质数与哥德巴赫猜想

质数与哥德巴赫猜想（共8篇）

篇1：质数与哥德巴赫猜想

质数与哥德巴赫猜想

著名数学家高斯曾说过：“数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后。”数论中最引人入胜的问题之一——哥德巴赫猜想，被誉为“数学是冠上的明珠。”这个至今仍悬而未决的问题与一类特殊的数——质数有关。

我们知道，自然数可以这样分为三类：

1．数“l”：只有它本身作为自己的因数。

2．质数：只有1和它本身作为自己的因数。

3．合数：有两个或两个以上大于1的因数。

上面的分类是按照数的因子的个数来分类的。质数体现出来的这种特殊性质（只被1和它自身整除）引起了人们的兴趣并很早就开始了有关的研究。

早在2000多年前，古希腊学者欧几里得（Euclid，约前330年～前275年）就作出了简单而又生动的证明“不管你取的质数有多大，肯定还能找出比它更大的质数。也就是说，质数有无穷多个。比如说，能找出比13更大的质数吗？

首先，你把不大于13的所有质数2，3，5，7，11，13乘起来，然后把这个乘积再加上1，便得：

2×3×5×7×ll×13＋l＝30031

这个数肯定不能被2，3，5，7，11或13所整除，因为除得的结果都余1。如果30031除了它本身和1之外再也不能被其他数整除，那么它就是质数；如果它还有其他的质因数，那么这个（或多个）其他因数必定大于13。实际上，30031＝59×509，即我们找出59和529这两个比13大的质数。

对于多个质数的情形，我们的推理完全一样。假若2，3，5，7，11，„„，p为所有不大于p的质数，则令

N＝2×3×5×7×11ׄ×p＋1

数N要么是质数，要么所有的质因子都大于P。

欧几里得把这个证明放在了他的巨著《几何原本》第九卷中。不过，他的证明过程并不是读者在本文中所看到的样子，而是用几何的方法来表述的。这个证明方法还可以用于证明质数之间存在着很大的间隙。其方法是，我们可以随意挑出一段足够长的连续的合数，把它们插在两个质数的间隙之中。例如，我们希望插入1000个连续的合数，那么就先找出大于1000的第一个质数1009，下面的这1000个数：

2×3×5×7ׄ×1009＋2

2×3×5×7ׄ×1009＋3

2×3×5×7ׄ×1009＋4

2×3×5×7ׄ×1009＋5

„„

2×3×5×7ׄ×1009＋1001

显然是连续的合数。这意味着我们在两个质数之间找到了至少1000个数的间隙！对于这个结果读者也许会感到有些惊讶，质数之间的间隙竟然要多大有多大！不过，质数之间并不总是这样稀稀拉拉的，人们发现有些质数紧挨在一起（中间仅隔一个数字）而且成对地出现，如 3，5；5，7； 11，13； 17，19；29，31；41，43；„；10016957，10016 959；„；999 9999 9．9959，999 999 999 961；„。这些成对出现的质数被称为孪生质数。关于孪生质数是否存在无穷多对的问题，也是一个尚待解决的世界著名难题。

质数的分布体现出如此的不确定性，有时间隙要多大有多大，有时又紧挨在一起；从1到10这十个数中共有四个自然数，而从1001到1010之间却仅有1009这一个质数。为了找

出质数的分布规律，有人想到了造“表”。

古希腊著名学者埃拉托塞尼（Eratosthenes，约前284～前192）创造了所谓的“筛法”并以此制出了一个不太大的质数表。

他先把从2到N的所有整数写出来，然后从中划去2的所有倍数；再划去3的所有倍数如 6，9，12，15„；接着划掉所有 5的倍数如 10，15，20，„；这样持续地做下去，有些数可能被划掉不止一次，最后剩下的数就是质数，这个被挖去合数的数表就像布满洞眼的筛子，因而得名“埃拉托塞尼筛子”。

这种制质数表的方法毕竟过于繁琐，于是人们开始尝度寻找质数的一般表达式。退一步说，如果能找到一个公式来表达一部分质数也很好。法国数学家费马因此提出了一个奇妙的猜想：

形如2n+1的数是质数（n = 0，1，2，3，4，„）后人把这类数称为费马数。

按照这个表达式，当n=0，1，2，3，4时，所得的数3，5，17，257，65537的的确确都是质数。但不幸的是，费马的猜想就在n=5的时候出了差错。七八十年代后，瑞士数学家欧拉（Euler，1707~1783）指出，n=5时所得数21214294967297是合数：

4294967297=641×6700417

而且奇怪的是，从那以后，数学家们至今却再也没能找到任何一个是质数的费马数了。推翻费马猜想的欧拉也提出了一个公式： 2532

f(n)=n2n+41

把n=0，1，2，3，4„，40代入这个式子可以得到41，41，43，47，„，160共40个不同的质数。

1798年，法国数学家勒让德（Legendre，1752~1833）提

f(n)=2n2+29

把n=0，1，2，3，„，28代入这个式子可以得到29，31，37，„，1597共29个质数。

2p1

随后，又有许多人提出了各种各样的公式，比如f(n)=n279n+1601, f(p)=3(p是奇质数)等等，但这些公式都会从某个数开始失效，人们在这方面的尝试并没有取得很大进展。

质数领域的一个著名难题就是一开始我们曾经提到过的哥德巴赫猜想。哥德巴赫（Goldbach,1690~1764）是德国人，彼得堡科学院院士。他在1742年6月7日给欧拉的信中提出了这个猜想。这个猜想的完整内容是：任何不小于6的偶数均能表示成两个奇质数之和。任何不小于9的奇数均能表示成三个奇质数之和。同年6月30日，欧拉在复信中写道：“任何不小于6的偶数都是两奇质数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑地认为这是完全正确的定理。”实际上，这个问题的后一半可以很容易地从前一半推出，反过来则不行。

哥德巴赫猜想引起了众多数学家和业余数学爱好者的极大兴趣，但它的证明极其困难，直到十九世纪结束的200多年前没有取得任何进展。不过有人做了大量的验证工作，现在已经有人验证了对于所有大于4而不超过33000 000的偶数，猜想都正确。这是迄今为止被验证得最多的数学猜想。

1900年，在巴黎召开的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特（Hibert，1862~1943）发表了世界数学需要研究的23个难题（名为希尔伯特问题），其中第8个提到了哥德巴赫猜想。1912年，德国著名数论大师兰道（Landau，1877~1938）在第五届国际数学家会议上的报告中声称：“即使要证明下面较弱的命题：任何不小于6的整数都能表示成c(c为一个确定整数)个质数之和，这也是现代数学力所不及的。”可见这个猜想证明的难度之大。

