《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计（共11篇）

篇1：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

《一元二次方程根与系数的关系》教案

教学目标：

1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。教学重点：

一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。教学难点：

一元二次方程的根与系数的关系的推导。数学思考与问题解决：

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。【学案内容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数（）

二次项系数常数项（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次项系数

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数 （）二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常数项（）

二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你发现的规律可知: X1+X2=(________)

X1·X2=（）（________)(_________)（）

(_________)

二、合作求证 生成新知（每小题10分，共20分）（合作完成，交换检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。

学生小组合作完成导学案，通过推导证明前面的结论；实现一元二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；小组长检查小组成员完成情况后，两小组交换检查推导过程；分小组汇报合作学习成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理性认识过程。让学生自己发现问题、探求规律，两从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。【学案内容】：

（1）根据以上规律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的两个根为X1和X2，则X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）这是不是一个普遍规律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？请用一元二次方程的一般形式证明：(b2-4ac≧0)∵ X1=bb24acbb24ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目标达成（每小题10分，共40分）（合作完成，分组展示）

【师生活动】：

教师巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并适时点拨、强调；充分利用现有设施设备，为学生搭建电子白板、实物投影、黑板等不同的展示自我的平台；适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。

导学案【目标1】：学生先独立完成，组长检查，后组内交流，全班汇报、评价。（学生利用一体机白板演示解题过程）

导学案【目标2】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用实物投影展示解题过程）

导学案【目标3】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用黑板展示解题过程）

【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。设计了三个不同难度且有梯度的“目标”，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的表述能力。【学案内容】：

【目标1】不解方程，求下列方程的两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目标2】已知方程X2-4X+M=0的一个根是-2，求方程的另一个根及M的值。

【目标3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的两个实数根，求

x1的值。

2x22

四、查漏补缺 总结提高（共10分）（自主完成，集体分享）

【师生活动】：

教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。【设计意图】：

本环节为本节课的总结提高过程。目的是帮助所有学生总结回顾、查漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。【学案内容】：

请你谈谈本节课的收获或存在的问题。__________________

篇2：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察――发现――猜想――证明”的研究问题的思想与方法。

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。

三、教学过程（）

（一）问题引探

问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？

问题3.解下列方程：

（1）2x2+5x+3=0                              （2）3x2-2x-2=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________.

问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1= ，x2=,  则

x1+x2=+=;

x1 x2=·=

=

即：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=  ，x1x2=  。

由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=    ，x1x2=

⑤当a≠0，c=0时，方程有一根为0。

说明：1、本设计采用“实践――观察――发现――猜想――证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。

3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

（二）尝试发展

试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

（1）2x2-3x+1=0      x1+x2= ________      x1x2= _________

（2）3x2+5x=0        x1+x2= ________      x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0       x1+x2= _________     x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0      x1+x2= _________     x1x2= __________

（此试一试作为巩固知识而用）

尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。

组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。

学生练习：P32 2。

尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。

讨论：解上面问题的思路是什么？

得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;    .(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)

（三）拓展创新

1、在尝试2中能否求（x1－x2）的值？2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b与ab的值？

说明：1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。

2、尝试题1、2让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。

3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。

（四）归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2=4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、a≠0，△≥0时，x1+x2= ，x1x2=     。6、方程根与系数关系的有关应用。

（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。

（五）布置作业

P33A 1、2  B  1（1）

练习：1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。

2、已知关于x的方程x2－2mx+m2=0.其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.

（1）         求征这个方程有两个不相等实数根.

（2）         若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积．

篇3：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，这条抛物线与x轴有三种位置关系：（1）有两个交点；（2）只有一个交点；（3）没有交点.

当抛物线与x轴有两个交点时，这两个交点大致有下列三种位置关系：（1）同在原点的右边；（2）同在原点的左边；（3）在原点的两旁.

因为x轴上点的纵坐标都是0，所以研究上述问题，就变为研究一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式、根与系数的关系的问题了.

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若Δ=b2-4ac>0，则该函数的图像与x轴必有两个交点，这两个交点的位置与一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系对应如下：

设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两根为x1、x2则有

1. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点左边时：x1+x2<0，且x1x2>0.

2. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点同在原点右边时：x1+x2>0，且x1x2>0.

3. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的两个交点位于原点两旁时：x1x2<0.

解决有关二次函数的图像与x轴的交点的位置问题，一定要同时考虑一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系. 在这类问题中，我们经常会遇到这种类型的题：

通过以上三个例题的两种解题方法来看，利用数形结合的思想，不失是一种很好的解题途径，可以使复杂的计算简单化，有利于提高解题效率.

篇4：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

二、探究新知

1.课本思考

分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？

分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展练习

篇5：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

2.4 一元二次方程根与系数的关系 【教学目标】 知识与技能

要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。过程与方法

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观

通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。【教学重难点】

重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。【导学过程】 【知识回顾】 解下列方程：

2x2+5x+3=0

3x2-2x-8=0 并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 【新知探究】

1.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

2.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2。则

x1+x2= ；

x1.x2= ·

韦达是法国十六世纪最有影响的数 学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 韦达（1540－1603）论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； ②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0 4.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0

x1+x2= ________

x1x2= _________

（2）3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0

x1+x2= _________

x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _______ 【随堂练习】

一、填空题

1．如果x1、x2是一元二次方程x26x20的两个实数根，则x1+x2=_________． 2．一元二次方程xx30两根的倒数和等于__________．

3．关于x的方程x2pxq0的根为x112,x21-2，则p=______，q=____． 4．若x1、x2是方程x5x70的两根，那么x1+x2=，（x1-x2）．

