课本题改编练习(推理与证明、复数)

课本题改编练习(推理与证明、复数)（精选8篇）

篇1：课本题改编练习(推理与证明、复数)

复数与推理证明练习题

1．若复数z134i,z212i,则z1z2。2．若复数(1i)(ai)是实数，则实数a。3．已知复数z的实部为1，虚部为2，则

i13iz的虚部为。

4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。

5．复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数，则a_________。

6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根据这些结果，猜想325547778

出的一般结论是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，则f3(x)的表达式为

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。

9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，（用n表示）f(n)=。

10.设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lahA

lbhB

lchC

1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点

到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。

11.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,，则有

coscos1，类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱

2所成的角分别是,,，则有。12.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2an

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，a1a2a19n(n19,nN)成立，若b91，则有等式 13． 把偶数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．2设aij(i，j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，则i与j的和为14161820。

14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一

个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。

15.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为为。

2Rtan，则按图二作出的矩形面积的最大值

图一

第15题图

图二

第14题

16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比为：

SOM1N1SOM2N

2OMOM



ONON

.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ

和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

17．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

问：到120个圆中有个实心圆。

iii1i

18.求值（1）复数

（2）复数z，求z

（3）若(xi)iy2i,x,yR，求复数xyi

（4）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

19.已知abc，且abca



．

20.（1）设函数f(x)

12

x，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求2

得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。

（2）已知数列{an}满足a11，anan1()n(nN*,n≥2)，令

Tna12a22an2，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tnan2

n1

2n

=。

篇2：课本题改编练习(推理与证明、复数)

(A)1M(B)2M(C)(1,2)M(D)(2,1)M 2.下列说法正确的是（）

Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确

Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确

3.设全集U1,2,3,4,5,6，集合A1,2,3,,B2,4,5，则CU(AB)等于（）（A）2（B）6（C）1,3，4，5，6（D）1，3，4,5

－3+i

4.复数z＝的共轭复数是()

2+i

（A）2+i（B）2－i（C）－1+i（D）－1－i

5．下列推理是归纳推理的是（）（）A．A、B是定点，动点P满足|PA||PB|2a|AB|，得P点的轨迹是椭圆 B．由a11,an3n1，求出S1,S2,S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆xyr的面积为r，猜想出椭圆D．利学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

xa



yb

1的面积为ab

6.若复数(m23m4)(m25m6)i是虚数，则实数m满足（）A.m1B.m6C.m1或m6D.m1且m67．设I=R，M={x|x<0},N={x|-1≤x≤1},则(CUM)∩N=()A.{x|0

D.{x|x≥-1}

A．“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”；B．“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”；C．“若(ab)cacbc” 类推出“abab（c≠0）”；

c

c

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D．“

nnnnnn

9．一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此若干个圈

依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）A.12B.13C.14D.15

10、由a11，an1

3410

3an3an

1给出的数列an的第34项是().1

4104100

11．已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）

A.B.C.D.A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=

212． “x=-1”是复数z(x21)(x1)i为纯虚数的（）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x2x20

13.已知不等式的解集是，则实数a的取值范围是()

xa

(A)a＞2(B)a＜1(C)a≥2(D)a≤1 14.已知复数z =(1 – i)(2 – i)，则| z |的值是

3i

15.已知i是虚数单位，则的实部为_______;虚部为_________

1i16．观察下列不等式：1

12,1

12131,1

1213

1732,1

1213

52,

则第6个不等式为________________________________

17．若复数z满足z(m2)(m1)i（i为虚数单位）为纯虚数，其中mR则z____

mm6

m

18．当实数m为何值时，复数z（Ⅲ）纯虚数？

(m2m)i为（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？

19.已知a,b,c成等比数列，a,x,b成等差数列，b,y,c成等差数列，求证：

20．若a10且a11，an1

a1

ax



cy

2

2an1an

(n1,2,，)(1)求证：an1an；(2)令，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；(3)证

p

an

an

明：存在不等于零的常数p，使



篇3：课本题改编练习(推理与证明、复数)

1 (选修22P61例2)三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°……由此我们猜想：凸n边形的内角和是(n-2)×180°.

11 (改编)观察下列等式,试从中归纳出一般结论：

(1) 12=16×1×2×3, 12+22=16×2×3×5, 12+22+32=16×3×4×7, 12+22+32+42=16×4×5×9, …;

(2) 13=12, 13+23=(1+2)2, 13+23+33=(1+2+3)2, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2, ….

12 (改编)因为an=(n2-5n+5)2时,有a1=a2=a3=a4=1,由此可猜想对任意的n (n∈N*), an=(n2-5n+5)2=1.