尽管如此，数学家们锲而不舍的努力终于使得这个问题的研究取得了突破性的进展。1920年，挪威数学家布龙（Brun）证明了每个充分大的偶数都可以表示为2个质因数不超过9个的正整数之和。人们把这个命题称为“9+9”。随后，数学家们陆续取得了下面的成果：

1924年，德国数学家雷特马赫（Rademacher）证明了“7+7”。

1932年，英国数学家埃司特曼（Estermann）证明了“6+6”。

1937年，意大利数学家蕾西（Ricci）证明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。1938年，苏联数学家布赫夕太勃证明了“5+5”，随后在1940年又证明了“4+4”。1956年，中国数学家王元证明了“3+4”。

1957年，中国数学家王元又证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国数学家潘承洞和苏联数学家巴尔班分别独立证明了“1+5”。

1963年，王元、潘承洞和巴尔班又分别独立证明了“1+4”。

1965年，苏联数学家维诺格拉朵夫和希赫夕太勃以及意大利数学家庞比利独立证明了“1+3”。

1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”并于1973年发表了他的论文《大偶数表示的一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，在国际上引起了轰动。英国数学有哈伯斯坦姆（Halberstam）与德国数学家李希特（Richet）合著的一本名为《筛法》的数论专著，原有十章，付印后见到了陈是润的论文，便加印了第十一章，章目为“陈氏定理”。

从陈景润的“1+2”到最后的“1+1”仅有一步之遥了，但到目前为止，数学家们虽努力改进证明方法，但仍然没有明显进展。这一颗耀眼而孤独的“皇冠上的明珠”仍等待着人们去摘取。

在数学家们一次次的攻关过程中，发明发现了许多新的数学方法和理论，从这个意义上讲，在向世界难题进军过程中所作的努力和尝试对数学的促进与推动也许比最终解决难题本身更有意义吧。

篇2：质数与哥德巴赫猜想

（四）：回顾总结，拓展延伸

最后全课总结。这对于帮助学生理清脉络，巩固知识，加深记忆，活跃思维、发展兴趣都具有重要作用。

四、教学效果

篇3：质数与哥德巴赫猜想

一、斯蒂芬从过去走到了现在

斯蒂芬的名字就隐喻着希腊神话里的那对翅膀, 翅膀是逃离和自由的象征。纳博科夫说“斯蒂芬”这个深奥的年轻人是作者精神的具象化, 而不是由艺术家的想象力创造出来的活生生的新生命。在《尤利西斯》中斯蒂芬就像是乔伊斯的精神之镜, 斯蒂芬的挣扎正如乔伊斯和他的先贤们一样, 对于艺术家自由的追索“我想生为一个艺术家:孤独, 独立, 废墟间和杰作中的阳光会适合我的。我没有任何需要, 一块面包, 一罐泉水, 于我足矣。我的生命不幸被我旅途的灌木丛挂住;我若是一只自由的鸟在灌木丛中唱歌做窝多好。” (1) 但是我们又知道迪达勒斯的那对翅膀越靠近自由的阳光就越接近消融, 斯蒂芬也是如此, 他逃离不得又融入不得, 沦为漂泊的异乡人:

信仰, 是斯蒂芬最深的恐惧。他拒绝在母亲临终的病榻前祷告, 宣示了自己对于这所谓“国教”的强烈反抗。“乔伊斯先生对体制化的宗教、陈腐的道德、文学的风格或形式殊无敬意。他没有“服从”的概念, 不向神或人屈膝。” (2) 但是我们又分明看见母亲去世的一幕始终活在周围人的毒舌尖上, 更像幽灵一样盘旋在斯蒂芬的脑海里。当一个时代, 道德和宗教变成单纯的习惯, 仅剩空洞的姿态, 它们就只能被用来掩盖所谓理性和秩序的社会文明对人类心灵的煎熬和压榨, 那么, 所谓信仰和服从只是一句对人存在意义漠不关心的口头禅罢了。而在此时, 永恒的道德和宗教追求其实显得更为迫切。而这种迫切, 让真正虔诚的心灵陷入表达普遍和消灭自身的两难境地 (3) , 斯蒂芬在这种摇摆中节节败退, 直至无处逃遁。“黑暗在光中照耀, 而光却不能理解它” (4) , “整个人类的历史都朝着一个伟大的目标前进:神的体现”———在斯蒂芬的心里, 其实神还是永恒的, 不堪的不是神, 而是渴望走进神的心灵的不堪。

祖国, 是斯蒂芬最深的痛楚。“在追求理想的过程中, 从野蛮状态发展到文明状态, 然后, 当这个理想失去优点时, 便走向衰落和死亡, 这就是一个民族的生命循环过程” (5) , 而在无限的循环中, 那些“精神敏感症”患者, 在时代的机械滚动中眩晕, 他们质疑自己在这循环中究竟充当了怎样的一环?爱尔兰民族的文明, 可以是叶芝诗歌中的风笛、苇间风、古堡, 但是也是乔伊斯笔下胆汁一样苦涩的海湾:“环形的海湾和地平线拥抱着一大片暗绿色的液体”, “历史, 是我正努力从中醒过来的一场噩梦”, “都柏林人是我在不列颠岛和欧洲大陆遇到过的最没有希望、最无用、最善良的无赖民族”, “坐在毒菌上的巫婆”, “贫穷的老妪”, “受他们玩弄的母王八”, “她用自己那虚弱的血液和稀溜发酸的奶汁喂养他, 藏起他的尿布, 不让人看到”……所有的呼喊都是矛盾的, 但能说明斯蒂芬对爱尔兰这位苦涩而伟大的母亲爱之越深, 责之越切。

生活, 是斯蒂芬最深的无助。那个在马铁洛塔楼上咆哮过的艺术家, 那一种疯癫, 就是人善良的孱弱, 他乐于把思考当成世界。那么无畏无惧的他在校长手中接过属于自己劳动所得的工资时, 他却变得腼腆害羞。对于他, 一个艺术家和思想者而言, 他的思考披着无上荣光, 因为他们构成了他的灵魂, 而灵魂一旦用来被交易, 不啻为万劫不复的毁灭。他为这种毁灭感到畏惧和羞怯, “畏是对所怕之物的欲求, 是一种有好感的反感” (6) ———所以海恩斯的“口哨”是如此的嘈杂, 穆里根的“金牙”是那么的耀眼。但生活最大的能量就是让人的生活目标稀释, 越靠近生活, “人的愿望不再是简单的。尽在眼前的、用直接行动能够实现的愿望, 而是逐渐变得如此困难、复杂和遥远……” (7)

