专升本高等数学全国卷

专升本高等数学全国卷（精选8篇）

篇1：专升本高等数学全国卷

全国各类成人高等学校专升本招生复习考试大纲

高等数学

（二）本大纲适用于经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）六个一级学科的考生。

总要求

本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基本概念与基本理论；了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练”三个层次。

复习考试内容

一、极限和连续

（1）极限

1．知识范围

（1）数列极限的概念和性质

数列数列极限的定义

唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理

（2）函数极限的概念和性质

函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系χ趋于无穷（χ→∞，χ→+∞，χ→-∞）时函数的极限函数极限的几何意义

唯一性四则运算法则夹逼定理

（3）无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的比较

（4）两个重要极限

limsinx

xx011lim1e xxx

2．要求

（1）了解极限的概念（对极限定义中“ε—N”、“ε—δ”、“ε—M”的描述不作要求）。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷

小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（二）连续

1．知识范围

（1）函数连续的概念

函数在一点处连续的定义左连续和右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点

（2）函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算复合函数的连续性

（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理最大值与最小值定理介值定理（包括零点定理）

（4）初等函数的连续性

2．要求

（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握函数（含分段函数）在一点处的连续性的判断方法。

（2）会求函数的间断点。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

（1）导数概念

导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系

（2）导数的四则运算法则与导数的基本公式

（3）求导方法

复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法

（4）高阶导数

高阶导数的定义高阶导数的计算

（5）微分

微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性

2．要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

（4）掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。

（5）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

（6）理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

（二）导数的应用

1．知识范围

（1）洛必达（L′Hospital）法则

（2）函数增减性的判定法

（3）函数极值与极值点最大值与最小值

（4）曲线的凹凸性、拐点

（5）曲线的水平渐近线与铅直渐近线

2．要求

（1）熟练掌握用洛必达法则求“0

0”“

”“0·∞”“∞—∞”型未定式的极限的方法。

（2）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（3）理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会求解简单的应用问题。

（4）会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。

（5）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

三、一元函数积分学

（一）不定积分

1．知识范围

（1）不定积分

原函数与不定积分的定义不定积分的性质

（2）基本积分公式

（3）换元积分法

第一换元法（凑微分法）第二换元法

（4）分部积分法

（5）一些简单有理函数的积分

2．要求

（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限形如

2222。axdx、axdx的三角代换与简单的根式代换）

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法

（5）掌握简单有理函数不定积分的计算。

（二）定积分

1．知识范围

（1）定积分的概念

定积分的定义及其几何意义可积条件

（2）定积分的性质

（3）定积分的计算

变上限的定积分牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式换元积分法分部积分法

（4）无穷区间的广义积分

收敛发散计算方法

（5）定积分的应用

平面图形的面积旋转体的体积

2．要求

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。

（2）掌握定积分的基本性质

（3）理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体体积。

四、多元函数微分学

1．知识范围

（1）多元函数

多元函数的定义二元函数的定义域二元函数的几何意义

（2）二元函数的极限与连续的概念

（3）偏导数与全微分

一阶偏导数二阶偏导数全微分

（4）复合函数的偏导数隐函数的偏导数

（5）二元函数的无条件极值和条件极值

2．要求

（1）了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。

（2）了解二元函数的极限与连续的概念。

（3）理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。

（4）掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

（5）会求二元函数的无条件极值和条件极值。

（6）会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。

五、概率论初步

1．知识范围

（1）事件及其概率

随机事件事件的关系及其运算概率的古典型定义概率的性质条件概率事件的独立性

（2）随机变量及其概率分布

随机变量的概念随机变量的分布函数离散型随机变量及其概率分布

（3）随机变量的数字特征

离散型随机变量的数学期望方差标准差

2．要求

（1）了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。

（2）掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容（或互斥）关系及对立关系。

（3）理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的定义，掌握其运算规律。

（4）理解概率的古典型定义；掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。

（5）会求事件的条件概念；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。

（6）了解随机变量的概念及其分布函数。

（7）理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。

（8）会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。

考试形式及试卷结构

试卷总分：150分

考试时间：150分钟

考试方法：闭卷，笔试

试卷内容比例：

极限和连续约15%

一元函数微分学约30%

一元函数积分学约32%

多元函数微分学约15%

概率论初步约8%

试卷题型比例：

选择题约27%

填空题约27%

解答题约46%

试题难易比例：

容易题约30%

中等难度题约50%

较难题约20%

篇2：专升本高等数学全国卷

高等数学

（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。．．．．．．．

选择题

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信点．．．．．．．．．． 上。．sin2x

1、limx0x2A.0 B.1 C.2

D.

x02、设函数f(x)在x=1处可导，且f(1)2，则limA.-2 B.f(1x)f(1)

x

12C.1

2D.2

3、d(sin2x)

A.2cos2xdx

B.cos2xdx

C.2cos2xdx

D.cos2xdx

4、设函数f(x)在区间a,b连续且不恒为零，则下列各式中不恒为常数的是

A.f(b)f(a)

B.baf(x)dx

xaf(x)

