与圆有关的计算复习教案

2024-04-20

与圆有关的计算复习教案（共9篇）

篇1：与圆有关的计算复习教案

第三十五课时

与圆有关的计算

复习内容：冀教版数学九年级上册第二十七章

复习目标：1.掌握弧长和扇形面积公式，会计算圆的弧长和扇形面积.2.了解圆锥侧面展开图为一个扇形，会计算圆锥的侧面积和全面积.复习重点：圆的弧长和扇形面积的计算.复习难点：有关弧长和扇形面积的综合应用.复习过程：

一、复习回顾考点一弧长的有关计算

1.(2011.安徽）如图(1)⊙○的半径为1，A、B、C是圆周上三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）

234A． B. C. D.

5555思考与解答：弧长公式是_________ 考点二扇形面积的计算

2.(2010长沙)已知扇形面积为12π，半径等于6，则该扇形的圆心角等于________．

3.已知扇形的弧长为4cm，半径为３cm，则扇形面积为__________cm２.思考与解答：扇形面积计算公式是__________________ 考点三计算圆锥的侧面积和全面积

4.(2011同仁)某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它

2的高 AO=8m，底面半径ＯＢ＝６m，则圆锥的侧面积是________m.思考与解答：(1)圆锥侧面展开图是一个____形，它的弧长等于圆锥的_________，它的半径长等于圆锥的_________.(2)已知圆锥的底面半径为r，母线为a，则圆锥侧面积是_________，表面积是_________.二探究总结

5.如图所示，这是一个零件示意图，A、B、C处都是直角，弧MN是圆心角为90°的弧，AB=BC=7，AM=CN=3，则A． B.32的长是() C．2 D．4

6.（2012内江）如图AB是o的直径，弦CD⊥AB,∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分图形的面积为（）

A.4

B.2

C.

D.43

思考与解答：解决这道题利用了我们复习过的哪些知识？三拓展提高

7.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短路程为________cm.思考与解答：解决这个曲面上的最短路程问题你是怎么想的？ 8.(2011山西)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC =BC.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________．(结果保留π)思考与解答：(1)解决问题的关键是知道图形旋转时，图形上各点经过的路线是___________，要明确它的圆心、半径以及圆心角.(2)求不规则图形面积的方法是什么？四反思评价

（一）反思

（1）你认为这节课重点要掌握哪些知识？请写出来（2）你在哪些方面有所提高？

（二）自测

9.已知扇形的圆心角是150°，扇形的面积为240π，则该扇形的弧长为()A．5π

B．10π C．20π D．40π

10.线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O 于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝63 cm，求：(1)⊙O的半径(2)图中阴影部分的面积．

11.（2012广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线MN上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．

若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点A第3次落在直线MN上时，点A所经过的路线的长为 _______（结果用含有π的式子表示）

第三十五课时答案

1.B 2.120° 3.6 4.60 5.C 6.D 7.解析：求在曲面上的最短距离需要转化为平面上两点之间的距离．如图6－3－6所示，将圆锥的侧面展开，连接AE，AE即为蚂蚁爬行的最短路线．再借助于△AOE计算AE之长：AE＝OE2OA2=241

8.4 9.C 10.(1)如图所示，连结OC，∵AB与⊙O相切于点C ∴ OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC＝12AB=122×63=33 c m． AC2在Rt△AOC中，OC＝OA3cm.(2)在Rt△COB中∵OC＝

=3cm．∴⊙O的半径为12OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°.2∴扇形OCD的面积为603360＝

32

S⊿OBC=12OCBC=12333=

932 ∴

阴影部分的面积为

93-32cm2

11.解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直线MN上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线MN上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+）π． ×2=（4+）π．

故答案为：（4+

篇2：与圆有关的计算复习教案

前石畔九年制学校

郭海平

教学目标：

1、了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，能根据条件正确作出判断。

2、掌握圆的切线的性质与判定方法，并能应用其解决问题。教学重点：

与圆有关的位置关系的判定方法及切线的判定与性质。教学难点：

综合问题的分析解决。教学方法：启发引导教学准备：课件教学流程：

一、课本知识点梳理

考点1：点与圆的位置关系

幻灯片：点与圆的位置关系

由学生完成作答。

例1：（2009•江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）

A、当a＜5时，点B在⊙A内

B、当1＜a＜5时，点B在⊙A内

C、当a＜1时，点B在⊙A外

D、当a＞5时，点B在⊙A外

考点2：直线与圆的位置关系。

幻灯片：直线与圆的位置关系

切线的性质和判定

例

2、（2009•山西）如图，CD切⊙O 于点B，CO的延长线交⊙O于点A.若∠C＝ 36°，则∠ABD的度数是()

A．72°

B．63°C．54°

D．36°

例

3、（2010陕西）如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交BC于点C,∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为——。

考点3：三角形与圆的位置关系

幻灯片出示：三角形与圆的位置关系

等边三角形的内接圆与外接圆关系

例

4、(2011 •银川)如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）

考点4：圆与圆的位置关系

幻灯出示圆与圆的位置关系，由学生完成作答。

例

5、(2009 •陕西)图中圆与圆之间不同的位置关系有：（）

A． 2 种

B.3种

C.4种

D.5种

例

6、（2011 •陕西）同一平面内的两个圆，他们的半径分别为2和3，圆心距为d，当1＜d＜5时，两圆的位置关系是（）

A、外离

B、相交

C、内切或外切

D、内含

二、课堂练习

(2011 •陕西)如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D；（1）求证：AP=AC；（2）若AC=3，求PC的长．

三作业

(2010•襄樊)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA.(1)证明：直线PB是⊙O的切线；

篇3：与圆有关的实际应用题

一、与垂径定理相关的应用题

例1圆柱形油槽内装有一些油.截面如图1,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为( ).

A. 6分米 B. 8分米 C. 10分米 D. 12分米

【解析】如图1,作OC⊥AB于C, 根据垂径定理知:OC垂直

二、与确定圆的条件相关的应用题

例2 (用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹)某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 请你补全这个输水管道的圆形截面.

【解析】这是一道与确定圆的条件有关的实际问题,只要在圆上取三个点A、B、C,作AC、BC的垂直平分线EF、GH,它们的交点O就是圆心,AO就是半径,从而可作出原来的圆形截面.

