于，则四边形面积PMON最大值是（）
A．12.5
B．12.25
C．14
D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
设反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法求出反比例与一次函数的解析式，再利用分割图形求面积法找出S四边形PMON关于m的函数关系式，利用配方法解决最值问题．
【详解】
解：设反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=ax+b，将点A（1，12）代入y=中，得k=12，∴反比例函数解析式为y=，将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，得，解得
∴一次函数解析式为y=-2x+14．
设点P的坐标为（m，14-2m），则S四边形PMON=S矩形OCPD-S△OCM-S△ODN=S矩形OCPD-|k|=m（14-2m）-12=-2m2+14m-12=-2(m-)2+12.5.∴四边形PMON面积的最大值是12.5．
故选A．
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S四边形PMON关于m的函数关系式．本题难度不大，利用分割图形求面积法是解题关键．
5．如图，在Rt△中，90°，，为边上的一动点，以，为边构造平行四边形，则对角线的最小值为（）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质可得，当PQ⊥AC时，对角线的值最小，且的最小值为BC的长度，问题得解．
【详解】
解：如图所示，作平行四边形，则QB∥AC，∴当PQ⊥AC时，对角线的值最小，∵BC⊥AC，∴的最小值为6，故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，准确作出图形是解题的关键．
6．如图，中，，动点从点出发沿射线以2的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为（）
A．或
B．或12或4
C．或或12
D．或12或4
【答案】C
【分析】
根据勾股定理求出BC,当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP时,分别求出BP的长度,继而可求得t值.【详解】
因为中，，所以(cm)
①当AB=BP时,t=（s）;
②当AB=AP时,因为AC⊥BC,所以BP=2BC=24cm,所以t=(s);
③当BP=AP时,AP=BP=2tcm,CP=(12-2t)cm,AC=5cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,所以(2t)2=52+(12-2t)2,解得:t=
综_上所述:当△ABP为等腰三角形时,或或12
故选:C
【点睛】
考核知识点:等腰三角形,勾股定理.根据题画出图形,再利用勾股定理解决问题是关键.7．如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】
作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，求出∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，证△BFP≌△NEP，推出BP=NP，即可得出答案．
【详解】
解：如图，作EN⊥y轴于N，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO，在△ABO和△BEN中，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴OB=NE=BF，∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，在△BFP和△NEP中，∴△BFP≌△NEP（AAS），∴BP=NP，又∵点A的坐标为（8，0），∴OA=BN=8，∴BP=NP=4．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
8．如图，已知
两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当⊿面积取得最小值时，的值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
【详解】
如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD=CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO=，∴，∴OE=，∴AE=，作EH⊥AB于H．
∵S△ABE=•AB•EH=S△AOB-S△AOE，∴EH=，∴，∴，故选B.【点睛】
本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.9．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1
B．1或3
C．1或7
D．3或7
【答案】C
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
10．如图，在直角梯形中，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数．
【详解】
解：如图示：，．，．
设的长为，则长为．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，即，解得：
②若，则，即，解得：或6．
满足条件的点的个数是3个，故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟悉相关性质，并进行分类讨论是解题的关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
试题解析：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．
如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．
故选D．
12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】
以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x轴有一交点．共4个点符合，二、填空题
13．如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为____________.【答案】（2，-1）、、【详解】
解：由勾股定理得：AC=，∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴AB=，BC=，分为三种情况：
①如图1，延长AC到P，使AC=CP，连接BP，过P作PM⊥x轴于M，此时PM=OA=1，CM=OC=1，OM=1+1=2，即P的坐标是（2，﹣1）；
②如图2，过B作BP⊥BC，且BP=AC=，此时PC=AB=．过P作PM⊥x轴于M，此时∠PCM=15°，在x轴上取一点N，使∠PNM=30°，即CN=PN，设PM=x，则CN=PN=2x，MN=x，在Rt△CPM中，由勾股定理得：（）2=（2x+x）2+x2，x=，即PM=，MC=2x+x=，OM=1+=，即P的坐标是（，）；
③如图3，过B作BP⊥BC，且BP=AC=，过P作PM⊥x轴于M，此时∠PCM=30°+45°=75°，∠CPM=15°，和③解法类似求出CM=，PM=2x+x=，OM=1+=，即P的坐标是（，）．
故答案为（2，﹣1）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点的应用，注意要进行分类讨论，题目比较好，但是有一定的难度．
14．如图，在中，，动点以的速度，从点运动到点，动点同时以的速度，从点运动到点，当为直角三角形时，点运动的时间为__________.【答案】或2
【分析】
根据勾股定理求出AB，分∠AMN＝90°、∠ANM＝90°两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则AB＝＝＝5cm，设点M的运动时间为t秒，由题意得，CM＝t，AN＝，则AM＝4−t，当∠AMN＝90°时，∠AMN＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AMN∽△ACB，∴，即，解得：t＝2，当∠ANM＝90°时，∠ANM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ANM∽△ACB，∴，即，解得：t＝，综上所述：当△AMN为直角三角形时，点M的运动秒数为2或，故答案为：或2.【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，当长为________________为直角三角形．
【答案】3或2或．
【分析】
作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】
解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，当△ABC为直角三角形时，即
解得，CD=3，如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得，由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
16．如图，正方形的面积为16，为的中点，为对角线上的一个动点，连接、，则线段的最小值是______．
【答案】
【分析】
连接CF，当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，∴A关于BD的对称点为C，则AF=CF，∴线段的最小值为线段的最小值，∴当点E，F，C在同一直线上时，AF+FE的最小值为CE长，∵正方形ABCD的面积为16，∴AD=CD=4，∵E为AD中点，∴DE=2，∴在Rt△CED中，则线段的最小值是，故答案为：.【点睛】
本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质作得出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
17．如图，中，，点是线段上的一个动点，连接，当是_________度时，是等腰三角形．
【答案】50或65
【分析】
根据等腰三角形的特点分类讨论即可求解．
【详解】
∵是等腰三角形，①是底角时，则=；
②是顶角时，则=；
故答案为：50或65．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．
18．如图，，垂足分别为，，点为边上一动点，当_______时，形成的与全等．
【答案】2
【分析】
当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=6可得CP=4，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．
【详解】
解：当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC=6，BP=2，∴PC=4，∴AB=CP，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．
19．如图，在中，，面积为10，的垂直平分线分别交，于点。若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______。
【答案】7
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=10，解得AD=5，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短=（CP+PD）+CD=AD+BC=6+×4=5+2=7．
故答案为：7
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
20．如图，在中，，点为内一动点．过点作于点，交于点．若为等腰三角形，且，则的长为__________．
【答案】1或
【分析】
分以下三种情况：①若BP=CP，过点P作PF⊥BC于点F，有DP=CF=BC；②若BP=BC，过点P作PF⊥BC于点F，则在Rt△BPF中先求出BF的长，从而根据DP=CF可得出DP的长；③若BC=CP，由勾股定理以及相似三角形的判定与性质分别求出DP，DE的长，此时DP＞DE，此种情况不存在．综上可得出结果．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，PD⊥AC，∴DE∥BC．
∴，又BC=5，∴CD=3．
分以下三种情况：
①若BP=CP，如图1，过点P作PF⊥BC于F，则四边形CDPF为矩形，∴DP=CF，又CP=BP，PF⊥BC，∴CF=BF=BC=，∴DP=CF=；
②若BP=BC=5，如图2，过点P作PF⊥BC于F，则四边形CDPF为矩形，∴PF=CD=3，在Rt△BPF中，由勾股定理可得BF=4，∴CF=BC-BF=1，∴DP=1；
③若BC=CP=5，如图3，则在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP=4，又DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴DE=，此时DP＞DE，不符合题意．
综上所述，PD的长为1或．
故答案为：1或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行线的判定等知识点，解题的关键是综合运用相关性质进行推理并运用分类讨论思想．
21．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度运动．若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm，经过_____秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
【答案】
【解析】
【分析】
根据t的值讨论M、N的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】
如图，在直角△ABE中，AE==5cm．
设运动的时间是t秒．
当0＜t＜2时，M在CD上，N在DA上，若平行四边形是AEMN，则AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；