22225．已知方程xxk0的两根之比为2，则k的值为_______．

26．已知x1,x2为方程x3x10的两实根，则x13x220__________.227．方程x5x20与方程x2x60的所有实数根的和为___________． 8．关于x的方程ax2x10的两个实数根同号，则a的取值范围是__________．

二、选择题

29．已知a、b是关于x的一元二次方程xnx10的两实数根，则式子222ba的值是（）． abA．n2 B．n2 C．n2 D．-n-2 10．以3和—2为根的一元二次方程是（）．

A．xx60 B．xx60 C．xx60 D．xx60

11．设方程3x5xm0的两根分别为x1，x2，且6x1x20，那么m的值等于（）． 222222222222 B．—2 C． D．—

939612．点P（a，b）是直线y=—x+5与双曲y的一个交点，则以a，b两数为根的一元二

xA．次方程是（）．

A．x5x60 B．x5x60 C．x5x60 D．x5x60 13．已知x2(m1)x(2m2)0两根之和等于两根之积，则m的值为（）． A．1 B．—1 C．2 D．—2 【知识梳理】

通过这节课的学习，你有什么收获? 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特 别注意，方程有实根的条件，即在初中代数 里，当且仅当 b 2 ? 4ac ? 0 时，才能应 用根与系数的关系.【达标测评】

1.已知x1、x2是方程x－x－3=0的两个实数根，则A、22222x1x2的值为（）x2x17171 B、 C、D、3333

2.下列方程中两根之和是2的方程是（）

A、x+2x+4=0 B、x－2x－4=0 C、x+2x－4=0 D、x－2x+4=0

23.若方程x+px+2=0的一个根是2，则另一个根是，p=.4.写一个根为x=1，另一个根满足—1

篇6：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

“一元二次方程的根与系数的关系”是初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程的内容，但不是课标要求范围的内容，教学要求是“阅读材料”。由于该内容对学生在高中数学学习中的作用非常重要，初中老师一般都要带领学生认真阅读，对一元二次方程的根与系数的关系产生的背景作一些介绍，最多对其应用适当练习即可。但宋老师考虑到“一元二次方程的根与系数的关系”（韦达定理）是一个很好的数学探究问题，因此，将之定位为定理的探索→再发现→证明→应用，充分展示从问题出发寻找解决问题的途径和对策，定位准确、立意新颖、符合认知规律，宋老师确定的教学目标有三点：一是经历“一元二次方程的根与系数的关系”的探索过程，培养学生观察、归纳、猜想、论证能力；二是掌握一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用；三是体验归纳猜想思想、特殊与一般思想、整体思想等数学思想方法。

其中前两条是知识与技能、过程与方法层面的，是数学学习的常规要求，也是数学教学呈现在学生面前的显性目标；第三条是隐性目标，从价值观角度看更重要，渗透的是数学的精髓——数学思想方法，对学生后续数学学习作用深远。

本节课自始至终从问题出发，引导学生探讨解决问题的对策，始终围绕问题，寻求问题解决的途径。教学过程高潮不断，亮点纷呈，具体如下：

首先，问题导入：“若x1,x2 是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实数根，求x1x2,x1x2 的值．”学生都是先求根再代入求值，不仅繁琐，而且易错，教师提出“有没有既简便又不易出错的方法解决此问题？”实际上直奔从问题到对策的主题，充分激发出学生的求知欲望。

其次，教师并没有马上解决以上问题，而是将问题高挂，进入本节课的最重要阶段——让学生通过两个一元二次方程根与系数的观察，猜想它们之间存在什么样的关系，这是本节课的难点之一。学生在观察、归纳、猜想过程中，有的深思，有的兴奋，有的一筹莫展，有的得出了结论，有的甚至得出了其它结论，可见学生思维活跃，发散性数学思维得到很好的发展。

再其次，在教师的带领下，从逻辑上证明结论、用具体方程验证结论，完善问题解决的过程，充分显示出数学研究的特性——严密的逻辑性，培养学生解决数学问题良好习惯。接下来，回到问题导入中的问题，让学生体验一元二次方程的根与系数的关系的价值、体验成功解决数学问题的喜悦。

最后，通过例题与习题学会灵活运用新学的知识和方法解决新问题，达到学以致用的目的。

在整个教学过程中，有几个值得倡导的地方： 1．自主学习、合作交流体现出新课标理念。传统教学是老师讲学生听、老师写学生记、老师问学生答，随处可见的是，师生互动、生生互动的场面，本节课上学生成了真正课堂学习的主人。

2．数学是思维的体操得到充分展示。数学课的特点是思考，本节课上学生一直都地思考问题，一直都在想方设法地探求解决问题的对策，数学思考特色鲜明。

3．创新是课堂教学追求的目标。虽然学生在一节课上不大可能有什么重大发现，但通过对原有的结论进行探究，在探究的过程中让学生学会观察、归纳、猜想、论证，从而对结论再发现就是培养学生创新的重要手段。本节课对“一元二次方程的根与系数的关系”的探究过程就是对学生进行创新思维培养的很好体验。

不足之处分析

课堂应变能力有待提高。有两处：学生得出 的猜想是不严密的需要加绝对值，教师没有注意就过去了；学生对 的另一种解法是一种很好的方法，教师没有肯定，对学生创新思维的培养不利。