三、与圆周角相关的实际应用题

例3如图3,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻.当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点. 有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门. 仅从射门角度考虑,应选择_____种射门方式.

【解析】如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两点各自对球门PQ张角的大小,当张角较小时,则球容易被对方守门员拦截.因此,只需比较∠PAQ与∠PBQ的大小. 过P、Q、B三点作圆(也可过P、Q、A),分以下三种情况讨论:(1) A点在⊙O外,连接PA交⊙O于点C, 则∠PAQ<∠PCQ,∠PCQ=∠PBQ,∴∠PAQ<PBQ,所以在B点射门较好 ; (2)A点在⊙O上,∠PAQ=∠PBQ,在A、B两点射门都可以;(3) A点在⊙O内,∠PAQ>∠PBQ,在A点射门好.这里题目已给出了(1)中的情况,因此应选第二种方式.

【点评】在真正的足球比赛中,情况会很复杂,这里仅用数学方法从静止状态加以考虑.

四、与点和圆的位置有关的实际应用题

例4如图4,公路MN和公路PQ在P点交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160 m,假如拖拉机行驶时周围100 m以内会有噪声影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响?请说明理由.如果受到影响,已知拖拉机行驶的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间为多少?

【解析】(1) 要看学校是否受到影响,只要求出点A到MN的最小距离与100米进行比较即可. 过点A作AD⊥MN于点D. 在的影响;(2) 要求学校受影响的时间,要先求出学校受噪声影响的路段.因为100米内的圆形区域为受影响的区域,⊙A与MN的交点之间的线段为受影响路段,利用垂径定理求出弦BC的长即可. 以点A为圆心,100米为半径的⊙A与MN交于B、C两点 ,于是BC段即为学校受影响的路段. 连接AB,时间为24秒.

【点评】当拖拉机移动到D点时,噪声的影响范围为以D点为圆心,100 m为半径的一个大圆,而点A在此大圆内. 本题较好地体现了直角三角形的有关定理与垂径定理的综合应用.

五、与直线和圆的位置有关的实际应用题

例5如图5,小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测锅的直径(锅沿所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办?小红想了想,采用了以下的办法:如图5,首先把锅平放到墙根,锅沿刚好靠到两端,用直尺紧贴墙面量得MA的长(如图6),即可求出锅的直径.

(1)请你利用图6说明她这样做的理由;

(2)在现有条件下,你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗?如果能,请在图7中画出示意图,并说明理由(不必求出锅的直径).

【解析】(1) 假设圆(锅沿所形成的圆)的圆心为O,连接径. (2) 测量锅的直径的方法不唯一,各人可根据自己的具体情况去设计,下面只提供一个参考答案. 如图8,在锅的边上取三点A、B、C, 使AB=AC, 量得AB、AC、BC的长, 就能求出锅的直径. 设锅的圆心为O, 作直径AD交BC于点E, 连接BD. 在Rt△ABE中, 利用勾股定理求得AE,进而求出AD,即能求出锅的直径.

六、与三角形内切圆有关的实际应用题

例6如图9是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6 m和8 m. 按照输油中心O到3条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长是( ).(计算时视管道为线,中心O为点)

A. 2 m B. 3 m C. 6 m D. 9 m

【解析】由O到三条支路的距离相等可知,本题可转化为求三角形内切圆的半径问题. 由勾股定理可得斜边为10,设内切圆半径为r,则利用面积法可得:

【点评】本题的设计新颖别致,命题者独具匠心. 解决本题需巧用面积法解题,或利用切线长定理.

七、与圆柱的侧面展开图有关的实际应用题

例7从卫生纸的包装纸上得到以下资料:两层300格,每格11.4 cm×11 cm,如图10甲.用尺量出整卷卫生纸的半径(R)与纸筒内芯的半径(r),分别为5.8 cm和2.3 cm,如图10乙. 那么该两层卫生纸的厚度为多少cm?(π取3.14,结果精确到0.001 cm)

【解析】可利用甲和乙两图中的体积相等列方程求解. 设该两层卫生纸的厚度为x cm,则由题意可得方程

答:该两层卫生纸的厚度约为0.026 cm.

【点评】本题初看起来比较复杂,其实只要找出不变量问题即可迎刃而解.这里,甲和乙图中纸的体积不变,在甲图中,其体积为1格的体积的300倍,而1格的体积为11×11. 4×x(cm3);在乙图中,其体积为两个圆柱体的体积之差. 从而可以快速地得到所要的方程.

八、与圆锥的侧面展开图有关的实际应用题

例8如图11是某工件的三视图,求此工件的全面积.

【解析】这是与三视图相关的圆锥全面积计算问题,它由两部分组成:一个是底面积,它是一个圆;另一个是侧面积,它的展开图是一个扇形. 应用它们的面积公式即可得到答案. 由三视图可知, 该工件为底面半径为10 cm,高为30 cm的圆锥体,其母线图 11

【点评】计算扇形面积公式有两个:一个是在解题中要灵活应用,本题以用第二个公式比较简便.

九、与其它学科相结合的圆的实际应用题

例9某定滑轮的起重装置如图12,滑轮半径为12cm,当重物上升4πcm时,滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为( ).(假设绳索与滑轮之间没有滑动)

A. 12° B. 30° C. 60° D. 90°

【解析】这是一道与物理相结合的圆的实际应用题,解决它的关键是将重物上升的高度转化为弧长,再应用弧长公式去求圆心角的度数. 由于重物上升的高度为4πcm,所以旋转角所对的弧长为4πcm,设旋转角的度数为n,由弧长公式有

【点评】本例是一个物理和数学两个学科交叉的试题,学科相互渗透,这是近几年中考命题的热点之一,应予以重视.

小试身手

1. 把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图13所示,已知EF=CD=16厘米,则球的半径为______厘米.

2. 一个圆形人工湖如图14所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100 m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径AD为( ).