“我的童年在我的旁边弯着腰。遥远得我甚至无从用手去摸一下, 即便是轻轻地。我太遥远了, 而他的呢, 就像我们的眼睛那样深邃。我们两人的心灵的黑暗宫殿里, 都一动不动地盘踞着沉默不语的一桩桩秘密:这些秘密对自己的专横已经感到厌倦, 是情愿被废黜的暴君”斯蒂芬对着幼稚天真的学生只能把自己的抗争归于情绪的秘密。

二、布鲁姆从未来走到了现在

奥德修斯在海上漂流, 而布鲁姆则在生活的风暴里沉浮———坚持平庸的工作, 埋头琐碎的家务, 忍受妻子的出轨, 怀念早逝的孩子路迪, 在将大把光阴奉献给娼妓的间隙会偶尔想起自己“就在小伙子这个年级上, 他也曾一头扎进过政治”。

克尔凯郭尔说, 一个被毒箭刺伤的人最感兴趣的问题就是拔出箭和治疗, 只有这才是对他的存在至关重要的。但是他忘了有时候人面对痛苦, 他们会开始质疑存在的价值。在巨大的痛苦里, 他们可以赤裸地展示痛苦, 但是再也没有勇气去表达自己的追求。所以布鲁姆这位对所有人都不屑, 到最后又向所有人妥协的“绅士”, 只能把自己卑微到尘埃里。所以, 他只能用“可怕”来描述朋友辛伯达的西班牙历险, 他只能勉强承认“人们极偶然地会遇上一个单纯的灵魂”。可是书中又布满了他自己那个“单纯灵魂”的闪光:“傍晚时分, 身穿灰色薄纱的姑娘们。然后是身配短剑头的戴假面的黑衣人的夜晚。富有诗意的粉红色的念头, 还有金色的、灰色的和黑色的。对于生活来说也是真实的。白昼, 然后才是傍晚……”一个能够在马桶上看《麦恰姆的妙举》的同时想象“时间舞蹈”的思想者和艺术家。

“你设想:一个人坐在我对面, 而在他诉说他自己的经历时, 突然现出这个不可把握的东西。这不可把握的东西赋予他的面貌以他的最个性的人格, 却同时提高他, 超过那个人格。如果我做到, 和他在这个我几乎想称之为狂欢状态里联系上了, 我就能画一幅画, 而这画, 虽然仅仅接近他自己, 却是一种更对那伟大秘密的描绘, 它归根到底不是表现他的个别的人格, 而是表现出了世界里荡漾的精神性和情感。这样远的摆脱了自己, 以至于和一个别人能进入这项结合, 这个可能性, ……从这个阶段, 用任何手段, 例如通过文字或色彩或音调来创作, 这就是艺术。” (8) 布鲁姆就是能够做到这样的艺术, 不论是这时间的描像, 还是对玛莎的描像。歌手妻子、交往的名流、儿时母亲膝盖上的周全礼节教导、早餐和报纸都是古老的笑话, 夹裹着生活那不安的秩序。

“我正要折回去取那加了香橙花的白蜡洗剂呢, 每逢星期四, 铺子总要提前打烊, 可是, 明天早晨我首先要办的就是这事儿”, 除了擦洗, 布鲁姆喜欢掩盖, 就像用泥土去掩埋粪便一样。这种情绪一样活在斯蒂芬身上:“他们泡在澡缸里又洗又擦。内心的谴责。良心。可是这儿还有一点污迹”, “整个爱尔兰都被水流冲洗干净了”。

语言自身有着生长的力量, 美与丑或许在我们的意识里没有明显的界限, 但是文字可以做到。就像废名的禅语可以自动搭建出心境之桥, 展现无与伦比的美。乔伊斯用饕餮、脏器、排泄自然延伸出一道污浊的长廊, 那里布满了斯蒂芬和布鲁姆都渴望擦去的污迹。布鲁姆斯蒂芬与布鲁姆相遇后, 布鲁姆随即到药店买了一块香皂, 把它一直揣在身上, 并在教堂里舒服地洗了个澡。他们要清洗的岂止是身体, 他们要去除的是经历积累在灵魂上的积垢和斑驳, 因为这些都证明了他们对生活的最终妥协。

三、两个质数的相遇

“一路上, 二巨头究竟讨论了些什么?

音乐, 文学, 爱尔兰, 都柏林, 巴黎, 友情, 女人, 卖淫, 营养, 煤气灯, 弧光灯以及白炽灯的光线对附近那些避日性树木的成长所产生的影响, 市政府临时所设不加盖的垃圾桶, 罗马天主教堂, 圣职者的独身生活, 爱尔兰国民, 耶稣会的教育, 职业, 学医, 刚度过的这一天, 安息日前一天的不详气氛, 斯蒂芬晕倒一事。

布鲁姆可曾就他们两人各自对经验之反应的相同与不同之处发现类似的共同点?

……

他们两人的见解在什么上头有分歧呢?

……

他们两人可曾在某一点上持同样否定的意见?”

……

在“此刻”这一点的相遇, 斯蒂芬和布鲁姆仿佛终于找到彼此的同伴, 但是我们更加可以发现乔伊斯在安排两人对话和行动时夹带着思维的冲突和默契的断裂。斯蒂芬和布鲁姆就像是两个质数。每一个质数都能分解出“一”和它本身。在乔伊斯苦心谱就的这场喧闹的现代史诗里, 不变的“一”成为了他们的交集, 但是他们存在的本身呢?吴宓先生曾经在其“万物品级图”中提到过:“他 (人) , 一半是形体的 (多) , 一半是属灵魂的 (一) , 这样可称为身心二元论。他有灵魂, 遵循的是意志自由;有形体, 遵循的是必然性或客观规律;人既有身体和灵魂, 所以, 人就要在两个不同的世界或境界中奋斗, 甚至互相消长。人们往往不是灵魂或心灵的自由多于外在的 (或形体的) 必然制约, 就是外在的必然制约多于心灵 (或灵魂) 的自由。其中原因, 是由于‘一’有向上的发展性, ‘多’有四散的扩张性。” (9)