因为当n=0, 1, 2, 3, 4时,2n＜n2+8,由此可猜想对任意的n(n∈N*), 2n＜n2+8.

以上两个推理是归纳推理吗？所得的结论正确吗？你能得到什么结论(对这样的推理作出性质评估)？

13 (改编)在数列{an}中,a1=12,且(n+2)an+1=nan (n∈N*).

(1) 求a2, a3, a4的值;

(2) 试猜想{an}的通项公式,并给出证明.

2 (选修22P67第4题)(1) 证明：在等差数列{an}中,若m+n=p+q (m, n, p, q∈N*),则am+an=ap+aq;

(2) 通过对(1)的类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

21 (改编)在等差数列{an}中,若am=a1+(m-1)d, an=a1+(n-1)d,则an-am=(n-m)d,从而an=am+(n-m)d,试进行类比,写出等比数列{an}的一个猜想.

3 (选修22P69例2)已知a, b, m均为正实数,b＜a,求证：ba＜b+ma+m.

31 (改编)已知数列{an}满足：a1=1, an+1=12an+n, n为奇数,

an-2n,n为偶数,设bn=a2n-2, n∈N*,求证：{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式.

4 (选修22P80例1)如图1,已知AB, CD相交于点O, △ACO≌△BDO, AE=BF,求证：CE=DF.

41 (改编)如图2,在△ABC中,BD⊥AC, CE⊥AB,点M, N分别为BC, DE的中点,求证：MN⊥DE.

42 (改编)已知a是整数.证明：若a2是偶数,则a也是偶数.

43 (改编)设函数f(x)对定义域内任意实数,都有f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证：对定义域内任意实数,都有f(x)＞0成立.

5 (选修22P86例2)用数学归纳法证明：当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.

51 (改编)已知正项数列{an}满足a2n≤an-an+1,求证：an＜1n.

52 (改编)设ai＞0 (i=1, 2, 3, …, n),且a1a2a3 … an=1,求证：(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+an)≥2n.

6 (选修22P109例5)计算2-i3-4i.

61 (改编)若复数z满足zi=2+i,则z= .

62 (改编)复数1-i(1+i)2的虚部为 .

63 (改编)已知i是虚数单位,若a+bi4-i=3+2i (a, b∈R),则a+b的值是 .

7 (选修22P110练习第1题)计算：(1)22+22i2;(2) (1-i)4.

(选修22P111习题3.2第2题第(2)问)计算：32+12i-12+32i.

71 (改编)计算：-23+i1+23i+21+i2004+(4-8i)2-(-4+8i)211-7i.

72 (改编)已知虚数u满足u2=u-,求复数z=u1+u2+u2u+u3+u3u2+u4的值.

第Ⅱ部分(人教版教材)

1 (人教A版《选修22》第74页例3)

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出关于空间中四面体性质的猜想.

（人教B版《选修22》第62页习题21.A第2题）

命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数”，对正四面体是否有类似的结论.

11 （改编）在直角三角形ABC中，AB⊥AC， AD⊥BC于D，则1AD2=1AB2+1AC2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

12 （改编）在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2.在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由.

2 (人教A版《选修22》第77页练习第2题)

观察下面的“三角阵”（图略），试找出相邻两行数之间的关系.

21 （改编）如图1所示的三角形数阵叫作“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的.

（1） 试找出相邻两行数之间的关系；

（2） 数阵的第7行第4个数是什么？

3 (人教A版《选修22》第98页复习参考题A组第1题)

观察下列图案（图略）中圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形中共有多少个圆圈？

31 （改编）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1， 3， 6， 10…这样的数称为“三角形数”，而把1， 4， 9， 16…这样的数称为“正方形数”.如图2，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是 .

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

32 （改编）如图3是一个有n(n≥2)层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有 个.

4 (人教A版《选修22》第94页例1)

(人教B版《选修22》第72页例1)

用数学归纳法证明：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6 (n∈N*).

nlc202309031239

41 （改编）用数学归纳法证明：12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)3 (n∈N*).

42 （改编）用数学归纳法证明：22+42+62+…+(2n)2=2n(n+1)(2n+1)3 (n∈N*).

5 (人教A版《选修22》第106页习题3.1第1（1）题)

(人教B版《选修22》第89页习题31第6（1）题)

求适合下列方程的实数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

51 （改编）求适合下列方程的共轭复数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.

52 （改编）求适合下列方程的纯虚数x与y的值：(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i.



第Ⅰ部分

11 (1) 12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1);

(2) 13+23+33+…+n3=12n(n+1)2.