篇4：与圆有关的探究性试题

一、条件探究题

例1(2007年甘肃白银)如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C。若AB是⊙O的直径，D是BC的中点。ΔABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？并给出理由。

分析本题的结论已给出，需要我们执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。当E一定是AC的中点出发，找到相应的条件，因考虑的角度不同，所以添加的条件可以不同，故答案不惟一。

解可以添加的条件有：AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C，或△ABC为正三角形。

如AB＝BC，理由如下：

连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC。

又AB=BC，∴AE=CE。即E为AC的中点。

∴添加的条件可以是AB=BC。

其他条件的理由略

二、结论探究题

例2(2007年山东潍坊)如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连结AC，BD。

（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；

（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；

（3）在图2中，证明：AD·AB=AC·AE。

分析题目已给出了条件，需要我们执因索果，探索结论。在第（2）小题中，相等的角有好多，思考的角度不同，会有不同的答案，所以答案不惟一。

解（1）图1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD。

证明：连结OC，则OC⊥PC，

∵AD⊥PC，∴AD∥OC，∴ ∠CAD=∠OCA

又OA=OC，∠BAC=∠OCA，

∴∠BAC=∠CAD。

又AB为直径，∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠ABC。

（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠BEA=∠BCA，∠CBE=∠CAE（三组即可）

（三组即可）

（3）∵AB是直径，∴∠AEB=∠ACB=90°∵AD⊥PE ∴∠ACD=∠AEB，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90° ∴∠DAC=∠BCE∴△ADC ∽△AEB，∴ = ，∴AD·AB=AC·AE。

点评本题考查了圆的切线、直径所对的圆周角，以及相似三角形的判定和性质等知识点。

三、综合探究

例3（2007河池）如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为上的一动点。

（1）问添加一个什么条件后，能使得 = ？请说明理由；

（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论。

分析本题既有条件探究又有结论探究的综合探究性问题。第（1）、（2）小题需执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。思考：式子 = 中的线段在△BDE，△BCD 中，只要使这两个三角形相似，结论就能成立，而这两个三角形中已有一对公共角，所以只需再有一对角相等即可，因此，添加的条件可以是：∠BED=∠BDC，∠BDE =∠BCD，＝或AB＝BD等等，答案不惟一。

解（1）添加 AB=BD

∵AB=BD∴ = ∴∠BDE =∠BCD

又∵∠DBE =∠DBC∴△BDE∽△BCD

∴ =

（2）若AB∥DO，点D所在的位置是的中点

∵AB∥DO ∴∠ADO=∠BAD

∵∠ADO=∠OAD ∴∠OAD=∠BAD

∴ =

（3）在（1）和（2）的条件下，∵= =

∴∠BDA=∠DAC ∴ BD∥OA

又∵AB∥DO∴四边形AODB是平行四边形

∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形

点评本题是对圆、三角形相似、特殊四边形等相关知识的综合考查。

四、动态探究题

例4（2007年山东滨州）如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动。

（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置。若不能，请说明理由。

（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围。

（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

分析本题是因点E、F移动而使线EF运动变化的动态探究性试题，解题时要切实把握几何图形在运动变化过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静” 中探究“动”的一般规律。第（1）小题要使△OEF成为∠EOF=45°的等腰三角形，应根据不同的边为底和腰加以分类讨论。第（2）小题找到BE和CF两条边所在的两个三角形之间的关系探求y与x之间的函数解析式。第（3）小题要探究直线EF与⊙O的位置关系，可以从直线与圆的特殊位置：相切出发，先猜想，再探究成立的理由。

解如图，（1）点E,F移动的过程中，△OEF 能成为∠EOF=45°的等腰三角形。此时点E,F的位置分别是：

①E是BA的中点，F与A重合。

②BE=CF= 。

③E与A重合，F是AC的中点。

（2）在△OEB和△FOC中，

∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135° ，

∴∠FOC=∠OEB

又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC

∴ =

∵BE=x,CF=y,OB=OC== ,

∴y= (1≤x≤2)

（3）EF与⊙O相切。

∵△OEB∽△FOC

∴ = ,∴ =

即=

又∵∠B=∠EOF=45° ∴△BEO∽△OEF

∴∠BEO=∠OEF

点O到AB和EF的距离相等。

∵AB与⊙O相切，

∴点O到EF的距离等于⊙O的半径。

∴EF与⊙O相切。

点评本题在动态过程中综合考查了等腰三角形、相似三角形、圆的切线等知识，同时考查了课程标准中所强调的分类讨论、运动变化、函数等数学思想。

五、规律探究题

例5(2007年浙江杭州)如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,……Pn，……，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2= ；S3=；并猜想得到Sn-Sn-1=(n≥2）。

分析本题是与圆面积有关规律探索性问题，根据题目给出的材料和信息，进行观察、分析、计算、比较、归纳，作出猜想，尝试性地解决问题。解题的关键是搞清一系列图案的生成、规律，找到前后两图形之间的联系和区别。

解由题意得：S2= π×12- π×( )2= π

S3= π×12- π×( )2- π×( )2= π

……

Sn= π×12- π×( )2- π×( )2-……- ·π×( )2

Sn-Sn-1=

[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2]-[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2

=- π×( )n-1

(责任编辑钱家庆）

篇5：与圆有关的计算复习教案

【学习目标】

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用． 3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念． 4．了解反证法的证明思想．

【学习过程】

一、温故知新：

（学生活动）请同学们口答下面的问题． 1．圆的两种定义是什么？

2．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

3．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．

二、自主学习：

自学教材P97-----P99,思考下列问题：

1、点与圆的三种位置关系：（圆的半径 r,点P与圆心的距离为d）点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内

2、自己作圆：（思考）

（1）作经过已知点A的圆，这样的圆能作出多少个？

（2）经过A、B两点作圆，这样的圆能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？

（3）经过A、B、C三点作圆，有哪些情况？三点应符合什么条件才能作圆？

3、什么叫三角形的外接圆？三角形的外心及性质？

4、教材是如何用反证法证明过同一直线上的三点不能作圆？反证法的证明思路是什么？（教师讲解）

三、典型例题：

例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

（圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心）．

四、巩固练习：

教材P100练习

1、作图： 2、3题直接做在教材上。第4题口答

5、（教材P110习题24.2第1题）

五、教学反思：

【拓展创新】

1、A，B，C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（）

A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上；

B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外；

C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外；

D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内

2、（07年湖南株洲）已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则这个三角形的外接圆的面积为__________cm2.（结果用含π的代数式表示）