《尤利西斯》是一张严实的网, 纵横交错间构成的每一个网洞都允许好奇、想象的思绪涌入, 每一个结节处或是来自于某名著的一句嘲弄, 或是某一个古典字符的隐喻又或是某一段飘出梦境的谶语……但是其精神内核并没有文字所显现的狂欢起伏, 而是一种身处在乔伊斯逻辑中的审慎和冷静, 这种冷静接近冷酷。斯蒂芬和布鲁姆都身披着彼此的影子, 斯蒂芬从过去走到了现在, 布鲁姆从未来走回到了现在。在嘈杂的现实中, 世界的破碎感更加清晰, 沟通的无能和无趣感更加强烈。在乔伊斯的预设中, 斯蒂芬和布鲁姆的“一”得以相遇, 但是, 因为其本身, 也是是“多”的存在, 这种相遇最终消散, 消散于存在的本身。乔伊斯在促成这样一次相遇的同时, 撕裂了相遇的意义, 打破了孤独者想以灵魂牵手来免遭孤独扼喉的奢望———这就是乔伊斯的预谋。

如果生活令人作呕, 艺术或者思考带来的“世俗救赎” (This-worldly salvation) (10) 是一个美妙的借口, 但是并不高明, 因为它只是宗教的投影罢了。维特根斯坦说, 时空之内的生命之谜的解决在时空之外, 而处在时空之外能够探照我们心灵的依然只能是宗教。但是无论是斯蒂芬还是布鲁姆, 他们都没有力量和勇气去破除掩蔽了真实的宗教存在的虚伪形式。“外邦人陷在自己所掘的坑中。他们的脚, 在自己暗设的网罗里缠住了。” (11) 身为时代异乡人的他们虽然愿意把自己推向赤裸去叩问世界因何而在, 但是这个追问, 乔伊斯努力把它掐灭在沉默和混杂中。

“我和布鲁姆是顶好的一对儿, 他照亮大地, 我润饰天空”, 如果将大地倒置, 我们可以将它看成天空, 但是, 在生活这颗星球运转时, 大地还是选择自己沉默, 天空还是永远难以企及。眼界中的模糊不会发生质的真正转移。就像顾城很美地描写过这样一种永难弥合的距离:

我总觉得/星星曾生长在一起/像一串绿葡萄/因为天体的转动/滚落到四方;

我总觉得/人类曾聚集在一起/像一碟小彩豆/因为陆地的破裂/迸溅到各方;

我总觉得/心灵曾依恋在一起/像一窝野蜜蜂/因为生活的风暴/飞散在远方。

篇4：漫谈质数与合数

关键词：质数；合数；循环节位数；同循合数

中图分类号：G640 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-177-03

自然数1不是质数也不是合数，是一个特殊的数。大于1位的正整数如果因数只有1和其自身，这个数是质数。如果因数有三个或以上的，这个数是合数。有些合数从尾数就能观察出来，除2、5外，凡尾数是0、5和偶数的都是合数。

质数除2、3外，都可以表示成6r+1或6r-1，反之，不能表示成6r+1或6r-1的，都是合数。这样的合数尾数凡是1、3、7、9的，都是3 的倍数。

6r±1数相互的积仍是6r±1的数。这样的合数如何识别它呢？尾数是5的都是合数，其它的，方法是：（1）奇数减1，偶数能表示为ab+a+b的是合数（ab≠0），否则是质数。也就是：设u为奇数，以u2为首项，以2u为公差，数列的各项均为合数。（2）设p 为分母，求出1/p的循环节位数，若位数是3的倍数，但p是6r-1数，则p是合数；若位数是5的倍数，但尾数不是1，则p是合数（循环节位数是3的倍数，质数都是6r+1数；循环节位数是5的倍数，质数的尾数都是1）。（3）6的倍数能表示成6nr+n+r或6nr-n-r的，再乘以6加1是合数，否则是质数。6的倍数能表示成6nr+n-r或6nr-n+r的，再乘以6减1是合数，否则是质数。（4）凡尾数是4或9的，乘以6加1是合数。凡尾数是1或6的，乘以6减1是合数。6的倍数是方数的，再乘以6减1是合数。或曰，方数乘以36减1是合数。如方数的尾数是4或9的，乘以36±1都是合数。（5）（设p为除2、5以外所有质数与合数，设n为循环节位数，设j代表循环节位数5个字。以下同）质数的j=n都能整除p-1，凡j=n不能整除p-1的都是合数，反之则不成立。因为，同循合数和部分同循合数减1，j=n均能整除p-1，就是：ab=p，（a≠b） 1/p， j=n， 1/a ， j=n1， 1/b， j=n2若n1和n2的最小公倍数等于n，（a-1）/n=c，（b-1）/n=d，则（p-1）/n=ncd+c+d，能整除。如：41×11=451，1/451=0.0（·）022172949（·），j=10位，1/41，j=5，1/11，j=2位，2和5的最小公倍数是10，（11-1）/10=1，（41-1）/10=4， 所以（451-1）/10=45，（10×4×1+4+1=45），识别这一类合数，可以求出它们的j=n后，再去从与j=n相同的全1数中，求出与其j=n相同的质数或同循合数，若质数是唯一的一个或数个，凡是同样j=n的其它数都是合数；求出的是同循合数，凡不能整除同循合数的都是合数。

大于1位，各位都是1的数称为全1数，111称3位全1数，11111称5位全1数，n个1组成的数称n位全1数，n位全1数中不含因数2或5，以n位全1数为分母的真分数化为循环小数是纯循环小数，且j=n位，n也正是n位全1数中各因数分别为分母的真分数化为循环小数循环节位数的最小公倍数，所以，n位全1数中必有至少1个或者两个、多个质因数j=n位。（以下简称某数的循环节位数）如10位全1数，即1111111111中，有全1数因数1111111111、11111、11（引入记号《n》表示n位全1数），《10》÷《5》÷《2》=9091，1/9091 =0.0（·）001099989（·），j=10位，9091是唯一的一个j=10位的质数，所以451是合数。 11×271=2981 9091×41=372731……都是j=10位。除9091外，它们都是合数。

15085351的j=100位，它是质数还是合数？《100》÷《50》÷（《20》÷《10》）=9999999999000000000099999999990000000001，这就是除1外各因数、质因数j=100位的同循合数，9999999999000000000099999999990000000001÷15085351余4567676，所以15085351是合数。15085351=251×60101，251的j=50位，60101的j=100位，9999999999000000000099999999990000000001÷60101=166386582569341608294371141910949901，能整除，所以60101是分解出来的一个质因数。

