2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题（共9篇）

篇1：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

A题

无人机自主飞行航迹规划问题

无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是遂行各种侦察任务。随着无人机平台技术和机载遥感技术的不断发展，它的军事应用范围已经并将继续扩展，如通信中继、军事测绘、电子对抗、信息攻击等。特别是精确制导武器技术的发展，又使它成为这种武器的理想平台。

西北工业大学在祖国的无人机事业上取得了骄人的成绩。从艰苦创业到走向辉煌的50年风雨历程中，一批又一批的西工大人用心血和智慧谱写着共和国无人机事业发展的新篇章，他们用自己的勇气和毅力撑起了我国无人机腾飞的翅膀！

众所周知自主飞行的能力是无人驾驶飞机所必须具有的。如果要实现无人驾驶飞机的自主飞行,则要求具有相当程度的飞行航迹规划能力。无人机的航迹规划是为了圆满完成任务而作的计划。它往往指单机在初始位置、终止位置和一些目标任务结点确定之后的航迹规划问题,其基本功能是根据无人机的性能和飞经的地理环境、威胁环境等因素,对已知的目标规划提出满足要求的航迹,以便在实际飞行时可以根据需要进行实时局部修改。

现在我们讨论如下的情况：

假定无人机的活动范围为20km×20km的区域，无人机起点的平面坐标为

[1,2](单位：km), 攻击目标的平面坐标为[19,18](单位：km)，同时不考虑无人机起飞降落时的限制。数字地图和敌方威胁情况(主要考虑雷达威胁)已在附件中给出。数字地图可以做适当的简化，比如可以把地形近似分为三种：高地，低地以及过渡地带。

问题1：忽略地形和无人机操作性能等因素的影响，综合考虑敌方威胁，无人机航程等，基于二维平面建立单机单目标的航迹规划模型。

问题2：把模型扩展到三维空间，并同时考虑无人机的操作性能（主要考虑拐弯）和地形因素。

问题3：试讨论和分析你提出的模型的可行性，并做仿真分析。

附件一：雷达威胁的坐标方位表。

附件二：数字地图。

附件一：雷达威胁的平面坐标方位表

起始点坐标

威胁点1坐标

威胁点2坐标

威胁点3坐标

威胁点4坐标

[1,2] [7,20] [11,14] [9,6] [18,2] 目标点坐标 威胁点5坐标 威胁点6坐标 威胁点7坐标 威胁点8坐标 [19,18] [13,4] [15,18] [14,17] [20,14]

篇2：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。本题目希望学生利用数学模型和附件1-3中的数据对评酒员的品评结果给出分析，对酿酒葡萄的质量给出评价，并探讨葡萄和葡萄酒的理化指标与酒的质量的关系。

问题1.附件1中给出的是评酒员对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒的两组品评结果。这两组评酒员各不相同，两组中的每个酒样都取自相同葡萄酒厂家的同一批次的产品。要求学生给出判断这两组评价结果好坏的原理、模型和方法，给出具体的结果，并对结果进行说明。好的品评结果应该是对同一酒样评价时这些评酒员之间的差距小、且这些酒样之间的区分度明确（注：一些学生的模型和方法仅考虑评酒员的打分差距）。参考：红酒中样品23是好酒，样品12是较差的酒。

问题2.给出根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级的原则、模型、算法和结果。确定酿酒葡萄质量好坏的主要依据是问题1中评酒员对酒的质量的评价结果，根据这个评价结果和酿酒葡萄的各种理化指标给出确定葡萄质量的模型，由此给出这些酿酒葡萄的分级结果。参考：分级结果中好的红葡萄应包含样品23，差的应该包含样品12。

问题3.给出分析酿酒葡萄与葡萄酒的成分之间关系的原理、模型和方法，得到葡萄酒的理化指标是否与葡萄的理化指标相关的结论，相关时给出具体的依赖关系。求解时最好先对葡萄的理化指标（包括芳香物质）进行分类和筛选，然后进行评价。注：仅把葡萄的全部理化指标进行简单回归不够完整。

问题4.建立模型分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量之间的关系，在模型的基础上给出具体结论，并对结论给出详细的分析说明。注：评价葡萄酒质量时不一定需要包含所有的理化指标，但根据经验知道花色苷、总酚和单宁是红葡萄酒的重要指标。

篇3：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

纵观整张试卷, 给人平和清新富有创新意识的感觉, 体现了数学基础性、通用性和工具性, 以重点知识主干线来挑选合理背景构建试题的主体, 既兼顾传统的内容又兼顾新教材的内容, 与中学数学教学和谐吻合。从试卷的结构上看, 基本初等函数Ⅰ (指数函数、对数函数、幂函数) 、基本初等函数II (三角函数与变换与解三角形) 、立体几何与空间向量、平面解析几何、概率统计及其案例是新课程中的五大主干知识块, 始终是知识考查的主线。《数学》试验教材新增内容大都是近、现代数学的重要基础, 成为支撑数学学科知识体系的重点知识, 在这份考卷中保持较高的比例, 构成试题主体的重要知识板块。审视这份高考卷可发现, 以新增教学内容———概率统计, 算法, 导数, 定积分, 立体几何中的三视图等作为重点或背景的试题, 有理科第5题 (文科第6题) , 理科第10题, 理科第12题, 理科第16 (文科第16题) , 文科第18题, 理科第19题 (文科第19题) , 理科22～24题 (文科22～23题) , 合计新增内容理科分值高达37分, 文科分值高达44分, 命题重心如此迁移, 反映了数学教育改革的发展方向, 与新课程理念下高中课程改革自然接轨, 命题者此番匠心, 值得重视。

1.重视基础知识、基本技能的考查。

2008年高考数学试题注重基础, 强调通法, 不偏不怪。选择题对基础知识、基本技能的考查, 循序渐进, 层次清晰, 16小题总体立意简明, 内涵丰富, 覆盖面广, 有很强的知识背景。注重基础, 基本上没有难题、怪题, 且均为贴近课本的容易题或中等题, 涉及数学各分科常见的知识点, 考生容易进入角色, 有效地发挥了“门坎效应”。解答题的设计充分注意知识的内在联系, 从不同角度、不同层次考查综合、灵活应用基础知识、基本技能的能力。抽样表明, 今年海南省高考调研测试平均分和高分率同去年相比有所下降, Ⅱ卷理科最高分为86分, 文科最高分为85分。同2007年试题作比较, 我们发现有几个方面的连贯性:一是试题来源于很强的生活背景和学科的整体意识, 例如文理科的的第19题统计概率, 在课改区的“研究性学习”和“综合实践模块”中, 对这类实践性很强的课题, 教师在教学中和学生在研究中很重视, 对于课改区的学生而言, 备感亲切, 这一特点保留了2007年第17题的风格, 且统计与概率在以往的试题呈现方式中, 总难融为一体, 而本次试题较好地将统计与概率作为一个整体来考察:文理科第23题坐标系与参数方程, 将伸缩变换、参数方程创新地融为一个整体, 知识几乎覆盖了选修4-4的整本教材, 而且题型常规又不落俗套。因此本次命题给大家一个启示, 学科知识为一个整体, 不仅是统计与概率, 其他的知识也应该在学科整体意识上进行研究。二是通性通法的考查, 从填空题的角度来看, 文理科均为常规基础题, 中等程度以上的学生不存在任何思维上的障碍, 只要平时练习到位都能得分;从选填题来看, 16道小题有7道文理科同题, 与2007年高考试题相比, 文理科相同试题略有所下降。由于文理科考生在数学思维水平上有差异, 而对数学的要求也不完全相同, 2008年试题比较好地关注了这种情况, 在文理科考察内容大致相同的情况之下, 在考察方式和能力层次上加以区别。例如文理科第21题都是考察利用导数求曲线切线和利用导数研究函数图像进而求面积, 在试题的设计上可称为姊妹题。作为解答题中的难题, 两者采用分步设问的办法使其逐步深入, 在化解试题难度的同时, 又合理区分了不同层次的考生, 减少了答题用时, 增加了思考深度。尽管两道题在思路上基本相同, 但在计算量和问题的层次上, 理科显然高于文科, 合理区分了文理在考察知识要求上的区别。