当t=2时，M在C点，DN=4cm，此时，AN≠EC，则不能构成平行四边形；
当2＜t＜4.5时，M在BC上，则EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，当9-2t=8-t时，解得：t=1（舍去），当4.5＜t＜6时，M在BC上，则EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，当2t-9=8-t时，解得：t=，此时四边形AMEN是平行四边形；
当6＜t＜8时，M在AB上，N在AD上，不能构成平行四边形；
当t=8时，Q与A重合，不能构成平行四边形形．
综上所述：经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，正确对t的范围进行讨论是解决问题的关键．
22．如图，点、的坐标分别为、，的圆心坐标为，半径为1，若点为上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最小值为________．
【答案】
【分析】
连接，由与相切时，最短，可得的面积最小，由切线的性质可得，利用勾股定理可的长，由，可证明，根据相似三角形的性质可求出的长，即可得的长，利用三角形面积公式求出的面积即可.【详解】
连接，∵当与相切时，最短，∴的面积最小，∴，∵、、，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴的面积为：.故答案为
【点睛】
本题考查切线性质、相似三角形的判定与性质及三角形面积求法，能够正确判断出面积最小时与的位置关系是解题关键.三、解答题
23．如图，直线与轴和轴分别交于两点，另一条直线过点和点.(1)求直线的函数表达式;
(2)求证:
;
(3)若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，求点的坐标.【答案】(1)
;(2)
;
(3)
点的坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）在y=-x+4中，令y=0，则0=-x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）在直线ABy=-x+4中，得到k1=-，在直线ACy＝x−中，得到k2=，由于k1•k2=-1，即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．
【详解】
（1）在y=-x+4中，令y=0，则0=-x+4，∴x=3，∴A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：，解得：，∴直线AC对应的函数关系式为y＝x-.(2)
在直线ABy=-x+4中，∵k1=-，在直线ACy＝x−中，k2=，∴k1•k2=-1，∴AB⊥AC；
（3）在y=-x+4中，令x=0，则y=4，∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=OB=4，∴Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=AB=5，∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．
③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．
【点睛】
考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
24．已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．请分别解决下面四种情况：
（）如图，设点的运动时间为，那么__________时，是直角三角形；
（）如图，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？
（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？
（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于，连接．如果动点、都以的速度同时出发．请你猜想：在点、的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由．
【答案】(1)1.5；（2）当为或时，为直角三角形；（3）当为时，为等腰三角形；（4），理由详见解析.【解析】
试题分析：
（1）由△ABC是等边三角形可知，当△PBC为直角三角形时，CP⊥AB，则P为AB的中点，从而可得AP的长，就可求出t的值了；
（2）当△PBQ为直角三角形时，可能存在PQ⊥BC和PQ⊥AB这两种情形，故要分这两种情况讨论；在两个图形中，分别用含“t”的式子表达出PB、BQ的长，再由“在直角三角形中，30°的锐角所对直角边等于斜边的一半”，列出关于“t”的方程就可求得t的值了；
（3）当∠CDQ=∠CQD，即当CD=CQ时，△DCQ是等腰三角形，由∠CDQ+∠CQD=∠ACB=60°可得：∠CQD=30°，再由∠B=60°可得∠QPB=90°，从而可得：BP=BQ，用含“t”的式子表达出BP和BQ，列出含“t”的方程就可求出t的值了；
（4）作PF∥CQ，CE⊥PQ，由已知条件易得：△APF是等边三角形，AP=CQ，从而得到：PF=CQ，再由PF∥CQ可得角相等，从而证得△PFD≌△QCD，得到PD=QD，再由“等底等高的三角形面积相等”就可得.试题解析：
（）如图，∵△ABC是等边三角形，∴当P为AB中点时，CP⊥AB，此时△PBC是直角三角形，且AP=AB=1.5，∴；
（）①如图，当PQ⊥BC时，由已知可得：，．
∴
．
此时，，∴．
∴，即，∴．
②如图，当PQ⊥AB时，由已知可得：，．
此时，．
∴．
∴，即，∴．
综上，当为或时，为直角三角形．
（）
∵为等边三角形，∴，∴．
∵为等腰三角形，只能使．
∴
．
∴，∴，∴即，∴．
∴当为时，为等腰三角形．
（）．
证明：如图，过作，过作．
∵为等边三角形，∴，∴为等边三角形，∴．
∵，∴，∴在和中，∴≌，∴．
∵和的高均为，∴，∴．
25．如图，已知直线c和直线b相较于点，直线c过点平行于y轴的动直线a的解析式为，且动直线a分别交直线b、c于点D、在D的上方．
求直线b和直线c的解析式；
若P是y轴上一个动点，且满足是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1），（2）当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为或；当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为
【解析】
【分析】
设直线b的解析式为，设直线c的解析式为：，把点的坐标代入即可得到结论；
当时，；当时，得到E点坐标为，D点坐标为分三种情况：若，时，若，时，即DE为斜边，若，时，即DE为斜边，由已知得，列方程即可得到结论．
【详解】
设直线b的解析式为：，把代入得，直线b的解析式为：；
设直线c的解析式为：，把点，点代入得，，直线c的解析式为：；
当时，；当时，点坐标为，D点坐标为．
在D的上方，且，为等腰直角三角形，或或．
时，时，，点坐标为，若，时，点坐标为；
若，时，即DE为斜边，，DE的中点坐标为，点坐标为
若，和时，由已知得，不符合题意，舍去，此时直线不存在．
若，时，即DE为斜边，由已知得，，点坐标为
综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为或；
当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为；
当时，为等腰直角三角形，此时P点坐标为．
【点睛】
考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
26．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
（1）求经过三点的抛物线的函数表达式；
（2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3），，【分析】
（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）设，分当BC和Q1C作直角边时和当BC和Q2B作直角边时，两种情况讨论；
（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，∴
解得，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3；
（2）如图，根据题意，设
∴
当BC和Q1C作直角边时：
解得：y=4
∴
当BC和Q2B作直角边时：
解得：y=-2
∴
综上所述：点Q的坐标为或；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，∵以、、、为顶点的四边形是正方形，∴，即，当时，整理得，解得；
当时，整理得，解得；
∴当以、、、为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为，，．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
27．如图，在矩形中，动点分别同时从两点出发，动点以的速度沿向终点作匀速往返运动，动点以的速度沿向终点匀速运动，设两动点的运动时间是．
（1）试用含有的代数式表示．
（2）当自返回(包括端点）的过程中，当为等腰三角形时，求的值．
（3）连接，设交于，当时，求的值．
【答案】（1）
；（2）t的值为或；（3）t的值为或
【分析】
（1）分当P在和两种情况讨论；
（2）分当P与C点重合和P在返回的过程中两种情况讨论，运用等腰三角形“三线合一”的性质求解即可；
（2）分当P在和两种情况讨论，运用全等三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）∵，∴当P在时，即，则，当P在时，即，则；
综上，；
（2）当重合时，此时为中点，∵AQ=DQ==4.5=DC，∴为等腰三角形，∴；
在P在返回的过程中()，∵DQ=4.5=DC，∴不存在PD=DQ、PQ=DQ的情况，当PD=PQ时，如图：作PH⊥AD于H，∴四边形CDHP为矩形，∴QH=DH=PC，∵PC=，DQ=，∴，解得：；
综上，当P自C返回B(包括端点BC）的过程中，当为等腰三角形时，t的值为或；
（3）当P在时，即，如图①，此时PC，AQ，∵，∴AQPC，即，解得：；
当P在时，即，如图②，此时CP，AQ，∴AQPC，即，解得：；
综上，t的值为或；
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定和性质、全等三角形的性质，等腰三角形的性质，根据题意画出符合题意的图形并分类讨论是解题的关键．
28．如图，直线与轴相交于点A，与轴相交于点B．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)若点P是轴上的一个动点，且△PAB是等腰三角形，则P点的坐标为___________.【答案】（1）A（2,0），B（4,0）；（2）面积为4；（3）（，0），（，0），（-2,0），（-4,0）
【解析】
【分析】
（1）把x=0，y=0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点A、B的坐标；
（2）根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论即可求得．
【详解】
（1）∵当y=0时，x=2；当x=0时，y=4，∴A（2，0），B（0，4）；
（2）S△AOB=×2×4=4；
（3）∵A（2，0），B（0，4）．
∴AB=，当AB为腰长时，P的坐标为（，0），（，0）或（-2，0），当AB为底时，则AP=BP，设P（x，0）
则AP=2-x，故在Rt△BOP中，BO
2+OP2=BP
2，即42+x2=（2-x）2，解得：x=-3，故P点坐标为（-3，0）．
故P的坐标为：（-3，0）或（-2，0）或（，0）或（，0）；
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，两边相等的三角形是等腰三角形，以及坐标与图形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过三点．已知点，点的坐标分别为和，且点为线段上的动点（点不与点重合），以为顶点作射线交线段于点．
（1）则抛物线的解析式为_
_；
（2）若为等腰三角形．
①求此时点的坐标；
②若点为第二象限内抛物线上一动点，当点运动到某个位置时的面积最大，求其最大值．
【答案】（1）；（2）①点E坐标为或；②当时，的面积最大，最大值为
【分析】
（1）把点A、B的坐标和代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①分三种情况讨论：当时，当时，当时解答即可；
②连接，过作轴交直线于，过作轴于点，先求出AD的解析式，再设出P的坐标，用含t的式子表示出PQ,再表示出的面积，求解即可．
【详解】
解：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式的，解得
所以抛物线的解析式为
（2），当为等腰三角形时，分三种情况讨论
当时，在中，．
又
则此时点与点重合，不符合题意，此种情况不成立．
如图1，当时，．
在中，又，．
．
如图2，当时，过点作轴于点
在和中，在中，．
当为等腰三角形时，点坐标为或
如图3，连接，过作轴交直线于，过作轴于点，由
直线的解析式为
设（其中），则，为第二象限抛物线上的点，由知点坐标为或
当为时，；
当为时，此时的面积最大，当时，的面积最大，最大值为．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形、全等三角形判定与性质等重要的知识点，难度较大，注意分类讨论思想的应用，注意不要漏解；．
30．已知点的坐标为，与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．
（1）求、、的值；
（2）如图1，点在轴上，若四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，动点在双曲线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点、的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）、坐标分别为、；、或、、【分析】
(1)
过点作轴于，再证，即可求出、、的值；