全1数，其中有质数：如《2》、《19》、《23》；有合数：合数分纯异因合数、混异因合数、同因数合数、同循合数。混异因合数的特征是含有同因数合数，《22》《42》《78》《3nn≥2》等都是混异因合数。质数位全1数除《3》外，不是质数的都是同循合数。

（一）质数只有和1最小公倍数才能是质数；相等的质数最小公倍数是自身也是质数。所以，6r±1数中，不同j=n的异因合数，其循环节位数都不可能是质数。

（二）质数的j=n是质数的但不可能等于p-1位。因为质数除2外都是奇数，p-1是偶数，只有（p-1）/2，方有可能是奇数。如有某数的j=n是质数，经验算不是3的倍数，它又能整除对应的同循合数，该数就是质数或部分同循合数。

（三）ab=p，1/a， j=（a-1），1/b，j=（b-1），则1/p，j=〔（a-1）（b-1）〕/2=〔ab-（a+b）+1〕/2，因为（ab-1）/2>〔ab-（a+b）+1〕/2，所以异因合数的j=n不可能是p-1位与（p-1）/2位。若p=a2，循环节最长为a2-a，如1/72，j=42 位，（p-1）>（p-a）>（p-1）/2，因此某数的j=n若是p-1位和（p-1）/2位的都是质数。根据（p-1）/n=ncd+c+d计算，（p-1）/n，9是不含2、5的同因数合数，j=1位，（9-1）/1=8，11×3=33，j=2位，（33-1）/2=16；11×9=99，j=2位，（99-1）/2=49，101×9=909， j=4（909-1）/4=227但它们都是6r+3数，7×13=91，91是同循合数，j=6位，（91-1）/6=15，19×37=703，j=18位，（703-1）/18=39，据统计：包括2、5在内10000以内有1228个质数，（p-1）/n商等于1和2的有841个，商小于8的有1088个，商小于15的有1161个，商小于39的有1196个。（后面的数字包括前面的数字）。除9、15、16外凡商小于39的都是质数。

（四）1/p化为循环小数j=n位，若p是不含2、3、5的合数，则p不仅可以和质数一样能整除n位全9数，也可以整除n位全1数。凡能够整除n位全1数的都能整除各位数码相同的n位数。所以检验整数A能否被p整除，从A的低位向高位n位n位分节，每节正好是对p的一个剩余数。

（五）若p为质数，n为偶数以及n的奇数倍数，则前一半与后一半数码完全相同的数能被p 整除。所以，任一个n位数前后各半2数的差都是对p的一个剩余数。若p为合数n为偶数，只有p的各质因数的j=n都是偶数位且相互的倍数是奇数时，前一半与后一半数码完全相同的数才能被p 整除。偶位循环有个特点，就是运算至一半时必余分母减分子，前后各半对应数互为9的补数，对折起来和数恰是n/2位全9数。

（六）1/p化循环小数时，可以设想1后面有若干个0，p除至多少位0余1，则循环节就是多少位。这时0的个数与j=n是相等的，所以把位数看成0的个数是有意义的。整十整百相乘其积1后面0的个数恰好是因数0的和数。因此，根据中国余数定理：因数的余数积等于积的余数。2位的余数乘以3位的余数等于5位的余数（包括剩余数）。如100000/31=3225……25， 5位×5位×5位=15位。 25×25×25=15625， 15625/31=504……1。1/31，j=15位。

（七）1/p化为n位循环小数，循环节的有效数字乘以p等于n位全9数。n位全9数除以p即为n位循环小数的有效数字。如1/7=0.142857，142857×7=999999，999999/142857=7，999999/7=142857，所以将纯循环小数化成分数的方法是：循环小数的有效数字为分子，n位全9数为分母，再约为最简分数。若想到142857×7是一个42位数，就明白1/72，j=42位了，1/p2呢？1/pr呢？

（八）设q为2、5以及仅含2、5的合数，1/q化为小数是有限小数，再设h为有限小数的位数，1/q在化小数时，设想1后面有若干个0，q除至多少位0恰好除尽，h就是多少位，这时h和0的个数是相等的，换句话说，任何整数末位只要有h位0，这些数均能被q整除。由此，告诉我们两种方法：（a）判断整数A能否被q整除的方法：只要A 的末h位能被q整除， A就能被q整除；（b）有限小数化成分数的方法：以有限小数的有效数字为分子，以1后面有h位0的整数为分母，再化简即可。

（九）设A为任一质数或合数，r/A=cr/cA=（cr-br）/（cA-bA）=r/A。设w为含有2、5的合数，r/w=ar/aw=（ar-br）/（aw-bw）=r/w。4×3=12是含有2的合数，1/12=0.083（·），为混循环小数，1000/12=83……4，12除尽了1000-4=996，1/12=83/996=（83-1×8）/（996-12×8）=（83-8）/（996-96）=75/900，恰巧，混循环小数化成分数，循环部分是几位写几个9，不循环部分是几位再在9的后面写几个0为分母；混循环小数的有效数字减去不循环部分的有效数字为分子，再化简。

（十）6r±1如果都是质数，称为对生质数，也叫孪生质数。一定范围内的对生质数，是可以筛选出来的。下面筛选r=30以内的对生质数，以示方法：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6×1×1=6 6-1-1=4 6+1-1=6 6+1+1=8 （将4、6、8字号缩小以示区别）

6×2×1=12 12-2-1=9 12-2+1=11 12+2-1=13 12+2+1=15

6×3×1=18 18-3-1=14 18-3+1=16 18+3-1=20 18+3+1=22

6×4×1=24 24-4-1=19 24-4+1=21 24+4-1=27 24+4+1=29

6×2×2=24 24-2-2=20 24+2-2=24 24+2+2=28

6×5×1=30 30-5-1=24 30-5+1=26 30+5-1=34 30+5+1=36

6×6×1=36 36-6-1=29 36-6+1=31 36+2+3=41

6×2×3=36 36-2-3=31

用以上方法计算出来的数字都是6的一个倍数，即是r。这些6r±1不可能都是质数。

收获：1 2 3 5 7 10 12 17 18 23 25 30 对生质数有：

5和7 11 和 13 17 和 19 29 和 31 41 和 43 59 和 61 71 和73

101 和 103 107 和 109 137 和 139 149 和 151 179和181

用此方法同样可以筛选出来一定范围内的所有质数，首先建立合数表，表中每一个方格代表一个6的倍数，记住上面（3）所述，在对应方格中写上+号或-号，然后再反转成质数表。在这样的质数表中，对生质数的分布，一目了然。