2.关注知识来源, 融数学思想方法于试题之中。

一是关注知识的内涵。如文科第9题 (理科第8题) 考察两个平面向量共线的充要条件, 既考察了充要条件, 又要求考生对平面向量共线的内涵有清晰的理解:文理科第16题以开放题的形态利用茎叶图比较甲、乙两品种棉花的纤维长度, 要求考生对统计知识有全面的理解;文科第7 (理科第6题) 解不等式, 实际是考察集合的交集。

二是部分试题比较好地体现课标思想, 例如对立体几何知识的考查。与传统作比较, 新课程标准更侧重“看图”, 本次试卷的理科第12题将不等式与三示图相结合, 出乎意料但又合乎情理, 文科第18题同样以三示图作为背景, 考察体积与线面平行的证明, 则是对新课标的最有力的支持。理科第12题, 将三视图与不等式相结合, 既出乎意料, 又合乎情理, 作为选择题的压轴题, 十分合适。

三是融数学思想方法于试题中。例如文科第10题和第11题, 深入探究进行化归, 还是有似曾相识的感觉, 因为其中蕴涵了一元二次函数求最值的思想, 理科第20题, 将向量、方程、函数有机地交汇, 综合体现试题的创新意识与潜在价值。

二、2009年高考复习建议

篇4：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

（重庆师范大学刘凯年教授供题）

如图1，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D<180°，P是平面上的动点，令f（P）＝PA·BC＋PD·CA＋PC·AB．

[A][D][P][C][O][E][B]

图1

（Ⅰ）求证：当f（P）达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；

（Ⅱ）设E是△ABC外接圆O的上一点，满足：=，=－1，∠ECB=∠ECA，又DA，DC是⊙O的切线，AC=，求f（P）的最小值．

解析：解法1，（Ⅰ）如图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA·BC+PC·AB≥PB·AC．

因此f（P）＝PA·BC＋PC·AB＋PD·CA≥PB·CA+PD·CA＝（PB＋PD）·CA．

因为上面不等式当且仅当P，A，B，C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在△ABC的外接圆且在上时，f（P）＝（PB＋PD）·CA． 又因PB+PD≥BD，此不等式当且仅当B，P，D共线且P在BD上时取等号． 因此当且仅当P为△ABC的外接圆与BD的交点时，f（P）取最小值f（P）min＝AC·BD．

故当f（P）取最小值时，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）记∠ECB=α，则∠ECA=2α，由正弦定理有==，从而sin3α=2sin2α，即（3sinα－4sin3α）=4sinαcosα，所以

3－4（1－cos2α）－4cosα=0，整理得4cos2α－4cosα－=0，解得cosα=或cosα=－（舍去），故α=30°，∠ACE=60°． 由已知=－1=,有sin（∠EAC－30°）=（－1）sin∠EAC，即sin∠EAC－cos∠EAC=（－1）sin∠EAC，

整理得

sin∠EAC=cos∠EAC，

故tan∠EAC==2+，可得∠EAC=75°，

从而∠E=45°，∠DAC=∠DCA=∠E=45°，△ADC为等腰直角三角形．因AC=，则CD=1．

又△ABC是等腰直角三角形，故BC=，BD2=1+2－2·1··cos135°=5，BD=．

故f（P）min＝BD·AC=·=．

解法2，（Ⅰ）引进复平面，仍用A，B，C等代表A，B，C所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数z，z，有

（1）式取等号的条件是

复数（A－P）（C－B）与（C－P）（B－A）同向，故存在实数λ>0，使得

（A－P）（C－B）＝λ（C－P）（B－A），

=λ，

向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，

从而P，A，B，C四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为B，P，D共线且P在BD上．

故当f（P）取最小值时，P点在△ABC之外接圆上，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（P）min＝BD·AC．

以下同解法1.

二、（本题满分50分）

（西南大学 唐春雷教授供题）

设f（x）是周期函数，T和1是f（x）的周期且0

（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使是f（x）的周期；

（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列｛an｝满足1＞an＞an＋1＞0（n=1，2，…），且每个an（n=1，2，…）都是f（x）的周期．

证明：（Ⅰ）若T是有理数，则存在正整数m，n使得T=且（m，n）=1，从而存在整数a，b，使得

ma+nb=1．

于是

==a+bT=a·1+b·T

是f（x）的周期．

又因0

设p是m的素因子，

则m=pm′，m′∈N∗，从而

=m′·

是f（x）的周期．

（Ⅱ）若T是无理数，令

a1=1－

T，

则0

由数学归纳法易知an均为无理数且0

因此｛an｝是递减数列．

最后证每个an是f（x）的周期． 事实上，因1和T是f（x）的周期，故a1=1－

T亦是f（x）的周期． 假设ak是f（x）的周期，则ak+1=1－

ak也是f（x）的周期． 由数学归纳法，已证得an均是f（x）的周期．

三、（本题满分50分）

（西南大学 李扬荣教授供题）

设ak>0，k=1，2，…，2008． 证明：当且仅当ak>1时，存在数列｛xn｝满足以下条件：

（ⅰ）0=x0

（ⅱ）xn存在；

（ⅲ）xn－xn－1=akxn+k－ak+1xn+k，n=1，2，3，…．

证明：必要性. 假设存在｛xn｝满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）． 注意到（ⅲ）中式子可化为

xn－xn－1=ak（xn＋k－xn＋k－1），n∈N∗，

其中x0=0．

将上式从第1项加到第n项，并注意由x0=0得

xn=a1（xn＋1－x1）＋a2（xn＋2－x2）＋…＋a2008（xn＋2008－x2008）．

由（ⅱ）可设b=xn，将上式取极限得

b=a1（b－x1）＋a2（b－x2）＋…+a2008（b－x2008）=b·ak－（a1x1+a2x2+…+a2008x2008）

因此ak>1．

充分性. 假设ak>1．

定义多项式函数如下，

f（s）＝－1+aksk，s∈［0，1］，

则f（s）在［0，1］上是递增函数，且

f（0）＝－1＜0，f（1）＝－1＋ak＞0．

因此方程f（s）=0在［0，1］内有唯一的根s=s0，且0

下取数列｛xn｝为xn=s，n=1，2，…，｛xn｝明显地满足题设条件（ⅰ），且

xn=s=．

因0

最后验证｛xn｝满足（ⅲ），因f（s0）=0，即aks=1，从而

xn－xn－1=s=

篇5：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

(一)储油罐变位识别与罐容表标定问题探究

华中科技大学;梅正阳指导

链接地址：

(二)数值解法在储油罐变位标定中的应用

篇6：2014研究生数学建模竞赛A题

小鼠视觉感受区电位信号(LFP)与视觉刺激之间的关系研究

人类脑计划（Human Brain Project, HBP）是继人类基因组计划之后，又一国际性科研计划，其核心是神经信息学(Neuroinformatics）。该研究旨在努力探究数十亿个神经元的信息，以期对知觉、行动以及意识等有更进一步的了解。科学家们预期这是一条开发新技术的好途径，由此可能进一步认识像老年痴呆和帕金森综合症等疾病，有望为各种精神疾病研究出新的治疗方法。此外，该计划还可以更好地为人工智能服务。目前该计划已经取得一定进展，例如在2014年足球世界杯巴西开幕式上，脊髓损伤患者开球就是利用了美国杜克大学的神经生物学家、大脑-计算机界面研究的先驱、巴西人Miguel Nicolelis开发的一种由大脑脑电波控制的外骨骼系统。它既是人类脑计划的结晶，也是2014年Nature十大科学展望领域之一神经科学的代表性成就。1.脑电波介绍

脑是支配人和高级动物活动的司令部和信息中心，神经系统承担着感受外界刺激，产生、处理、传导和整合信号，实现各种认知活动（如知觉、学习、记忆、情绪、语言、意思和思维等），以及运动控制等众多功能。神经系统的基本结构单元是神经元，其放电活动涉及复杂的物理化学过程，表现出丰富的非线性动力学行为。神经系统整体可视为由数目众多的神经元组成的庞大而复杂的信息网络，通过对信息的处理、编码、整合，转变为传出冲动，从而联络和调节机体的各系统和器官的功能。神经元对信息的处理和加工是神经元集群共同完成的，而神经元集群的同步形成较强的电信号就是脑电波。