3．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

【布置作业】教材 P110习题24.2第2、3题

篇6：与圆有关的计算复习教案

溶解度及有关计算

教学目标

知识技能：了解饱和溶液、不饱和溶液的概念。理解溶解度概念。理解温度对溶解度的影响及溶解度曲线。掌握有关溶解度的计算。

能力培养：结合溶解度计算，培养学生学会用比例法和守恒法解决溶解度有关计算的能力。

科学思想：结合饱和溶液、不饱和溶液和溶解度曲线的复习，使学生进一步树立平衡是相对的、有条件的、动态的辩证思想。

科学方法：结合溶解度计算的复习，进一步掌握守恒法、比例法解决问题的方法。

重点、难点有关溶解度的计算。

教学过程设计

教师活动

【引言】上一讲我们复习了溶液浓度计算，溶液有饱和溶液和不饱和溶液之分。而且在一定温度下，固体不能无限溶于水中，因此存在溶解度的问题。本节我们将复习饱和溶液、不饱和溶液和溶解度的概念，同时要重点复习溶解度的有关计算。

【板书】

一、饱和溶液和不饱和溶液

【投影】问题：1．什么是饱和溶液，什么是不饱和溶液？ 2．溶液处于饱和状态时，有什么特点？学生活动倾听、回忆。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网回答：

1．在一定温度下，当溶质溶解的速率和溶质从溶液中析出的速率相等，此时溶液达到溶解平衡状态，所得的溶液为饱和溶液，反之为不饱和溶液。

2．在一定条件下，溶液达到饱和时，溶液处于溶解平衡状态，它与化学平衡状态相似，具有“等”、“定”、“动”、“变”等特点。即在一定条件下，当溶液达饱和时，溶质溶解和结晶的速率相等，溶液处于动态平衡，溶液的浓度保持不变，当条件改变时，例如：改变温度，可使溶液由饱和变成不饱和。

【评价】同学们回答得很好。这里还应明确两点：

1．当溶液溶解一种溶质达饱和时，溶液中仍可溶解其他溶质。倾听、思考。

2．化学平衡移动原理适用于溶解平衡，条件改变时，溶液可由饱和溶液转化成不饱和溶液。

倾听、思考。

【投影】练习题：氯气在下列液体中溶解度最小的是

[

] A．水

B．饱和食盐水

C．氢氧化钠溶液

D．饱和石灰水分析并回答：

氯气溶于水中发生如下反应： Cl2+H2O H++Cl-+HClO

当氯气溶于氢氧化钠溶液或饱和石灰水时，由于生成的盐酸和次氯酸与碱反应，可加速氯气在溶液中的溶解，并生成金属氯化物和次氯酸盐。

而在饱和食盐水中，由于存在下列溶解平衡： NaCl Na++Cl-

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网溶液中氯离子浓度已达饱和，抑制了氯气在溶液中的溶解。因此氯气在饱和食盐水中溶解度最小，应选B。

【小结】由于饱和食盐水中溶解平衡的存在，溶液中氯离子浓度已达饱和，对氯气在溶液中的溶解起抑制作用，和化学平衡中增大生成物浓度使平衡向逆方向移动的道理相同。

【板书】

二、溶解度（S）1．概念

【提问】什么是溶解度？气体的溶解度是如何表示的？影响溶解度的因素有哪些？条件改变后，饱和溶液有什么变化？

思考并回答：

在一定温度下，在100g溶剂中溶解溶质达饱和，所溶解溶质的质量称为溶解度。溶解度单位是g。若溶质是气体，则溶解度是指：在一定温度和压强下，1体积溶剂溶解溶质达饱和时，所溶解的气体的体积。（单位是：L/L）

影响溶解度的因素首先是溶质和溶剂的性质。此外条件对溶解度也有影响。固体的溶解度与温度有关，而气体则和温度、压强都有关系。

由影响溶解度的条件可知，当条件改变时，溶解平衡将被打破，溶质溶解的速率和结晶的速率不再相等，饱和溶液可以转化成不饱和溶液，也可以析出晶体，在新的条件下达到新的溶解平衡。

【评价】肯定学生的回答并强调：在掌握固体的溶解度的概念时，一定要注意：（1）温度；（2）达饱和；（3）100g溶剂，这三个关键性的词语。

2．溶解度曲线

【提问】温度和压强怎样影响气体溶质的溶解度？温度怎样影响固体溶质的溶解度？

回答：气体溶质的溶解度与温度、压强有关，温度越高，气体的溶解度越小，压强越大，气体的溶解度越大。固体的溶解度与温度有密切关系，多数固体的溶解度随温度升高，溶解度增大，少数物质，如氯化钠的溶解度则受温度影响很小。个别物质的溶解度随温度升高而降低，如氢氧化钙。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网【再问】能否形象地表示出溶解度随温度改变的关系呢？回答：可以，用溶解度曲线即可。看图1-2，并练习。

【评价】很好。请同学们根据图1-1，找出不同温度下固体溶质的溶解度。

3．有关溶解度的计算

溶解度计算是本讲的难点，希望同学们认真思考、积极练习，掌握解题的思路和方法。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网【指导练习】将90℃饱和氯化铵溶液680g，蒸发100g水再冷却至40℃，将析出晶体多少克？已知90℃时溶解度为71.3g，40℃时溶解度为45.8g。

做练习后回答问题：这个问题我是按两步计算的：（1）求90℃时蒸发100g水将析出多少克晶体。

由90℃氯化铰的溶解度可知，100g水最多能溶71.3g 氯化铵，所以在90℃蒸发100g水将析出71.3g氯化铵。

（2）析出晶体后，余下508.7g饱和溶液，从90℃降温至40℃将析出晶体多少克。

设508.7g饱和氯化铵溶液从90℃降温至40℃可析出晶体的质量为x，可根据比例关系解x。

508.7g∶x=171.3g∶25.5g x=75.7g

蒸发水100g和降温后，共析出晶体 75.7g+71.3g=147g。

【评价】肯定学生的解题思路和方法正确，结论也正确，然后指出有关溶解度计算的常用的一种方法：比例式法。

指出：上述比例关系只适用于析出的晶体不含结晶水时的有关计算，而且要注意，若原溶液不是饱和溶液，上述比例关系不成立。

【提问】上题还有没有更简便的解题方法？

在学生分析和解答的基础上指出有关溶解度计算的另一种方法：守恒法，即高温下饱和液中溶质的质量=析晶后饱和溶液中溶质的质量+蒸发水和降温后析出的晶体的质量。

讨论后回答：可先求出680g饱和氯化铵溶液中含有水和氯化铵的质量。再求出蒸发100g水后，余下的水的质量，并求出在40℃时，余下的水最多能溶解多少克氯化铵。原有的饱和溶液中氯化铵的质量和蒸发水及降温后饱和溶液中所含溶质质量之差为析出的晶体的质量。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网具体方法是：（1）求90℃时，680g的饱和氯化铵溶液中，溶质和溶剂的质量。设溶剂的质量为x。