例：241，在2号质数表竖4横1的交叉处，此处方格中写有+号，即421×6+1=1447是质数。横竖交叉表示末两位数，横是末位数，表号是末两位前面的数。

循环节位数 1-60与循环节对应的同循合数和质数

1 3

2 11

3 37

4 101

5 〔5〕=41×271

6 91=7×13

7 《7》=239×4649

8 10001=73×137

9 333667

10 9091

11 《11》=21649×513239

12 9901

13 《13》=53×79×265371653

14 909091

15 90090991=31×2906161 3

16 100000001=17×5882353

17 《17》=2071723×5363222357

18 999001=19×52579

19 《19》

20 99009901=3541×27961

21 900900990991=43×1933×10838689

22 826446281=23×4093×8779

23 《23》

24 99990001

25 100001000010000100001=21401×25601×182521213001

26 909090909091=859×1058313049

27 333333333666666667=757×440334654777631

28 990099009901=29×281×121499449

29 《29》=3191×16763×43037×62003×77843839397

30 109889011=241×211×2161

31 《31》=2791×6943319×57336415063790604359

32 10000000000000001=353×449×641×1409×69857

33 90090090090990990991=67×1344628210313298373

34 9090909090909091=103×4013×21993833369

35 900009090090909909099991=71×123551×102598800232111471

36 999999000001

37 《37》2028119×247629013×2212394296770203368013

38 909090909090909091

39 900900900900990990990991

40 9999000099990001=1676321×5964848081

41 《41》=83×1231×538987×201763709900322803748657942361

42 156985855573=127×2689×459691

43 《43》=173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

44 99009900990099009901=89×1052788969×1056689261

45 999000000999000999999001=238681×4185502830133110721

46 9090909090909090909091=47×139×2531×549797184491917

47 《47》=35121409×316362908763458525001406154038726382279

48 9999999900000001

49 1000000100000010000001000000100000010000001 =505885997×19767301445981 90963568024679333

50 999999000009999900001=251×5051×78875945472201

51 90090090090090090990990990991=613×210631×52986961×13168164561429877

52 990099009900990099009901=521×1900381976777332243781

53 《53》=107×1659431×1325815267337711173×471988587 99491425660200071

54 999999999000000001=70541929×14175966169

55 9000090000990009900099900999009999099991= 1321×62921×83251631×1300635692678058358830121 4

56 999900009999000099990001=7841×127522001020150503761

57 900900900900900900990990990990990991=21319×10749631×393112302230512 9377976519

58 9090909090909090909090909091=59×154083204930662557781201849

59《59》=2559647034361×4340876285657460212144534289928559826755746751

篇5：《质数与合数》教学反思

依据什么分类标准分为奇数和偶数？同学们知道分类的标准不同，所分的结果也有不同。......今天我们要学习一个新的分类标准。

二、探究新知

篇6：质数与合数教案设计

教学目的：

1、使学生正确理解和 掌握质数、合数的概念，能应用概念进行判断。

2、培养学生观察、比较、概括的能力。

3、培养学生勇于实践探索的学习品质。教学重点：掌握质数、合数的概念。教学难点：正确判断质数、合数。教学过程：

1、导入新课。

师：同学们已经学习约数、倍数的概念，知道了一个数约数的个数是有限的，一个数有限的约数中，它的个数有什么规律吗？这节课咱们一起研究这个问题。

请持有1——12号数字卡片的同学出示，并说出这个数的约数。师：这12个数的约数的个数有什么不同？以小组为单位讨论可以分几类？怎么分？

学生观察、比较、讨论。

分成三类：只有1个约数的、只有两个约数的、两个以上约数的。

2、学习新课

师：思考：这些只有两个约数，这两个约数有什么特点？

这些有两个以上约数，这两个以上约数又有什么特点？ 学生观察讨论 只有两个约数的自然数，这两个约数一个是1，另一个是它自己。两个以上约数的自然数，1和它本身，还有别的约数。师：学号13的同学应归于哪类？ 学号18的同学应归于哪类？

为什么？

师：同学们认真观察、比较、发现了这些自然数约数的特点。像1这样的自然数只有1个约数；像2、3、5、7等这样的自然数只有1和它本身两个约数；像4、6、8、10等这样的自然数有两个以上约数，是1和它本身，还有别的约数。具有上面约数特点的数，我们能给它们起个名字吗？请打开书，看看书中是怎样命名的？你又是怎样理解的？

学生看书回答 板书：质数、合数的概念

师：学号是质数同学起立，学号是合数同学起立。

1号为什么不站起来？明确1既不是质数，也不是合数。出示100以内质数表

3、判断下面的说法对吗？

①所有的奇数都是质数。（）②所有的偶数都是合数。（）③自然数中除了合数就是质数。（）④自然数中除了奇数就是偶数。（）⑤最小的质数是2。（）⑥最小的合数是4。（）

⑦一个合数至少有3个约数。（）

4、5、课堂小结 巩固练习

⑴出示：把自然数看作一个大集合的话，从自然数约数的个数分类，应分几类？

从能否被2整除的角度分类，应分几类？ 质数 合数 1 奇数偶数 师：“想一想，同样是自然数的集合圈，为什么有时分两类，有时分三类。

（分的角度不同，分的类别就不同。）⑵判断下面的数是质数还是合数。23、48、45、32、236254623212 最后的一个数怎样判断比较快

篇7：《质数与合数》教学反思（通用）

在社会一步步向前发展的今天，我们的工作之一就是课堂教学，反思过去，是为了以后。反思我们应该怎么写呢？下面是小编精心整理的《质数与合数》教学反思（通用5篇），仅供参考，欢迎大家阅读。

《质数与合数》教学反思1

前几天我们学习了质数与合数这一部分教学内容，此部分内容尤为重要，尤其是质数这一部分内容。在教学质数和合数一课时，我运用了自主、合作、探究的教学方法，使学生在参与中产生求知欲望，调动学习积极性。首先让学生独立写出1-20这20个数的因数，再根据因数多少进行分类，然后以小组为单位交流，学生通过交流，有的分为两种，奇数和偶数；有的认为分为6种，有6种因数的个数；有的分为因数的个数为单数个和偶数个等等。然后让学生自学书上的分类方法，并感悟到，最科学的分类是自然数按照因数的个数可以分为质数、合数、0和1。明白含义后这时出示一组数据，让学生判断。