脑电波（Electroencephalogram,EEG）是大脑在活动时，脑皮质细胞群之间形成电位差，从而在大脑皮质的细胞外产生电流。它们是脑神经细胞的电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映，将大脑活动时这种电波的变化记录下来就得到脑电图。2.脑电波的应用

脑电波或脑电图是一种比较敏感的客观指标，不仅用于脑科学的基础理论研究，而且更重要的在于临床实践的应用。事实上，脑电波是诊断癫痫的重要依据，而且对于各种颅内病变，如脑中风、脑炎、脑瘤、代谢性脑病变等的诊断，亦有很大帮助。脑疾病的诊断主要是从脑电波的异常入手，结合临床，对颅内病变进行定位。

另外，脑电波也是人们思维活动的体现。人的大脑是由数以万计的神经交错构成的。神经相互作用时，脑电波模式就是思维状态。人的大脑平均每天产生7万个想法，而且每次神经活动时都会产生轻微的放电。单个神经产生的放电很难从头皮外测量到，但是许多神经共同放电产生的集体电波是可以通过脑电波技术测量到的。因此，我们测量得到的脑电波是由许多神经共同放电产生的集体神经活动决定的。经过近一个世纪的科学实验，神经系统科学领域的专家们已经发现了大脑中控制具体活动的部位。如控制四肢的区域位于大脑的顶部。而负责视力的区域位于大脑的后部。从进化论角度看，大多数动物的大脑也具备这些功能。所以在研究人脑思维时，可以借助于动物实验。

尽管我们知道大脑意识和神经冲动的基础都是电信号，这些电信号是如何精确表达一连串复杂动作一直为科学家所热衷。一旦解析出这种信息密码就可以实现人机互动，甚至用电脑控制动物的行为。Miguel Nicolelis[1]在2011年10月完成了一个猕猴意识控制机械臂的试验。他们将一特殊装置的电极放置到猕猴大脑的运动皮质区和躯体感受皮质区，前者是发出运动信号的区域，后者负责身体其他部分传来的信息。该试验的目标是为瘫痪病人设计可以由大脑控制义肢行为的装置。

该领域的研究目前处于起步阶段，特别是关于人脑的研究，远没有达到实际应用的阶段。所以进行脑电波分析的基础研究具有重要意义。由于人脑的复杂性，在研究脑电波形成机理时，科学工作者大多采用动物实验，比如小鼠等。

一般认为δ波是由大脑皮层和丘脑之间的内在网络所产生的。Ito等人今年4月在“Nature Communication”上发表论文“Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration”[2]，他们在对小鼠进行的研究中，发现δ波段的峰值震荡与清醒状态下的小鼠晶须桶状皮层局部场电位的活动被呼吸锁相（delta band oscillation in spike and local field potential activity in the whisker barrel cortex of awake mice is phase locked to respiration）。这也许表明δ波段可能与呼吸有关。（注：锁相是使被控振荡器的相位受标准信号或外来信号控制的一种技术。用来实现与外来信号相位同步，或跟踪外来信号的频率或相位）

此外，大量研究都表明脑电波信号与动物的认知等功能活动有关[3]。3.问题的难点

与脑电波对颅内病变诊断不同的是，利用脑电波分析人（动物）的行为与脑电波之间的关系，并反过来通过脑电波确定或引导人的行为，具有更大的挑战性。脑电波信号是无数神经放电的混合，我们不可能也没有必要将单个神经放电分离出来。宏观意义上，控制某个特定行为或想法的脑电波是一系列众多神经放电的迭加。而我们测量所得到的脑电波信号又是由许许多多构成不同想法和控制行为的脑信号合成的。研究表明这些信号的强弱差别很大。在实现人机交互时，我们也许只关注若干个行为或思想，而对应的脑电波可能很弱。这在信号处理领域，相当于弱信号检测。在数学领域，这可能属于不适定的反问题。显然只有将脑电波信号很好地分离才能从中确定某种脑电波与某种行为相对应。这也可以理解为盲源分离或半盲信号分离问题。但通常的盲源分离技术在这里很难奏效，或误差太大，因为脑电波这一混合信号是由尺度差异很大的信号所构成的。

4.具体问题描述

脑电波来自于大脑内部，一般认为大脑在活动时，脑皮质细胞群之间就会形成电位差，从而在大脑皮质的细胞外产生电流。它是脑神经细胞的电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映。而局部场电位（Local Field Potential, LFP）则反映来自神经元网络局部神经核团的活动状态，它也是一种神经集合的协同行为。所以LFP信号是脑内某局部大量神经元树突电位和的综合反映。LFP可能与大脑对行为的控制有关，如呼吸及视觉刺激等。对应于不同行为或思维的脑电波，我们称之为脑电波成份。事实上，当一个人面对一个物品或需要拿起一个物品时，我们希望知道对应脑电波的反应，即该脑电波成份。该工作具有深远意义，如果能分离出与行为相关联的脑电波，将有助于对大脑疾病的诊断及脑中风病人的生活自理。由于人的大脑非常复杂，研究人的思维也相对困难。为了容易建立脑电波与行为之间的关系模型，这里我们选取的研究对象为小白鼠。我们感兴趣的是：

(1)视觉感受区的局部电位是否有规律性的变化？与呼吸曲线的周期性之间是否有联系？(2)视觉感受区的局部电位是否与视觉刺激相关？具体的联系是什么？

为了建立模型，我们提供的数据包括两方面：（1）睡眠状态下；（2）清醒状态下：(a)没有视觉刺激；(b)有视觉刺激。

提供的数据如下：

(1)文件名称：LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(睡眠状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线[注：仅波峰和波谷点有生理意义，分别代表吸气和呼气末。呼 吸信号是通过热敏电极在鼻子附近记录的，主要表现是呼气时温度升高（曲线下降）。因为是 间接记录呼吸，因此只能用曲线的峰或 谷的时间点标记呼吸时程（吸气相或呼气相），曲线 具体幅度等没什么价值。](2)文件名称：V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒 第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(清醒状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线

(3)文件名称：V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat 数据格式：Matlab(.mat;int16)采样频率：1000 Hz 数据长度：30秒

第1-5 道（Ch11, Ch12, Ch13, Ch14, Ch15）：小鼠大脑视觉皮层局部电位(清醒状态)第6道（Ch17）：呼吸曲线

第7道（Ch18）：两次CheckBoard视觉刺激（注：波峰处为黑白配对视觉刺激开始。具体实 现见附图说明：moveonoff.pdf）信号采集条件说明：

信号（LFP：局部电位）分别来自睡眠或清醒状态下小鼠大脑皮层的视觉感受区，5个电极（一排）同时记录，每个电极间距为0.25 毫米。（电极置于皮下5毫米处，这样可以减少肌电的影响）。

另外，为了研究视觉刺激对LFP的影响。在记录视觉感受区局部电位的同时，动物的眼睛给了视觉刺激。该刺激是通过配对出现的Checkboard，开关的相隔时间是随机的（在小鼠的眼前放置一个Checkboard,随机地打开或关闭）。

请研究如下问题（部分问题给出了猜想，但问题的解决不局限于这些猜想）：

（1）由于对呼吸的观测是间接的，能否通过分析呼吸的机理，建立数学模型反映小鼠在睡眠状态下与呼吸相关联的脑电波。（猜测：呼吸过程是由脑干部分发出“呼”和“吸”的命令，由神经元集群同步产生动作电位，该电位完成呼吸过程。）（2）一般认为：在睡眠状态下，小鼠脑电波的周期节律有可能与呼吸相关联[2]。该结论是否正确？通过对所给的视觉感受区的局部电位数据建立模型论证你的结论。（3）研究在清醒状态下，小鼠视觉感受区的局部电位信号是否有周期性的变化？该周期性的变化是否与小鼠呼吸所对应的脑电波的周期性的变化有关？是线性相关吗？如果不是线性相关，是否具有其他形式的相关性？（4）建立脑电波信号的分离模型，能否从前两种状态（睡眠状态、无视觉刺激的清醒状态）的局部脑电位信号LC01_20131204_Data10_V1_50s_70s_1kHz.mat、V01_20131126_Data03_80s_110s_LFP_NoStim_1khz.mat中分离出与小鼠呼吸相关联的脑电波信号？