12 以上两个推理都是归纳推理,但两个推理所得到的结论都是不正确的.说明由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,不一定正确.

13 (1) a2=16, a3=112, a4=120;

(2) 猜想：an=1n(n+1) (n∈N*).

证明：因为(n+2)an+1=nan (n∈N*),所以an+1an=nn+2,则a1·a2a1·a3a2·a4a3·…·an-1an-2·anan-1=12×13×24×35×…×n-2n×n-1n+1=1n(n+1),即an=1n(n+1).

21 an=amqn-m.

31 设n=2k-1,则a2k=12a2k-1+2k-1, k∈N*.

当k≥2时,设n=2k-2,则a2k-2+1=a2k-2-2(2k-2),即a2k-1=a2k-2-4(k-1),所以当k≥2时,a2k=12［a2k-2-4(k-1)］+2k-1,即a2k=12a2k-2+1,所以当n≥2时,a2n=12a2n-2+1,即a2n-2=12 (a2n-2-2).

又bn=a2n-2, n∈N*, b1=a2-2=32-2=-12,即当n≥2时,bn=12bn-1,故数列{bn}是以-12为首项,12为公比的等比数列,故bn=-12·12n-1=-12n.

41 连结MD, ME,在Rt△BCD中,因为M为BC的中点,所以MD=12BC.同理,ME=12BC.所以MD=ME.

又N为DE的中点,所以MN⊥DE.

42 (反证法)设a=2m+1(m为整数),则a2=4m2+4m+1.

因为4m2+4m为偶数,所以4m2+4m+1为奇数,即a2为奇数,与条件矛盾,所以a也是偶数.

43 (反证法)假设函数f(x)对定义域内任意满足条件的实数x,都有f(x)＞0不成立,则存在实数x0,有f(x0)≤0成立.

因为函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0,所以f(x0)＜0,且f12x0≠0,则由题设可知f(x0)=f12x0+12x0=f12x0f12x0=f212x0>0,矛盾,故假设不成立,所以对定义域内任意实数x,都有f(x)＞0.

51 因为a2n＜an-an+1 (n∈N*),所以a21≤a1-a2,即a2≤a1-a21.

又a2＞0,所以a1-a21＞0,所以a1＜1,即n=1时,结论成立.

① 当n=2时,a2≤a1-a21=-a1-122+14≤14＜12,即结论成立.

② 假设当n=k (k≥2, k∈N*)时,结论成立,即ak＜1k.那么当n=k+1时,a2k≤ak-ak+1, ak+1≤ak-a2k=-ak-122+14 0＜ak＜1k≤12,故ak-a2k关于ak在0, 1k上为单调增函数,故ak+1＜1k-1k2=k-1k2＜1k+1,即结论也成立.

由①和②,可知对任意的正整数n (n≥2), an＜1n都成立.

综上所述,对任意的正整数n,an＜1n都成立.

注意 若取初始值n=1,则“a1-a21关于a1在(0, 1)上为单调增函数”不成立.

52 ① 当n=1时,不等式成立.

② 假设当n=k (k∈N*)时,不等式成立,即当ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k),且a1a2a3…ak=1时,(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)≥2k.

那么当n=k+1时,再令ai＞0 (i=1, 2, 3, …, k+1),且a1a2a3 … ak+1=1,则ai (i=1, 2, 3, …, k+1)中必有两个数满足一个不小于1,另一个不大于1.为了书写方便,不妨设ak≥1, ak+1≤1,则(1-ak)(1-ak+1)≤0,即1+akak+1≤ak+ak+1,故2(1+akak+1)≤1+ak+ak+1+akak+1=(1+ak)(1+ak+1),于是(1+a1)(1+a2)(1+a3) … (1+ak)(1+ak+1)≥(1+a1)·(1+a2)(1+a3) … (1+ak-1)·2(1+akak+1)=2(1+a1)(1+a2)(1+a3)·… (1+ak-1)［1+(akak+1)］≥2·2k=2k+1,即不等式也成立.

综上所述,对任意的正整数n,不等式都成立.

61 1-2i.

62 -12.

63 19.

71 -1+i.

72 -3.

第Ⅱ部分

1 人教A版：略.

人教B版：正四面体内任一点到四个侧面的距离等于常数.

11 解：在四面体ABCD中，AB, AC, AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.

证明：如图4所示，连接BE交CD于F，连接AF.因为AB⊥AC, AB⊥AD,所以AB⊥平面ACD.

而AF平面ACD，所以AB⊥AF.