改进方案探讨

当一个问题得到解决以后，教师应站在一定的高度简要点评和小结，使解决问题的对策得以显现，让学生更加清晰，解决问题的对策得以升华。

篇7：别为减负忽视根与系数的关系

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0102-01

人教版实验教科书把“根与系数的关系”用“观察与猜想”的形式，安插在初三代数《一元二次方程》一章的后面，没有练习题。而修改后的2009年3月第2版，只是将本内容改为选学内容，后面安排了两个求方程两根的和与积的练习题，还是未引起足够的重视。调查发现，很多数学教师在处理这一内容时，也没有引起必要的重视。我认为，这依然不可能动摇它与判别式是一元二次方程的两个重要理论的地位。实际应用中，它们常常结伴而行，相互依赖。本文试举几例。

例1 “希望杯”（2009年）培训题

当a<-1时，方程（a3+1）x2+（a2+1）x-（a+1）=0的根的情况（ ）。

（A）两负根 （B）一正根一负根且负根的绝对值大

（C）一正根一负根且负根的绝对值小

（D）没有实数根

（分析） 此题第一步要用△判别有无实根，再由根与系数的关系确定具体是什么样的根。

解 当a<-1时，a3+1<0，a2+1>0，a+1<0

而△=（a2+1）2+4（a3+1）（a+1）>0，可知方程有两个不相等的实数根，设方程的两根为x1、x2，则x1·x2=-<0，表明方程的两根为一正一负；

而x1+x2=->0，表明负根的绝对值小于正根，故选（C）。

例2 广东省（2009年）中考试题汇

已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，求c的取值范围。

集

（分析） 此题可根据根与系数的关系造出一个系数与c有关的新方程，再由△求出c的取值范围。

解 由已知，得a+b=-c，ab=故可把a、b看作关于X的方程x2+cx+=0的两个实数根，所以△=c2-≥0，即c<0或解得c<0或c≥23。

例3 黄冈市初中数学（2009年）中考题

已知菱形ABCD的边长为13，对角线AC、BD相交于点0，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2-（k-1）x+3（k+2）=0的两个实数根。

求（1）K的值；（2）OA、OB的长；（3）Rt△OAB斜边的高。

（分析） 解此题的关键是确定K的值，它既要△≥0，又要使方程的两根符号实际情况。而OA、OB既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边。由OA、OB作为桥梁把所有的关系串联起来便可求出K的值。

解 （1）由菱形的性质，得OA2+OB2=132，则（OA+OB）2-2OA·OB=169，由根与系数的关系可知：OA+OB=K-1，OA·OB=3（K+2），所以（K-2）2-6（K+2）=169，解得K=18或K=-10。

经检验： K=18或K=-10都能使△≥0，但是当K=-10时，OA+OB<0，OA·OB<0，不符合实际，故取K=18。

（2）把K=18代入原方程，可求出符合题意的OA、OB的长分别为12和5。

（3）应用面积法这种简便方法求得Rt△OAB斜边上的高为。

例4 四平市初中数学（2009年）中考试题

已知方程x2+（2t+1）x+（t2+2t+1）=0有两实数根 、 ，求 2+ 2的最小值。

（分析） 此题的解答过程，实际上是判别式和根与系数的关系的综合应用。因为 、 既涉及到判别式，又是根与系数关系的载体。

解 由已知，得△=（2t+1）2-4（t2+2t+1）≥0，解得t≤-，

又 2+ 2=（ + ）2- =2t2-1

因为t≤-，所以当t=-时， 2+ 2有最小值。

篇8：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

[教材分析]

中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]

进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，

基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]

在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]

发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程

[教学过程]

(一)复习导入

请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的`关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问，导入新课。

(二)探求新知

数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为 1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发现这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着密切的联系，此时的他们不难对两根和与两根积产生关注，经历了对二次项系数为1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数, 两根积等于常数项。”对于这一猜想，会有学生提出不同看法，他们提出研究二次项系数非 1 的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接研究一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出具体的方程要求研究，故除了部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想，还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和，积的运算。这两种方案齐头并进，当前者通过不断验证来说明他们猜想的可靠度时，后者通过论证，在严格意义下，说明了此结论的正确性。对于论证中学生出现的问题，我们在第一时间内揪错指正，

在知识初探与再探后，学生获得了新知，得到了一元二次方程根与系数的关系，

三、训练感悟

我将之前从学生那里收集来的错解对照表中方程，询问检验其正误的方法。学生根据已有经验，将其代入方程，进行检验。为寻求更为简便的方法，引出作用一，利用根与系数的关系，不解方程检验两数是否为原方程的根。我再给出两例，便于巩固练习，更明确了只有当两数和(积)同时满足方程两根和(积)的时侯，才是正确的根。当学生们正为找到了一种行之有效的检验方法，高兴不已的时候。突然间，表格中的数据丢失了，我分别隐去了方程的一根及b,c,a三个系数。为了将材料修复，学生小组展开热烈的讨论。有了上一题的经验，学生们会利用根与系数关系，不解方程，求出另一根及系数。也会使用代入求解的方法解题，通过新旧方法的比较，在训练中获得感悟：方法的选择在于简便，学生们在选择了恰当的方法后，修复了材料也巩固了新知。

四、总结提升，

由学生回顾知识的发生发展及应用过程，以“我的收获” 与“我的疑惑”交流心得。我再帮助学生整理所学知识，引导领会数学的思想。我还会自豪的告诉他们，数学家们还发现了存在于一元n次方程中的根与系数的普遍关系，这一内容将在高数中有所涉及，激励奋进

五、分层作业，

[设计意图]