（5）通过Checkboard随时间变化的曲线，分析小鼠视觉刺激的时间曲线及其功率谱，并与呼吸曲线的功率谱对比。利用问题(4)所建立的信号分离模型，从数据V01_20131126_Data03_300s_330s_LFP_VisStim_1khz.mat中分离出与Checkboard刺激相关的脑电波信号成份和可能与呼吸相关的脑电波信号成份？请验证所分离出来的刺激脑电波成份与视觉刺激之间的相关性，并说明该脑电波成份中是否包含图形形状因素。

参考文献：

[1] J.Wessberg, C.R.Stambaugh, J.D.Kralik, P.D.Beck, M.Laubach, J.K.Chapin, J.Kim, J.Biggs, M.A.Srinivasan, M.A.L.Nicolelis, Real-time prediction of hand trajectory by ensembles of cortical neurons in primates, Nature,408, 361-365, Nov.2000 [2].J.Ito, S.Roy, Y.Liu, M.Fletcher, L.Lu, J.D.Boughter,S.Grun, D.H.Heck, Whisker barrel cortex delta oscillations and gamma power in the awake mouse are linked to respiration, Nature Communication, 2014, April.[3]Mark E.Bear等，王建军等译，神经科学—探索脑，高等教育出版社，2004 [4]王青云，石霞，陆启韶，神经元耦合系统的同步动力学，科学出版社，2008

附录：“关于大脑”

关于大脑

1.脑电波

现代科学研究已经发现人脑工作时会产生自己的脑电波。经过研究证实大脑存在至少多个不同波段的脑电波。事实上，脑电波是一系列自发的有节律的神经电活动，其频率变动范围在每秒1－30次之间的，可划分为四个波段，即δ（1－3Hz）、θ（4－7Hz）、α（8－13Hz）、β（14－30Hz）。（这几种波的频率边界，学界还没有完全统一的标准。亦有学者认为δ波小于4Hz，θ波4～7Hz，α波8～12Hz，β波13～35Hz，并认为有大于35Hz的脑电波，并命名为γ波。长期处于该状态下的人会有生命危险。另外，这几种波的划分是针对人类的。对于其它动物频率边界会有变化）δ波，频率为每秒1－3次，当人在婴儿期或智力发育不成熟、成年人在极度疲劳和昏睡状态下，可出现这种波段。

θ波，频率为每秒4－7次，成年人在意愿受到挫折和抑郁时以及精神病患者这种波极为显著。但此波为少年（10－17岁）的脑电图中的主要成分。

α波，频率为每秒8－13次，平均数为10次左右，它是正常人脑电波的基本节律，如果没有外加的刺激，其频率是相当恒定的。人在清醒、安静并闭眼时该节律最为明显，睁开眼睛或接受其它刺激时，α波即刻消失。

β波，频率为每秒14－30次，当精神紧张和情绪激动或亢奋时出现此波，当人从睡梦中惊醒时，原来的慢波节律可立即被该节律所替代。

在人心情愉悦或静思冥想时，一直兴奋的β波、δ波或θ波此刻弱了下来，α波相 对来说得到了强化。因为这种波形最接近右脑的脑电生物节律，于是人的灵感状态就出现了。

2.人脑的构造

人脑的构造主要包括脑干、小脑与前脑三部分。

脑干（brainstem）上承大脑半球，下连脊髓，呈不规则的柱状形。经由脊髓传至脑的神经冲动，呈交叉方式进入：来自脊髓右边的冲动，先传至脑干的左边，然后再送入大脑；来自脊髓左边者，先送入脑干的右边，再传到大脑。脑干的功能主要是维持个体生命，包括心跳、呼吸、消化、体温、睡眠等重要生理功能，均与脑干的功能有关。脑干部位又包括以下四个重要构造：

1．延髓（medulla）延髓居于脑的最下部，与脊髓相连；其主要功能为控制呼吸、心跳、消化等。

2．脑桥（pons）脑桥位于中脑与延脑之间。脑桥的白质神经纤维，通到小脑皮质，可将神经冲动自小脑一半球传至另一半球，使之发挥协调身体两侧肌肉活动的功能。

3．中脑（midbrain）中脑位于脑桥之上，恰好是整个脑的中点。中脑是视觉与听觉的反射中枢，凡是瞳孔、眼球、肌肉等活动，均受中脑的控制。

4．网状系统（reticular system）网状系统居于脑干的中央，是由许多错综复杂的神经元集合而成的网状结构。网状系统的主要功能是控制觉醒、注意、睡眠等不同层次的意识状态。

小脑（cerebellum）位于大脑及枕叶的下方，恰在脑干的后面，是脑的第二大部分。小脑由左右两个半球所构成，且灰质在外部，白质在内部。在功能方面，小脑和大脑皮层运动去共同控制肌肉的运动，籍以调节姿势与身体的平衡。

前脑（forebrain）属于脑的最高层部分，是人脑中最复杂、最重要的神经中枢。前脑又分为视丘、下视丘、边缘系统、大脑皮质四部分。

1．视丘（thalamus）视丘呈卵圆形，由白质神经纤维构成，左右各一，位于骈胝体的下方。从脊髓、脑干、小脑传导来的神经冲动，都先终止于视丘，经视丘在传送至大脑皮质的相关区域。所以说视丘是感觉神经的重要传递站。此外，视丘还具有控制情绪的功能。

2．下视丘（hypothalamus）下视丘位于视丘之下，是自主神经系统的主要管制中枢，它直接与大脑中各区相连接，又与脑垂体及延髓相连。下视丘的主要功能是管制内分泌系统、维持新陈代谢正常、调节体温，并与生理活动中饥饿、渴、性等生理性动机有密切的关系。

3．边缘系统（limbic system）边缘系统一般认为包括视丘、下视丘以及中脑等在内的部分。边缘系统的主要功能为嗅觉、内脏、自主神经、内分泌、性、摄食、学习、记忆等。边缘系统有两个神经组织，即杏仁核与海马，前者关系情绪的表现，后者与记忆有关。

4．大脑皮质（cerebral cortex）是大脑的表层，由灰质构成，其厚度约为1到4mm，其下方大部分则由白质构成。大脑中间有一裂沟（大脑纵裂，longitudinal fissure），由前至后将大脑分为左右两个半球，称为大脑半球（cerebral hemisphere）。两个半球之间，由胼胝体（corpus collosum）连接在一起，使两半球的神经传导得以互通。

大脑皮质为中枢神经系统的最高级中枢，各皮质的功能复杂，不仅与躯体的各种感觉和运动有关，也与语言、文字等密切相关。根据大脑皮质的细胞成分、排列、构筑等特点，将皮质分为若干区。皮质运动区：位于中央前回（4区），是支配对侧躯体随意运动的中枢。它主要接受来自对侧骨骼肌、肌腱和关节的本体感觉冲动，以感受身体的位置、姿势和运动感觉，并发出纤维，即锥体束控制对侧骨骼肌的随意运动。返回

皮质运动前区：位于中央前回之前（6区），为锥体外系皮质区。它发出纤维至丘脑、基底神经节、红核、黑质等。与联合运动和姿势动作协调有关，也具有植物神经皮质中枢的部分功能。

皮质眼球运动区：位于额叶的8区和枕叶19区，为眼球运动同向凝视中枢，管理两眼球同时向对侧注视。

皮质一般感觉区：位于中央后回（1、2、3区），接受身体对侧的痛、温、触和本体感觉冲动，并形成相应的感觉。顶上小叶（5、7）为精细触觉和实体觉的皮质区。

额叶联合区：为额叶前部的9、10、11区，与智力和精神活动有密切关系。

视觉皮质区：在枕叶的距状裂上、下唇与楔叶、舌回的相邻区（17区）。每一侧的上述区域皮质都接受来自两眼对侧视野的视觉冲动，并形成视觉。返回

听觉皮区：位于颞横回中部（41、42区），又称Heschl氏回。每侧皮质均按来自双耳的听觉冲动产生听觉。

嗅觉皮质区：位于嗅区、钩回和海马回的前部（25、28、34）和35区的大部分）。每侧皮质均接受双侧嗅神经传入的冲动。

内脏皮质区：该区定位不太集中，主要分布在扣带回前部、颞叶前部、眶回后部、岛叶、海马及海马钩回等区域。

语言运用中枢：人类的语言及使用工具等特殊活动在一侧皮层上也有较集中的代表区（优势半球），也称为语言运用中枢。它们分别是：①运动语言中枢：位于额下回后部（44、45区，又称Broca区）。②听觉语言中枢：位于颞上回42、22区皮质，该区具有能够听到声音并将声音理解成语言的一系列过程的功能。③视觉语言中枢：位于顶下小叶的角回，即39区。该区具有理解看到的符号和文字意义的功能。④运用中枢：位于顶下小叶的缘上回，即40区。此区主管精细的协调功能。⑤书写中枢：位于额中回后部8、6区，即中央前回手区的前方。