在Rt△ABF中，

AE⊥BF，所以1AE2=1AB2+1AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

nlc202309031239

所以1AF2=1AC2+1AD2,

所以1AE2=1AB2+1AC2+1AD2，故猜想正确.

12 解：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM=3.

证明：设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d，则由题意知d=OM，设各个面的面积为S，则由等积法可得：4·13S·OM=13S·AM,4OM=AM=AO+OM，从而可得：AOOM=3.

2 人教A版：从第二行起，每一个数等于其肩上两数的和.

21 解：（1） 数阵的第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和；

（2） 由以上规律可知，第7行第1个数为17，第2个数为16-17=142，第3个数为130-142=1105，第4个数为160-1105=1140.

3 人教A版：a5=21, an=n2-n+1 (n∈N*).

31 解：这些“三角形数”依次是1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45， …,且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15+21=36, 28+36=64，只有③⑤是对的.

32 解：本题是数列问题，这个点阵从里到外每层的点数的个数为：1, 6, 12, 18, 24， …，可知，从第2层开始，构成公差为6的等差数列，所以

sn=1+(n-1)×6+(n-1)(n-2)2×6

=3n2-3n+1.

4 人教A版，人教B版：略.

41 证明：当n=1时，左边=1，右边=1，所以等式成立；

假设当n=k时，等式成立，即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1)3,

则当n=k+1时，

左边=12+32+52+…+(2k-1)2+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+［2(k+1)-1］2=k(4k2-1)3+(2k+1)2=k(4k2-1)3+3(2k+1)23=(k+1)［4(k+1)2-1］3=右边.

综上可知，等式对所有的n∈N*都成立.

42 略.

5 人教A版，人教B版：x=1, y=7.

51 解：设x=a+bi (a, b∈R),则y=a-bi (a, b∈R),所以：

(3x+2y)+(5x-y)i=3(a+bi)+2(a-bi)+

［5(a+bi)-(a-bi)］i

=(5a-6b)+(4a+b)i

=17-2i,

所以5a-6b=17，4a+b=-2,所以a=529, b=-7829,

所以x=529-7829i, y=529+7829i.

52 解：设x=ai， y=bi (a, b∈R,且a, b≠0),则

(3x+2y)+(5x-y)i=3ai+2bi+(5ai-bi)i=b-5a+(3a+2b)i=17-2i,

所以-5a+b=17，3a+2b=-2，所以a=-3613, b=4113,

所以x=-3613i, y=4113i.

篇4：课本题改编练习(不等式)

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课本题改编练习(不等式)作者：谢印智 张海军

来源：《新高考·高一数学》2012年第05期

篇5：“推理与证明、复数”测试卷

“推理与证明、复数”测试卷 作者：

来源：《新高考·高二数学》2013年第03期

篇6：课本题改编练习(推理与证明、复数)

1-1. (改编)已知数列{an}中,a1=-,前n项和Sn满足Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

1-2. (改编)对于任意正整数n,猜想2n-1与(n+1)2的大小关系.

2. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例6)已知,≠k+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sin,sinθcosθ=sin2,求证:=.

2-1. (改编)求证:+>2+.

2-2. (改编)求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.

3. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例8)已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.

3-1. (改编)设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.

3-2. (改编)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

3-3. (改编)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”,写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论.

4. (人教B版选修2-2第2.3.2点“数学归纳法应用举例”例1)用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=.

4-1. (改编)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*),证明:an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0(n≥1).

4-2. (改编)数列{an}满足a1=1,且an+1=1+an

+(n≥1),用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).

5. (人教B版选修1-2第3.2.2点“复数的乘法和除法”例2)求证:

(1) z•=|z|2=||2;

(2) 2=()2;

(3) =•.

5-1. (改编)设复数z=,求1+z+z2+…+z2006的值.

5-2. (改编)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求z的值.

1-1. 由S1=-,S2=-,S3=-,S4=-,S5=

-,猜想Sn=-.

1-2. 当n≤6时,2n-1<(n+1)2;当n=7时,2n-1=(n+1)2;当n=8时,2n-1>(n+1)2(n∈N*).

2-1. 提示:用分析法,两边平方,逐步推导即可.

2-2. 设圆和正方形的周长均为l,则圆的面积为π2,正方形的面积为2.

只需证明π2>2,只需证明>.

两边同乘以正数,得>,即只需证明4>π.

因为上式是成立的,所以原命题得证.

3-1. 假设{Sn}为等比数列,则S2 2=S1S3,整理可得(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾.

3-2. 设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,这与假设矛盾.

3-3. 逆命题是:若“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”.它是真命题.