C.limxa

D.f(t)dt

5、设f(x)为连续函数，且A.3x2x0f(t)dtx3ln(x1)，则f(x)

x1

B.x1 x1

C.3x

uu2D.x

16、设函数f(x)在区间a,b连续，且I(u)A.恒大于零

yaf(x)dxf(t)dt，aub，则I(u)

aB.恒小于零

C.恒等于零

D.可正可负

7、设二元函数zx，则

z yyA.x y B.xlny

C.xlnx

y

D.yxy1

8、设函数f(x)在区间a,b连续，则曲线yf(x)与直线xa,xb及x轴所围成的平面图形的面积为

A.baf(x)dx

B.baf(x)dx

C.baf(x)dx

D.baf(x)dx

z=

9、设二元函数zxcosy，则

xyA.xsiny B.xsiny

C.siny

D.siny

210、设事件A，B相互独立，A，B发生的概率分别为0.6，0.9，则A，B都不发生的概率为

A.0.54

B.0.04

C.0.1 D.0.4

非选择题

二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，将答案填写在答题卡相应题．．．．．． 号后。．．

11、函数f(x)2的间断点为x=_______________.x1e3x1,x012、设函数f(x)在x=0处连续，则a _______________.a,x013、设ysin(2x1)，则y_______________.14、函数f(x)x1的单调增区间为_______________.x15、曲线yexx2在点（0，1）处的切线斜率为_______________.16、设f(x)为连续函数，则f(x)dx=_______.17、(x3cosx1)dx_______________.1118、(2x1)5dx_______________.0119、设二元函数ze1xy，则

z_______________.y2z20、设二元函数zxy，则_______________.xy

32三、解答题：21~28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答． 题卡相应题号后。．．．．．．．

21、（本题满分8分）

e2x2ex1计算lim.2x0x22、（本题满分8分）

已知x=-1是函数f(x)ax3bx2的驻点，且曲线yf(x)过点（1,5），求a,b 的值.23、（本题满分8分）

x3dx.计算x124、（本题满分8分）

计算lnxdx.1e25、（本题满分8分）

设yy(x)是由方程eyxy1所确定的隐函数，求

26、（本题满分10分）

求曲线ysinx(0xdy。dx2)，x轴及直线x2所围成的平面图形为D，在区间(0,)内求一点x0，使直线xx0将D分为面积相等的两部分。

227、（本题满分10分）

设50件产品中，45件是正品，5件是次品，从中任取3件，求其中至少一件是次品的概率。（精确到0.01）

28、（本题满分10分）

设曲线y4x2(x0)与x轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为D。（如图中阴影部分所示）。（1）求D的面积S。

篇3：专升本高等数学全国卷

2009年全国高考 (宁夏卷) 理科数学第9题考这样一道选择题:

已知O, N, P在△ABC所在平面内, 且$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{{\rm O}B}|=|\overrightarrow{{\rm O}C}|‚\overrightarrow{{\rm N}A}+\overrightarrow{{\rm N}B}+\overrightarrow{{\rm N}C}=0‚\overrightarrow{{\rm P}A}\cdot \overrightarrow{{\rm P}B}=\overrightarrow{{\rm P}B}\cdot \overrightarrow{{\rm P}C}=\overrightarrow{{\rm P}C}\cdot \overrightarrow{{\rm P}A}$, 则点O, N, P依次是△ABC的 ( ) .

(A) 重心 外心 垂心

(B) 重心 外心 内心

(C) 外心 重心 垂心

(D) 外心 重心 内心

(注:三角形的三条高线交于一点, 此点为三角型的垂心)

这道题考查的是三角形特殊点向量形式的本质刻画.重心、外心、内心分别是三角形三中线、三中垂线和三内角平分线的交点, 这是学生应该掌握的基本概念;而题目中又给出了垂心的定义.如果这些概念和相应的向量刻画都熟悉的话, 不难得出该题的正确答案.

事实上, 由条件$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{{\rm O}B}|=|\overrightarrow{{\rm O}C}|$知O点到三角形三顶点的距离相等, 根据定义知O是三角形的外心;

由条件$\overrightarrow{{\rm N}A}+\overrightarrow{{\rm N}B}+\overrightarrow{{\rm N}C}=0$, 知$\overrightarrow{{\rm N}A}+\overrightarrow{{\rm N}B}=-\overrightarrow{{\rm N}C}$, 这说明以$\overrightarrow{{\rm N}A}$和$\overrightarrow{{\rm N}B}$为邻边的平行四边形的以N为端点的对角线和$\overrightarrow{{\rm N}C}$共线, 从而NC是AB上的中线, 同理可知NA, NB也分别是BC, AC上的中线, 于是根据定义知N是重心;

由条件$\overrightarrow{{\rm P}A}\cdot \overrightarrow{{\rm P}B}=\overrightarrow{{\rm P}B}\cdot \overrightarrow{{\rm P}C}$知$\overrightarrow{{\rm P}B}\cdot (\overrightarrow{{\rm P}A}-\overrightarrow{{\rm P}C})=0$, 即$\overrightarrow{{\rm P}B}\cdot \overrightarrow{AC}=0$, 所以$\overrightarrow{{\rm P}B}$垂直$\overrightarrow{AC}$, 同理$\overrightarrow{{\rm P}A}$垂直$\overrightarrow{BC}‚\overrightarrow{{\rm P}C}$垂直$\overrightarrow{AB}$, 根据题中注记给出的概念知P是垂心.

所以原题答案是C.

当然, 此题的解答方法并不唯一.另外, 易知题目中关于外心、重心和垂心的条件不仅是充分的, 而且是必要的.

事实上, 对该题还可以发散思维, 得到一些其它问题, 现举例如下:

问题1 重心 (垂心、内心、外心) 既然是三直线的交点, 自然的问题就是三中线 (高线、内角平分线、中垂线) 为何一定相交于一点?

这实际上是三线共点类型的结合性问题.关于内心和外心的情形证明很简单, 此处从略.下面着重证明重心和垂心的情形.

先证重心的情形.这里给出两种简便的方法.