3.脑的节律

地球是一个富有节律的环境，气温和白昼都随着季节的变化而变化，每天昼夜交替，潮涨潮落。为了生存，动物的行为必须和环境的节律协调。在进化过程中，脑内形成了各种各样的节律控制系统。睡眠和觉醒是最明显的节律行为。由脑控制的节律周期有些比较长，比如冬眠动物的一些节律活动；而另一些较短，如呼吸节律，行走步伐和大脑皮层的电节律等。

大脑皮层存在着大量的电节律。它们通常是大群神经元组同步产生的。比如，当你试图抓住一个篮球时，同时对形状、颜色、运动、距离甚至篮球的含义反应的不同神经元群组趋于同步的震荡。通过分散的细胞群组震荡的高度同步化，在某种程度上把它们 连成一个有意义的大组，以区别于附近的神经元，从而把“篮球问题”这个杂乱的神经碎片统一起来。

篇7：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

一、三角函数

常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：

半角公式

sin?

2??1?cos2

cos?1?cos?

2??2

tan?1?cos?

2??1?cos??1?cos?sin?

sin??1?cos?

积化和差

sin?cos??1

2?sin??????sin??????

cos?sin??1

2?sin??????sin??????

cos?cos??1

2?cos??????cos??????

sin?sin???1

2?cos??????cos??????

和差化积

sin??sin??2sin???

2cos???

2

sin??sin??2cos??????

2sin2

cos??cos??2cos??????

2cos2

cos??cos???2sin??????

2sin2

万能公式

sin2??2tan?

1?tan2?

1?tan2

cos2???

1?tan2?

tan2??2tan?

1?tan2?

三倍角公式

sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???

cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???

二、某些特殊角的三角函数值

????????

三、三角函数求值

给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的.常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去

举个例子

2?4?6??cos?cos777

2?提示：乘以2sin，化简后再除下去。7求值：cos

求值：cos10??cos50??sin40?sin80?

来个复杂的

设n为正整数，求证22?sin

i?1ni?2n?1?2n?12n

另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲

四、三角不等式证明

最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinx?x?tanx；还有就是正余弦的有界性。例

求证：x为锐角，sinx+tanx<2x

设x?y?z??

12，且x?y?z??

2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。

注：这个题目比较难

数列

关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。?

1给递推式求通项公式

(1)常见形式即一般求解方法

注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。

①an?1?pan?q

若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，

若p≠1，则两边同时加上qq，变为an?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????

显然是以a1?q为首项，p为公比的等比数列p?1

②an?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常数

若p=1，则显然an=a1+?f?i?，n≥2

i?1n?1

若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为an?1anf?n???n?1nn?1ppp

n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用叠加法易得n???i?1，从而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??

注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。

(2)不动点法

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d

令此方程的两个根为x1，x2，

若x1=x2

则有

11??pan?1?x1an?x1

其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=

若x1≠x2则有2ca?d

an?1?x1a?x1?q?n

an?1?x2an?x2

其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=a?cx1a?cx2

(3)特征根法

特征根法是专用来求线性递推式的好方法。

先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。

①an?2?pan?1?qan

特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2

nn则其通项公式为an?A?x1，A、B用待定系数法求得。?B?x2

②an?3?pan?2?qan?1?ran

特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3

nnn则其通项公式为an?A?x1，A、B、C用待定系数法求得。?B?x2?C?x3

注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。

(4)数学归纳法

简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。

(5)联系三角函数

三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子

an?1?2an21?an

看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。

注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。

例

数列?an?定义如下：a1?2，求?an?通项2，an?1?2?4?an

注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。

(6)迭代法

先了解迭代的含义

f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??

f右上角的数字叫做迭代指数，其中f

再来了解复合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函数

f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???

如果设F?x??g?1?f?g?x?，则Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。

而在数列中我们可以将递推式看成an?1?F?an?，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。

练习

?an?满足a1?1，a2?2，a2n?1?已知数列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，试求数列的2

通项公式。

注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。

下面是我的一个原创题目

已知数列?an?满足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求该数列的通项公式。

2数列求和

求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。

阿贝尔（Abel）恒等式

有多种形式，最一般的是

?ab??S?bkkk

k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn

其中Sk??a

i?1kk

篇8：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

近年来, 竞赛数学的一些典型问题、知识点与思想方法逐渐向中考渗透, 使得中考数学压轴题的命题呈现更加多元化发展的趋势.竞赛数学作为较高层次要求的基础数学, 其知识、思想方法、技巧等内容渗透到中考数学压轴题之中, 更强化了中考数学能力考查的力度.近年来, 全国各地的中考数学压轴题有不少借鉴了竞赛题的内容, 与竞赛题相结合, 结合后的特点是内容新颖、方法具有创造性和研究性.竞赛数学背景的中考数学压轴题逐渐成为中考数学命题的一个热点方向.因此, 把握中考数学考试风向标, 加强对竞赛数学背景的相关中考压轴题的研究、分析和思考, 无论对学生还是教师在初中数学教与学以及中考数学复习备考中都具有十分积极的意义.下面就中考压轴题中的几大类型题及其竞赛数学背景溯源进行分析.

1 函数图像类问题

例1 (兰州市2009年初中毕业生学业考试数学试卷) 如图1, 某公路隧道横截面为抛物线, 其最大高度为6米, 底部宽度OM为12米.现以O点为原点, OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(Ⅰ) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;

(Ⅱ) 求这条抛物线的解析式;

(Ⅲ) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB, 使C, D点在抛物线上, A, B点在地面OM上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少?

例2 (竞赛背景原试题, 2005年广东省竞赛题) 如图2所示, 在平面直角坐标系中, 抛物线的顶点P到x轴的距离是4, 抛物线与x轴相交于O, M两点, OM=4, 矩形ABCD的边BC在线段OM上, 点A, D在抛物线上.

(Ⅰ) 写出P, M两点的坐标, 并求出这条抛物线的解析式;

(Ⅱ) 设矩形ABCD的周长为l, 求l的最大值.

点评中考题将竞赛题赋予了公路隧道的实际含义, 加强了对数学建模的能力的考查, 再对数值做了稍许变动但试题框架未改变.二者均是综合性较强, 也是传统型的压轴题, 涉及了二次函数、四边形等大量初中数学的重要知识, 解这类问题要求学生牢固掌握各个领域的数学知识.中考题改变了竞赛题中问题的呈现方式, “提供新材料、创设新情景”, 进而“提出新问题”, 让学生转换角度, 调整思路, 灵活处理变化了的新问题.

2 三角形存在性问题

例3 (2009年江西市中考试题数学试卷) 如图3, 在等腰梯形ABCD中, AD∥BC, E是AB的中点, 过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4, BC=6, ∠B=60°.

(Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 点P为线段EF上的一个动点, 过P作PM⊥EF交BC于点M, 过M作MN∥AB交折线ADC于点N, 连结PN, 设EP=x.

(1) 当点N在线段AD上时 (如图4) , △PMN的形状是否发生改变?若不变, 求出△PMN的周长;若改变, 请说明理由.

(2) 当点N在线段DC上时 (如图5) , 是否存在点P, 使△PMN为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的x的值;若不存在, 请说明理由.

例4 (竞赛背景原试题, 2009年全国竞赛黄冈预赛题) 如图6, 在直角梯形OABC中, OA∥BC, A, B两点的坐标分别为A (13, 0) , B (11, 12) .动点P, Q分别从O, B两点出发, 点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动, 点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时, 点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D, 过点D作DE∥x轴, 交AB于点E, 射线QE交x轴于点F.设动点P, Q运动时间为t (单位:秒) .

(Ⅰ) 当t为何值时, 四边形PABQ是平行四边形.