现在的设计较之以往，有所继承，有所变革。

1 研究启动入口不同

过去我总是先给出若干具体方程要求学生求根，并计算两根和(积)，作出猜想。这样的数学后曾有学生问我：“老师为什么会想到两根和(积)与系数的关系，而不是其它?”这种疑问的产生一定与过去设计指定了学生的活动过程有关，为了给学生的活动指向更为宽泛，让两根和积与系数的研究更显合理， 现在的设计中主要体现了由数到式的研究，从两根和差积商的重组合再有所观察，有所挑选，方才定位于两根和(积)作进一步的探究。这种设计正是从数学内部下了功夫，由知识线索的连贯性，师生共同理顺了实验对象的来龙去脉，从数学本身上培养了学生的观察、分析、概括的综合能力。

2探究部分两步走

我将二次项系数为1，非 1的一元二次方程分两次出现，分别放置与知识初探和再探两个环节，这样设计的原因有二：学生的认知能力总是有所差异的，如果将这些方程合二为一加以研究的话，一部分同学对别人获得的正确猜想是瞬间接受，却缺乏思维的参与。事实上，研究事物往往从简单到复杂，在这里，当a=1 时，易找规律，当 a ≠1后造成的认知冲突，更是激发了这一猜想的完善。其实这一串， 由实验——猜想——再实验——再猜想的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识” 这一客观世界认知论的基本规律。便是我如此设计的原因之一。原因二：研究入口处，利用两根和差积商的结果，优选出对和积的研究。初探中二次项系数为 1 的方程两根计算足以起到这一筛选作用。因此在下一环节的再探新知中，便自然关闭了对两根差与商相对较为繁琐的计算，直接由两根和积入手研究与系数的关系，提高了研究的效率。

3 再探新知放手走

我没有再给出任何具体的方程以供研究，这里的放手，引出了学生不同的操作方法。一部分学生把注意力转放在求根公式上展开直接论证，就连另一部分学生自定义方程数据研究的方式也各不相同，他们有的翻开笔记本查阅之前解方程的资料;有的反凑特殊值方程;更有的会从中提炼出代数论证的方法;当然也有借助于计算器完成了繁琐的计算。

放手的探究，为了给学生更大的思维空间，让学生有更多方法的选择，从而展开自主的学习。

[尾声]

篇9：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

（有兴趣的同学，请把趁热打铁部分做一做，有答案的哈）

对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程及应用求根公式求出方程即

根的判别式的两个根

存在的三种情况，以，进而分解因式。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）根，且关于的方程（2）方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴

有两个不相等的实数

没有实数根，问取什么整数时，1 解得；

∵方程（2）没有实数根，∴

解得；

于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是

其中，的整数值有或

当时，方程（1）为，无整数根；

当时，方程（1）为，有整数根。

解得：

所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程

两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 2 判定根的正负，则需要确定既要求出判别式的值，又要确定

或

或的正负情况。因此解答此题的关键是：的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中若＞0，仍需考虑

＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把

代入原方程，的一个根为2，求另一个根及的先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把

代入原方程，得：

即

解得

当时，原方程均可化为：

，解得：

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：，即

解得

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

例3：已知方程和比两根的积大21，求

有两个实数根，且两个根的平方的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

解：∵方程有两个实数根，∴△

解这个不等式，得

设方程两根为

则

，≤0

∵

∴

∴

整理得：

解得：

又∵，∴

说明：当求出意的。

后，还需注意隐含条件，应舍去不合题

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

例5：已知、是关于的一元二次方程零实数根，问和

能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程

有两个非零实数根，∴则有

∴

又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：

假设、同号，则有两种可能：

（1）（2）若，则有： ；

即有：

解这个不等式组，得

∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。若，则有：

即有：

解这个不等式组，得；

又∵，∴当时，两根能同号

说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。

六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知、是方程的两个实数根，求的值。

分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。

解法一：由于是方程的实数根，所以

设，与相加，得：）

（变形目的是构造根据根与系数的关系，有：，和）

于是，得：∴=0

解法二：由于、是方程的实数根，∴

∴

说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。

有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程

和

至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。

解：设两方程的相同根为，根据根的意义，有 的

两式相减，得

当时，方程的判别式

方程无实数解

当时，有实数解

代入原方程，得，所以

于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为

说明：（1）本题的易错点为忽略对除了犯有默认的讨论和判别式的作用，常常的错误，甚至还会得出并不存在的解：

当时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；

（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：

且另外还应注意：求得的【趁热打铁】 的值必须满足这两个不等式才有意义。

一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程。

两根互为倒数，则

3、已知关于的方程则。

4、已知是方程的两根为，且，的两个根，那么： ；

。

5、已知关于的一元二次方程，则 ；的两根为。

和，且

6、如果关于的一元二次方程个根是，的值为。

7、已知为。

8、一个一元二次方程的两个根是为：。

二、求值题：

1、已知是方程

和是的一个根是，那么另一的一根，则另一根为，的值，那么这个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知的值。是方程的两个根，利用根与系数的关系，求

3、已知是方程的值。的两个根，利用根与系数的关系，求

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程求的值及方程的两个根。

6、已知方程值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数在什么范围取值时，方程

有正的实数根？

和

有一个相同的根，求的的两根满足关系式，2、已知关于的一元二次方程（1）求证：无论

取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。、满足，求的值。（2）若这个方程的两个实数根

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足请说明理由。，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。

答案与提示：

一、填空题：

1、提示：，，∴，∴，解得：

2、提示：，由韦达定理得：，∴，解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，∵，∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，；；由，则