方法1 (向量法)

如图1, 设D, E, F分别为△ABC三边BC, AC, AB的中点, BE与CF交于点O, 又设$\overrightarrow{AB}=\mathit{a}‚\overrightarrow{AC}=\mathit{b}$, 则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\mathit{a}+\mathit{b}).$

由于$\overrightarrow{C{\rm O}}$与$\overrightarrow{CF}‚\overrightarrow{B{\rm O}}$与$\overrightarrow{BE}$分别共线, 令

$\begin{array}{l}\overrightarrow{C{\rm O}}=\lambda \overrightarrow{CF}=\lambda (\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC})=\lambda \left(\frac{1}{2}\mathit{a}-\mathit{b}\right)‚\\ \overrightarrow{B{\rm O}}=\mu \overrightarrow{BE}=\mu (\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})=\mu \left(\frac{1}{2}\mathit{b}-\mathit{a}\right)‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{则}\overrightarrow{A{\rm O}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{\rm O}}=\mathit{b}+\lambda \left(\frac{1}{2}\mathit{a}-\mathit{b}\right)\\ =\frac{1}{2}\lambda \mathit{a}+(1-\lambda )\mathit{b}‚\\ \overrightarrow{A{\rm O}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{\rm O}}=\mathit{a}+\mu \left(\frac{1}{2}\mathit{b}-\mathit{a}\right)\\ =(1-\mu )\mathit{a}+\frac{1}{2}\mu \mathit{b}.\end{array}$

从而有

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\lambda =1-\mu ‚\\ 1-\lambda =\frac{1}{2}\mu ‚\end{array}$

解得$\lambda =\mu =\frac{2}{3}.$

代入得$\overrightarrow{A{\rm O}}=\frac{1}{3}(\mathit{a}+\mathit{b})$, 即$\overrightarrow{A{\rm O}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$, 所以$\overrightarrow{A{\rm O}}$与$\overrightarrow{AD}$共线, AD过点O.

方法2 (借助德萨格定理)

仍参照图1, 考虑三角形DEF与三角形ABC.易知DE, EF, FD分别平行于AB, BC, CA, 所以其对应边交于无穷远点, 从而共于无穷远直线.于是由德萨格定理知对应定点的连线共点, 即为重心.

再证垂心的情形, 这里采用齐次坐标法.

如图2, 由三高线方程分别为

AD:x=0,

BE:$y=\frac{c}{a}(x-b)‚$

CF:$y=\frac{b}{a}(x-c)$,

知其齐次坐标分别为$(1‚0‚0)‚\left(\frac{c}{a}‚-1‚\frac{-bc}{a}\right)‚\left(\frac{b}{a}‚-1‚\frac{-bc}{a}\right).$

故系数矩阵的行列式

从而三高线共点.

上面讨论了三线共点的结合性问题, 自然地还可以考虑三角形的重心、垂心、内心和外心这几个特殊点是否共线的结合性问题, 这样就得到

问题2 试证三角形的外心、重心和垂心三点共线.

证明 如图3, 设E, D, O分别为△ABC的垂心、重心和外心, G, F分别是BC, CA的中点.于是在△ABE与△GFO中, 因为AE//GO, BE//FO, AB//GE, 故△ABE与△GFO的三双对应边的交点皆为无穷远点, 共于无穷远直线.从而由德萨格定理知其对应顶点的连线AG, BF, EO共点, 而AG, BF的交点是重心D.故D在EO上, 即重心、垂心与外心共线.

参考文献

[1]梅向明, 增贤, 等.高等几何 (第2版) [M].北京:高等教育出版社, 2000.

篇4：专升本高等数学全国卷

1. 若集合A={x | x2-x+6<0}，集合B={x∈N | y=}，则A∩B=（ ）

A. {3} B. {1， 3} C. {1， 2} D. {1， 2， 3}

2. 若z =1-2i，则复数z+在复平面上对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图1，ABCD是边长为4的正方形，若DE=EC且F为BC中点，则· =（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

4. 某单位春节联欢会中有一个抽奖环节，其中100名获奖者及其奖品价值的频率分布直方图如图2所示，则直方图中a的的值为（ ）

A. 0.003 B. 0.005

C. 0.05 D. 0.004

5. 若数列{ an }是等差数列，首项a1<0，a2015+a2016>0，a2015 Sn <0使前n项和的最大自然数n是（ ）

A. 2016 B. 2015 C. 4028 D. 4029

6. 若f（x+1）+1为R上奇函数，则f（4）-f（0）的值为（ ）

A. 0 B. 2016 C. 2015 D. 1

7. 过双曲线-=1（a>0， b>0） 的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C.若=，则双曲线的离心率是（ ）

A. B. C. D.

8. 如图3程序框图输出的值是（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心与正面体一边的一个截面如图4，且图中三角形（正四面体的截面）的面积为，则球的体积是（ ）

A. ？仔 B. 2？仔

C. 2？仔 D. 2？仔

10. 若函数y=sin？棕x 在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间[-，]上为增函数，则正整数？棕的值为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

11. 一几何体的三视图如图5所示则该几何体的体积为

（ ）

A. B. C. D.

12. 若存在x∈（0， +∞）使不等式 ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，则实数a的范围为（ ）

A. 0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 若cos（-x）=，则cos（+2x）= .

14. 设x，y满足不等式组y≤2x，2x+y≤2，x-y≤1，则z=3x+2y的最大值为 .

15. 已知点A是抛物线y2=2px上一点，F为其焦点，若以F为圆心，以 | FA| 为半径的圆交准线于B、 C且？驻FBC为正三角形，当？驻ABC的面积为时，抛物线的方程为 .

16.若数列{ an }中a1=1，且a1， a3，…， a2n-1是递增的数列，a2， a4，…， a2n是递减的数列，a1>a2，| an+1-an | =2n，则{ an }的前n 项和Sn= .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

？驻ABC的三边长a， b， c和面积S满足S =[c2-（a-b）2]，

（1）求cosC；

（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b边长.

18.（本题满分12分）

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离.