(Ⅱ) △PQF的面积是否发生变化?若变化, 请求出△PQF的面积S关于时间t的函数关系式;若不变, 请求出△PQF的面积.

(Ⅲ) 随着P, Q两点的运动, △PQF的形状也随之发生了变化, 试问何时会出现等腰△PQF?

点评中考题是以2009年全国竞赛黄冈预赛题改编的, 属于空间图形版块的综合性试题.中考题 (例3) 的 (Ⅱ) 中的 (1) 与竞赛题 (例4) (Ⅱ) 同属运动型探究题, 考查了等腰梯形、平行四边形、三角形面积、点运动变化后面积的变化等知识, 同时, 在解题过程中渗透了数形结合的数学思想;而中考题的 (Ⅱ) 中的 (2) 与竞赛题的 (Ⅲ) 都是运动型分类讨论题, 考查了有关等腰梯形、直角三角形勾股定理、等腰三角形等基础知识, 在解题过程中渗透了分类讨论的数学思想, 通过运动变换, 将运动与静止有机结合起来.其中数学思想是数学解题的灵魂, 正确地分类讨论是学生学习的难点, 也是正确解题的关键.

3 操作问题探究类

例5 (1999年济南市高中阶段招生考试数学试卷) 如图7, 有块直角三角形菜地分配给张、王、李三家农户耕种, 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人, 菜地分配办法是按人口比例, 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB, P点是三家合用肥料仓库, 所以P点必须是三家地的交界处.已知Rt△PAB中, ∠P=90°, PA=20米, ∠PAB=60°.

(Ⅰ) 计算出每家应分配的菜地面积;

(Ⅱ) 用尺规在图中作出各家菜地的分界线. (保留作图痕迹, 不写作法, 标出各户)

例6 (竞赛背景原试题, 1996年北京市迎春杯试题) (Ⅰ) 如图8, 一块等腰直角三角形土地, 分配给甲、乙、丙三家耕种, 已知甲、乙、丙三家人口分别为2人, 6人和8人, 土地分配办法为按人口比例, 并要求每户土地均有一部分紧靠斜边水渠, 请在图中准确画出分配办法, 并标出户名. (见图9)

点评中考题是竞赛题改编而成, 是操作问题探究类的应用题, 属于尺规作图版块, 这是初中数学中基础的知识.操作问题探究类题目一直是竞赛数学的热点, 也越来越受到中考试题的青睐, 它改变了单纯依赖与模仿的学习方式, 有助于形成“动手实践, 自主探究与合作交流”的新的学习方式.

本文通过对历年与竞赛数学背景相关的部分典型中考数学压轴试题进进行分析, 把竞赛数学与中考数学的一些交汇热点问题进行对应分类列举, 解答分析, 分别从竞赛数学知识点构成层面与竞赛数学解题方法层面进行溯源, 从而对初中数学教学及中考复习备考起到一定的参考.

参考文献

[1]孟祥赫, 陈亮.中考数学压轴题常考的三类问题[J].招生考试通讯 (中考版) , 2010, (2) :22-23.

[2]沈占立, 陈小红.源于竞赛的中考数学题例说[J].理科考试研究 (初中版) , 2002, (4) :9-10.

[3]杨志英, 黄恩瑞.关于竞赛与中考题型相互渗透例析 (待续) [J].中学理科:初中数理化, 2000, (10) :17-19.

[4]杨志英, 黄恩瑞.关于竞赛与中考题型相互渗透例析 (续) [J].中学理科:初中数理化, 2000, (11) :35-36.

篇9：2008西北工业大学数学建模竞赛试题——A题

一、请你选择（共20分）

——积极思索，慎重定夺！

▲单项选择（4小题，每小题2分，共8分。下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的，请将所选项字母填入题后括号）

1．当代中国发展进步和全党全国各族人民团结奋斗的旗帜是

（）

Ａ．科学发展观Ｂ．构建社会主义和谐社会

Ｃ．四项基本原则Ｄ．中国特色社会主义伟大旗帜

点评：本题考查了党的十七大精神的重要内容之一——当代中国发展进步和全党全国各族人民团结奋斗的旗帜。本题抓住了2008年时事政治的核心，切中了当今时代的脉搏，旨在培养学生关注重大时政、关心国家大事的意识。

参考答案：Ｄ

2．右图所示的距今8万～10万年间的较完整的古人类头盖骨化石发现于（）

Ａ．河南安阳

Ｂ．河南许昌

Ｃ．陕西西安

Ｄ．北京周口店

点评：本题考查了时政知识，形式较为新颖，题干采用图文并茂的表述方式，回避了以往时政考试中单纯文字表述的刻板格式，既能够调节试卷版面，又可以缓解考生的紧张情绪，激活他们的思维，帮助他们积极思考、从容应答。

参考答案：Ｂ

3．2008年3月29日，两名女学生在郑州市一家“保罗国际”美容美发店，选择了每人38元的剪发消费，结账时却被要价1．2万元，两人共借了3５位同学的生活费，支付9800元后才得以脱身。后来，该店受到了有关部门的严厉处罚。以下对这件事的看法正确的是（）

Ａ．美发店价格欺诈，理应受到法律追究

Ｂ．消费者自愿消费，没有必要大惊小怪

Ｃ．消费者自投罗网，责任后果应当自负

Ｄ．美发店自主要价，实属正常无可厚非

点评：该题选材贴近时代、贴近生活，以“保罗国际天价头”事件为背景，考查考生对保护消费者合法权益、依法维护社会主义经济秩序等相关知识的掌握情况，引导考生依法维权。四个题肢排列整齐，读起来朗朗上口，但又不失严谨性，有利于用语言的魅力感染学生，提高他们的欣赏能力和书面表达能力。

参考答案：Ａ

4．下列情形中，你认为符合“迎奥运、讲文明、树新风”活动礼仪要求的是（）

Ａ．参观旅游时，强拉外宾参加合影留念

Ｂ．与人交谈时，刻意打听对方个人收入

Ｃ．与人握手时，目光注视对方以示尊重

Ｄ．观看比赛时，只为本国队员呐喊助威

点评：这是一道考查礼貌、礼仪等交往常识的选择题。本题结合“迎奥运、讲文明、树新风”活动，设置了四个选项，从不同的角度考查了学生在文明礼仪方面的基本素养和社交技巧，同时也激发了学生关注奥运、支持奥运，从自身做起喜迎奥运的情感。

参考答案：Ｃ

▲多项选择（4小题，每小题3分，共12分。下列每小题的四个选项中，至少有两项是符合题意的，请将所选项字母填入题后括号。多选、错选均不得分。少选者：若有两个正确选项，只选一项者得1．５分；若有三个正确选项，每少选一项即少得1分；若有四个正确选项，选三项者得2分，选一、二项者均得1分）

５．星期天，小明在网上看到了以下信息，其中正确的有（）

Ａ．从2008年起，全国博物馆、纪念馆等将全部免费开放

Ｂ．北京2008年奥运会火炬接力的主题是“和谐之旅”

Ｃ．清明节、端午节、中秋节自2008年起成为法定节假日

Ｄ．河南人李剑英、谢延信被评为“感动中国2007年度人物”

点评：这是一道时政综合题，题干巧妙地将一组看似不相关的重大时政整合起来，选项中的叙述简洁凝练，既扩大了整个试题的容量和信息量，又没有增加难度，堪称时政综合考查的范例。

参考答案：ＡＢＣＤ

6．河南仓廪实，全国粮价稳。作为“中国粮仓”，河南对全国粮食价格的稳定起着极其重要的作用。在当前国际粮食价格不断上涨的情况下，为确保我省粮食的持续丰收，就必须做到（）

Ａ．继续调动种粮农民的积极性

Ｂ．不断增加农药化肥的施用量

Ｃ．严格限制农民外出务工

Ｄ．进一步加快农业科技的研发

点评：国际粮价上涨、部分国家和地区出现粮荒等现象，使粮食问题成为近来的国际国内热点问题。河南作为一个农业大省，粮食生产关系全国的粮价稳定和粮食安全。本题抓住这一热点，从如何确保河南粮食持续丰收这一角度考查，立意高，切入点低。该题在考查相关知识的同时，也增强了我省考生了解河南、热爱河南、建设河南的意识和使命感。