可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，；②设＜0，＞0，则。

5、提示：由韦达定理得：，∴，∴，∵。，∴，6、提示：设，解得：，由韦达定理得：，，即，∴。

7、提示：设，由韦达定理得：，∴∴，∴

8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，13 ∴求的一元二次方程为：

二、求值题：，即

；；∴设所

1、提示：由韦达定理得：，∴

2、提示：由韦达定理得：，∴

3、提示：由韦达定理得：，∴

4、提示：设这两个数为看作方程程：，于是有，，因此

可的两根，即，解得：。，所以可得方，所以所求的两个数分别是 14

5、提示：由韦达定理得，，∵，∴∴解得：，∴，化简得：；

；以下分两种情况：

①当时，，组成方程组： ；解这个方程组得：；

②当时，，组成方程组：；

解这个方程组得：

6、提示：设得方程组：

和相同的根为，于是可

；①②得：；，解这个方程得： 15 以下分两种情况：（1）当代入①得。

时，代入①得；（2）当时，所以和相同的根为，的值分别为。

三、能力提升题：

1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：

解这个不等式组得：＞1

2、提示：（1）

＞0，所以无论的判别式△

取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：

解这个关于的方程组，可得到：，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；

3、提示：可利用韦达定理得出①组：

＞0，②＞0；于是得到不等式

求得不等式组的解，且兼顾

；即可得到

＞，再由

可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4

4、答案：存在。

提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：

解这个方程组得：①当时，；②当时，；

所以的值有两个：；；

5、提示：由韦达定理得：，则，即，解得：

6、提示：利用求根公式可分别表示出方程

篇10：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

1、教学设计的理念

本节课以提升数学核心素养的为目标任务，树立学科育人的教学理念，以层层递进的“问题串”引导学生学习，运用从特殊到一般的研究策略，进行教学流程的 “再创造”，积极启发学生思考。

2、教学分析

在本节课之前，已经学习了函数概念与性质，研究并掌握了部分基本初等函数，接下来就要研究函数的应用。函数的应用，教材分三步来展开，第一步，建立一般方程与相应的函数的本质联系.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，进一步体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系.3、教学目标

（1）经历函数零点概念生成过程，理解函数的零点与方程的根之间的本质联系；

（2）经历零点存在性定理的发现过程，理解零点存在定理，会判断函数在某区间内是否有零点；

（3）积极培养学生良好的学习习惯，提升数学核心素养。

4、教学重点、难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

5、教学过程

环节一：利用一个学生不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有认知结构出发来思考问题

环节二：建立一元二次方程的根与相应二次函数图象的关系，突出数形结合的思想方法，并引导学生从特殊到一般，得到方程的根与相应函数零点的本质联系

环节三：利用二次函数的图象与性质，从直观到抽象，具体到一般，得到判断函数零点存在的充分条件（即函数的零点存在性定理）

环节四：学会判断函数在某区间内是否存在零点

教学过程与操作设计： 环节

教学内容设置 师生双边互动 创

设

情

境

《方程的根与函数的零点》教学设计先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： 方程与函数 方程与函数 方程与函数

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

组

织

探

究

二次函数的零点： 二次函数

．

１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

环节

教学内容设置 师生双边互动 组

织

探

究 函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

函数零点的求法： 求函数的零点：

（代数法）求方程的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

代数法；

几何法．

环节

教学内容设置 师生互动设计 探 究 与 发 现

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

在区间上有零点______； _______，_______, ·_____0（＜或＞）．

在区间上有零点______； ·____0（＜或＞）．

由以上探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，形成结论．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 环节

教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究

例1．求函数的零点个数． 问题：

1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

《方程的根与函数的零点》教学设计

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

篇11：《一元二次方程根与系数的关系式》的教案设计

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．

从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．

从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．

基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．

二、目标和目标解析

1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，

2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．

4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

三、教学问题诊断分析

1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．

2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．

3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．

基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

四、教学支持条件分析

考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

五、教学过程设计

（一）引入课题

问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。

变式：解方程3x5＋6x－1=0的实数根. （一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。）

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

（二）新知探究

1、零点的概念

问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；

方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

问题2 观察形式上函数y＝x2－2x－3与相应方程x2－2x－3＝0的联系。

函数y＝0时的表达式就是方程x2－2x－3＝0。

问题3 由于形式上的联系，则方程x2－2x－3＝0的实数根在函数y＝x2－2x－3的图象中如何体现？

y＝0即为x轴，所以方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点横坐标。

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。

初步提出零点的概念：-1、3既是方程x2－2x－3＝0的根，又是函数y＝x2－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。

问题4 函数y＝x2－2x＋1和函数y＝x2－2x＋3零点分别是什么？

函数y＝x2－2x＋1的零点是-1。函数y＝x2－2x＋3不存在零点。

设计意图：应用定义，加深对概念的理解。

提出零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．（zero point）

2、函数零点的判定：

研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。 （Ⅰ）

问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？（Ⅱ）

第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。

设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

问题7 A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

A、B两点在x轴的两侧。可以用f（a）·f（b）<0来表示。

设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。

问题8 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。

设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

（三）新知应用与深化

例题1 观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？

－2

－1

1

2

-109

-10

-1

8

107

分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区间（0，1）上必存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x，的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识．

例题2 求函数的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出x，的对应值表和图象。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4.0

-1.3

1.1

3.4

5.6

7.8

9.9

12.1

14.2

由表可知，f (2)<0，f>0,则，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个．

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。

练习：判断下列函数是否存在零点，指出零点所在的大致区间?