19.（本题满分12分）

在某红绿灯路口进行随机调查，发现正在等绿灯的有10人，另有8人直接闯红灯，等绿灯的10人，其年龄的茎叶图如下：

（1）求等绿灯人年龄的中位与方差

（2）若从40岁以上的等绿灯人中，随机抽取2人，求其中一定含有50岁以上的路人的概率.

（3）若闯红灯的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列联表：

根据上表的数据，判断是否有95%的把握认为“40岁以下与闯红灯有关”.

附：K2 =.

20.（本题满分12分）

已知+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·=2，且⊥.

（1）求椭圆的方程；

（2）点M，N是椭圆上的两个动点，过M，N两点的切线交于点P，若·=0时，求点P的轨迹方程；

（3）点Q是椭圆上任意一点，A1， A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1， QA2与直线x=分别交于E， F两点，试证：以EF为直径的圆交x于定点，并求该定点的坐标.

21.（本题满分12分）

设函数f（x）=x3-（a-1）x2-2bx+1，其中a∈R，

（1）若f（x）的减区间为（-1， 2）， 求f（x）在区间[-3， 3]上的最大值与最小值；

（2）对小于1的任意a∈R，函数f（x）都有两个极值点x1、x2（x1≠x2），是否存在b使x1 3 + x2 3=1成立，若存在，求出b的值或范围；否则，说明理由.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.

（1）若BD⊥AE，AB=4， BC=2， AD=3， 求CE的长.

（2）若=，=，求的值.

23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线与椭圆的极坐标方程分别 为l：cos？兹+2sin？兹=0，C：ρ2=.

（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；

（2）若P是l上的动点，Q是C上的动点，求| PQ| 的最小值.

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

不等式 | 2x-1| - | x+1| < 2的解集为{ x| a < x < b}，

（1）求a ， b的值；

（2）已知x > y > z，求证：存在实数k使恒成立-+≥，并求k的最大值.

2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷

文科数学模拟试题参考答案

一、选择题

1. C；由x2-x+6<0？圯（x - 3）（x + 2）<0，得-2< x <3，

则A={x | -2< x <3}.

又B={x∈N | y=}={x∈N | x≤3}={1， 2， 3， …}，

那么A∩B={1， 2}.

2. D；由z =1-2i，得1-2i+=1-2i+=-.

3. C；以AB， AD分别为x， y建立直角坐标系，

则E（1，2），F（4，2）.

那么=（-1，-4），=（3，-2），于是·=-1×3+（-2）×（-4）=5.

4. B；由50（0.001+0.002+0.003+a+0.009）=1？圯a=0.005，

即直方图中a的的值为a=0.005.

5. D；由a2015+a2016>0？圯a1+a4030>0？圯a4030>0.

又a1<0且a2015·a2016<0知数列{ an }的前2015项都是负数，

那么a2015+a2015<0？圯a1+a4029<0？圯S4029<0，于是，最大自然数n=4029.

6. A；由f（-x+1）+1=-[f（x+1）+1]？圯f（x+1）+f（-x+1）=-2.

令x=-1及x=3，得f（0）+f（-2）=-2，f（-2）+f（4）=-2？圯f（4）-f（0）=0.

7. D；对于F2（c， 0），则直线方程为y=-x+c，直线与两渐近线的交点为B，C，由y=-x+c，y=x？圯x=，y=，即B（， ），因为F2（c， 0）.

由 = 知B是F2C的中点，于是可得C （， ）.

由于在y=-x上，得=-·？圯b=3a？圯e=.

8. B；本题的程序框图所揭示的内容，其实是当和大于64时，输出最小的n值.

于是，由1+3+32+…+3n-1>64？圯（3n-1）>64，最小的n=5，

那么输出的值是5.

9. B；如图，由正四面体的特点及性质可知，该截面即为等腰？驻ABC.

设正四面体的边长为a，

由AC=BC==.

那么？驻ABC的面积为×a×=？圯a=2，

于是四面体的高h==.

再设外接球的半径为R，由（-R）2+（）2=R2？圯R=，

从而球的体积是V=？仔（）3=？仔.

10. B；由函数y=sin？棕x在某个长度为1的闭区间上最多获得一次最大值1，得≤1？圯？棕≥2？仔.

又在区间[-，]上为增函数，则-≤-，≤？圯？棕≤.

于是2？仔≤？棕≤，又？棕为正整数，因此，？棕=7.

11. B；本题三视图对应的几何体是以正方体的中截为底面的两个同底面的四棱锥，如图.

于是体积为V=×2×2×1×2=.

12. C；由ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1？圯ax+3a-1<.

（1）若a≤0，当x∈（0，+∞）时，ax+3a-1）<0，而>0，此时结论成立.

（2）若a>0，由于f（x）=？圯f′（x）=<0，所以 f（x） 在（0，+∞）是减函数，则0 < f（x） <1，又f（x）与y轴的交点为（0，1）.

由于g（x）= ax+3a-1与y轴的交点为（0， 3a-1）.

那么，如果存在x∈（0，+∞）使不等式ex（x2-x+1）（ax+3a-1）<1成立，

则3a-1<1，a>0？圯0 < a <，

由（1）（2）得实数a的范围为a <.

二、填空题

13. -；由于cos（-x） = sin[-（-x）] = sin（+x）即sin（+x）=，而cos（+2x） =cos2（+x） =1-2sin 2 （+x） =-.

14. ；分别作出三直线y=2x，2x+y=2，x-y≤1，得如图所示的可行域.

由z=3x+2y？圯y=-x+.

显然，当直线y=-x+经过点A时，纵截距最大.

由y=2x，2x+y=2？圯x=，y=1.

此时，z=3x+2y=.

15. 由题意，如图可得=cos30°及DF=2p？圯BF=，从而AF=，由抛物线的定义知点A.