(2)
设得到，即可求出点的坐标；
(3)由反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q(0,y)，P(x,)，再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
【详解】
解：（1）过点作轴于
∵为的中点，∴DE=AE,又∵∠PED=∠OEA,∠DPE=∠AOE,∴
∴
∴
∴即
∴
（2）∵四边形是平行四边形.∴
∵
在轴上
∴设
则
∴
（3）∵反比例函数的表达式为，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q(0,y)，P(x,);
①AB为边时，如图①所示．若四边形ABPQ平行四边形，则=0，解得x=1，此时P1(1,4)，Q1(0,6)；
如图②所示．
若四边形ABQP是平行四边形，则x=−1.此时P2(−1,−4)，Q2(0,−6);
②当AB为对角线时，如图③所示，AP=BQ，且AP//BQ，所以x=−1，所以P3(−1,−4)，Q3(0,2)，故满足要求的点P，Q的坐标分别是、；、或、、．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
31．如图（1），为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点．
（1）求点的坐标和反比例函数解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）在（2）中的条件下，如图（2），点为直线上的一个动点，点为双曲线上的一个动点，是否在这样的点、点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）点；（3）存在，点，或，或，．
【分析】
（1）根据，可知点的坐标，代入解析式求解；
（2）过点作于，设，由平行四边形的性质可得，，由锐角三角函数可求用表示的点坐标，代入解析式可求的值，即可求点坐标；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】
（1）如图1，过点作于点，，，根据题意得：，可得，反比例函数的解析式为，（2）如图2，过点作于，设，四边形是平行四边形，，，，，点
反比例函数在第一象限内的图象经过点，（不合题意舍去），点，点，（3）点，点
直线解析式为：
若以为边，则，设解析式为：，直线解析式为：，解得：，设点，，或
点，或，若以为对角线，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，互相平分
设点，的中点为，的中点为，【点睛】
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，锐角函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
32．如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
（3）点G是抛物线上的动点，点F在x轴上的动点，若以A，C，F，G四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点F坐标（直接写出结果）．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）QD最大值为；（3）（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．
【分析】
（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，然后表示出DQ，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）设点，再分情况根据平行四边形的性质求出所有满足条件的点F坐标即可．
【详解】
将点，点代入得
解得
∴抛物线的函数表达式为
（2）设直线AC的解析式为
则
解得
∴直线AC的解析式为，∴当时，线段DQ长度的最大值为
（3）设点，①如图，∵，点，点
∴
解得
∴
∴
∴
②如图，∵，点，点
∴
解得
∴
∴
∴
③如图，∵平行四边形对角线互相平分
∴点C和点G的纵坐标之和为0
∵点
∴
解得
当时，对角线交点坐标为
∴
④如图，根据③可得
当时，对角线交点坐标为
∴
故所有满足条件的点F的坐标为（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质、平行四边形的性质是解题的关键．
33．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、，与轴交于点，抛物线顶点为，直线交轴于点．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）若点是位于直线下方抛物线上的一动点，以、为相邻的两边作平行四边形，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边形的面积及点的坐标；
（3）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）平行四边形PBFD的面积S为2，P（2，-3）；（3）存在．点G的坐标为．
【分析】
（1）先设抛物线的顶点式，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）根据题意，先求出BD的解析式，当PF的值最大时，面积取到最大值，即可得到答案；
（3）先证明，设点G的坐标为，利用三角函数值，求出t的值，即可得到点G的坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线为
把A（1，0），C（0，3）代入得
得：，即；
（2）设直线BD为y＝kx+b，如图，过点P作PF⊥x轴交直线BD于F，将点（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，解得，k＝2，b＝6，∴BD解析式为y＝2x-6，设点P（a，a2-2a-3），则F（a，2a-6），则PF＝2a-6-（a2-2a-3）
＝-a2+4a-3
当a＝2时，PF有最大长度1，∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF
＝PF•2=1
∴以PB、PD为相邻的两边作平行四边形PBFD，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，∴P（2，-3）；
（3）存在．如图2，由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，BC=，CD=，BD=，∵，即，∴，∴，∵点G在线段BD上，所以设点G的坐标为，过点G作GH⊥y轴于点H，当tan∠GCH=3时，∠BDC=∠GCE，解得：
∴，∴点G的坐标为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，也考查了三角函数，勾股定理的逆定理，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．
34．已知抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,与轴交于C点,其对称轴为=1,且A（-1,0）､C（0,2）.（1）直接写出该抛物线的解析式;
（2）P是对称轴上一点,△PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标;
（3）设对称轴与轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点C､H重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交轴于点E.连接PD､PE.若CD的长为,△PDE的面积为S,求S与之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)
=-++2;(2)
P（1,）;(3)见解析.【分析】
（1）由已知条件易得点B的坐标为（3，0），这样结合点A、C的坐标即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可知，AC长度是固定值，点A和点B关于直线x=1对称，由此可得连接BC交直线x=1于点P，此时△PAC的周长最小，求得直线BC的解析式，即可求得此时点P的坐标；
（3）如图2，画出符合题意的图形，过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可将CF、OF和FD用含m的代数式表达出来，从而可表达出点D和点N的坐标，再用待定系数法求得用含m的代数式表达的DE的解析式，即可表达出点E的坐标和点Q的坐标，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S与m间的函数关系式，将所得解析式化简、配方即可得到所求答案.【详解】
解：（1）∵抛物线=（≠0）与轴交于A､B两点,其对称轴为=1,且A（-1,0），∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线解析式为：，∵抛物线和y轴交于点C（0，2），∴，解得：，∴，即；
（2）△PAC的周长有最小值，连结AC､BC，∵AC的长度一定,∴要使△PAC的周长最小,就是使PA+PC最小.∵点A关于对称轴=1的对称点是B点,∴BC与对称轴的交点即为所求的点P（如图2）,设直线BC的表达为:=,则有,解得,∴:=-+2,把=1代入,得=,即点P的坐标为P（1,）,∴△PAC的周长取得最小值,取得最小值时点P的坐标为P（1,）；
（3）如图2，设DE对称轴x=1于点Q,在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.过点D作DF⊥轴于点F，交对称轴=1于点N，∵Rt△CDF∽Rt△CHO，∴，∴CF===，OF=CO-CF=2-；
同样：，FD===，∴点D的坐标为D（,2-），∴N（1，2-）.∵DE∥BC，∴可设（过点D､E的直线）:=-+，把D点坐标代入其中，得-
+=2-，解得=2-，∴：=-+2-，点E的纵坐标为0，代入其中，解得=3-，∴E（3-，0）.∵点Q在对称轴=1上，把=1代入中，解得=-，∴Q（1,-）.PQ=-（-）=,DN=1-，EH=3--1=2-.S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH
=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,化简得S=-+,可知S是关于的二次函数.S存在最大值.配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值为,取得最大值时的值为:=.点睛：本题是一道二次函数与几何图形的综合题，第1和第2小题比较简单；第3小题难点较大，画出符合题意的图形，作出如图所示的辅助线，借助于△CDF∽△CHO，利用相似三角形的性结合题中的已知条件，把点D、E、Q的坐标用含m的代数式表达出来是解决第3小题的关键.35．如图，抛物线与直线交于、两点，过作轴交抛物线于点，直线交轴于点．
求、、三点的坐标；
若点是线段上的一个动点，过作轴交抛物线于点，连接、，当时，求的值；
如图，连接，及，设点是的中点，点是线段上任意一点，将沿边翻折得到，求当为何值时，与重叠部分的面积是面积的．
【答案】（1）点坐标，点坐标，点坐标；（2）；（3）当或 时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【解析】
【分析】
（1）列方程组可知A、B两点坐标，根据点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，列方程可求得点C坐标．
（2）如图1中，设，则，根据
列出方程求出点H的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题．
（3）分两种情形①若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG．如图2，可证四边形PFCG是平行四边形，得，在Rt△PBO中，根据，即可解决问题．②若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG．如图3，可证四边形PFGC是平行四边形，得即可解决问题．
【详解】
解：由解得或，∴点坐标，点坐标，∵轴，∴点纵坐标为，由，解得或，∴点坐标．
如图中，设，则，由题意，解得或（舍弃），∴．
∵，∴，，∵，∴．
①若翻折后，点在直线下方时，连接．如图，∵，∴，∴．，∴四边形是平行四边形，∴，在中，∴．
②若翻折后，点在直线上方时，连接．如图，∵，∴，∴．，∴四边形是平行四边形，∴，综上所述:当或时，与重叠部分的面积是面积的 ．
【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止，设运动时间为，过点作轴的垂线，交直线于点,交抛物线于点．连接，是线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，当为何值时，面积有最大值，最大值是多少？
（3）当为何值时，点落在抛物线上．
【答案】（1）；（2）当时，面积的最大值为16；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据点P的坐标表示出Q,D的坐标，进一步表示出QD的长度，从而利用面积公式表示出的面积，最后利用二次函数的性质求最大值即可；
（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，首先证明≌，得到，然后得到点N的坐标，将点N的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范围．
【详解】
（1）∵抛物线过点，∴解得
所以抛物线的解析式为：；
（2）设直线AB的解析式为，将代入解析式中得,解得
∴直线AB解析式为
．
∵，∴，∴，∴当时，面积的最大值为16；
（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，．
在和中，∴≌，∴．
∵，．
当点落在抛物线上时，.∴,，∴
．
【点睛】
篇3：中考数学综合题专题
一、加强实验基本技能的训练