① f（x）=2xln(x-2)-3；

②f（x）= 2x＋2x－6．

（四）总结归纳设计

通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，然后老师再从数学思想方面进行总结．

（五）目标检测设计

必作题：

1．教材P92习题3．1（A组）第2题；

2．求下列函数的零点：

（1） （2）；

（3） （4）

3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

（1） （2）．

4．已知．

（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．

选做题：设函数．

（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；

（2）当时，函数的零点是怎样分布的？

数学解题方法技巧：如何更快答题

编者按：小编为大家收集了“数学解题方法技巧：如何更快答题”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

数学解题方法技巧：如何更快答题

数学的学习，学生需要费很大的心思。毕竟数学并不是一门只要会背或者会说或者会写就可以学好的学科，它灵活度比较高。通常学生在学习数学花的时间比较多，但又毫无效果是什么原因呢?是方法不对?还是思路不对?

一、学习数学的误区

误区一：课上听懂知识就掌握了

在数学学习过程中，常常出现这种现象，学生在课堂上听懂了，但课后解题特别是遇到新题型时便无所适从。这就说明上课听懂是一回事，而达到能应用知识解决问题是另一回事。

误区二：多做题目总能遇到考题

有这种想法的人总会感到失望。每一份综合试卷，出卷人总要避免考旧题、陈题，尽量从新的角度，新的层面上设计问题。但是考查的知识点和数学思想方法是恒久不变的。所以多做题，不会碰巧和考题零距离亲密接触，反而会把自己陷入无边无际的题海之中。解决问题的办法是从知识点和思想方法的角度分别对所解题目进行归类，总结解题经验的同时，确认自己是否真正掌握并确认复习的重点。

二、数学的题型分析技巧

首先有一条定律：高次将次，多元消元，常数分离，变元集中。围绕这句话能够拓展出许多方法：比如解不等式恒成立题中的“常数分离法”、“换元法”。还有一句很重要的话就是：解题其实就是转化，将所求与题设条件靠拢的过程，根据求证找到题设条件与之的关系，进而寻找证明方法。

其次便是题型与方法。方法分为数学思想与常用解题技巧，这个可以去书店里找找相关的书，应该很容易就能找到。题型则是分为解析几何、立体几何、三角函数等等，这些多做试卷就能掌握相关规律，每道题重要的是看它背后的方法，例如函数求和题，可以裂项相消，也可以倒序求和，题目是用来巩固已学的数学知识，当某种方法已经掌握透了之后，就能去找别的类型的题练习，直到掌握所有方法。

三、快速答题技巧

一、解题思路的理解和来源

同一道题，不同的学生从不同的角度去理解，由不同的看法最终汇聚成正确的解题过程，这是解题的必然。无论是推导、还是硬性套用、凭借经验做题，都是思路的一种。有的同学由开始思路不清渐渐转变为清楚，有的同学根本没有思路，这就形成了做题的上的差距。

二、如何在短期内训练解题能力

数学解题思想其实只要掌握一种即可，即必要性思维。什么是必要性思维?必要性思维就是通过所求结论或者某一限定条件寻求前提的思想。几乎所有数学命题都可以用这一思想进行破解。

纵观近几年高考数学试题，可以看出试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强。

三.寻找解题途径的基本方法——从求解(证)入手

四.完成解题过程的关键——数学式子变形

五、夯实基础----回归课本

1、揭示规律---- 掌握解题方法

例如：课本在讲绝对值和不等式时，根据a-b≤a+b推出a-b≤a-c+b-c,这里运用了插值法a-b=(a-c)-(b-c)≤a-c+b-c这一思维方法，我们要弄清之所以这样想，之所以得到这个解法的全部酝酿过程。

2、融会贯通---构建网络

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高一新生学习数学该注意什么？

【编者按】数学是一个人的学习生涯中所占比重最大的学科，也是高考科目中最能够拉开分数层次的.学科，因此学好数学，无论是对高考，还是对以后学习工作都起着重要作用。那么高一新生在学习上刚刚踏入新阶段，如何去除初中时养成的不适宜高中学习的习惯，又如何掌握正确的学习方法呢?我们应注意以下三点：

(1)注意和初中数学知识的衔接。这是一个十分困难的问题，初中数学与高中数学的差别非常大，从原本的实际思维转入抽象思维，需要一个大幅度转变。这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，在此基础上，再根据高中知识特点，较快的吸收新的知识，形成新的知识结构。

(2)认真理解，反复推敲思考高中各知识点的涵义，各种表示方法。容易混淆的知识，仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与高中数学结构相适应的理论本质与思考方法，切忌急于求成。

(3)通过学习，要努力培养自己观察，比较抽象，概括能力初步形成运用知识准确地表达数学问题和实际问题的意识和能力;培养科学的、严谨的学习态度，为树立辩证唯物主义科学的世界观认识世界打下基础。

我们应试时，时常发现厌试心理，有时会有些紧张，这是很正常的。但过分紧张也会导致考不好，所以平时应把练习当作考试，但考试时则平视为练习，心态好了，成绩自己就上去了。

如何减少解题失误，这是一个考高分的关键。失误少了，分数就会溅涨。这需要学生的仔细观察与认真阅读题目，抓住题目重点、题心，并围绕重点、题心考虑其他条件与答案。其次，考虑要周全，避免出现遗漏情况，各个方面都要考虑到，这需要平日思考事物的长期积累。

考试考得不好，这是常遇到的问题，心情沮丧是正常心理，但不能持久下去。要将答案听彻底，记下，并与自己的解题思路相比较，发现不同之处，或不要之处并记于心里，这样对于下次考试则很有好处。

高一数学知识点

高一数学必修1第一章知识点总结

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性,

(2) 元素的互异性,

(3) 元素的无序性,

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集) 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1) 列举法：{a,b,c……}

2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR x-3>2} ,{x x-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{xx2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={xx2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={xx A，且x B｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={xx A，或x B}).