根据溶解度的数据可知：

在90℃时，若以100g水配制饱和氯化铵溶液，则饱和液的质量为171.3g。因此可得以下比例式：

171.3g∶100g=680g∶x x=397g（水的质量）

氯化铵的质量=680g-397g=283g

蒸发100g水后，余下水297g，在40℃时，297g水最多能溶氯化铵的质量为y，则根据40℃时，溶解度的数据列出比例式可求出y。

297g∶y=100g∶45.8g，y=136.0g

析出晶体的质量应为283.0g-136.0g=147.0g。

【指导练习】摩尔质量为Mg/mol的某物质的溶解度曲线如图1-3，现有t2℃300g该物质的溶液，在温度不变时蒸发掉50g水后，溶液恰好达到饱和，此饱和溶液的密度为ρg/mL，则饱和溶液的物质的量浓度为____mol/L，若将此饱和溶液降温至t1℃时，析出无水物晶体的质量为______g。

【组织讨论】请分析此题的解题思路和方法。

讨论并回答：由溶解度曲线可知，在t2时，该物质的溶解度为a2g，爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网

再根据物质的量浓度和溶质质量分数的换算公式，求出溶液的物质的量浓度。由t2℃的溶解度数据可求出溶液的溶质质量分数=

设降温至t1时，析出的晶体的质量为x

根据公式：100+S（高温）∶S（高温）-S（低温）=高温下饱和溶液质量∶析出晶体质量

（100 +a2）∶（a2-a1）=（300-50）∶x x=250（a2-a1）/（100+a2）g

【评价】对学生讨论的情况进行小结，充分肯定学生的正确回答，激励学生积极思考和回答问题。

学生回答问题后归纳出：某温度下，饱和溶液的溶质质量分数可直接由溶解度的数据所推出的公式进行计算。因为某温度下，用100g水配制饱和溶液所需溶质的质量等于该温度下溶质的溶解度。而该温度下用100g水所配制的饱和溶液的溶质质量分数和用任意质量的水配制成的饱和溶液的溶质质量分数相等。

【指导练习】A、B两种化合物的溶解度曲线如图1-4，要用结晶法从A、B混合物中提取A（不考虑A、B共存时，对各自溶解度的影响）。

（1）取50g混合物将它溶于100g热水，然后冷却至20℃。若要使A析出，B不析出，则混合物中B的质量分数（B％）最高不超过多少？（写推理与计算过程）

（2）取Wg混合物，将它溶于100g热水，然后冷却至10℃，若仍要使A析出B不析出，请写出下列两种情况下，混合物中A的质量分数（A％）应满足爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网什么关系式（以W，a，b表示），当W＜a+b时，A％____，当W＞a+b时，A％____。

【提问】（1）中若要使A析出B不析出，A和B的质量必须满足的条件是什么？

积极思考、讨论并回答：

（1）因为在20℃时，A的溶解度为10g，B的溶解度为20g，所以50gA和B的混合物溶于100g热水中，降温至20℃时，要使B不析出，A能析出，则在50g混合物中，B的质量应≤20g，A的质量应≥30g，即在50g混合物中B的质量分数应≤40％。

（2）中要使A析出，B不析出，必须满足的条件是什么？思考并回答：

（2）要使B不析出，B的质量≤b，而A要析出，A的质量应＞a。当W＜a+b时，只要A＞a，即可满足条件，所以A％＞

当W＞a+b时，B≤b即可满足条件，所以A％≥

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网刚才你们讨论和回答都很好，说明对溶解度计算方法有了正确的思路。请思考以下问题，如何选择正确答案：

【指导练习】在一定温度下，向足量的饱和碳酸钠溶液中加入1.06g 无水碳酸钠，搅拌静置后，最终所得晶体的质量是

[

] A．等于1.06g

B．等于2.86 g C．大于 2.86 g

D．大于1.06g，小于2.86g 分析并回答：假如析出晶体时，无水碳酸钠只从。饱和溶液吸水，生成+水碳酸钠，则生成的碳酸钠晶体的质量应等于2.86g，这是因为：

实际上，析出结晶水合物时，由于无水碳酸钠从饱和溶液中带出水，生成结晶水合物，使溶液中溶剂减少，溶液由饱和变成过饱和，使溶液又析出结晶水合物，重新转化成饱和溶液，因此析出的结晶水合物的质量必然大于2.86g。正确答案为C。

【提问】如果析出的晶体带结晶水时，如何进行计算，可有几种解法？【指导练习】 80℃时，饱和硫酸铜溶液310g，加热蒸发掉100g水，再冷却至30℃，可析出多少克胆矾？

（80℃硫酸铜S=55g，30℃ S=25g）讨论并回答：可有多种方法进行计算，如下：

解法1 析出晶体后的溶液仍为饱和溶液，所以析晶之后饱和溶液中水和溶质的质量比=100∶S。

设80℃310g饱和溶液中含xg水，则310g∶x=（100+55）∶100，x=200g。溶质质量为（310-200）g=110g。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网蒸发100g水后，设析出胆矾的质量为y，则其中含结晶水为9y/25g，无水硫酸铜为16y/25g，析晶后溶液中余下水（200-100-9y/25）g，余下溶质的质量为（110-16y/25）g。

30℃时，硫酸铜的溶解度为25g，所以析出晶体后，饱和溶液中溶质和溶剂的质量比为25∶100。所以，

（200-100-9y/25）g∶（110-16y/25）g=100∶25 解出y=154g

解法2 析晶前溶质质量为110g，析出晶体质量为y。溶液中溶质质量为（110-16y/25）g，饱和溶液的质量为（310-100y）g。所以（100+25）∶25=（310-100y）g∶（110-16y/25）g 解出y=154 g 解法