参考答案：ＡＤ

7．看了右边的漫画，同学们发表了自己的看法，其中正确的有（）

Ａ．该企业兼顾经济建设与环境保护，其行为需大力提倡

Ｂ．该企业的行为污染了环境，理应受到法律追究

Ｃ．深入贯彻落实科学发展观，节能减排刻不容缓

Ｄ．该企业在不同时段污染环境程度是不一样的

点评：该漫画寓意深刻，这样选材既关注了节能减排和保护环境这一时代主题，又讽刺和鞭挞了社会上一些不负责任的企业和个人阳奉阴违、肆意破坏环境的不法行径，有利于培养学生关心可持续发展问题、建设生态文明的责任意识。

参考答案：ＢＣ

8．下列人员的认识中，正确的有（）

Ａ．教师：私自拆阅学生信件侵犯学生隐私权

Ｂ．父母：偷看子女的日记是关心子女的表现

Ｃ．学生：受教育是我的权利，也是我的义务

Ｄ．商家：顾客就是上帝，质量就是生命

点评：这是一道综合考查考生法律知识掌握情况的多选题，整合了隐私权、受教育权、消费者合法权益、家庭保护、学校保护和依法维护社会主义经济秩序等内容，形式简洁，内涵丰富，考查视角和立意贴近生活、贴近学生。

参考答案：ＡＣＤ

二、请你概括（2小题，每小题4分，共8分。请用简洁的语言概括下列各题蕴含的道理）

——由表及里，揭示主题！

9．为确保学生用品安全，国家首部关于文具用品的强制性标准《学生用品的安全通用要求》，于2008年4月1日正式实施，那些散发出香味却含有甲醛、苯等致癌物质的橡皮等不合格学习用品，从文具市场被责令下架；为确保学生的食品安全，国家已制定了相关的法律法规，那些常常在学校周边叫卖的非法制作的“牛排”、“鸡排”等垃圾食品，也将受到严厉查处。

点评：该题关注学生的食品安全和学习用品安全问题，选材源于学生的生活实际，符合思想品德课的人文性和生活化特征，既考查了考生对社会保护、自我保护、依法治国等相关知识的掌握情况，又教育了学生，促进他们进一步重视自我保护和依法维权。

参考答案：（1）国家重视保障未成年人的身心健康。（2）未成年人受到国家和社会的特殊保护。（3）未成年人应增强自我保护意识，提高自我保护能力。（4）依法保护未成年人健康成长是全社会的共同责任。（５）这是国家坚持依法治国的具体体现。（6）国家应重视加强对未成年人的社会保护。

10．观察右图，进行概括。

点评：随着我国经济的发展、人民生活水平的提高和独生子女的增多，未成年人道德建设问题不仅困扰着很多家庭，也成为国家和社会长期关注的焦点和热点。本题通过未成年人应如何正确对待生日消费这一看似简单的小事，恰当地切入了未成年人道德建设这一重大主题。漫画折射出未成年人中的一些奢侈浪费、盲目攀比、非理性消费等现象。本题在考查考生对这一问题是否持有正确的态度的同时，也促使他们进行自我评价和反思，帮助他们不断提高个人品德，践行社会主义荣辱观。

参考答案：（1）我们应以勤俭节约为荣。（2）我们应克服盲目攀比的心理。（3）我们应明辨是非，避免盲目从众。（4）我们应学会理性消费。（５）我们应自觉践行社会主义荣辱观，以艰苦奋斗为荣，以骄奢淫逸为耻。（6）我们应继承中华民族勤俭节约的传统美德。（7）我们应理解父母、体谅父母、孝敬父母，尽量不给父母增加经济负担。（8）父母应重视对子女的正确教育和引导。

三、请你简答（4分）

——简明扼要，理性思考！

11．“好个大中原，历史很久远。炎黄文明在这里发祥，愚公移山在这里流传……”

2008年初，继《中原文化与中原崛起》图书出版后，同名电视系列片又与观众见面，引发热议；“2007年河南十件文化大事”评选结果出炉，引起社会广泛关注；2007年度“全国十大考古新发现”揭晓，半壁江山姓“豫”；文化套书《中原文化大典》重装上阵，打造河南文化产业品牌……

阅读上述材料，请谈谈你的感想。（两个方面即可。4分）

点评：该题背景材料综合性强，信息量大，以河南文化强省建设所取得的成效为切入口，考查了考生对继承、弘扬传统文化相关知识的掌握情况和对我省中原崛起战略整体部署的了解情况，既增强了考生作为河南人的自豪感和自信心，又促使他们从自身做起，培养宣传河南、建设河南的责任感和使命感。

参考答案：（1）河南历史悠久，文化灿烂。（2）河南是文化资源大省。（3）河南实施文化强省战略。（4）河南文化强省建设成效显著。（５）中原文化源远流长，博大精深。（6）应进一步加快从文化资源大省向文化强省跨越。（7）应继续加强对中原文化事业的支持和投入力度。（8）应加大对中原文化的宣传力度。（9）每个河南人应从自身做起，增强学习、传承中原文化的积极性、主动性和自觉性。（10）应继续推进文化创新，增强文化发展活力。（１1）我省采取得力举措促进文化大发展大繁荣。（12）发挥文化资源优势，奋力促进中原崛起。

评分建议：只要答出本答案中的任何一个方面即可给2分，最高给4分。

四、请你辨析（8分）

——辨别分析，感悟明理！

12．

点评：该辨析题的形式在2006年、2007年的固定模式基础上又有了新的突破——文字表述简洁，图画生动直观，从而赋予了这种题型更强的生命力和活力。这一设计也符合新课程所倡导的创设情境、搭建平台，促进学生发散思维、不断创新的理念和要求。这样的辨析题亲和力强，学生喜闻乐见，有利于他们积极思考、作答，提升情感体验，在考试中得到锻炼和发展。

参考答案：（1）人们在实现目标的过程中遇到困难和障碍就会产生挫折感，这是不可避免的，也是正常的。或：人生难免有挫折。或：在社会生活中，每个人都有可能遇到意想不到的困难和逆境。或：挫折是人生的一部分。（2分）（2）挫折对人的影响具有两面性，既可能促使人走向成熟，也可能成为人成长的障碍，关键在于应对挫折的态度。或：挫折既具有积极作用，又具有消极作用。战胜挫折、摆脱逆境能使人走向成熟，走向成功。（3分）（3）只有心理上真正做到了“不畏挫折”，才能用积极的态度和有效的方法面对挫折，养成勇于克服困难和开拓进取的优良品质，这是战胜困难和挫折、在逆境中自强不息的重要保证。或：心理承受力强的人，能积极应对挫折，把克服困难当作磨砺意志的机会，千方百计地战胜挫折，走向成功。（3分）

评分建议：第（1）点答出人生遇到挫折是正常的即可给2分。第（2）点答出挫折对人的影响具有两面性即可给2分；答出应对挫折应该有正确的态度即可给1分；本要点最高给3分。第（3）点答出愈挫愈奋的原因或意义均可给3分。

五、请你进行观察与思考（共有两题，请任选一题作答。10分）

——置身情境，表达心声！

13．（之一）材料一：如右图《钱包里的变化》。

材料二：2008年是改革开放30周年。

1978年12月，党的十一届三中全会召开，开启了改革开放历史新时期。30年来，中国人民以一往无前的进取精神和波澜壮阔的创新实践，坚定不移地推进改革开放和社会主义现代化建设，中国的面貌发生了历史性变化。

（1）请结合生活实际，谈谈你所了解的变化或成就。（两个方面即可。4分。友情提示：可从国家建设成就、社会生活发展、家庭生活变化等角度思考）

（2）感受变化与成就，我们能得出哪些结论？（三个方面即可。6分）

点评：2008年是改革开放30周年。30年来，中国发生了翻天覆地的变化，“改革开放是强国富民之路”这一结论早已深入人心。但是如何通过试题来关注这一重大主题和社会热点，如何通过贴近学生的方式来考查这一课标中的核心内容和主干知识却是一个难题。该题在命制上可谓匠心独运：材料一将30年来我国社会的诸多变化通过一幅漫画《钱包里的变化》折射出来，直观形象，富有启迪性和示范性，有助于考生较好地完成第一问；材料二直击主题，提升了背景材料的高度和效度，帮助考生综合深入地理解、分析并完成第二问；题目在问题的设计次序上，注意了逻辑性和递进性，注意了从现象到本质、从事例到理论的思维路径和认识规律。