初中化学实验基本技能主要包括使用仪器的技能和基本操作技能两方面。复习的要求是: (1) 能叫出常见仪器的名称, 初步学会它们的使用范围和操作要求。 (2) 能熟练进行药品的取用、加热、玻璃仪器的洗涤、仪器装置气密性检查、气体收集、过滤、蒸发、溶液配制等基本操作, 懂得操作的原理。 (3) 初步学会用实验方法鉴别O2、H2、CO2, 盐酸与硫酸、碳酸盐;初步学会用指示剂鉴别酸溶液和碱溶液。 (4) 初步学会观察和记录实验现象, 能根据实验现象分析得出初步结论, 会填写实验报告。复习时, 首先应认真阅读教材相关内容, 在此基础上采取如下方法。
1.逐一认识常见仪器的名称、图形, 掌握它们的用途及操作原理。
2.对基本操作技能要掌握使用方法、注意事项, 对操作中需要使用的仪器做到心中有数, 至少进行一轮基本操作训练。
3.在临考前观看有关基本技能操作录像, 进行再巩固。
二、全面掌握基本实验
初中化学基本实验包括演示实验和学生实验两个方面, 即分散在教材各章节中的性质验证性实验和概念、定律形成性实验。掌握这些实验不仅可以帮助学生掌握初中化学中最基本的知识, 而且在进行一系列实验过程中, 还可以培养其动手实验能力、观察能力和创新能力。复习时, 我采取以下方法。
1.分章节按教材复习, 对各基本实验逐一进行阅读, 弄清实验目的、实验原理、实验用品 (名称) 、实验装置 (图) 、操作步骤及注意事项。做到有所发现, 有所收获。
2.通过回忆当时的实验情景和根据自己对有关实验的认识, 对每一个实验的操作要点进行简单的总结概括。如:实验室制取氧气的操作要点可概括为“查、装、定、点、收、离、熄”。
3.在复习后期, 要对有关的基本实验加以简单组合, 进行简单的综合实验, 在组合时, 要明确各装置间连接方式、从实验开始到实验结束时的注意事项等。例如, 将实验室制取氢气和氢气还原氧化铜的实验组合在一起, 就可实现用锌粒、稀硫酸、氧化铜为原料来制取金属铜的综合性实验。
4.对具有代表性的学生实验, 最好再写一次实验报告, 特别要注意实验报告中对问题的讨论与解答。
三、注重综合实验设计能力的培养与训练
所谓综合实验设计能力, 就是指对实验仪器的应用能力、实验原理的迁移能力和实验方案的选择能力等。
1.以教材为本, 培养和训练实验原理的迁移能力。
有这样一道实验题:FeS是一种黑色块状难溶性固体, 实验室常用它与稀盐酸反应制取H2S气体, 请选择一种制备H2S气体的实验装置。这是一道信息给予题, 需要迁移课本中有关实验原理才能求解。显然, 通过迁移实验室制备CO2的实验原理可知, 用制取CO2的装置产生H2S气体, 用向上排空气所法收集H2S气体。中考化学实验题不可能照搬课本中的实验题, 也不会直接考查演示实验或学生实验, 都需要迁移课本中实验原理来加以解答。因此, 在实验复习中, 必须以教材为主, 努力做到以下几点。
(1) 认真复习好实验原理迁移的信息源:化学实验基本操作、演示实验、学生实验等。
(2) 多进行实验原理迁移的尝试, 有选择地做一些实验题, 通过做题学会迁移方法, 积累迁移经验。
2.培养和训练实验选择能力
中考试题考查化学实验选择能力, 主要包括实验的选择能力和实验用品的选择能力两种。 (1) 实验方案的选择, 主要是要求同学们在比较题给实验方案后, 选择最佳实验方案, 包括操作步骤是否简单、反应原理是否正确、实验现象是否明显、实验操作顺序是否正确等。 (2) 实验用品选择, 主要考查能否正确选择使用实验仪器和实验药品。在复习时, 可采用如下方法: (1) 复习到位。无论是实验基本技能, 还是学生实验、演示实验, 从实验原理、实验步聚、实验仪器、药品使用到实验注意事项, 包括装置连接、气流方向等都要复习到位, 明确道理。 (2) 复习中要多思多想, 多问“为什么”。如用石灰石制取CO2气体, 为什么用稀盐酸而不用稀硫酸?用浓盐酸又有什么不好?这样做, 不仅能巩固知识, 而且能提高实验选择能力。 (3) 必须做一定量的以训练实验选择为目的的实验题, 通过训练, 发现自身存在的问题, 以达到查缺补漏的目的。
3.注意培养实验设计能力
(1) 明确化学实验设计的基本思路:a.审清题意, 明确实验要求;b.根据实验要求, 确定实验原理;c.结合实验原理选择需要的仪器与药品;d.写出实验操作步骤及注意事项;e.记录实验现象, 分析实验结果, 得出正确结论。
(2) 掌握实验设计的原则:原理正确、操作简便、现象明显、药品经济、安全可靠。
四、精心选择训练试题
习题训练是检验复习效果的一个重要手段, 所以精选试题尤为重要, 在这方面, 我以近几年来中考中的典型性习题为主。
学校实验室的废液缸中收集了学生在实验室制取CO2后残留的废液。小红同学想探究废液中溶质的成分, 请你一同参与探究并回答下列问题:
[提出问题]废液中的溶质是什么物质?
[提出猜想]小红认为废液中的液质只有CaCl2。你认为可能含有的溶质是%HCl% (填化学式) 。
[查阅资料]CaCl2溶液呈中性。
[实验与结论]1.小红取少量CaCl2溶液和废液分别加入到2支试管中, 并向其中分别滴加无色酚酞试液作对比实验, 结果两试管中溶液均无色, 于是小红认为自己的猜想是正确的。
2.你认为小红的实验%不能% (填“能”或“不能”) 证明她的猜想, 理由是酚酞遇盐酸也不变色, 故无法确定是否含HCl (答案合理均应给分) 。
3.如果要证明你的猜想是正确的, 你选择的试剂是紫色石蕊试液 (或碳酸盐, 或较活泼的金属) (答案合理均应给分) , 实验中可能看到的现象是溶液变红 (或产生气泡) (答案合理均应给分, 试剂与现象必须对应) 。
[拓展与应用]若实验证明你的猜想是正确的, 想要处理废液只得到CaCl2溶液, 应向废液中加入过量的%Ca%或%CaCO3, 反应完成后过滤。
这些精选试题对学生实验能力的考查是全方位的, 如:它涉及化学原理的迁移, 实验的选择设计, 等等。
篇4：中考数学综合题专题
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1.实数-2的绝对值是（）.
A.2B.12C.-12D.-2
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.
3.计算：32-8的结果是（）.
A.24B.26C.32D.22图1
4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinA的值为（）.
A.12B.22C.32D.1
5.下列命题是假命题的是（）.
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线相等的菱形是正方形图2
6.如图2，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠APB=60°，
则∠AOB的度数为（）.
A.60°B.90°C.120°D.150°
7.我市4月份前5天的最高气温如下（单位：℃）：27，30，24，30，
31，对这组数据，下列说法正确的是（）.
A.平均数为28B.众数为30C.中位数为24D.方差为5
8.已知反比例函数y=kxk<0的图象上两点Ax1，y1、Bx2，y2，且x1 A.y1·y2<0B.y1+y2<0C.y1-y2>0D.y1-y2<0 9.如图3，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线 BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）. A.60°B.45°C.30°D.15° 10.如图4，正方形ABCD的边CD与正方形CEFG的边CE重合，点O是EG的中点，∠CGE的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH，EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO∥BG，HO=12BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF.其中结论正确的个数是（）. A.1个B.2个C.3个D.4个 第二部分非选择题（共120分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.） 11.正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是. 12.代数式xx-2有意义时，x应满足的条件为. 13.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=. 14.在二次函数y=-2（x-3）2+1中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是. 15.若α，β是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为. 16.一个几何体的三视图如图5，根据图示的数据计算该几何体的全面积是.（结果保留π）. 三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.） 17.（本题满分9分）计算：x-32-1-x·3-x-2. 18.（本题满分9分）如图6，在ABCD中，BE=DF.求证：AE=CF. 19.（本题满分10分）如图7，AB为⊙O的直径，劣弧BC=BE，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D. 求证：（1）AC=AE；（2）AB2=AC·AD. 20.（本题满分10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图： （1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整； （2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率. 21.（本题满分12分）如图8，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数y=-8x的图象在第二象限内交于点B，过点B作BD⊥x轴于点D，OD=2.图8 （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是线段BD上一点，且△PBC的面积等于3，求点P的坐标. 22.（本题满分12分）为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成. （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元.请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少. 23.（本题满分12分）如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D. （1）动手操作：利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出⊙O与AB的另一个交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若AB=6，BD=23，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）. 24.（本题满分14分）如图10，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D，与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当四边形OBMC的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上
是否存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标.
25.（本题满分14分）如图11①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H.
（1）求证：CF=CH；
（2）如图11②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论.图11
参考答案
一、选择题：1-5：ACDAB，6-10：CBDBC.
二、填空题：11.6；12.x≥0且x≠2；13.5；14.x<3；152；16.3π.
三、解答题：
17.略.原式=-2x+4.
18.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD，所以∠ABD=∠CDB；因为BE=DF，所以△ABE≌△CDF，所以AE=CF.
19.证明：（1）因为BC=BE，所以AC=AE，所以AC=AE.
（2）连结CB.因为BC=BE，所以∠1=∠2；又因为AB是⊙O的直径，所以AB⊥CE；因为BD∥CE，所以AB⊥BD，所以∠ABD=90°；因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABD=∠ACB=90°，
所以△ACB∽△ABD，所以ACAB=ABAD，所以AB2=AC·AD.
20.解：（1）全校班级个数：4÷20%=20（个），只有2名留守儿童的班级个数：20-2-3-4-5-4=2（个），补全条形统计图（略）.
120×（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）=4（名），答：该校平均每班有4名留守儿童.
（2）因为只有2名留守儿童的班级有两个班，可设甲班和乙班，甲班的2名留守儿童为a1，a2，乙班的2名留守儿童为b1，b2，列表或画树状图，
所以P（所选两名留守儿童来自同一个班级）=13.
21.解：（1）OD=2，点B的横坐标是-2，当x=-2时，y=-8-2=4，所以点B坐标是B（-2，4）；
设直线AB的解析式是y=kx+b，图象过B（-2，4）、C（0，2），-2k+b=4，
b=2，解得k=-1，
b=2，所以直线AB的解析式为y=-x+2.
（2）因为OD=2，S△PBC=12PB·OD=3，所以PB=3，
所以PD=BD-PB=4-3=1，所以点P的坐标是P（-2，1）.
22.解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天，由题意得：1[]x[SX）]+1[]2x[SX）]=1[]10[SX）]，所以x=15，经检验：x=15是原方程的解，所以当x=15时，2x=30；答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天.
（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：45×15=675（万元）；方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：25×30=75（万元）；方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（45+25）×10=70（万元）.因为75>70>675，所以应该选择甲工程队承包该项工程.