到准线的距离也为，因为△ABC的面积为，即××=？圯P=4，故抛物线的方程为y2=8x.

16. ；由a1>a2，a2-a1=-2.

由于a3>a1又a1>a2？圯a3>a2？圯a3-a2=22，

类似地：a4-a3=-23，a5-a4=24，…，an-an-1=（-2）n-1.

那么an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）==.

从而Sn=++…+=+·=-=.

三、解答题

17.（1）由S=[c2-（a-b）2]=[-（a2+b2-c2）+2ab]

=-abcosC+ab……………3分

又S=absinC，于是absinC=-abcosC+ab即sinC=2（1-cosC）.

结合sin2C+cos2C=1得cosC=或cosC=1（舍去）.

故cosC=……………6分

（2）又由2sinAcosC=sinB，得2··=？圯a=c………9分

结合条件，可得a=c=2.

由c2=a2+b2-2abcosC，

得4=4+b2-4×b？圯b=……………12分

18.（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=，AC=2.

取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA.

∵ EM ？埭平面PAB，PA？奂平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC ？埭平面PAB，AB

？奂平面PAB，∴ MC∥平面PAB .

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵EC？奂平面EMC，∴EC∥平面PAB.

（2）∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC .

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

又EF//CD，∴EF⊥平面PAC.即EF为三棱锥E-AFC的高.

因为CD=2，得EF=.

从而VE-FAC=×（AC·AP）·EF=×（×2×2）×=.

在Rt△PAD中，AE=CE=PD=×2=.

于是S△ACE=AC·=2，设F到平面AEC的距离为h.

由VE-FAC=VF-AEC即×2h=？圯h=.

故F到平面AEC的距离为.

19.（1）由茎叶图可得15个数据为：22，34，34，42，

43，45，45，51，52，52，显然，路人年龄的中位数为（43+45）=44.

由于x==42……2分

那么s===.

即路人年龄的方差为……………4分

（2）设40岁以上，50岁以下的四人分别为A1，A2，A3，A4，50岁以上的三人分别为B1，B2，B3，那么从这七人中任取两人的所有基本事件如下：

A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共21个.……………6分

其中含有50岁以上的路人的基本事件如下：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3共15个.……………7分

于是，从40岁以上的路人中，随机抽取2人，其中一定含有50岁以上的路人的概率为P==……………8分

（3）若闯红灯的8人中有2人40以上，其余均40以下，完成下列列联表：

…

…………10分

由K2==2.5<3.841.

故没有95%的把握认为“40岁以下与闯红灯有关”. ……………12分

20.（1）设F1（-c，0），F2（c，0），B1（0，b），则C（，）.

由题意得·=2，⊥？圯（-c，-b）·（c，-b）=2，（-，-）·（c，-b）=0？圯b2-c2=2，b2=3c2？圯b2=3，c2=1，从而a2=4，

故所求椭圆方程为+=1 ………3分

（2）设P（x0，y0），

①当PM⊥x轴或PM∥x轴时，对应PN∥x轴或PN⊥x轴，

可知P（±2，±）………4分

②当PM与x轴不垂直且不平行时， PM的斜率为k，则k≠0，PN的斜率为-，

PM的方程为y-y0=k（x-x0），与+=1联立，

得y-y0=k（x-x0），+=1？圯（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0）……5分

因为直线与椭圆相切，所以△=0即4k2（y0-kx0）2-（3+4k2）[（y0-kx0）2-3]=0，

即（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0.

所以k是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的一个根，

同理-是方程（x20-4）2k2-2x0y0k+y20-3=0的另一个根，………6分

k·（-）=？圯x20+y20=7，其中x0≠±2，

所以点P的轨迹方程为x2+y2=7（x≠±2）.

因为P（±2，±）满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2+y2=7………7分

（3）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

设Q（x0，y0），则直线QA1的方程为y=（x+2），与直线x=的交点E的坐标为E（，（+2））………8分

则直线QA2的方程为y=（x-2），与直线x=的交点F的坐标为F（，（-2））………9分

再设以EF为直径的圆交x于点H（m，0），则HE⊥HF，从而kHE·kHF=-1，即·=-1？圯=-（-m）2 ………11分

由+=1得y20=，∴ m=±1.故以EF为直径的圆交x于定点，该定点的坐标为（+1，0）或（-1，0）………12分

21. 由f ′（x）=3x2-2（a-1）x-2b………1分

（1）由题意知f ′（x）<0的解集为（-1，2），即不等式3x2-2（a-1）x-2b<0的解集为（-1，2），于是，方程3x2-2（a-1）x-2b=0的两根分别为-1与2.

由-1+2=，-1×2=-？圯a=，b=3，此时，f （x）=x3-x2-6x+1………3分

由f ′（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2），

易得x∈[-3，-1）时，f ′（x）>0，此时函数递增；x∈（-1，2）时，f ′（x）<0，此时函数递减；x∈（2，3]时，f ′（x）>0，此时函数递增.

于是，fmax（x）=max{f（-1），f（3）}=max{，}=，

fmin（x）=min{f（-3），f（2）}=max{-，-9}=-.

故f （x）在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为与-………6分

（2）对任意的a∈R，函数f （x）都有两个极值点x1，x2，即为对任意的a方程f ′（x）=0有两个不等的实数根x1，x2，即方程3x2-2（a-1）x-2b=0有两个不等的实数根x1，x2，于是[2（a-1）]2-4×3×（-2b）>0对任意的a∈R恒成立，即6b>-（a-1）2对任意的a∈R恒成立，从而b>0………………①………7分

若存在b使x31+x32=1成立，由于x1+x2=，x1·x2=-.

那么x31+x32=（x1+x2）[（x1+x2）2-3x1·x2]={[]2-3×（-）}=1.