证明如下:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)

4-1. 当n=1时,由已知a1=1-2a0=(3+2)-2a0,即等式成立;

假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=[3k+

(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,

那么当n=k+1时,ak+1=3k-2ak=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,即等式也成立.

综上可知,等式对任意n∈N*成立.

4-2. 当n=2时,a2=2≥2,不等式成立;

假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么当n=k+1时,有ak+1=1+ak+≥1+×2+=2++>2(k≥2),即不等式也成立.

综上可知,an≥2对所有n≥2成立.

5-1. z=i,原式=i.

5-2. 设z=bi,则|z-1|=|-1+bi|=.

篇7：课本题改编练习(推理与证明、复数)

□ 缪 林

1. （必修1第2章第5节例2）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.

1-1. （改编）判断函数f（x）=x2-2x-1在区间（2，3）内是否存在零点.若存在，求个数；若不存在，请说明理由.

1-2. （改编）就实数a讨论函数f（x）=ax2-2x+1在区间（0，3）内零点的个数.

1-3. （改编）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.

（1） 若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；

（2） 若对?坌x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=［f（x1）+f（x2）］成立；

（3） 是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：① 对?坌x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）的最小值是0；② 对?坌x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由.

2. （必修1第2章第5节思考题）如果x0是二次函数y=f（x）的零点，且m＜x0＜n，那么f（m）f（n）＜0一定成立吗？

2-1. （改编）已知下列命题：

（1） 函数y=f（x）在区间［a，b］上有定义，若f（a）·

f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内一定有零点；

（2） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有且只有一个零点；

（3） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）≤0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点；

（4） 函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是不间断的一条曲线，若f（a）·f（b）＞0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内没有零点；

（5）函数y=f（x）在区间［a，b］内的图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0；

（6） 函数y=f（x）在区间［a，b］上单调，其图像是不间断的一条曲线，若y=f（x）在区间（a，b）内存在零点x0，那么f（a）·f（b）＜0.

其中正确命题的个数为.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 任宪伟

1. （A版必修1第三章3.1.1例1）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数.

1-1. （改编）函数f（x）=lnx+2x-6的零点为x0，则满足n≤x0的最大的整数n为.

1-2. （改编）方程lgx+x2-6x=0的实数根的个数为.

1-3. （改编）函数f（x）=lg（x+3）+x2-6x的零点的个数为.

1-4. （改编）方程lnx-x2+2x=0的实数根的个数为

.

1-5. （改编）若函数f（x）=logax+x-a（a＞0，且a≠1）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

2. （A版必修1第三章3.1.2例2）借助计算器或计算机，用二分法求方程2x+3x=7的近似解.（精确到0.1）

2-1. （改编）若函数f（x）=3x-x-4，其函数值的一些参考数据为：

根据所给数据，利用二分法，可确定方程3x-x-4=0的一个实数根的近似值为.（精确到0.01）

2-2. （改编）利用二分法研究函数f（x）=x3+3x-1的零点时，第一次经计算可知f（0）＜0，f（0.5）＞0，于是可知函数f（x）的一个零点x0∈，为了进一步确定函数f（x）的零点x0的近似值，则第二次应计算

.

3. （A版必修1第三章习题3.1A组2）已知函数f（x）的图像是连续的，且有如下对应值表：

根据所给数据确定函数f（x）在哪个区间内有零点？为什么？

3-1. （改编）根据下列对应值表中的数据，可判断函数f（x）=ex-x-3的一个零点所在的区间是（）

A. （-1，0）B. （0，1）

C. （1，2）D. （2，3）

3-2. （改编）若函数f（x）=x2+（1-m）x-m的一个零点在区间（2，3）内，则实数m的取值范围是.

3-3. （改编）若方程3x-0.618=0在区间［k，k+1），k∈Z内有解，则k的值为.

4. （B版必修1第二章习题2-4B组1）已知y=f（x）是偶函数，其图像与x轴有4个交点，试求方程f（x）=0的所有实数根的和.

4-1. （改编）已知y=f（x）是R上的奇函数，其图像与x轴有2011个交点，则函数f（x）的所有零点的和为

.

4-2. （改编）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x，有f（x-2）=-f（x），且在区间［0，1］上是增函数.若方程f（x）=a（a＞0）在区间［-4，4］上有四个根，则这四个根之和为.

5. （A版必修1第三章3.2.1例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？

5-1. （改编）为了帮助上高中的孩子学习，爸爸打算去电信公司开户上网，经询问，记录了可供选择的三种上网方式与相应价格的资料：① 每小时2元；② 每月50元，可上网50小时，超过50小时的部分每小时2元；③ 每月70元，时间不限（其他因素均忽略不计）.请你利用所学的函数知识对上网方式与费用问题进行研究，对这位爸爸的选择给一个合理的建议.