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作 ，即

CSA=

韦

恩

图

示

性

质 A A=A

A Φ=Φ

A B=B A

A B A

A B B

A A=A

A Φ=A

A B=B A

A B A

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= Φ.

例题：

重点中学学生学习方法宝典

在过程中，掌握科学的，是提高成绩的重要条件。以下我分别从、上课、作业、、、课外学习、实验课等七个方面，谈一下的常规问题。应当说明的是，我这里所谈的是各科学习的一般规律，不涉及具体学科。

一、预习。预习一般是指在讲课以前，自己先独立地阅读新课内容，做到初步理解，做好上课的准备。所以，预习就是自学。预习要做到下列四点：

1、通览教材，初步理解教材的基本内容和思路。

2、预习时如发现与新课相联系的旧掌握得不好，则查阅和补习旧，给学习新打好牢固的基础。

3、在阅读新教材过程中，要注意发现自己难以掌握和理解的地方，以便在时特别注意。

4、做好预习笔记。预习的结果要认真记在预习笔记上，预习笔记一般应记载教材的主要内容、自己没有弄懂需要在听课着重解决的问题、所查阅的旧知识等。

二、上课。教学是教学过程中最基本的环节，不言而喻，上课也应是同学们学好功课、掌握知识、发展的决定性一环。上课要做到：

1、课前准备好上课所需的课本、笔记本和其他文具，并抓紧时间简要回忆和复习上节课所学的内容。

2、要带着强烈的求知欲上课，希望在课上能向老师学到新知识，解决新问题。

3、上课时要集中精力听讲，上课铃一响，就应立即进入积极的学习状态，有意识地排除分散注意力的各种因素。

4、听课要抬头，眼睛盯着老师的一举一动，专心致志聆听老师的每一句话。要紧紧抓住老师的思路，注意老师叙述问题的逻辑性，问题是怎样提出来的，以及分析问题和解决问题的方法步骤。

5、如果遇到某一个问题或某个问题的一个环节没有听懂，不要在课堂上“钻牛角尖”，而要先记下来，接着往下听。不懂的问题课后再去钻研或向老师请教。

6、要努力当课堂的主人。要认真思考老师提出的每一个问题，认真观察老师的每一个演示实验，大胆举手发表自己的看法，积极参加课堂讨论。

7、要特别注意老师讲课的开头和结尾。老师的“开场白”往往是概括上节内容，引出本节的新课题，并提出本节课的目的要求和要讲述的中心问题，起着承上起下的作用。老师的课后总结，往往是一节课的精要提炼和复习提示,是本节课的高度概括和总结。

8、要养成记笔记的好习惯。最好是一边听一边记，当听与记发生矛盾时，要以听为主，下课后再补上笔记。记笔记要有重点，要把老师板书的知识提纲、补充的课外知识、典型题目的解题步骤和课堂上没有听懂的问题记下来,高二，供课后复习时参考。

三、作业。作业是学习过程中一个重要环节。通过作业不仅可以及时巩固当天所学知识，加深对知识的理解，更重要的是把学过的知识加以运用，以形成技能技巧，从而发展自己的，培养自己的能力。作业必须做到：

1、先看书后作业，看书和作业相结合。只有先弄懂课本的基本原理和法则，才能顺利地完成作业，减少作业中的错误，也可以达到巩固知识的目的。

2、注意审题。要搞清题目中所给予的条件，明确题目的要求，应用所学的知识，找到解决问题的途径和方法。

3、态度要认真，推理要严谨，养成“言必有据”的习惯。准确运用所学过的定律、定理、公式、概念等。作业之后，认真检查验算，避免不应有的错误发生。

4、作业要独立完成。只有经过自己动脑思考动手操作，才能促进自己对知识的消化和理解，才能培养锻炼自己的能力；同时也能检验自己掌握的知识是否准确，从而克服学习上的薄弱环节，逐步形成扎实的基础。

5、认真更正错误。作业经老师批改后，要仔细看一遍，对于作业中出现的错误，要认真改正。要懂得，出错的地方，正是暴露自己的知识和能力弱点的地方。经过更正，就可以及时弥补自己知识上的缺陷。

6、作业要规范。解题时不要轻易落笔，要在深思熟虑后一次写成，切忌写了又改，改了又擦，使作业涂改过多。书写要工整，解题步骤既要简明、有条理，又要完整无缺。作业时，各科都有各自的格式，要按照各学科的作业规范去做。

7、作业要保存好，定期将作业分门别类进行整理，复习时，可随时拿来参考。

四、复习。复习的主要任务是达到对知识的深入理解和掌握，在理解和掌握的过程中提高运用知识的技能技巧，使知识融汇贯通。同时还要通过归纳、整理，使知识系统化，真正成为自己知识链条的一个有机组成部分。复习要做到：

1、当天的功课当天复习，并且要同时复习头一天学习和复习过的内容，使新旧知识联系起来。对老师讲授的主要内容，在全面复习的基础上，抓住重点和关键，特别是听课中存在的疑难问题更应彻底解决。重点内容要熟读牢记，对基本要领和定律等能准确阐述，并能真正理解它的意义；对基本公式应会自行推导，晓得它的来龙去脉；同时要搞清楚知识前后之间的联系，注意总结知识的规律性。

2、单元复习。在课程进行完一个单元以后，要把全单元的知识要点进行一次全面复习，重点领会各知识要点之间的联系，使知识系统化和结构化。有些需要的知识，要在理解的基础上熟练地。