得b=-=………10分

由b′=-，令b′=0即-=0？圯a=1-.

当a<1-时，b′>0，此时，关于a的函数递增；当1-那么，当a=1-时，b有最大值，其值为b=<0.

由①知不存在b使x31+x32=1成立………12分

22.（1）由圆的割线定理知AB·AC=AD·AE，

∴ AE=8，DE=5.连接EB，∵∠EDB=90°，

∴ EB为直径，∴∠ECB=90°.

由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32.

在直角△ECB中，EB2=BC2+EC2=4+EC2，

EC2=28？圯EC=2.

（2）因为四边形ECBD是圆O的内接四边形，

所以∠ADB=∠C，∠ABD=∠E，所以△ADB∽△ACE.

于是==.

因为=，=，所以（）2=·=·=.

从而=.

23.（1）由cos？兹+2sin？兹=0？圯？籽cos？兹+2？籽sin？兹=0？圯x+2y=0，

即直线l的直角坐标方程为x+2y=0.

又由？籽2=？圯？籽2cos2？兹+4？籽2sin2？兹=4？圯x2+4y2=4.

即椭圆C的直角坐标方程为x2+4y2=4.

（2）因为椭圆+y2=1的参数方程为x=2cos？兹，y=sin？兹，

由题意可设Q（2cos？兹，sin？兹），

因此点Q到直线l的距离是d==.

所以当？兹=k？仔+，k∈Z时，d取得最大值.

24.（1）（i）当x<-1时，不等式可转化为-（2x-1）-[-（x+1）]<2，得x>0，此时无解.

篇5：专升本高等数学全国卷

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）“”是“”的（）

Ａ．充分而不必要条件

Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

【答案】：A

【分析】：由可得,可得到,但得不到.故选A.（2）若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：由由

故选D.（3）直线关于直线对称的直线方程是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：D

【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)

在直线上,化简得故选答案D.解法二：根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线选答案D.（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪

都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】B

【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π，正方形面积为256,故至少三个龙头。

由于，故三个龙头肯定不能

保证整个草坪能喷洒到水。当用四个

龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。

（5）已知随机变量服从正态分布，则（）

A．

B．

C．

D，【答案】：A

【分析】：由又

故选A.（6）若两条异面直线外的任意一点，则（）

Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行

Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直

Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交

Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面

【答案】：B

【分析】：设过点P的直线为，若与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。

由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与

公垂线平行的直线只有一条，故B正确。

对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m;

若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。

若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。

（7）若非零向量满足，则（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：C

【分析】：

由于是非零向量，则必有故上式中等号不成立。

∴。故选C.（8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。

（9）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：B

【分析】：设准线与x轴交于A点.在中，又,化简得,故选答案B

（10）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：C

【分析】：要的值域是，则又是二次函数，定义域连续，故不可能同时结合选项只能选C.第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

（11）已知复数，则复数

．

【答案】：

【分析】：

（12）已知，且，则的值是

．

【答案】：

【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵

∴两边平方得：，即，∴

.（13）不等式的解集是

．

【答案】：

【分析】：

（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志

（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是

（用数字作答）．

【答案】：266

【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有

②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有

故210+56=266.（15）随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若则的值是

．

【答案】：

【分析】：成等差数列，有

联立三式得

（16）已知点在二面角的棱上，点在内，且．若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是

．

【答案】：

【分析】：设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只

有作于H,则面,故为.（17）设为实数，若，则的取值范围是

．

【答案】：

【分析】：作图易知,设若不成立;

故当且斜率大于等于时方成立.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（18）（本题14分）已知的周长为，且．

（I）求边的长；

（II）若的面积为，求角的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得，两式相减，得．

（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．

（第19题）

（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点．

（I）求证：；

（II）求与平面所成的角．

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．

方法一：

（I）证明：因为，是的中点，所以．

又平面，所以．

（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．是直线和平面所成的角．

因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此．

设，在直角梯形中，是的中点，所以，，得是直角三角形，其中，所以．

在中，所以，故与平面所成的角是．

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，．，．

（I）证明：因为，所以，故．

（II）解：设向量与平面垂直，则，即，．

因为，所以，即，直线与平面所成的角是与夹角的余角，所以，因此直线与平面所成的角是．

（第20题）

（20）（本题14分）如图，直线与椭圆

交于两点，记的面积为．

（I）求在，的条件下，的最大值；

（II）当，时，求直线的方程．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以．

当且仅当时，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，．

②

设到的距离为，则，又因为，所以，代入②式并整理，得，解得，代入①式检验，故直线的方程是

或或，或．

（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（I）求，，；

（II）求数列的前项和；

（Ⅲ）记，求证：．

本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．

（I）解：方程的两个根为，当时，所以；

当时，，所以；

当时，，所以时；

当时，，所以．

（II）解：

．

（III）证明：，所以，．当时，，同时，．

综上，当时，．

（22）（本题15分）设，对任意实数，记．

（I）求函数的单调区间；

（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（Ⅲ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．

（I）解：．由，得．

因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（II）证明：（i）方法一：

令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是．

故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则，由，得．

当时，．

当时，所以当时，取得最大值．

因此当时，对任意正实数成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，对任意正实数成立．

即存在正实数，使得对任意正实数成立．

下面证明的唯一性：

当，时，，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．

故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使

对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①

篇6：专升本高等数学全国卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={(

篇7：专升本高等数学全国卷

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是 P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1．若的终边所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．对于，给出下列四个不等式 ① ② ③ ④ 其中成立的是 A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 3．已知α、β是不同的两个平面，直线，命题无公共点；