3用守恒法。

原溶液中溶质质量=析晶后饱和溶液中溶质质量+晶体中的溶质质量。设析出xg胆矾，其中硫酸铜的质量为16x/25，结晶水的质量为9x/25。蒸发水和冷却后，溶液中溶剂的质量为100-9x/25。根据30℃硫酸铜的溶解度可知：晶后溶质的质量：溶剂质量=25∶100，所以溶质质量=[25（100-9x/25）÷100]g。原饱和溶液溶质的质量110g=16x/25g+[25（100-9x/25）÷100]g

解出x=154g

解法

4设析出胆矾的质量为x

余下的饱和溶液质量∶余下溶质质量=（100+S）∶S

余下饱和溶液的质量为310-100-x，余下溶质为110-16x/25。（210-x）∶（110-16x/25）=125∶25解x=154g 【小结】回答很好，下面我们将解题思路归纳如下：

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网

一、带结晶水合物的析晶计算的基本思路是：析出结晶水合物后的溶液仍为饱和溶液，其中溶剂与溶质的质量比=100∶S，或饱和溶液的质量与溶质质量之比=（100+S）∶S。

二、不论什么类型的溶解度计算或判断题，都离不开对溶解度概念和溶解度曲线的正确理解；在对概念正确理解的基础上熟练掌握有关公式和解题的基本思路和方法。

有关溶解度计算的常用公式有：

①某温度下，饱和溶液中溶质的质量分数=（饱和溶液中溶质质量/饱和溶液质量）×100％=S/（100+S）×100％

②某温度下，饱和溶液中溶质质量：溶剂质量=S∶100 溶质质量∶饱和溶液质量=S∶100+S ③一定温度下的饱和溶液蒸发一部分水，再冷却至原来的温度，将有晶体析出。析出晶体后余下的溶液仍为饱和溶液，若将析出的晶体与蒸发的水重新混合，也应得到饱和溶液。若晶体中不含结晶水，则：

蒸发的水的质量∶析出的晶体的质量=100∶S 若晶体中含结晶水，则由于析出含结晶水的晶体后的溶液仍为饱和溶液，所以蒸发的水和析出的结晶水与析出的晶体中的无水物混合在一起也可配成饱和溶液。所以，析出的晶体中的无水物的质量∶（结晶水的质量+蒸发水的质量）=S∶100 ④将饱和溶液从高温冷却至低温，由于一般来说，其溶解度降低，所以将有晶体析出，若晶体中不含结晶水，其质量可用以下2个公式来求：

若用100g水在高温下配制饱和溶液，此时可得（100+S高漫）g饱和溶液。若将饱和溶液降至某温度时，析出的晶体的质量为两个温度下的溶解度之差。所以：

析出晶体的质量∶饱和溶液中溶剂的质量=（S高温-S低温）∶100 析出晶体的质量∶高温下饱和溶液质量=（S高温-S低温）∶（100+S高温）上述公式应根据不同情况加以应用。而解题的基本方法是比例式法或守恒法。

精选题

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网

一、选择题

1．某结晶水合物的化学式为R·nH2O，其式量为M，在25℃时，ag晶体溶于bg水中即达饱和，形成密度为ρg/mL的溶液，下列表达式正确的是

[

] A．饱和溶液的物质的量浓度为：1000a（M-18n）/M（a+b）mol/L B．饱和溶液中溶质的质量分数为：100a（M-18n）/M（a+b）％ C．饱和溶液的物质的量浓度为：1000ρa/M（a+b）mol/L D．25℃时，R的溶解度为：a（M-18n）/（bM+18an）g 2．A、B两固体的溶解度都随温度升高而增大，现将80℃时A和B的饱和溶液各100g降温到20℃，A晶体析出的量比B晶体析出的量多（均不含结晶水），下列说法正确的是

[

] A．80℃时A的溶解度一定小于B的溶解度 B．20℃时A的溶解度一定小于B的溶解度

C．温度对A的溶解度的影响一定比对B的溶解度的影响大 D．温度对B的溶解度的影响一定比对A的溶解度的影响大

3．已知t℃时，某物质的不饱和溶液ag含溶质mg。若该溶液蒸发bg水并恢复到t℃时，析出溶质m1g，若原溶液蒸发cg水并恢复到t℃时，则析出溶质m2g，用S表示该物质在t℃的溶解度，下列各式中正确的是 [

] A．S=100m/（A-m）B．S=100m2/c C．S=100（m1-m2）/（b-c）D．S=100（m-m1）/（a-b）

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网 4．某温度下硫酸铜的溶解度是25g，若温度不变，将32g无水硫酸铜粉末放入mg水中，形成饱和溶液并有胆矾晶体析出时，则m的取值范围是

[

] A．18g≤m≤128g B．36g＜m＜180g C．18g＜m＜128g D．36g≤m≤128g 5．在25℃时，向50g2％的氢氧化钡溶液加入氧化钡粉末5g，析出4.65g固体（设晶体不含结晶水），则氢氧化钡在该温度下的溶解度是

[

] A．3.5g B．4.0g C．5.7g D．6.7g

二、非选择题

6．将含有不溶性杂质的氯化钾的固体混合物放入一定量的水中充分搅拌，有以下实验数据：

温度（℃）20

剩余固体质量（g）38 20

已知氯化钾的溶解度：

温度（℃）20

溶解度（g）34.0

40.0

42.6

45.5

48.6 试计算：（1）加入水的质量____g。

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网（2）原固体混合物中氯化钾的质量____g。

（3）使60℃时所得溶液变成饱和溶液，应加入______g氯化钾。7．已知在60℃时，硝酸钾的溶解度为110g，氯化钾的溶解度46g。在0℃

时，硝酸钾的溶解度为18g，氯化钾溶解度为30g。（1）在60℃时，100g水溶解80g 硝酸钾和氯化钾的混合物，再蒸发50g水，若要在此温度下析出硝酸钾而不析出氯化钾，则在混合物中硝酸钾的质量分数应为______。（2）若60℃时，有50g硝酸钾和氯化钾的混合物溶于100g水中，降温到0℃时，若要使氯化钾析出，硝酸钾不析出，氯化钾在混合物中的质量分数应为______。（3）若 60℃时硝酸钾和氯化钾的混合物是45g，溶于100g水中，降温到0℃时，则要使氯化钾析出，硝酸钾不析出，氯化钾在混合物中的质量分数为______。