23.解：（1）如下图，作⊙O，标出点E；23题图
篇5：中考数学综合题专题
【学习提要】
▲语言运用的总要求是简明、连贯、得体。
1．简明，就是表达意思要简洁明白。所谓简洁，就是语意不重复，没有冗余的信息，减少口头语和叹词；所谓明白，就是在文字简练的同时，意思一定要讲清楚，没有歧义。
要做到表达简明，必须删除多余信息，但必要信息是不可或缺的。其次，语意表达要明白，句子不能含有歧义。
2．连贯，就是指上下文文意的衔接和语句的排列要有条理，思维严密、有逻辑性。语言连贯，首先要有统一的话题和中心，先说什么，后说什么，主次要分明。从语言运用的角度看，要保持合理的句序，句与句之间要有适当的联系。要恰当运用过渡性语言，恰当使用修辞手法。
语言表达的连贯，可从表达形式或表达内容两大方面考虑。就表达内容而言，要注意语句的先后组合应合乎事理逻辑，还要注意文意的衔接和一致，话题的前后照应，以及总与分的照应。
3．得体，就是根据环境条件恰当地使用语言，使语言同语境协调一致。语境有内部语境和外部语境之分，内部语境包括不同文体的语言要求和文章中语言风格的一致性；外部语境指语言交际时的各种情景条件，包括场合、对象、目的等。
语言运用要得体，主要包括两个方面：①注意用语场合；②注意用语对象。场合大体分为：庄重场合、工作场合、日常场合、娱乐场合。对象主要是指讲话者与听话者双方的身份、年龄以及双方的关系等。此外，还要注意得体包含礼貌的要求。【典型题解】
例一（咸宁市2003年中考试题）
如果你住的宿舍楼门口总是被自行车堵塞，影响大家的通行，你打算写一条告示来解决这个问题，最简明得体的说法是：。解析：能提醒别人注意这一现象，并做到礼貌即可。（答案：您愿意自己的家门口被自行车堵住吗？）
例二（北京市2003年中考试题）排列语句顺序恰当的是（）。
①还有摇荡的水草 ②游人从桥上望去
③那鱼就在水草和石头间滑动 ④可以清晰地看到水下的鹅卵石
A． ②③④① B． ③①②④ C． ②③①④ D． ②④①③
解析：句子的排列一般是看语段内部的联系，一般应先通读，了解大致内容，然后找出第一句，一般是总说性质。排列时还可根据句中提示性的关键词判断。排完后还应通读，看是否连贯，本题应是②作总起，再引出④中看的内容，由①中“还有”作承接，最后说“水草”与“石头”间的“鱼”。（答案： D）例三（广州市2003年中考试题）下面的话得体的一项是（）。A．当同学向你请教问题时，你说：“有何见教？请说吧”。B．当朋友邀请你看球赛时，你说：“都快中考了，没空！” C．当老师到你家家访时，你说：“你是无事不登三宝殿啊！” D．当你骑车碰了一下别人的车时，你说：“对不起，没碰坏哪里吧？” 解析：本题考查说话应看对象。A项“见教”表示“对我指教”，与语意相反；B项态度生硬，极不礼貌；C项句子过于随意，不适宜用于老师。（答案：D）【考点训练】
1．下列句子中，语言最简洁，表意最明确的一项是（）。
A．王厂长是刚刚调来的，许多工人还不认识。
B．群众的眼睛是非常雪亮的，一切腐化堕落的行为都能看清。
C．少年时代的读书生活，恰似一幅流光溢彩的画页。
D．凡前往香山的各种型号的大小汽车，其单位和个人均需办理通行证。
2、将下面的长句改写成适合广播的一段话，要求由4句组成，每句一个要点，分句间意思要连贯。
原句：一座缩短了从淮南市到淮北市几百公里路程的淮河铁路公路两用大桥今 天在省委领导同志参加下举行了通车典礼。
改写后：。3．阅读下面的文字，用简洁的语言回答。
美国的莱特兄弟在大树下玩的时候，看到一轮明月挂在树梢，便产生了上树摘月亮的幻想。结果，不但没有摘到月亮，反而把衣服钩破了。
“如果有只大鸟，我们就能骑上它。飞到天空中去摘月亮了。”两个孩子想道。
从此，莱特兄弟俩废寝忘食，矢志以攻，终于在1903年根据鸟类和风筝的飞行原理，成功地制造出了人类历史上第一架用内燃机做动力的飞机。这个故事告诉我们：。
4．联想公司为了宣传自己的产品“联想电 脑”，为了塑造更美好的企业形象，打了一则广告：“人类失去联想，世界将会怎样？”请认真品味这则广告，回答下面问题。
（1）广告中“联想”一词，有哪两方面的含义？ ①
②
（2）请你谈谈这则广告妙在哪里。
答：。
5．江平同学从商店里买了一支圆珠笔。回家后，写了几个字就写不出来了。他立即去商店调换。请你为江平同学设计一段话，提出调换的理由和要求。（要求用语得体，语言简明、连贯，不超过50字）。答：。
6．调整语序，使文意连贯。
①它是生命的源泉，阳光
②失去了希望，生命就会枯萎
③黄金象征着财富
④人一切都可以没有
⑤人类最宝贵的是希望
⑥但却不是人类最宝贵的财富
⑦惟独不能失去希望 正确语序是：。7．调整下面句子的顺序。
①美国人哈涅尔一生研究“猿类的语言”，并且撰写了《猴子的语言》这本书。②哈涅尔不得不下这样的结论：同猿根本不能进行有联系的谈话，猿仅限于以同样方式重复某种叫声；③但是，在这唱和之间，交换了什么意见呢？没有。④如果推想这种叫声就是语言，那就是轻率的武断。⑤书中记载着猴子可能发出的各种声音，甚至记 录了他同猴子的“谈话”。⑥这就是：他模仿猴子发出几个声音，猴子也用同样的声音回答他。
正确顺序：。
8．美国科学家富兰克林说过这样一句名言：“空袋子难以直立。”请说出这句名言蕴藏的深刻道理。
道理：。
9．中国足球队在世界杯决赛小组赛上失利。假如请你发一条手机信息鼓励他们，你想说什么？（不超过15个字）信息：。
10．2003年10月，中国“神舟”5号载人飞船成功返回，中国人上天揽月已经梦圆在望。请你为这次飞行拟写一条宣传标语。标语：。
11．按要求准确转述下面说话的内容。李杰对王青说：“我母亲病了，明天上午我得陪她去医院。明天上午的球赛我不能参加了，请向班长说一声，让吴大伟替上我。好不好？” 第二天早晨，王青对班长说：。
12．有一家公司做的产品广告是：
“如果您觉得这个产品好，请告诉您的朋友；如果您觉得这个产品不好，请告诉我们。”读了以后让人感到这家公司似乎自信心不足，请你稍作调整，解决这个问题，字数不变。答：。
13．下列是几条粘贴于一些私家车后窗上的标语，你最喜欢哪条？说说理由。
①新车上路，内有杀手。②您着急，您先走。③人老车新，离我远点！④请别吻我！
⑤当您看到这行字时，您的车离我太近了。答：。
14．仿照示例，改写下列两句话，不同场合体现文明用语，使对方容易接受。
医生：“没什么，死不了!”
改写为：医生：“请放心，您的病没什么大碍，休息几天就好了!”
①售货员：“卖出的商品我没法给你退现金!”
改写为：。
②(办公室接听电话)工作人员：“他不在!” 改写为：。
15．前不久，某同学活动课跳沙坑扭了脚，两天没能上课，昨天，又有一同学下楼梯时跌了一跤，安全问题，直接影响我们正常学习生活，假如你是学校的安全检查员，请你写一条宣传安全重要性的标语。标语：。16．《水浒》写武松打虎之前，有这么一段话：“当日晌午时分，走得肚中饥饿，望见前面有一个酒店，挑着一面大旗在门前，上面写着五个大字：‘三碗不过岗。’” 从现代商品经济观点来看，“三碗不过岗”是绝妙的广告词。它究竟蕴含了酒店主人怎样的用心?请回答两点。① ② 17． “金子”，在不同人的眼里有着不同的含义。请在下面的横线上填写相应的内容。
守财奴说：金子是我的生命。化学家说：金子是一种贵重金属。
创业者说：金子是我们用双手创造出来的财富。
我说：
18．有一则寓言说，文学家、科学家、企业家和哲学家聚会。有人提议：每个人用一句话来描述和赞美世界。请根据他们的各自不同的职业，进行合理想象，补写出他们要说的那一句话。
文学家说：_________ ___________ 科学家说：_____________________ 企业家说：__ 哲学家说： 19．按要求答题。
已知：①备考前夕：某学校初三(2)班晚10点30下自习。
②班主任有令：每晚下自习后须自学一小时。求：考入重点高中 解：眼皮十分沉重
答：九年寒窗苦，苦海无边
这是一道特殊的数学题，你从中获得了哪些信息?(至少写出两条)，请给该学校提一条合理化的建议。
(1)信息：① ②_____________ ③___________________________(2)建议：____________。
20．依据下面的要求，运用数学证明的基本方式完成下面题目。已知：《食物从何处来》中关于异养、光合作用等知识。求证：环境保护不容忽视。
证明：因为①_____________ ②__________ 又因为③________________ 所以，环境保护不容忽视。
21．在下面文段的横线处填入恰当的内容使之与上下文句式协调，文意贯通。世界上最宝贵的东西是什么?政客说：“是至高无上的权力。”乞丐说：“色味俱佳的美食。”商人说：“___________________ __。”病人说：“______________ ___。”_____说：“__________________________。”„„看来，这个问题不会有统一的答案。我们只能说，一个人最重要、最喜欢的，就是最宝贵的。
22．你将踏入高中，到那时，学校里将贴满了标语。满怀信心的你走进新的校园，希望看到怎样的标语?请你为学校拟一条迎新标语。标语：。
23．仔细观察下面这幅招贴画，按要求答题。
①请简要说明画面的内容。（不超过30字）
②说说这幅画给我们的启示。（不超过30字）
24．随着时代的发展，一些新生的词汇进入了我们的生活，例如：在网上常见的“美眉”（漂亮女孩）、“菜鸟”（新手）；由外来语演变的“酷”（cool）、“秀”（show）等等，你怎么看？随便说说。（30字左右）看法：
25．公元975年北宋军围金陵，当时南唐后主李煜派徐铉诱降，自愿去国号帝位，改称藩王以自保，宋太宗赵远义拍案说；“卧榻之侧，岂容他人鼾睡!” 宋太宗的言外之意是： 参 考 答 案
1．C（A项“许多工人还不认识”有歧义。B项“雪亮”已有“非常亮”之意，D项“各种型号”与“大小”重复）
2．①淮河大桥今天举行通车典礼。②这是一座铁路公路两用大桥。③它的落成使淮南市到淮北市的路程缩短了几百公里。④省委领导同志参加了这个典礼。
3．答案只要与“善于思考敢想敢做”相关即可。如：科学发明源自大胆想像。
4、（1）①联想电脑②联想这种思维活动
（2）该广告一语双关。它既指人类的发展离不开联想，也暗指大家的生活里不能没有“联想集团”的产品。
5、同志，您好，我刚刚在这儿买了一支圆珠笔，可才写了几个字就写不出来了，能不能麻烦您给我换一支？谢谢您了。
6、（3）（6）（5）（l）（4）（7）（2）（此题注意句子内部的逻辑顺序。）
7、①⑤⑥③②④（①句是话题的开端。⑤句由“书中记载”开头，应是紧随其后。⑥句是解释“谈话”的内容，再由③句提出质疑，②句是此次实验的结论。④句直接否定“语言”说。）
8、（意对即可）可说：“一个人要自强自立，须有丰富的知识。”
9、“重要的是下一次。”或“我们永远支持你们。”（重在应达到“鼓励”效果）
10、中国人也能上天揽月
11、李杰说他母亲病了，今天上午要陪他母亲去医院。上午的球赛他不能参加了，要我跟你讲一下，请你叫吴大伟替他上。
12、如果您觉得这个产品好，请告诉我们；如果您觉得这个产品不好，请告诉您的朋友。
13、应说出喜欢的合适理由。参考如下：①暗示自己是新手，驾驶技术尚不熟练，开车有较大的危险性，提示后面司机注意避让。②用语较礼貌，从别人的角度考虑，反而会使后面的司机耐心等待，避险开车。③句式整齐、押韵，暗示对方保持安全车距，规避危险。④语言俏皮，暗含保持安全车距，规避风险之意。⑤用语含蓄，暗示对方应保持安全车距。
14、①“对不起，您想退、现金我个人难以解决，待我和经理商量一下，请稍等!” ②“对不起，他刚走开，需要我转告吗?”