命题.则的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 4．设复数z满足 A．0 B．1 C． D．2 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 A． B． C． D． 6．已知点、，动点，则点P的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．已知函数，则下列命题正确的是 A．是周期为1的奇函数 B．是周期为2的偶函数 C．是周期为1的非奇非偶函数 D．是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量的概率分布如下：

m 则 A． B． C． D． 9．已知点、，动点P满足.当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 A． B． C． D．2 10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 A． B． C． D． 11．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是 A． B． C． D． 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 A．234 B．346 C．350 D．363 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则此直线在y轴上 的截距是.14．=.15．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是.16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出 5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是.（以 数值作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.18．（本小题满分12分）设全集U=R（1）解关于x的不等式（2）记A为（1）中不等式的解集，集合，若恰有3个元素，求a的取值范围.19．（本小题满分12分）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程；

（2）的最小值与最大值.20．（本小题满分12分）甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方 索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 21．（本小题满分14分）已知函数的最大值不大于，又当（1）求a的值；

（2）设 22．（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意成立，求实 数m的取值范围.2004年普通高等学校招生辽宁卷数学试题 答案与评分参考 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．1 14． 15．a 16． 三、解答题 17．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空 间想象能力和推理能力.满分12分.（1）证明：连接BD.为等边三角形.是AB中点，…………2分 面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.…………4分 面PAB，面PAB.……………………6分（2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角P—AB—F的平面角.………… 9分 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在 即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为…12分 18．本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三 角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力.满分12分.解：（1）由 当时，解集是R；

当时，解集是……………………3分（2）当时，=；

当时，=……………………5分 因 由…………8分 当怡有3个元素时，a就满足 解得12分 19．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以 及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分 12分.（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ② ① 的解.…………………………2分 将①代入②并化简得，所以 于是 …………6分 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为………………8分 解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以 ④ ⑤ ④—⑤得，所以 当时，有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧ 当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为 ………………8分（2）解：由点P的轨迹方程知所以 ……10分 故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为……………………12分 注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.21．本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和 解决问题的能力.满分14分.（1）解：由于的最大值不大于所以 ① ………………3分 又所以.② 由①②得………………6分（2）证法一：（i）当n=1时，不等式成立；

因时不等式也成立.（ii）假设时，不等式成立，因为的 对称轴为知为增函数，所以由得 ………………8分 于是有 …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法二：（i）当n=1时，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，………………8分 因所以 ……12分 于是 因此当n=k+1时，不等式也成立.根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法三：（i）当n=1时，不等式成立；

篇8：专升本高等数学全国卷

1. 原题及解法

设函数f ( x) = emx+ x2- mx. ( 1) 证明: f ( x) 在 ( - ∞ , 0) 单调递减, 在 ( 0, + ∞ ) 单调递增;

( 2) 若对于任意x1, x2∈[- 1, 1], 都有| f ( x1) - f ( x2) |≤e - 1, 求m的取值范围.

解一 ⅰ. 当m = 0 时, f ( x) = x2+ 1, 由二次函数性质, 命题成立.

f' ( x) = m ( emx- 1) + 2x. 记y1= m ( emx- 1) , y2= 2x.

ⅱ. 当m > 0 时, f' ( x) = y1+ y2, 符号示意如图1.

f' ( x) = 0, x = 0. f' ( x) 在x = 0 的左侧为负数, 右侧为正数. y1+ y2, y3+ y4. 分别是两个负量的和与两个正量的和.f ( x) 在 ( - ∞ , 0 ) 单调递减, 在 ( 0, + ∞ ) 单调递增. 命题成立.

ⅲ. 当m < 0 时, y3= m ( emx- 1) , y4= 2x, f' ( x) = y3+ y4的符号示意如图2.

f' ( x) 在x = 0 的左侧为负数, 命题成立. f ( x) 在 ( - ∞ , 0) 单调递减, 在 ( 0, + ∞ ) 单调递增.

当m≥0 时, g ( m) ≤0 的解是0≤m≤1.

当m < 0 时, g ( 0) < 0, g ( - 2) = e- 2+ 2 - e + 1 > 0, g ( 0) · g ( - 2 ) < 0. g ( m) 在[ - 2, 0]内有唯一零点, 又g (-1) =e-1+1-e+1<0;g (-1) ·g (-2) <0.

g (m) 在[-2, -1]内存在唯一零点m1.且-1<m1<-2.

当m<0, g (m) ≤0的解集为m1<m<0.

g ( m) ≤0 的解集为m1≤m≤1.

(2) 记k ( m) = e- m+ m - e + 1 = g ( - m) , k ( m) 与g ( m) 关于m = 0 对称.

k ( m) = 0 的两个解为- 1 和- m1. 即k ( m) ≤0 的解集为- 1≤m≤ - m1;

综上: 由 (1) ∩ (2) , - 1≤m≤1.

2. 对解法一的分析

对于 ( 1) , f ( x) = emx+ x2- mx是指数函数与二次函数合成. f ( x) 单调性由emx, x2- mx两个式子合成, 无论m是正态、负态还是零, 二者直观合成的f ( x) 都是先减后增的定性. 在连续变化的理念引领下, 决定了f' ( x) = 0 存在解. 并且解的左负右正的数量特征未解先知. 用图1 图2 分解合成搭建了正负平台, 使 ( 1) 得证.

对 ( 2) , 在f ( x) 单调性明确的前提下, 求不等式组的解集, 实质是对g ( m) 的零点分析, g ( 0) = g ( m) min< 0, g ( m) 在m∈R内先减后增, g ( m) 零点有且只有一正一负. 对这种方程要得到确切的解, 一般来说可能性不大, 靠常规数据观察是很局限的, 用二分法, 理论上通过有限次运算, 可得到预先精确的解. 而考场没有这种机会. 但是, 当m∈ ( 0, + ∞ ) , 通过可操作的数进行试值, 可得到解的范围. 试值在数学上是最初始的探索. 存在g ( 1) = 0 这个巧合, 是对探索者的奖赏. 然后通过对g ( m) 整体特征认知, 也可以得到另一解的范围.