5-2. （改编）某经营者将甲、乙两种商品在六个月试销期内逐月的投资与纯利润列表如下：

该经营者准备在下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入甲、乙两种商品各多少万元才合算.请你帮助该经营者制定一个投资方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者可获得的最大纯利润.（结果保留两位有效数字）

6. （A版必修1第三章3.2.1例2）某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log2x+1，y=1.002x.其中哪个模型能符合公司的要求？

篇8：课本题改编题练习

□ 张爱民

1. （必修1P12例1）设集合A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B和A∪B.

1-1. （改编）已知集合A={-1，1，2，4}，B={-1，0，2}，则A∩B=.

1-2. （改编）设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}，则P∩Q等于.

1-3. （改编）设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=.

2. （必修1P7练习4（2））用列举法表示集合：{（x，y）|0≤x≤2，0≤y＜2，x，y∈Z}.

2-1. （改编）已知集合A={x|0≤x≤2}，则A∩Z中元素个数为.

2-2. （改编）集合{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}在平面直角坐标系中所围成的图形面积为.

2-3. （改编）求集合{（x，y）|0≤x≤2，0≤y＜2，x，y∈Z}与集合{y|y=2x+1，x∈Z}的交集.

3. （必修1P10习题1.2-5）已知数集M={0，1，x+2}，那么x的取值范围是.

3-1. （改编）设集合A={-1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a的值为.

3-2. （改编）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则实数a的值为.

4. （必修1P13练习5）设A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k，k∈Z}，求A∩B，A∪B.

4-1. （改编）设集合M=xx=+，k∈Z?摇，N=xx=+，k∈Z?摇，则下列结论中正确的有

① M=N；② M?芴N；③ M?芡N；④ M∩N=?芰.

4-2. （改编）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为［k］，即［k］={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2011∈［1］；②-3∈［3］；③Z=［0］∪［1］∪［2］∪［3］∪［4］；④ 整数a，b属于同一“类”的条件是a-b∈［0］.其中正确的是.

5. （必修1P8例1）写出集合{a，b}的所有子集.

5-1. （改编）定义集合运算A?塥B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，已知两个集合A={a，b}，b={c，d}（其中a，b，c，d互不相等且两两乘积也互不相等），则集合A?塥B的真子集个数为______.

5-2. （改编）从集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）?芰，U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A?哿B或B?哿A.那么共有_______种不同的选法.

5-3. （改编）选出集合{a，b，c}的两个不同子集，并要求其中一个是另一个的子集，则共有种不同的选法.

6. （必修1P17复习题8）求满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A.

6-1. （改编）已知{1，3}∪A={1，3，5}，A={1，m}，则实数m=.

6-2. （改编）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是.

6-3. （改编）设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩UN={2，4}，则N=.

7. （必修1P13习题1.3-7）如图1，写出阴影部分所表示的集合：.

7-1. （改编）已知全集U=R，集合A={x|x=2k-1，k=1，2，…}和B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则图1阴影部分所表示的集合为.

7-2. （改编）已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1，k=1，2，…}的关系的韦恩图如图2所示，则阴影部分所示的集合的元素共有_______.

A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷个

8. （必修1P28练习1（3）、（4））画出下列函数的图像：（3） y=，x∈（0，+∞）；（4） y=+1，x∈（0，+∞）.

8-1. （改编）画出下列函数的图像：（1） y=+x，x∈（0，+∞）；（2） y=+x.

9. （必修1P32习题2.1（2）-7）已知函数f（x）=x，x≥0，x2，x＜0，试求f（f（-2））的值.

9-1. （改编）已知实数a≠0，函数f（x）=x，x≥1，x2，x＜1，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为.

9-2. （改编）设函数f（x）=-x，x≥0，x2+a，x＜0，若f（f（-2））=1，则实数a=.

第Ⅱ部分（人教版教材）

□ 王付平 袁德成 李文斌

1. （A版必修1第12页习题1.1A组第5（1）题）用适当的符号填空：已知集合A={x|2x-3＜3x}，B={x|x≥2}，则有-4B，-3A，{2}b，BA.

1-1. （改编）设A={x|x＜2}，a=，下列关系表示正确的是（）

A. a?芴AB. a?埸AC. {a}∈AD. {a}?芴A

1-2. （改编）已知：①{0}∈{0，1，2}，②?芰?芴{?芰}，③{1，2，0}?哿{1，2}，④0∈?芰，⑤?芰?芴{0}.以上写法中正确的个数为（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

1-3. （改编）已知集合M={（x，y）|y=2x+3}，则点N（2，7）与M的关系是（）

A. N∈MB. N?埸MC. N?哿MD. N?芴M

2. （B版必修1第1章第13页练习A第3题）写出集合{0，1，2，3}的所有子集.