15、略
16、①宣传酒的醇厚浓烈，吸引食客。②既劝诫常人不要贪杯，又刺激有海量者多饮。③借猛虎之威，劝客人留宿。(只要答其中两点即可)
17、是金子总是要发光的。(符合题意即可)
18、(文学家说：)“这世界真是大美了。”(科学家说：)“这世界有探索不完的奥秘。”、(企业家说：)“这个世界充满着商机。”(哲学家说：)“这个世界是一个最大的思想者，有着许许多多的‘?’和‘!’”。
19、信息如：某学校用“时间+汗水”方法进行中考备考：这种方法大大摧残了孩子的身心健康：学生不堪重负，而又无可奈何；学生睡眠不足可能导致学习效率低下等。建议如：应推行素质教育，寻找提高教学质量的有效途径；请多给孩子一些睡眠时间，保证孩子身心健康；请减轻学生负担等。20、①叶绿体吸收大阳光能，把二氧化碳和水合成为有机物质并放出氧气。②人属于异养型，归根到底要靠光合作用来合成食物。③自然植被、种植条件及其他环境日益受到破坏，“绿色世界”的光合作用也受到“冲击”。
21、（商人）源源不断的利润；（病人）健康强壮的体魄；（画家）绚烂丰富的色彩；（国脚）激动人心的进球；（我）超越时空的友谊。（符合人物的身份即可。）
22、略
23、①招贴画题为“绿色家园”，一片大树
叶中有一个地球，整个图似只眼睛。②像保护眼睛（眼珠、眼球）一样保护地球，爱护绿色家园（人类的生存环境）。或“关注环境保护，建设绿色家园。”（言之成理即可）
24、例：第一种，很好，体现时代的特点，简洁、生动，赋于更新的意义。第二种，不好，语言不符合传统习惯。第三种，无所谓，但理由要充分。
篇6：中考数学综合题专题
专题16二次函数的存在性问题
【考点1】二次函数与相似三角形问题
【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）直接写出抛物线的解析式和的度数；
（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为；
（3）；；；
；；
；；；
；；
．
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；
（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；
（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴，则b=-3a，∵抛物线经过点B（4，0），∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，解得：a=，b=，抛物线的解析式为：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；
（2）由（1）易知，过点N作于E，过点D作于F，∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，，（AAS），由题意得：，，，，又，故可解得：t=或0（舍），经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，此时D点坐标为；
（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），设点P（m，），如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，则PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，则，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故点P的坐标为：，∵△CPQ∽△MDB，∴，当点P时，解得：CQ=，∴点Q坐标为（0，），；
同理可得：点P和点Q的坐标为：
；；
；；
；；；；；；.【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)
或或或．
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，过点A作AH⊥BC与点H，解得：，∴CH＝
则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；
②时，则直线OQ的表达式为：…③，联立①③并解得：，故点或；
综上，点或或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．
（3）当PH＝2时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【详解】
（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝＝，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则或，解得：a＝或；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【考点2】二次函数与直角三角形问题
【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；
（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜
【分析】
（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；
（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；
②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.【详解】
解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，∴A（4，0），B（0，2），∵抛物线经过B（0，2），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；
（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，∵，∴，当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，∵，∴B，Q关于x轴对称，∴Q（0，-2），又A（4，0），设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，解得：，∴直线AQ的表达式为：，联立得：，解得：x=3或-2，∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；
（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，∴∠MNO+∠CND=90°，∵∠OMN+∠MNO=90°，∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，∴△MNO∽△NCD，∴，即，整理得：；
②如图，∵∠MNC=90°，以MC为直径画圆E，∵，∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），∵点M在y轴正半轴，当圆E与线段OD相切时，有NE=MC，即NE2=MC2，∵M（0，m），∴E（，），∴=，解得：m=，当点M与点O重合时，如图，此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，故m的取值范围是：0＜m＜.【点睛】
本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.【变式2-1】如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，点M的坐标为（，－9）或（，11）．
【分析】
（1）将A（-3，0），B（5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【详解】
解:（1）将A（-3，0），B（5，-4）两点的坐标分别代入，得
解得
故抛物线的表达式为y＝．
（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴AC==5．
取D（2，0），则AD=AC=5．
由两点间的距离公式可知BD==5．
∵C（0，-4），B（5，-4），∴BC=5．
∴BD=BC．
在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠BAD，∴AB平分∠CAO；
（3）存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=，则AE=．
∵A（-3，0），B（5，-4），∴tan∠EAB=．
∵∠M′AB=90°．
∴tan∠M′AE=2．
∴M′E=2AE=11，∴M′（，11）．
同理：tan∠MBF=2．
又∵BF=，∴FM=5，∴M（，-9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，-9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键
【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象交轴于两点，交轴于点.动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接.设运动的时间为秒.(1)求二次函数的表达式:
(2)连接，当时，求的面积:
(3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标;
(4)当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标
【答案】（1）（2）2（3）（4）或
【解析】
【分析】
（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）根据题意得出AM,OM,设的解析式为：，将点代入求出解析式，然后将分别代入和中，得：，再根据三角形面积公式，即可解答
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，根据题意得出，根据，即可解答
（4）当时，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点，得出，再根据（同弧所对圆周角），即可解答
【详解】
（1）将点代入，得：
解得：
所以，二次函数的表达方式为：
（2）
又
设的解析式为：，将点代入，得：
所以，直线的解析式为：.将分别代入和中，得：..（3）假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交的延长线于点，设，由题意得：
所以，点的坐标为：
（4）当时，此时点在二次函数的对称轴上，以点为圆心，长为半径作圆，交于两点
点在该圆上
（同弧所对圆周角）
或
【点睛】
此题考查二次函数的综合应用，解题关键在于将已知点代入解析式
【考点3】二次函数与等腰三角形问题
【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝，设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，＝，∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣3±，∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），③当AE＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣，∴E（0，﹣），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标；
(3)如图2，连接、，点在线段上(不与、重合)，作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)点的横坐标为；(3)AN=1或.【分析】
(1)根据和点可得抛物线的表达式为，可知对称轴为x=-2，代入解析式即可得出顶点坐标；(2)设点，则，可得矩形的周长，即可求解；(3)由D为顶点，A、B为抛物线与x轴的交点可得AD=BD，即可证明∠DAB=∠DBA，根据，利用角的和差关系可得，即可证明，可得；分、、，三种情况分别求解即可．
【详解】
(1)∵抛物线经过点和点．
∴抛物线的表达式为：，∴对称轴为：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴顶点.(2)设点，则，矩形的周长，∵，∴当时，矩形周长最大，此时，点的横坐标为.(3)∵点D为抛物线顶点，A、B为抛物线与x轴的交点，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）
∴，①当时，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；
②当时，则，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；
③当时，∵，而，∴，∴；
综上所述：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
【考点4】二次函数与平行四边形问题
【例4】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1
（2）（，）；
（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；
②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
【变式4-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学初三期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】
（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把代入中，得
解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，∵，∴，解得，∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有
整理得，∵，∴，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
【变式4-2】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过，∴
∴
∴
（2）设，将点代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F
设点，则
由铅垂定理可得
∴面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；
设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；
②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．
∴存在，【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
一、单选题
1．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（）
A．越来越小
B．越来越大
C．不变
D．先变大后变小
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S△PAB=PA•BC=••x=3可得答案．
【详解】
如图，过点B作BC⊥PA于点C，则BC=OA，设点P（x，），则S△PAB=PA•BC==3，当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，故选C．
2．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）
A．1
B．
C．2﹣
D．2+
【答案】A
【解析】
【分析】
设B（x1，n）、C（x2，n）．因为△ABC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1-x2|＝＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．
【详解】
设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝，∵点B、C关于对称轴直线AD对称，∴D为线段BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD
＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化简，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，所以n＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质以及根与系数的关系，正确理解二次函数的图象性质和根与系数的关系是解题的关键．
3．二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为()
A．20
B．
C．22
D．
【答案】C
【分析】
由于，，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直线
:，求出，的坐标，得出的长；
利用的坐标，得直线：，求出,坐标，得出的长；用同样的的方法可求得，…的边长，然后根据各边长的的特点得出一般化规律，求得的长．
【详解】
解：
等腰直角三角形，为原点；
直线：，的坐标为（1，1），则
为（0，2）
=2
为（0，2），直线
:
（2，4），=4，则（0，6）
（0，6），直线
:
（3，9），=6，由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2
∴△A10B11A11的斜边长为2+10×2=22，综上，由此可以推出=22．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知的长．
4．已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（）
A．始终不相似
B．始终相似
C．只有AB=AD时相似
D．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：设A（x，-x2+1）根据题意可求出PA、PD、PE的值，从而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.故选B.考点:
二次函数综合题.5．二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）.A．点C的坐标是（0，1）