对于 (1) , 如果我们对g ( m) 分解, 设y1= em, y2= - m -e + 1, g ( m) = y1+ y2. g ( m) 在m = 0 两侧减增不均匀. 在右侧, g ( m) 的增的快慢, y1的增起着导作用, y1值为正量, 以导数大于1 的速度增加的更快; y2始终以导数等于- 1 的速度减小, 只不过起点g ( 0) = 2 - e < 0 为负数占了先机. 随着从m = 0 向正向变化过程中, y1向正量方向增加的越来越快, 而y2向负向均匀增加; 用不了多久 ( m值不会很大) , y1的增就能克服起始的负量和y2向下增长的阻碍, 合成向正量方向变化. 正是由y1主导地位, 决定了g ( m) 也就很快地增到零, 使得g ( 1) = 0 较快的出现, 因而, 试值不能是个较大的数; 命题是人为的设计, 也不能难于计算.

分解合成, 效地实现对g ( m) = 0 解的位置与数量的预测的理论, 把二分法指向变成近距离操作的实践平台. 把理论上的定性指向, 获得了定量的试值限定, 为试值实践给暗示和激励.

为了试值的成功, 选m大一点, 同时, 为了便于计算和比较, 又要求m小一点, 二者调和, 取g ( 2) 为宜, 进而取g ( 1) , 这是二分法思维和表达的真实过程.

当随着从m = 0 向负向变化过程中, y1的正量以导数小于1 较慢地减小, y2从负量2 - e开始, 以导数为1 的速度增大. y2占主导地位, 两者合成向正量方向变化, 但y2向正量方向牵引g ( m) 初始值的力度, 远不如m > 0 时y1向正向牵引力大, 所以在引领g ( m) 向正方向合成速度较慢, g ( m) =0 的到来就晚一些. 通过分解合成的方式, 对g ( m) 有了整体的认知, 这种形而上的思想, 为二分法的使用的试值数量选择提供了心理准备.

对于 (2) , k ( m) 与g ( m) 恰好关于m = 0 的直线对称. 可运用这种性质得到k ( m) ≤0 的解集, 若作为试后研究学习, 也可重新操作强化二分法, 便于技能的形成.

3. 解法二

解二 ( 1) 略.

( 2) 对于任意x1, x2∈[- 1, 1], | f ( x1) - f ( x2) | ≤e - 1的充要条件是

记k ( m) = g ( - m) = e- m+ m - e + 1,

记F ( m) = g ( m) - k ( m) , F' ( m) = em+ e- m- 2 > 0, F ( m) 为增函数.

g ( 2) = e2- 2 - e + 1 = e ( e - 1 ) - 1 > 0. g ( m) 在[0, 2]有唯一零点; g ( 1) = e1- 1 + e - 1 = 0. m2= 1, m1< - 1.

g ( m) ≤0 的解集为m1≤m≤1.

(2) 设k ( m) = g ( - m) = 0 的解为m3< 0, m4> 0.g ( - m) ≤0 的解集为m3≤m≤m4.

g ( - m) = e- m+ m - e + 1 与g ( m) 关于m = 0 对称, m3=-1, m4>1.

k (m) ≤0的解集为-1≤m≤m4,

综上:由 (1) ∩ (2) , -1≤m≤1.

4. 对解法二的分析

“若函数f ( x) 在x = x0时取极值, 则称x0为函数f ( x) 的极值点. 作直线y = h与f ( x) 交于A ( x1h) , B ( x2h) 两点, 由于极值点的左右增减速度的不同, 函数图像不具有对称性, 有情况, 出现了称极值点的左右偏移. ”主要在文献中阐述, 解法二是用极值点的偏移方法, 在m0= 0 的前提下, 证得m1+ m2< 0, 得到m1> m2, g ( m) ≤0 的解集为m1≤m≤m2; 同时, 根据g ( m) , g ( - m) 位置关系, 得到另一个不等式的解为m3≤m2≤m4, 则不等式的解集为m3≤m≤m2. 即使命题不靠常规数据, 在g ( m) = 0 的一个准确解的前提下, 也可得到一般意义的存在性的解集, 拓宽了数学思维与方法的视野.

5. 小结

从命题内容构成看, 是两种基本函数增减速度的比较问题, 解法一所使用的二分法, 规定了分解合成的认知的方向和方法. 是直观与抽象结合的基本原则的应验, 是近代形而上的思想精华, 也是中学数学思维的主体. 使现代思维的实证分析的二分法的量化中得到传承. 在给出的标准答案中, 直取g ( 1) = 0, 二分法使用的思维过程没有较好的体现; 且当单调性确定的条件下, m∈ ( 0, + ∞ ) , 得到g ( 1) = 0后, 但是, 标准答案又增加一个当m > 1 时, 对g ( m) ≤0 讨论. 到没有必要增加这个环节的论证. 二分法是数学面向现代化的重要步骤和内容, 以必修的身份写进了教科书, 若学而避习之, 拙也, 苦也.

从问题对象特征看, 解法二是不对称函数的一种比较方法, 实质是把不对称的函数以极值点为轴对折, 把函数在极值点的两侧比较转化为同一起点的同一侧比较, 加快的抽象化的进度, 是数学转化与定量分析典范. 体现了近代的形而上的判断与现代数学思维的高度抽象与量化的承接与和谐.

在认同函数连续性的形而上的前提下, 本题两解所以简单易懂, 是对数学命题内在本质认知的外在表现; 是数学面向现代化的一次探索实践. 尝试成为启迪心智的答案.

参考文献