2-1. （改编）已知集合A={a1，a2，…，an}，其中n∈N?鄢，则集合A有个子集，有个真子集，有

个非空子集，有个非空真子集.

3. （B版必修1第1章第16页例题3）已知集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，求A∩B.

3-1. （改编）已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（RB）=.

3-2. （改编）已知集合A={圆}，B={直线}，则集合A∩B中有（）个元素.

A. 0B. 1C. 0或1D. 0，1或2

3-3. （改编）已知集合A={P|P是圆上的点}，B={Q|Q是直线上的点}，则集合A∩B中有（）个元素.

A. 0B. 1C. 0或1D. 0，1或2

3-4. （改编）已知集合P={y|y=x2，x∈R}，Q={（x，y）|y=x2，x∈R}，则（）

A. P∩Q=?芰B. P?芴Q

C. P=QD. Q?芴P

4. （A版必修1第1章第5页练习第2（1）题）试选择适当的方法表示由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合.

4-1. （改编）由方程x2-6x+9=0的所有实数根组成的集合是.

4-2. （改编）由方程x2-6x+10=0的所有实数根组成的集合是.

4-3. （改编）求由方程（x-3）（x-a）=0的所有实数根组成的集合A.

4-4. （改编）求由方程x2-a=0的所有实数根组成的集合A.

4-5. （改编）求由方程x2+a=0的所有实数根组成的集合A.

4-6. （改编）求由方程=0的所有实数根组成的集合A.

5. （A版必修1第12页第4（1）题）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.

5-1. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的图像上的点组成的集合.

5-2. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的自变量的值组成的集合.

5-3. （改编）试选择适当的方法表示关于x的方程y=x2-4的实数根组成的集合.

5-4. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4当y=0时对应的自变量x的值的集合.

5-5. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的图像与x轴交点的集合.

5-6. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4当y＜0时对应的自变量x的值的集合.

5-7. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的图像与直线y=-4公共点的集合.

5-8. （改编）试选择适当的方法表示二次函数y=x2-4的图像与直线y=-5公共点的集合.

6. （A版必修1第12页习题1.1B组第4题）已知全集U=A∪B={x|0≤x≤10，x∈N}，A∩（UB）={1，3，5，7}，求集合B.

6-1. （改编）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜3}，A∪（UB）=R，求实数a的取值范围.

6-2. （改编）设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，则S∪（S∩T）=（）

A. S∩TB. SC. ?芰D. T

7. （B版必修1第1章习题1-2A第８题）已知集合A={1，3，m}，B={1，m2}，且A∪B=A，求实数m的值.

7-1. （改编）已知集合A={1，3，m}，B={x|x2=m}，且A∪B=A，求实数m的取值范围.

7-2. （改编）已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且A∩B=?芰，求实数m的取值范围.

8. （A版必修1第1章习题1-1B组第3题）设集合A={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-4）（x-1）=0}，求A∪B，A∩B.

8-1. （改编）设集合A={a}，B={1}，求A∪B，A∩B.

8-2. （改编）设集合A={a，2}，B={1}，求A∪B，A∩B.

8-3. （改编）设集合A={x|（x-a）（x-2）=0}，B={1}，求A∪B，A∩B.

8-4. （改编）设集合A={x|x2=a}，B={1}，求A∪B，A∩B.

9. （A版必修1第25页习题1.2B组第2题）画出定义域为{x|-3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|-1≤y≤2，且y≠0}的一个函数图像.如果平面直角坐标系中点P（x，y）满足-3≤x≤8，-1≤y≤2，那么其中哪些点不在图像上？

9-1. （改编）设函数f（x）=2x+1的定义域D={x|0≤x≤2}.

（1） 集合{（s，f（s））|s∈D}所表示的点的集合对应的图形是（）

A. 线段B. 直线C. 矩形D. 圆

（2） 集合{（s，f（t））|s∈D，t∈D}所表示的点的集合对应的图形是（）

A. 线段B. 直线C. 矩形D. 圆

9-2. （改编）设函数f（x）=ax+b（a∈R）的定义域D={x|0≤x≤2}，集合{（s，f（t））|s∈D，t∈D}所表示的点的集合对应的图形是正方形，求a的值.

9-3. （改编）设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，集合{（s，f（t））|s∈D，t∈D}所表示的点的集合对应的图形是正方形，求a的值.