3、期中复习。期试前，要把上半学期学过的内容进行系统复习。复习时，在全面复习的前提下，特别应着重弄清各单元知识之间的联系。

4、期末复习。期末考试前，要对本学期学过的内容进行系统复习。复习时力求达到“透彻理解、牢固掌握、灵活运用”的目的。

5、假期复习。每年的和，除完成各科作业外，要把以前所学过的内容进行全面复习，重点复习自己掌握得不太好的部分。这样可以避免边学边忘，造成总复习时负担过重的现象。

6、在达到上面要求的基础上，学有余力的同学，可在老师的指导下，适当阅读一些课外参考书或做一些习题，加深对有关知识的理解和记忆。

五、考试。考试是学习过程的重要环节。通过考试可以了解自己的学习状况，以便总结经验教训，改进学习方法，为以后的学习明确努力方向。考试时应做到：

1、要正确对待考试。考试是检查学习效果的一种方法，考得好，可以促进自己进一步努力学习，考得不好，也可以促使自己认真分析原因，找出存在的问题，以便今后更有针对性地学习。所以，考试并不可怕，绝不应当产生畏考，造成情绪紧张，影响水平的正常发挥。

2、做好考试前的准备。首先是对各科功课进行系统认真的复习，这是考出好成绩的基础。另外，考试前和考试期间要注意劳逸结合，保证充足的睡眠和休息，保持充沛的精力，这是取得优异成绩的必要条件。

3、答卷时应注意的主要问题是: ①认真审题。拿到后，对每一个题目要认真阅读，看清题目的要求，找出已知条件和要求的结论，然后再动手答题。②一时不会做的题目可以先放一放，等把会做的题目做完了，再去解决遗留问题。③仔细检查，更正错误。答完以后，如果还有时间，就要抓紧时间进行检查和验证。先检查容易的、省时间的、错误率高的题目，后检查难的、费时间的、错误率低的题目。④卷面要整洁，书写要工整，答题步骤要完整。

4、重视考后分析。拿到老师批阅的试卷后，不仅要看成绩，而且要对进行逐一分析。首先要把错题改正过来，把错处鲜明地标示出来，引起自己的注意，以便复习时查对。然后分析丢分的原因，并进行分类统计。看看因审题、运算、表达、原理、思路、马虎等因素各扣了多少分；经过分析统计，找出自己学习上存在的问题。对做对了的题目也要进行分析，检查自己对题目的表达是否严密，解题方法是否简便等。

5、各科试卷要分类保存，以便复习时参考。

6、杜绝各种作弊现象。

六、课外学习。课外学习是课内学习的补充和扩展，二者是相互联系、相互渗透的整体。在搞好课内学习的基础上，适当进行课外学习，可以开阔自己的知识领域，发展个人的、爱好和特长，同时对课内学习也会起到有效的促进作用。课外学习应注意：

1、可根据自己的学习情况，有目的地选择学习内容，原则是有利于巩固基础知识，弥补自己的学习弱点。

2、可以根据自己的特长和爱好，选择一些有关学科的课外读物学习。

3、课外阅读一定要从自己的实际出发，量力而行，宁可少而精，也不多而滥，切忌好高鹜远、贪多求全。

七、实验课。实验是理论联系实际的重要手段，实验的目的是加深对理论的理解和有效地扩大知识领域，培养观察能力、判断能力、形象和动手操作的技能技巧，培养严肃认真的科学态度。实验课要做到：

1、实验前做好预习，明确实验的目的要求、实验原理及实验方法、步骤等。

2、注意熟悉实验用仪器设备的名称、功能和操作方法。

3、实验要自己动手操作，仔细观察实验现象，认真测定数据，做好记录。同时要分析出现误差的原因。严格遵守操作规程，爱护仪器设备，注意安全。

4、实验完成后，要认真而实事求是地写好实验报告

高中数学学习方法：理解“充要条件”具体概念

编者按：小编为大家收集了“高中数学学习方法：理解“充要条件”具体概念”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

“充要条件”是数学中极其重要的一个概念。

(1)先看“充分条件和必要条件”

当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?

事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”

若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p<=>q

(3)定义与充要条件

数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

以上就是为大家提供的“高中数学学习方法：理解“充要条件”具体概念”希望能对考生产生帮助，更多资料请咨询中考频道。

高考数学临场应试技巧 选择题直接求解法

中总有那么一两道问题难度系数很低的，问题难，以拉开来不同考生的差距。遇到难题一时想不出来，可以考虑换一种，换一种思路，如果仍然没有头绪，不妨先放一放，记下题号，等后面的解答完了再回来看看，你可能会获得新的解题。最后如果仍然没有想出来的也不能放弃，是选择题就要猜测答案了，填空题也不能空着，猜测答案往上写，是大题，就要分步写，只要与问题有关，能写多少写多少。

遇到了难题，我该怎么办？

会做的题目要力求做对、做全、得，而更多的问题是对不能完整完成的题目如何分段得分。下面有两种常用方法。

一、面对一个疑难问题，一时间想不出方法时，可以将它划分为几个子问题，然后在解决会解决的部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。而且可望在上述处理中，可能一时获得，因而获得解题方法。

二。有些问题好几问，每问都很难，比如前面的小问你解答不出，但后面的小问如果根基前面的结论你能够解答出来，这时候不妨先解答后面的，此时可以引用前面的结论，这样仍然可以得分。如果稍后想出了前面的解答方法，可以补上：“事实上，第一问可以如下证明”。

选择题有什么解题技巧吗？

1、直接求解法

从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择支对照来确定选择支。

2、筛选排除法

在几个选择支中，排除不符合要求的选择支，以确定符合要求的选择支。

3、特殊化方法