B．线段AB的长为2
C．△ABC是等腰直角三角形
D．当x＞0时，y随x增大而增大
【答案】D
【解析】1、回想二次函数图象与坐标轴交点的特征，自己试着求出A、B、C三点的坐标；
2、结合A、B、C三点的坐标可得OA=OB=OC，根据两轴互相垂直的性质，利用勾股定理求出AB、AC、BC，至此判断选项A、B、C的正误；
3、找出二次函数图象的对称轴，根据开口方向判断选项D的正误.本题解析:
根据题意可知：当x=0时，y=1
∴点C的坐标为（0，1）
故选A正确；
当y=0时，x=
-1或x=1
∴AB=2
故选项B正确
∵OA=1，OB=1，OC=1
∴AC==
BC=
=
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是等腰直角三角形
故选项C正确；
由y=
-x2+1可知：a=
-1＜0，对称轴为x=0
∴当x＞0时，y随x增大而减小
故选项D错误
故选D
二、填空题
6．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
作抛物线的对称轴，交BC于D，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．
【详解】
作抛物线的对称轴，交BC于D，∵直线y=n与二次函数y=（x-2）2-1的图象交于点B、点C，∴BC∥x轴，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AC=BC，∵直线CD是抛物线的对称轴，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵抛物线的顶点为（2，-1），∴AD=n+1，∴B（n+3，n），把B的坐标代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，解得n=1，故答案为1．
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标是解题的关键．
7．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数解析式：___________________
【答案】y=-x2+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】
可以在y轴取一点，x轴上取两点让它们能组成直角三角形的三个顶点，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
【详解】
根据如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个是直角三角形，所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三点，设抛物线的表达式是y=ax2+1，抛物线过（1，0），所以a+1=0，a=-1．
抛物线是：y=-x2+1．
故答案为：y=-x2+1(答案不唯一)
【点睛】
本题是开放性题目，答案不唯一，考查了利用待定系数法求抛物线的表达式．
8．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为_____．
【答案】﹣1或﹣2
【分析】
分∠ACP为直角、∠PAC为直角两种情况，利用直线与抛物线的交点求解即可．
【详解】
解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．
①当∠ACP为直角时，如下图，由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故点P的坐标为：（﹣1，0）；
②当∠PAC为直角时，同理可得：点P（﹣2，5）；
故答案为：﹣1或﹣2．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键利用分类讨论的思想求解，避免遗漏．
9．二次函数y＝2x2+4x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC为直角三角形，则m＝_____．
【答案】﹣．
【解析】
【分析】
根据题意和勾股定理，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），点A在点B的左边，∵点C（0，m），二次函数y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，∴点C在y轴的负半轴，x1x2=，∴m＜0，∵△ABC为直角三角形，∴(x2−x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)，解得，m=-，故答案为：-．
【点睛】
本题考查勾股定理、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理解答．
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，当a=时，△ABD是_______三角形；要使△ACB为等腰三角形，则a值为______
【答案】等腰直角
或
【解析】
解：如图1，∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，a=，∴二次函数为y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c=﹣与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a=；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无解．
综上，要使△ACB为等腰三角形，则a值为或；
故答案为：等腰直角，或．
点睛：本题考查了抛物线和x轴的交点，抛物线的解析式，抛物线的对称轴以及顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．二次函数y=一x2+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.（1）则的形状为；
（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为
.【答案】
【解析】
试题分析：（1）∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．
（2）在（1）题已将证得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．
解：（1））∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，由题意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：
∴C（0，1），∴，CB2＝BO2+CO2＝5，∴AC2+CB2＝AB2，∴△ACB是直角三角形；
（2）存在，点或；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为：；
设过点B且平行于AC的直线的解析式为，将点代入得：，；
∴；
联立抛物线的解析式有：，解得，或；
∴点；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，同理可求得；
故当或时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）
考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形．
12．如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【详解】
解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2，∴C（0，2），当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，∴点A（-4，0）、B（1，0），∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D（m，-m2-m+2），过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），=-m2-4m+4
=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；
则m=-2时，S取得最大值，最大值为8，【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键．
13．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为
．
【答案】．
【解析】
试题分析：连接BC与AO交于点D，根据菱形的性质可得AO⊥BC，根据∠OBA=120°可得：∠AOB=30°，根据二次函数图象上的点的性质可得点B的坐标为(1，)，则OA=2OD=2，BC=2BD=2，则菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.考点：二次函数的性质
三、解答题
14．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点和点，与交轴于点，表示当自变量为时的函数值，对于任意实数，均有．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为：或或或
【分析】
（1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A的坐标，设二次函数的解析式为，将点C的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，根据点A、B、C的坐标即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m的式子表示EG，然后根据即可求出与m的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F的坐标，然后根据点P和点F的纵坐标相等，将点P的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P的横坐标．
【详解】
解：（1）当与时函数值相等，可知抛物线的对称轴为，由点的坐标可求得点的坐标为
设二次函数的解析式为
将点代入，得
所以，二次函数的解析式为．
（2）设点的坐标为，过点作轴于点，如图
∵（4,0），，∴OA=4，OB=2，OC=4，BQ=m+2
∴AB=6
∵
∴
∵
∴
∴，即，∴
∴
又∵
∴当时，有最大值3，此时
（3）存在．
①若，如下图所示
则，∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA
∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA
∴是直角三角形，OF⊥AC
∵OA=OC=4
∴点F为AC的中点
∴根据中点坐标公式：点的坐标为
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得，得，此时点的坐标为：或
②若，过点作轴于点
由等腰三角形的性质得：，∴，在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°
∴△AMF也是等腰直角三角形
∴FM=AM=3
∴
∵直线l∥x轴
∴点P的纵坐标=点F的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得
由，得，此时，点的坐标为：或
③若，∵，且
∴
∴点到的距离为
而
∴上不存在点使得
此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形
综上，存在这样的直线，使得是等腰三角形，所求点的坐标为：或或或
【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度系数较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、把面积最值问题转化为二次函数最值问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；（3）存在，点P的其坐标为.【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标；
（3）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
试题解析：解：（1）设抛物线解析式为，把A、B、C三点坐标代入可得：，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8；
（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
16．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）1，3；（2）最大值为；（3）
【分析】
（1）将点分别代入一次函数解析式可求得b的值，再将点A的坐标代入二次函数可求出a的值；
（2）设，则，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC的长关于m的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）同（2）设出点P，C的坐标，根据题意可用含m的式子表示出AC，PC的长，根据AC=PC可得关于m的方程，求得m的值，进而求出点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵在直线上，∴，∴．
又∵在拋物线上，∴，解得．
（2）设，则，∴，∴当时，有最大值，最大值为．
（3）如图，∵为的等腰三角形且轴，∴连接，轴，∵，∴，．
∵，∴，化简，得，解得，（不合题意，舍去）．
当时，∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．
17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）（2）P1（1，0）和P2（，0）
【解析】
解：（1）∵交x轴于点A，∴0=0.5x+2，解得x=－4．∴A点坐标为：（－4，0）．
∵与y轴交于点B，∴y=2．∴B点坐标为：（0，2）．
∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数．
把B（0，2）代入得：a=．
∴二次函数的解析式为：，即．
（2）①当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点，∵Rt△AOB∽Rt△BOP1，∴．
∴，解得：OP1=1．
∴P1点坐标为（1，0），②当D为直角顶点时作P2D⊥BD，连接BP2，将与2联立求出两函数另一交点坐标：D点坐标为：（5，），则AD=．
由A（－4，0），B（0，2）可得AB=．
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D．∴．
∴，解得AP2=．
则OP2=．
∴P2点坐标为（，0）．
③当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0），则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴．
∵方程无解，∴点P3不存在．
综上所述，点P的坐标为：P1（1，0）和P2（，0）．
（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数，进而求出即可．
（2）分点B为直角顶点，点D为直角顶点，点P为直角顶点三种情况讨论，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
18．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值为；②M的坐标为（）或（，﹣）．
【分析】
（1）由直线y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b、c即可；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．则∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；
②分两种情况：当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F；当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，分别求出t的值即可．
【详解】
解（1）由直线y＝x﹣2得
B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，解得b＝，c＝﹣2，∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；
（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．
∴∠H＝∠OBC，∵B（4，0）、C（0，﹣2），∴OC＝2，OB＝4，BC＝2
∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；
②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，∴EM＝DF，EC＝MF，设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，∴D（t，﹣t﹣2）
将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M1（）；
Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，∴DE＝MF，EC＝DF，设M（t，t﹣2），则EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2
∴D（t，﹣t﹣2），将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M2（，﹣）
综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为（）或（，﹣）．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟运用待定系数法求函数解析式、熟练运运用二次函数的性质以及一线三直角构建全等三角形是解题的关键．
19．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点．