第Ⅰ部分

1. A∩B={0，1}，A∪B={-1，0，1，2，3}.

1-1. {-1，2}. 1-2. {1，2}. 1-3. {1，2，3，4}.

2. {（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）}.2-1. 3个. 2-2. 4. 2-3. ?芰.

3. {x|x≠-2且x≠-1}. 3-1. 1. 3-2. 4.

4. A∩B=?芰，A∪B=Z. 4-1. ②. 4-2. ①③④.

5. ?芰，{a}，{b}，{a，b}. 5-1. 15. 5-2. 36.

5-3. 19. 提示：选出的两个集合不必考虑顺序.不妨设它们为集合A与B，且A?勐B.分别讨论集合A有3，2，1个元素的情况.

6. {5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}. 6-1. 5. 6-2. 2. 6-3. {1，3，5}.

7. UA∩B. 7-1. {-1，0，2}. 7-2. B.

9-1. 分a＞0与a＜0讨论，可得a的值为3或-3.

9-2. 由f （-2）=4+a讨论.

若4+a≥0，则-（4+a）=1，矛盾，舍去；

若4+a＜0，则（4+a）2+a=1，解得a=.

第Ⅱ部分

1. ?埸，?埸，?芴，?芴. 1-1. D. 1-2. B（②⑤正确）. 1-3. A.

2. 共16个，略. 2-1. 2n，2n-1，2n-1，2n-2.

3. {（1，2）}. 3-1. {x|1≤x≤2}. 3-2. A. 3-3. D. 3-4. A.

4. {-3，3}. 4-1. {3}. 4-2. ?芰.

4-3. 当a=3时，A={3}；当a≠3时，A={3，a}.

4-4. 当a＞0时，A=，-；当a=0时，A={0}；当a＜0时，A=?芰.

4-5. 当a＜0时，A=-；当a=0时，A={0}；当a＞0时，A=?芰.

4-6. 当a=1时，A=?芰；当a≠1时，A={a}.

5. {y|y≥4}. 5-1. {（x，y）|y=x2-4}. 5-2. R.

5-3. 当y=-4时，A={0}；当y＞-4时，A={-，}；当y＜-4时，A=?芰.

5-4. {-2，2}. 5-5. {（-2，0），（2，0）}. 5-6. {x|-2＜x＜2}. 5-7. {（0，-4）}. 5-8. ?芰.

6. {0，2，4，6，8，9，10}. 6-1. a≥3. 6-2. B.

7. 当m2=1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

当m2=3时，m=±，符合题意；

当m2=m时，m=0（符合题意），m=1（舍去）.

综上，m=±或0.

7-1. 当m＜0时，B=?芰，符合题意；

当m=0时，A={1，3，0}，B={0}，符合题意；

当m＞0时，B=-，，不符合题意.

综上，m≤0.

7-2. 当B=?芰时，m+1＞2m-1，m＜2；

当B≠?芰时，m+1≤2m-1，m+1＞5，或m+1≤2m-1，2m-1＜-2，解得m＞4.

综上，m＜2或m＞4.

8. B={1，4}.

当a=3时，A={3}，A∪B={1，3，4}，A∩B=?芰；

当a=4时，A={3，4}，A∪B={1，3，4}，A∩B={4}；

当a=1时，A={3，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={1}；

当a≠3，4，1时，A={3，a}，A∪B={1，3，4，a}，A∩B=?芰.

8-1. 当a=1时，A={1}，A∪B={1}，A∩B={1}；

当a≠1时，A∪B={1，a}，A∩B=?芰.

8-2. 由集合元素的互异性知a≠2.

当a=1时，A∪B={1，2}，A∩B={1}；

当a≠1，2时，A∪B={1，2，a}，A∩B=?芰.

8-3. 当a=2时，A={2}，A∪B={1，2}，A∩B=?芰；

当a=1时，A={1，2}，A∪B={1，2}，A∩B={1}；

当a≠1，2时，A={2，a}，A∪B={1，2，a}，A∩B=?芰.

8-4. 当a＜0时，A=?芰，A∪B={1}，A∩B=?芰；

当a=0时，A={0}，A∪B={1，0}，A∩B=?芰；

当a=1时，A={1，-1}，A∪B={1，-1}，A∩B={1}；

当a＞0且a≠1时，A=，-，A∪B={1，，-}，A∩B=?芰.

9. （x，0）和（5，y），即纵坐标为0或横坐标为5的点不在图像上.

9-1. （1） A；（2） C.

9-2. 由题意|（2a+b）-b|=|2-0|，所以a=±1.