8．用亚硫酸钠和硫在水溶液中加热反应，可制得硫代硫酸钠。10℃和70℃时，硫代硫酸钠在100g水中的溶解度分别为60.0g和212g。常温下，从溶液中析出的晶体是Na2S2O3·5H2O。

现取15.1g亚硫酸钠溶于80.0mL水。另取5.00g硫粉，用少许乙醇润湿后（以便硫能被水浸润），加到上述溶液中，用小火加热至微沸，反应约1小时后过滤，滤液在100℃经蒸发、浓缩、冷却至10℃后，析出五结晶水硫代硫酸钠晶体。

（1）设亚硫酸钠跟硫完全反应，当将滤液蒸发浓缩后，冷却至70℃，溶液的体积约30mL，该溶液是否达饱和？请通过计算说明。（70℃时，硫代硫酸钠饱和溶液的密度为1.17g/mL）

（2）若要计算在100℃下，将溶液蒸发至体积30.0mL，再冷却至10℃所能得到的五水硫代硫酸钠晶体的质量。你认为______。

A．前面提供的数据已足够

B．还需提供100℃时溶液的密度（1.14g/mL）C．还需提供结晶后剩余溶液的体积（10.0mL）

（3）根据第（2）小题你的选择，计算从10℃，30.0mL溶液中结晶出的五水硫代硫酸钠的质量。

答

案

爱学啦高中学习网海量资源等你下载更多资源请访问爱学啦高中学习网

一、选择题

1．B、C 2．C 3．C 4．C． 5．B

二、非选择题

6．（1）300g（2）136.5 g（3）6.5g 7．（1）KNO3≥71.25％（2）92％≥KCl≥64％（3）KCl＞60％ 8．（1）设生成硫代硫酸钠质量为x，反应用去硫的质量为y反应的化学方程式：

5g硫过量，应当用硫代硫酸钠的质量求x 126∶158=15.1g∶x x=18.94 g 根据 70℃溶解度数据可知：饱和Na2S2O3溶液在70℃的质量312g，含211g的Na2S2O3，若18.94gNa2S2O3溶于水形成70℃的饱和溶液，则饱和溶液的质量应为27.87g。此时溶液的体积=27.87g÷1.17g/mL=23.8mL，所以若溶液的体积为30mL，则溶液未达饱和。

（2）B（3）30mL溶液质量34.2g。含18.94g溶质，水15.27g。设降温至10℃，析出晶体质量为z。剩余的溶液仍为饱和溶液，其中水的质量∶溶质质量=100∶S。

zg晶体含结晶水90/248z溶质212/248z，饱和溶液中水质量=15.27-90/248z，溶质质量18.94-212/248z。

15.27-90/248z∶18.94-212/248z=100∶60z，解得z=23.2g。即可析出23.2g硫代硫酸钠晶体

篇7：初中数学与圆有关的证明题2

与圆有关的问题潘鸿威

一、选择题

1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）

A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形

2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）

A．3对B．2对C．1对D．0对

（1）(2)(3)(4)

3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）

A．①②③④B．①③②④

C．①④②③D．②③①④

4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）

A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB

C．AC+CB>AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④

9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，•垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下

；③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（）ADBD列结论：①CH=CP；②

A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③

(5)(6)(7)(8)

10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

;B．;A．AB2CDAB2CD

;D．AD与2CD的大小关系可能不确定C．AB2CD

二、填空题

11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．

12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________． 13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________． 14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______．

15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．

16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD． 17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以

AB•的位置关系是____________． 18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．

三、解答题 19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．

20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．

（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．

篇8：与圆有关角的一个通性

定义:两边与圆相交或相切的角, 统称与圆有关的角.

定理:与圆有关的角, 等于它所夹弧度数的代数和.如果它所夹的是一条弧, 那么它等于它及它的对顶角所夹的两条弧度数和的一半 (若无对顶角所夹弧, 则度数按零计算) ;如果它所夹的是两条弧, 那么它等于这两条弧度数差的一半.

证明: (1) 如图一, ∠1是圆心角, 于是

(2) 如图二, ∠2是圆周角, 于是

综上, 与圆有关的角等于它们所夹弧度数的代数和.那么, 如何应用该定理呢?以下举例说明.

例1如图八, 已知AB为⊙O直径, P为AB延长线上一个动点, 过P作⊙O的切线, 设切点为C. (1) 连结AC, 作∠APC平分线交AC于D.请你测量∠CDP的度数. (2) 猜想∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化?并对猜想加以证明.

解析:观察图八发现, ∠A, ∠APC均是与圆有关的角, 于是

例2试分析高尔夫球比赛中, 击球点与球洞之间的距离和命中率有何关系?

解析:画图、分析、研究得, 因此∠CP2D>∠AP1B, 命中率与张角∠AP1B的大小成正比, 而张角∠AP1B的大小与击球点到球洞中心的距离成反比.故距离越近, 命中率越高, 反之命中率越低.

至此, 我们把圆心角、圆周角和弦切角推广到与圆有关的七种角, 于无疑处生疑, 把书读厚.然后, 探索得出定理, 合七为一, 整合知识, 把书读薄, 便于联系, 便于记忆, 减轻了学生学习的负担.

篇9：与圆有关的实际应用题

一、与垂径定理相关的应用题

例1 圆柱形油槽内装有一些油.截面如图1，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）.

A. 6分米

B. 8分米

C. 10分米

D. 12分米

【解析】如图1，作OC⊥AB于C，根据垂径定理知：OC垂直平分AB，所以AC=AB=3（分米），设OC=x（分米），油面AB上升1分米到EF的位置，EF交OC于D，易知OD⊥AB，EF=8（分米），所以DE=EF=4（分米），OD=（x-1）分米，由OA=OE，有x2+32=（x-1）2+42，解得x=4（分米），所以OA=5（分米），即圆柱形油槽直径MN为10分米，选C.

二、与确定圆的条件相关的应用题

例2 （用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，图2是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 请你补全这个输水管道的圆形截面.

【解析】这是一道与确定圆的条件有关的实际问题，只要在圆上取三个点A、B、C，作AC、BC的垂直平分线EF、GH，它们的交点O就是圆心，AO就是半径，从而可作出原来的圆形截面.