（1）求点，的坐标？
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或，或或；
【分析】
（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，根据勾股定理得到BC＝5，过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，根据相似三角形的性质得到，设，得到BE＝3−x，CF＝2x−4，于是得到，求得，过作轴于，轴于，同理求得；②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过作轴于，易得，根据相似三角形的性质求出，即可得到，同理可得．即可得到结论；
【详解】
（1）在中，令，解得：，令，得，∴，；
（2）存在点，使得为直角三角形，①当与相切时，为直角三角形，如图（2），连接，∵，∴，∵，∴，过作轴于，轴于，易得，四边形是矩形，∴，设，∴，∴，∴，∴，∴；
过作轴于，轴于，同理求得；
②当时，为直角三角形，过作轴于，如图（2），易得，∴，∴，∴；
同理可得：；
综上所述：点的坐标为：或，或或．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，圆与直线的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象经过，三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是线段上的动点（点与线段的端点不重合），若与相似，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）点的坐标为
【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐标．
【详解】
（1）∵二次函数的图象经过，两点，∴设二次函数的解析式为．
∵二次函数的图象经过点，解得．
∴二次函数的解析式为，即．
（2）设直线的函数解析式为，把的坐标代入，可得解得
∴直线的函数解析式为．
设点的坐标为．
点与点不重合，与相似只有这一种情况．
由，得．，，解得或（舍去），∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口．
21．如图，已知二次函数（，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.【答案】（1）y＝−x2＋2x＋4；B（−1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）
【分析】
（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x−1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；
（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，−x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同样方法求出对应的P点坐标．
【详解】
（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋5，把C（0，4）代入y＝a（x−1）2＋5得a＋5＝4，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋5，即y＝−x2＋2x＋4；
当y＝1时，−x2＋2x＋4＝1，解得x1＝−1，x2＝3，则B（−1，1），A（3，1）；
（2）∵，∴CD＝3，BD＝1，故AM＝=2，CM＝，AC=
设直线AC的解析式为y＝kx＋b
把A（3，1），C（0，4）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝−x＋4，∵CM2＋AC2＝AM2，∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，∴∠BDC＝∠MCP，如图1，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，−x＋4），∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（−3，7）；
如图2，当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，设此时P（x，−x＋4），∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2，解得x＝±，则此时P点坐标为（，）或（−，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
22．如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：
（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，整理得：
解得
∴二次函数的解析式为：，即：。
（2）由
整理得，解得。
∴C
（－2，0），D。
∴AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+
BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，∴
AC2+
BC2=AB2
。∴△ACB是直角三角形。
（3）设（x<0），则PH=，HD=。
又∵AC=，BC=，①当△PHD∽△ACB时有：，即：，整理得，解得（舍去），此时。
∴。
②当△DHP∽△ACB时有：，即：，整理，解得（舍去），此时。
∴。
综上所述，满足条件的点有两个即。
【解析】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。
【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。
（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。
23．如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在轴右侧的点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为。且△CHM∽△AOC（点与点对应），求点的坐标。
【答案】（1）
（2）(2,2),(,),(,)；（，）。
（3）或
【解析】
试题分析：解：（1）∵二次函数的图像交轴于，∴设该二次函数的解析式为：，又二次函数的图像交轴于，将代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，即;
（2）若OC为平行四边形的边，设P（，），Q（，），则PQ=，P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则，∴（舍去），；∴(2,2),(,),(,)；若OC为平行四边形的对角线，则（，）。
（3）∵△CHM∽△AOC，点与点对应，∴
情形1：如上图，当在点下方时，∵
∴轴，∴，点在二次函数图像上，∴，解得（舍去）或，∴；
情形2：如图，当在点上方时，∵，设交轴于点P，设，则，在中，由勾股定理，得，解得，即，为直线与抛物线的另一交点,设直线的解析式为,把的坐标代入，得，解得，∴,由，解得，（舍去）或
此时，∴,∴点的坐标为或
考点：二次函数在几何中的应用
点评：该题需要考虑的情况有多种，这是难点，需要学生经常练习，积累经验，结合图形找出突破口。
24．如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？
②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】（1），；（2）
①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；
②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.【详解】
解：（1）由，令，得，所以点；
令，得，所以点，∵是以为底边的等腰三角形，∴点坐标为，又∵四边形是平行四边形，∴点坐标为，将点、点代入二次函数，可得，解得：，故该二次函数解析式为：.（2）∵，∴.①设点运动了秒时，此时，，∵，∴，∴，∴，即，解得：.即当点运动到距离点个单位长度处，有.②∵，且，∴当的面积最大时，四边形的面积最小，当动点运动秒时，，设底边上的高为，作于点，由可得：，解得：，∴，∴当时，达到最大值，此时，故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，难度系数较大，解题关键是将四边形PDCQ面积的最小值转化为△APQ的面积的最大值并根据题意列出的函数关系式.25．（14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．
【答案】（1）；（2）证明见试题解析；（3）①（﹣3＜t＜0）；②12或．
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），即可求出a、b的值，从而得到二次函数的表达式；
（2）先求出点C、G、H、D的坐标；然后得出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，从而得到四边形ACHD是正方形；
（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，则S=，再分别求出，即可；
②首先设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，再根据t＜0，＞0，可得==，得到，然后求出k的值，进而求出，的值，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．
试题解析：（1）∵二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数的表达式为；
（2）如图1，∵二次函数的表达式为，∴点C的坐标为（0，3），∵=，∴点G的坐标是（﹣1，4），∵点C的坐标为（0，3），∴设CG所在的直线的解析式是，则﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直线的解析式是，∴点H的坐标是（3，0），设点D的坐标是（0，p），则，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四边形ACHD是正方形；
（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，∵四边形ADCM的面积为S，∴S=，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵点M（t，p）是与在第二象限内的交点，∴点M的坐标是（t，），∵ME=，MF=﹣t，∴S四边形AOCM==，∴=（﹣3＜t＜0）；
②如图3，作NI⊥x轴于点I，设点N的坐标是（，），则NI=，∴=，∵t＜0，＞0，∴==，∴，联立，可得，∵、t是方程的两个根，∴，∵，∴，解得或，（a）当时，由，解得，或（舍去）．
（b）当时，由，解得，或（舍去），∴，或，当时，S==，当时，S===，∴S的值是12或．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．压轴题．
26．如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
求该二次函数的解析式及点M的坐标．
过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．
【答案】二次函数解析式为，点M的坐标为；
存在平行四边形，；，，．
【解析】
【分析】
将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；
根据平行四边形的判定对边平行且相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
由题意分析可得，则若与相似，则要进行分类讨论，分成∽或∽两种，然后利用边的对应比值求出N点坐标的横坐标，再利用自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
把点，点代入二次函数得，解得
二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；
由知，当时，解之，或、令P点横坐标为m，当PQ与BC边相交时，此时不存在平行四边形．
当PQ与AC 边相交时，由、可得直线AC解析式，，令，，此方程无解，此时不存在平行四边形．
当PQ与AB 边相交时，、，令，化简，得，解得，当时，点坐标为，此时，存在平行四边形，；
连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，把代入解得，则点P坐标为，，，由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点
若有∽，则有，，，若点N在y轴右侧，作轴，，把代入，解得，；
同理可得，若点N在y轴左侧，把代入，解得；
若有∽，则有，若点N在y轴右侧，把代入，解得；
若点N在y轴左侧，把代入，解得
；．
所有符合题意得点N坐标有4个，分别为，，．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解的关键是利用待定系数法；解的关键是利用平行四边形的判定得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏；解的关键是利用相似三角形的性质得出N点的横坐标，要分类讨论，以防遗漏．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（）这个二次函数的表达式为____________．
（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．
（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）当P（，）时，S四边形ABPC最大；（5）点P的坐标为（－2，5），（2，－3）或（4，5）．
【解析】
试题分析：（1）直接设成顶点式即可得出抛物线解析式；
（2）先确定出点B，C坐标，再根据图象直接写出范围；
（3）利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；
（4）先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值；
（5）先求出直线BC，BC，CD的解析式，分三种情况利用梯形的性质，一组对边平行即可得出直线DP1，CP2，BP3的解析式，分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可．
试题解析：解：（1）∵点D（1，﹣4）是抛物线y=x2+bx+c的顶点，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3．故答案为x＜0或＞3；
（3）如图1．∵四边形POP′C为菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴点P的纵坐标为﹣．∵P在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；
（4）如图2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，过点P作PE∥y轴交BC于E，设P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）
∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=AB•OC+PE•|xP|+PE•|xB﹣xP|
=AB•OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）
=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+
当m=时，S四边形ABPC最大=．
当m=时，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．
（5）如图，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，直线CD的解析式为y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3①；
①当DP1∥BC时，∴直线DP1的解析式为y=x﹣5②，联立①②解得，点P1（2，﹣3），[另一个点为（1，﹣4）和点D重合，舍去]
②当CP2∥BD时，∴直线CP2的解析式为y=2x﹣3③，联立①③解得点P2（4，5）
③当BP3∥CD时，∴直线BP3∥CD的解析式为y=﹣x+3④，联立①④解得点P3（﹣2，5）．
综上所述：以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，点P的坐标为（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．
点睛：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，不规则图形的面积的计算方法，菱形的性质，梯形的性质，解答本题的关键是用方程或方程组的思想解决问题．
28．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（－1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值．
【答案】（1）y=－；（2）周长最大值为10
【分析】
（1）设二次函数表达式为：y＝a（x−1）2＋4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），根据对称性得到点N（2−x，−x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，即可求解．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，解得a=－1，∴y=－=－；
（2）设点M的坐标为（x，−x2＋2x＋3），∵二次函数对称轴为x=1，∴点N（2−x，−x2＋2x＋3），则MN＝x−2＋x＝2x−2，GM＝−x2＋2x＋3，矩形MNHG的周长C＝2MN＋2GM＝2（2x−2）＋2（−x2＋2x＋3）＝−2x2＋8x＋2，∵−2＜0，故当x＝−＝2，C有最大值，最大值为10，故该矩形周长的最大值为10．
【点睛】