在教学中我努力放手，让学生从自己的思维实际出发，给学生以充分的思考时间，对问题进行独立探索、尝试、讨论、交流，学生充分展示自己的思维过程。在合作交流中互相启发、互相激励、共同发展。学生经历和感受了合作、交流、成功、愉悦的情感体验。

其实数学就在我们身边。在课中，我尊重学生，信任学生，敢干放手让学生自己去学习。整个教学过程让学生通过分类、讨论、质疑、释疑、归纳、验证，经历了知识的发现和探究过程。最后任意出各种数让学生进行辨析，巩固质数和合数的含义。最后出示例1中的1～100，让学生找100以内的质数。在找之前先让学生说一说你想如何来操作，才不会重负和遗漏掉。有的说根据含义逐个判断，有点的说根据前面学过的2、3、5的倍数的特征，先划掉这些数。我补充说明，在数比较多的时候，用后者比较合适，这种方法叫筛选（排除法）。除了划掉2、3、5的倍数，还要记得划掉7的倍数才行。

在这节课中，学生的思维比较活跃，学得灵活。但还有些地方需要改进。练习的形式还可以多样。反馈的速度过快，部分同学对质数的概念了解不够深入，学生掌握的效果并不太好，还需要在以后的教学中加以改进。

《质数与合数》教学反思2

《质数和合数》是在学生已经掌握了因数和倍数的意义，了解了2、5、3倍数的特征之后学习的又一重要内容，它是学生学习分解质因数，求最大公因数和最小公倍数的基础，在本章教学内容中起着承前启后的重要作用。五年级的学生已具备一定的观察、分析、理解能力，掌握了一些学习数学的方法。学生对学习充满热情和好奇心，有主动参与的意识，迫切地希望体验探究学习的过程。因此，我根据教学内容选择了探究性的学习方式。通过体验与探究的活动，让学生亲历概念的自我建构过程，培养学生勇于探索的科学精神。

本节课我把重点放在自主探究、观察、比较中，这样有利于培养学生的思维能力和探究精神。在课中，我尊重孩子，信任他们，勇敢的放手让学生自己去学习。首先我是让孩子们快速找出1到20各数的因数，然后引导他们观察，主要是从因数的个数上去观察。刚开始学生将他们分为两类：有1个或两个因数的：1，2，3，5，7，9，11，13，17，19；其余的有三个或三个以上因数的。我给与肯定并告诉孩子在数学上“1”这个数比较特殊，我们把它分为单独一类，有两个因数的归为1类，并将这样的数称为质数，然后让孩子根据这些数因数的特点给“质数”定义一下，学生们通过观察发现这些数只有两个因数，这两个因数就是“1”和“本身”，自然而然就得出质数的定义，理解质数后，合数的理解就很简单了。

其次，教师的鼓励为学生体验成功搭设了舞台。成功与快乐是学习的一种巨大的情绪力量，教师不失时机的积极鼓励，能使学生产生学好数学的.强烈欲望。因此，教师要对学生任何成功的言行都要给予及时、明确和积极的强化。如微笑、点头、重复和阐述学生的正确答案。在讲“质数、合数”这节课，教师在引导学生发现判断质数、合数方法的过程中，自始至终都没有以一个“裁判者”的身份出现，而是力求使自己成为学生学习的促进者、参与协商，鼓励和监控学生的讨论和练习过程，但不控制学生的讨论结果。同时教师也把自己当作学习者，与学生一道共同完成学习任务，由于采用了新课程标准的理念，让学生充分体验了成功的喜悦。

本节课教师充分放手让学生去探究，留足学生探究的时间与空间，关注有差异的学生去发现，去完成自己的学习目标，使每个学生都积极参与“做”数学，能再课上研究的问题就在课上处理，不只局限于使学生理解、掌握知识，更多关注的是培养学生探究知识能力，最大限度的满足了每一个学生数学学习的需要，让不同的人在数学上得到了不同的发展。

《质数与合数》教学反思3

本节课的内容是学习因数和倍数、2、3、5倍数特征的基础上进行教学的。本节课所涉及的质数与合数的概念也是初等数论的基础知识，为后面学习约分、通分奠定基础。

成功之处：

1、正确区分奇数与偶数、质数与合数的分类标准。在教学质数与合数时，首先让学生回顾奇数与偶数的特征及分类标准，即自然数按照2的倍数特征可以分为两类：奇数和偶数。接着一个非零自然数还可以按照什么标准进行分类呢以此引入新课，通过找出1—20各数的因数，观察这些数因数的个数你发现了什么，由此学生发现有的数只有1和它本身两个因数，有的除了1和它本身还有别的因数（两个以上的因数），有的只有1个因数，那么根据因数的个数可以把这些数分为几类，得出三类：质数、合数、1。最后在对比奇数、偶数的分类标准，让学生知道不同的分类标准可以得出不同的结果。

2、注重从新知中提取知识点，让学生进行记忆。在教学质数与合数的概念后，让学生想一想最小的质数是几，最小的合数是几，质数只有几个因数，合数至少有几个因数，一个非零自然数按照因数的个数可以分为几类，各是什么。在教学100以内的质数表后，让学生重点记忆20以内的质数有哪些。通过这样提取知识点可以让学生在做题目时能够比较准确的写出正确答案。

不足之处：

1、因为补充的知识点比较多，导致课堂练习时间过少，对知识的巩固有所欠缺。

2、个别学生对于分类的标准还存在模糊现象，导致在做练习时出现填写完20以内的质数后，在填写合数时出现漏数现象，不知道除了1和质数外，剩下的都是合数。

《质数与合数》教学反思4

概念的教学往往是枯燥的，一般不是有教师和学生的重复不断语言就是有很多的练习题训练。而这一节课教学使学生感到特别兴奋。

第一、在概念教学中，师生的这种融洽的、和谐的，而又不失激情的课堂氛围感染了我。它一改概念教学的枯燥与乏味。让学生在做中学，源于课本又超越了课本，学生用本册刚刚学到的数据收集和整理的知识，来动手操作研究这一节课，使得学生的兴趣一下子就被调动起来了。

第二、探究、合作、讨论、自主学习是新课程标准的基本理念。在概念教学中如何实施这一理念是这一节课的特色，教学中教师通过自己对教材的理解，对学生的了解。精心设计了问题，巧妙地进行引导学生思考、讨论探索、总结发现规律。学生通过异质的组合来讨论、探究知识，促进相互的学习，提高合作的能力，这对学生一生的发展都的有用的。