三、与圆周角相关的实际应用题

例3 如图3，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻.当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点. 有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门. 仅从射门角度考虑，应选择_____种射门方式.

【解析】如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两点各自对球门PQ张角的大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.因此，只需比较∠PAQ与∠PBQ的大小. 过P、Q、B三点作圆（也可过P、Q、A），分以下三种情况讨论：（1） A点在☉O外，连接PA交☉O于点C，则∠PAQ<∠PCQ，∠PCQ=∠PBQ，∴∠PAQ∠PBQ，在A点射门好.这里题目已给出了（1）中的情况，因此应选第二种方式.

【点评】在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用数学方法从静止状态加以考虑.

四、与点和圆的位置有关的实际应用题

例4 如图4，公路MN和公路PQ在P点交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160 m，假如拖拉机行驶时周围100 m以内会有噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果受到影响，已知拖拉机行驶的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多少？

【解析】（1）要看学校是否受到影响，只要求出点A到MN的最小距离与100米进行比较即可. 过点A作AD⊥MN于点D. 在Rt△ADP中，∠APD=30°，AD=AP=×160=80（m）<100（m）.所以学校会受到噪声的影响；（2）要求学校受影响的时间，要先求出学校受噪声影响的路段.因为100米内的圆形区域为受影响的区域，☉A与MN的交点之间的线段为受影响路段，利用垂径定理求出弦BC的长即可.以点A为圆心，100米为半径的☉A与MN交于B、C两点，于是BC段即为学校受影响的路段.连接AB，在Rt△ABD中，BD==60（m）. ∵AD⊥BC，∴BC=2BD=2×60=120（m），因为拖拉机的速度为18 km/h，即5 m/s，120÷5=24（s）. 因此，学校受到噪声影响，受影响的时间为24秒.

【点评】当拖拉机移动到D点时，噪声的影响范围为以D点为圆心，100 m为半径的一个大圆，而点A在此大圆内. 本题较好地体现了直角三角形的有关定理与垂径定理的综合应用.

五、与直线和圆的位置有关的实际应用题

例5 如图5，小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20 cm的直尺，根本不够长，怎么办？小红想了想，采用了以下的办法：如图5，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两端，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图6），即可求出锅的直径.

（1）请你利用图6说明她这样做的理由；

（2）在现有条件下，你还能设计出另外一个可求出锅的直径的方法吗？如果能，请在图7中画出示意图，并说明理由（不必求出锅的直径）.

【解析】（1）假设圆（锅沿所形成的圆）的圆心为O，连接OA、OB，∵MA、MB与☉O相切，∴∠OAM=∠OBM=90°. 又∵∠M=90°，OA=OB，∴四边形OAMB是正方形，∴OA=MA. ∴量得MA的长，再乘以2就是锅的直径. （2）测量锅的直径的方法不唯一，各人可根据自己的具体情况去设计，下面只提供一个参考答案. 如图8，在锅的边上取三点A、B、C，使AB=AC，量得AB、AC、BC的长，就能求出锅的直径. 设锅的圆心为O，作直径AD交BC于点E，连接BD. 在 Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，进而求出AD，即能求出锅的直径.

六、与三角形内切圆有关的实际应用题

例6 如图9是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m. 按照输油中心O到3条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长是（）.（计算时视管道为线，中心O为点）

A. 2 m B. 3 m

C. 6 m D. 9 m

【解析】由O到三条支路的距离相等可知，本题可转化为求三角形内切圆的半径问题. 由勾股定理可得斜边为10，设内切圆半径为r，则利用面积法可得：r（6+8+10）=×6×8，解得r=2. 从而管道为2×3= 6（m），故选C.

【点评】本题的设计新颖别致，命题者独具匠心. 解决本题需巧用面积法解题，或利用切线长定理.

七、与圆柱的侧面展开图有关的实际应用题

例7 从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4 cm×11 cm，如图10甲.用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8 cm和2.3 cm，如图10乙. 那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001 cm）

【解析】可利用甲和乙两图中的体积相等列方程求解. 设该两层卫生纸的厚度为x cm，则由题意可得方程：11×11.4×x×300=π（5.82-2.32） ×11，解得x≈0.026.

答：该两层卫生纸的厚度约为0.026 cm.

【点评】本题初看起来比较复杂，其实只要找出不变量问题即可迎刃而解.这里，甲和乙图中纸的体积不变，在甲图中，其体积为1格的体积的300倍，而1格的体积为11×11. 4×x（cm3）；在乙图中，其体积为两个圆柱体的体积之差. 从而可以快速地得到所要的方程.

八、与圆锥的侧面展开图有关的实际应用题

例8 如图11是某工件的三视图，求此工件的全面积.

【解析】这是与三视图相关的圆锥全面积计算问题，它由两部分组成：一个是底面积，它是一个圆；另一个是侧面积，它的展开图是一个扇形. 应用它们的面积公式即可得到答案. 由三视图可知，该工件为底面半径为10 cm，高为30 cm的圆锥体，其母线长为=10（cm），因此它的侧面积为×20π×10=100π（cm2），底面积为102π=100π（cm2），所以它的全面积为100π+100π=100（1+）π（cm2）.

答：此工件的全面积为100（1+）πcm2.

【点评】计算扇形面积公式有两个：一个是S=，另一个是S=lr，在解题中要灵活应用，本题以用第二个公式比较简便.

九、与其它学科相结合的圆的实际应用题

例9 某定滑轮的起重装置如图12，滑轮半径为12 cm，当重物上升4π cm时，滑轮的一条半径OA按逆时针方向旋转的度数为（）.（假设绳索与滑轮之间没有滑动）

A. 12° B. 30°

C. 60° D. 90°

【解析】这是一道与物理相结合的圆的实际应用题，解决它的关键是将重物上升的高度转化为弧长，再应用弧长公式去求圆心角的度数.由于重物上升的高度为4π cm，所以旋转角所对的弧长为4π cm，设旋转角的度数为n，由弧长公式有：=4π，又R=12，解得n=60°，选C.

【点评】本例是一个物理和数学两个学科交叉的试题，学科相互渗透，这是近几年中考命题的热点之一，应予以重视.

小试身手

1. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图13所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为______厘米.

2. 一个圆形人工湖如图14所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）.

A. 50 m B. 100 m