参考答案：（1）略。示例：综合国力显著增强；经济实力大幅提升；人民生活显著改善；科学技术不断进步；民主法制建设不断完善；自主创新能力不断提高；国际地位不断提升；“嫦娥一号”成功探月；青藏铁路建成通车；免费义务教育全面实施；就业规模日益扩大；社会保障体系不断完善；从一衣多季到一季多衣；饮食结构日趋科学合理；住房越来越宽敞；出行越来越便捷。（2）①改革开放是强国之路。②必须坚持以经济建设为中心，大力发展生产力。③新时期最显著的成就是快速发展。④新时期最鲜明的特点是改革开放。⑤改革开放是发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的必由之路。⑥只有改革开放才能发展中国、发展社会主义。⑦改革开放是决定当代中国命运的关键抉择。⑧必须坚持党的基本路线不动摇。⑨必须深入贯彻落实科学发展观。⑩改革开放是发展中国特色社会主义的强大动力。{11}中国共产党坚持立党为公、执政为民。

评分建议：第一问宏观描述、具体事例均可，答出类似于示例中的任意一个方面即可给2分，最高给4分。第二问答出任意一个方面即可给2分，最高给6分。

13．（之二）“小小身体，大大书包，早出晚归上学校；家庭作业，课外辅导，快乐生活哪里找？……”据报载，近期的一项调查显示，我国小学生书包的平均重量为3．５公斤，初中生为５．５公斤，书包超重现象较为普遍。有70．2％的小学生除了完成学校作业外，还要完成家长布置的作业，48．9％的小学生参加课余补课，并且随着年级的增高，参加补课的学生比例和补课门数均有所增加。中小学生课业负担过重已成为不争的事实。

（1）导致上述现象出现的主要原因有哪些？（两个方面即可。4分）

（2）请结合自身的学习生活实际，就如何切实减轻中小学生过重的课业负担提出你的合理化建议。（三个方面即可。6分）

点评：中小学生的“减负”问题不仅关乎未成年人的健康成长，也关系国家民族的长远发展，是多年来的焦点话题。这一问题虽然关注度很高，但现实情况仍然不容乐观。本题引导考生深入地分析中小学生课业负担过重现象出现的原因，以寻求有效的解决办法和措施，体现了思想品德学科针砭时弊、在忧患中进取的责任感和使命感。

参考答案：（1）①学生家长望子成龙、教女成凤心切。②一些学校重智育、轻德育，忽视学生全面发展。③一些学校依然存在着应试教育、片面追求升学率的倾向。④学生家长存在着跟风攀比、盲目为孩子报辅导班的现象。⑤全社会对未成年人的素质教育和全面发展重视不够。⑥学生家长偏重学习成绩、忽视德育，重知识学习、轻能力培养。⑦教育资源不均衡导致学生的升学压力过大。⑧社会上存在着一些以营利为目的的盲目办辅导班现象。（2）①应采取得力举措，切实落实和推进素质教育。②学校要严格控制学生的作业量和在校时间。③学生家长应重视孩子的全面发展。④国家应建立健全相关法律法规并严格执行。⑤国家应加大对教育事业的支持和投入力度，实现教育资源的均衡配置。⑥学校应开展丰富多彩的课外活动，促进学生全面发展。⑦要严格规范社会办辅导班行为。⑧学校和教师应更新观念，树立新的教育观、人才观和质量观。⑨学校、家庭、社会应统一认识，形成合力，共同营造未成年人健康成长的氛围。

评分建议：第一问答出任意一条原因即可给2分，最高给4分。第二问答出任意一条建议即可给2分，最高给6分。

六、请你参加活动与探索（第14小题10分，第1５小题10分，共20分）

——奋力耕耘，实践创新！

14．在体育竞技的赛场，有他们任劳任怨、活跃忙碌的身影；在抗击雪灾的一线，有他们破冰开路、勇往直前的身影；在抗震救灾的现场，有他们舍生忘死、全力救援的身影；在西部贫困地区的学堂，有他们呕心沥血、挥洒汗水的身影……快乐在微笑中传递，真诚在帮扶中见证，精神在服务中升华，生命在奉献中闪光。他们，都有一个共同的名字——志愿者！

据悉，你校团委、学生会决定联合开展一次“我志愿、我奉献、我快乐”社会实践活动，请你参与并完成以下任务：

精神家园，共享共建——

（1）你认为志愿者身上有哪些值得我们学习的精神品质？（两个方面即可。4分）

见贤思齐，贵在参与——

（2）作为新一代青少年，我们应如何弘扬志愿者精神？（三个方面即可。6分）

点评：目前，“志愿者”一词逐渐为人们所熟悉，志愿者活动也已经成为我们生活中普遍而不可或缺的一部分。该题没有局限于对某一类志愿者行为进行分析，而是整合了各种各样的志愿者事例，引导考生综合分析志愿者行为的精神实质，向志愿者学习。这样的设计提升了试题的高度和境界，通过结合课标中的“亲社会行为”、“热心公益，服务社会”等相关内容，既考查了考生在这一方面的三维目标掌握情况，也有利于他们在今后的生活中进一步自觉践行志愿者精神，做一个好公民。

参考答案：（1）①舍己为人，无私奉献。②热心公益，服务社会。③帮助他人，快乐自己。④履行社会责任，不计代价与回报。⑤强烈的社会责任感。⑥热情服务，真诚待人。⑦与人为善，互助友爱。⑧团结协作，共同进步。⑨积极向上，追求卓越。（2）①积极参加社会公益活动。②力所能及地为他人提供帮助和服务。③刻苦学习，努力掌握为人民服务的本领。④关爱他人，助人为乐。⑤团结友爱，与人为善。⑥服务社会，无私奉献。⑦锻炼自己，提高服务社会的能力。⑧在社会实践中磨砺意志、经受锻炼。⑨关爱集体，自觉维护集体荣誉。⑩培养社会责任感。{11}通过多种渠道了解志愿者事迹、宣传志愿者事迹，带动更多的人成为志愿者。

评分建议：第一问答出任意一个方面即可给2分，最高给4分。第二问答出任意一个方面即可给2分，最高给6分。

1５．山崩地裂，江河呜咽。2008年５月12日14时28分，一场里氏8．0级强烈地震突袭汶川，瞬间，数万人不幸遇难，数百万人失去家园……从那一刻起，我们的爱心飞向灾区，我们的脚步奔向灾区，我们的援手伸向灾区。大灾无情，大爱无疆！从那一刻起，汶川与中国紧紧连在一起！四川与世界紧紧连在一起！

据悉，你校正在进行“情系灾区老百姓，爱心奉献我行动”活动，请你参与并完成下列任务：

（1）请你为大家解说开展此项活动的意义。（三个方面即可。6分）

（2）你想对灾区同胞说些什么？请把你的心里话填入下面的心愿卡。（要求：感情真挚，观点正确，语句通顺。4分）

点评：作为学校德育工作主渠道的思想品德学科，在2008年学业评价中关注汶川大地震是必然又必须的，但究竟应怎样关注才能既不为难学生又不落俗套呢？本道活动与探索题是一个很好的典范。它以“情系灾区老百姓，爱心奉献我行动”活动为主线，“串联”了两个问题，即分析抗震救灾的意义和填写爱心卡。第一问考查考生深入探究问题、分析理解身边现象的意识和能力；第二问帮助考生提升关爱社会、关注国家民族命运的情感，增强他们的责任意识，培养他们热爱祖国、热爱人民的高尚道德和情操。

参考答案：（1）①我们都是炎黄子孙，我们同是中国人。②有利于弘扬团结互助的民族精神。③有利于培养社会责任感。④有利于弘扬“一方有难，八方支援”的中华民族传统美德。⑤只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间。⑥帮助别人，快乐自己。⑦有利于共同营造“我为人人，人人为我”的社会氛围。⑧有利于构建社会主义和谐社会。⑨有利于增强中华民族的民族凝聚力。⑩有利于营造文明和谐的社会氛围。{11}有利于弘扬助人为乐的传统美德。{12}有利于培养亲社会行为。（2）略。