第三、大数学观是小学数学新课程标准的重要理念，这一片段的教学中不仅体现了小学数学知识的综合性强的特点，而且真正的把数学知识的教学、动手能力、合作能力等人文素养的培养结合在一起。学生的异质组合讨论、动手拼一拼、相互商议、个别争论等都无不体现了教师先进的教育教学理念。

《质数与合数》教学反思5

我根据学生的课堂表现改变了原有的教学思路，摒弃了让学生自主分类的方法，直接把分类的方法呈现给学生，当时课堂上作这一考虑是源于学生的无绪回答。我认为对于按因数的个数分类，能按质数与合数分类标准的进行分类的学生应该很少，除非提前预习了课文的内容，不然，大部分学生都会按因数的个数进行一一分类，如果顺着学生的思路下去，这样的分类将毫无意义，最终都会因达不到教师的教学目的，教师又得重起炉灶，将质数与合数的分类标准传授给学生，这样不仅会浪费宝贵的时间，另一方面又会给学生造成一种错觉：我们自己想出来的没有老师讲得好，最后还得听老师的，不如我一开始就等待。

篇8：陈景润与哥德巴赫猜想

1. 陈景润简介

陈景润是福建人, 1933年出生于福州市郊的一个邮政局职员家里。他读高中时, 数学老师沈元给他们讲了哥德巴赫猜想的问题。沈元说:科学的皇后是数学, 数学的皇冠是数论, “哥德巴赫猜想”就是皇冠上的明珠。如果同学们有志研究数学, 就应该力争去采摘这颗皇冠上的明珠。老师的话深深地打动了陈景润的心, 他刻苦学习, 努力攀登数学高峰, 为摘取皇冠上的明珠而奋斗。由于刻苦努力, 他在1949年高中未毕业就以同等学历考入了厦门大学。1953年毕业, 去北京当中学教师。1954年, 厦门大学校长王亚南将陈景润调回厦门大学数学系资料室当资料员, 为他致力数学研究提供了方便。陈景润认真钻研华罗庚教授的《堆垒素数论》和《数论导引》, 他的第一篇论文是关于华林问题, 深得华罗庚教授的赞赏, 于1957年他被再次调到北京, 在中国科学院数学所工作, 1981年当选为中国科学院学部委员。他在哥德巴赫猜想上的研究成果居世界领先地位。

陈景润非常尊敬和感激自己的老师。1980年4月, 陈景润参加华罗庚教授在英国伯明翰举行的宴会, 当华罗庚教授向客人们介绍陈景润时, 陈景润说:“华教授是培养我成长的大师。”陈景润对闵嗣鹤教授的具体指点更是感激不尽, 闵教授去世后, 陈景润每年都要去闵师母处问候请安。

2. 这就是“哥德巴赫猜想”

记得邱学华老师曾在昆明召开的小学数学课堂教学观摩会上, 亲自用尝试教学法上了一节质数与合数的示范课。当学生明确了质数与合数的概念后, 邱老师让学生每人写一个大于2的偶数, 然后再把这个偶数写成两个质数的和。学生写完后, 邱老师告诉他们:这就是哥德巴赫猜想, 同学们已经会验证哥德巴赫猜想了, 孩子们一个个兴高采烈, 激动万分, 课堂气氛达到了高潮。我在数论初步课程的教学中, 也给过同样的启示, 当发现学生中没有人知道哥德巴赫猜想时, 我给出了不同的八组数, 请每个组的同学独立地将本组涉及的5个不同的大于2的偶数分解成不同质数的和, 然后分析结果, 试着提出一个猜想。他们很快得出了分解结果, 而且通过观察发现:虽然分解结果不尽相同, 有的题分解方法还很多, 但有一个共同的特点, 那就是每一个偶数都可分解成两个不同质数的和, 因此提出的猜想是:每一个大于2的偶数都可以写成两个不同质数的和。我告诉他们:同学们的猜想就是哥德巴赫的猜想……

3. 原来“1+2”是这么回事

德国数学家哥德巴赫, 1690年生于哥尼斯堡城, 早年做过驻俄国的公使, 1725年成为比得堡科学院院士。1742年6月, 他在给欧拉的一封信中写到:我发现任何大于五的奇数都是3个素数之和。虽然任何一次试验都可得到上述结果, 但不可能把所有奇数都拿来检验, 需要一般的证明。你能帮忙吗?欧拉回信说:关于你的这个命题, 我作了认真的推敲和研究, 看来是正确的。但, 我也给不出严格的证明。这里, 在你的基础上, 我认为, 任何一个大于2的偶数, 都是两个素数之和。不过, 这个命题我也不能给出一般性的说明。但我确信这是完全正确的。

后来欧拉把他们的信公布于世。当时数学界把他们通信中涉及的问题, 称为“哥德巴赫猜想”, 并把它归纳为: (1) 大于2的偶数都可以表示为两个素数之和; (2) 大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。

显然, 如果命题 (1) 成立, 那么命题 (2) 必然成立, 但命题 (2) 成立, 却不能推出命题 (1) 成立。所以, 后来就把“哥德巴赫猜想”的最后证明结果归为命题 (1) , 即:大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。记作“1+1”。

“哥德巴赫猜想”自1742年被提出以来, 已历时两个半世纪之多。但对这猜想的研究, 直到二十世纪处才有本质性的进展。1937年, 苏联数学家伊·维诺格拉多夫, 应用哈代与李托伍特的“圆法”, 以及他自己创造的“三角和法”证明了命题 (2) 。

对命题 (1) 的证明, 中国走在最前列。1956年, 我国年轻数学家王元证明了“3+4”。紧接着, 1957年他又证明了“2+3”。1962年, 我国年轻数学家潘承洞首先证明了“1+5”。1962年, 王元、潘承洞又都证明了“1+4”。1965年, 欧洲数学家邦别里等三人差不多同时证明了“1+3”。1966年, 陈景润, 宣布证明了“1+2”。并于1973年在《中国科学》上正式发表了他震惊世界的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》这就是“1+2”。他的这一成果被国外誉为“陈氏定理”。他使数学家们离“哥德巴赫猜想”的最终结果“1+1”只有了一步之遥。

值得一提的是, 要摘到皇冠上的明珠不是轻而易举的事情, 必须有高深的数学修养, 具备渊博的数学专业理论知识及献身数学研究的精神, 还要对已经取得的成果进行深入系统的研究后, 站在巨人的肩膀上, 才有可能有一线希望, 否则不要去做那种徒劳无功的尝试。

参考文献

[1]徐少亭.中外数学家[M].福州:福建人民出版社, 1986.