最小柔度设计

2024-05-07

最小柔度设计（精选三篇）

最小柔度设计篇1

给定设计目标和约束的情况下,寻找性能优、容易制造、重量轻的产品拓扑结构和材料布局是设计者追求的目标。连续体结构拓扑优化的目的是在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念性设计方案,从而改变传统的设计、校核、修改这样一个不断反复的串行开发流程,已经成为当今结构优化设计研究的一个热点[1,2]。其实质是材料在设计空间的分布优化[3],通过迭代计算,保留对结构传力路径有利的结构单元,删除对结构传力路径作用不大的单元。

本文以桥梁加固中的桁架为研究对象,提出基于密度法中的SIMP(solid isotropic material with penalization)的多目标拓扑优化方法,通过对桁架初步结构进行刚、强度和固有特性进行分析,寻找影响桁架刚、强度和动力学性能的关键结构单元,进行桁架的拓扑结构优化设计,提出了满足性能要求的三种桁架结构供选择,实现了桁架的多目标拓扑优化,得到了同时满足静态多工况下刚、强度、固有频率要求的桁架拓扑结构。

1 SIMP密度—刚度插值法

密度法是当前结构拓扑优化领域采用的主流的插值方法。基于SIMP方法的拓扑优化模型可应用于各种目标函数和约束条件的优化问题。对本文所讨论的桁架结构的最小柔度问题,离散优化问题可变为连续型拓扑优化问题[4,5]。对于离散后结构,

结构的总体柔度可写为:

结构总体柔度C的敏度为:

体积约束的敏度方程可写为:

其中ue是单元位移列矢量,ue可以通过求解结构有限元平衡方程F=K×U得到。在体积约束下,以结构柔度为目标函数时,基于SIMP方法的连续体结构拓扑优化模型为:

xmin是单元相对密度的最小极限值,引入xmin的目的是防止单元刚度矩阵的奇异值;ve为优化后的单元体积,N为单元总数目。由此,离散结构拓扑优化问题变成了连续体结构拓扑优化问题。

2 桁架刚、强度分析

在进行大型重载件的运输过程中,载重车辆可能要经过相当数量的桥梁,经过桥梁的车辆和载重量可能超过了桥梁本身的设计负荷,为了车辆和桥梁的安全,需要对桥梁进行加固。如图1所示的石拱桥,不能承受重型载重汽车运输石油钻井设备,利用传统加固桥梁的方法实施非常困难,工程部门通过对各种加固方案进行比较,提出在桥墩上制造一个桁架,桁架与桥拱间有25cm的间隙,要求60吨的载重汽车经过加固的桥面后不能对拱桥产生破坏,即在60吨的载荷作用下,桁架的最大变形小于25厘米、同时载重车在桥面的行驶过程中,桁架不能发生共振。

2.1 加固桁架的结构设计

根据上述要求,加固桁架的长度、宽度和高度受原桥梁的限制,在此约束条件下,桁架各杠的连接是进行结构设计重点关注的问题。结构设计人员设计了如图2所示的桁架三维结构,桁架的重量为21432.6 kg。

2.2 加固桁架的刚、强度分析

对设计的加固桁架,在载重车辆通过时桁架将发生变形,变形后的桁架是否与石拱桥的石拱发生接触是加固桁架设计是否成功的关键。通过对设计的桁架结构进行有限元分析,分析其结构的刚度是否满足要求。在分析过程中考虑到载重汽车载荷的变化,分析载荷为60吨和90吨两个工况。通过对桁架的静力学、动力学分析,在90吨载荷的作用下,桁架的刚、强度均存在较大的富裕,拟通过拓扑优化,提高材料的使用率,降低成本。

3 桁架的拓扑优化

从桁架的刚、强度分析结果可以看出,桁架的原结构设计不合理,材料的利用率不高,有一些杠件的应力非常低,没有发挥其能够发挥的作用。在对原结构的刚、强度进行认真分析的基础上,提出如下三个桁架结构方案:

在相同的边界条件下,计算各个方案的应力、变形及其分布规律和结构的各阶固有模态。各个方案的刚、强度分析结果如表1所示;各优化方案的各阶模态如表2所示。

从上述方案的分析结果可得如下的结论:

1)所制定的三个方案都能够满足桁架结构的性能要求;

2)从材料的利用率和结构的工艺性进行分析比较,方案3是所有方案中最有的方案,最终被业主单位采用,通过近两年的使用和检测,达到设计要求。

4 结论

目前对连续体结构的拓扑优化研究主要集中在单目标的拓扑优化。然而,在实际工程结构中存在着大量的多目标拓扑优化问题,因此仅仅是单目标的拓扑优化很难得到满足实际工程需要的最优结构拓扑。虽然各种各样的多目标优化方法已经应用于结构的形状优化和尺寸优化中,但设计变量仅局限于尺寸变量(如截面尺寸、厚度等),它们都存在不能改变结构拓扑的缺陷。

针对结构布局优化设计的难点,本文提出了通过对基结构进行有限元分析,利用分析结果寻找影响结构刚、强度和动力学性能结构要素,结合制造工艺,对结构进行形状、拓扑结构布局优化方法在工程设计是一种比较可行的方法。

参考文献

[1]Bendsoe M P,Sigmund O.Topology Optimization:Theory,Methods and Applications[M].Berlin:Springer,2003.

[2]Hassani B,Hinton E.Homogenization and Structural TopologyOptimization Theory,Practice and Software[M].London:Springer,1999.

[3]Rong J H,Xie YM,Yang X Y.An Improved Method for Evolutionary Structural Optimization Against Buckling[J].Computer&Structures,2001,79:253-263.

[4]范文杰,范子杰,苏瑞意.汽车车架结构多目标拓扑优化方法研究[J].中国机械工程,2008,19(12),1505-1508.

最小公倍数教学设计篇2

教材分析：本节课教学公倍数和最小公倍数，是在学生理解了倍数的基础上教学的。本课要让学生理解公倍数、最小公倍数的含义，学会找两个数的最小公倍数的方法。为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

教学目的：

1、在现实的情境中教学概念，让学生通过操作准确理解公倍数、最小公倍数的含义。

2、让学生学会用找倍数的方法找到两个数的公倍数和最小公倍数。

3、使学生掌握求特殊关系的两个数的最小公倍数的方法，能熟练地确定特殊关系的最小公倍数。

4、培养学生的观察、探索、交流、类推和归纳等思维能力。

教学重、难点：让学生准确理解公倍数和最小公倍数的含义；使学生学会用列举法求两个数的最小公倍数，能熟练地确定有特殊关系的两个数的最小公倍数。

一、提出问题，激发兴趣。课前热身：头脑风暴数7游戏

二、探索新知，理解概念

师：体育课上我们都报数，今天这节课上也请大家报数（1－30），但是你还要记住自己所报的数是多少。

生：报数1、2、3......师：请所报数是2的倍数的同学站起来。

师：再请所报数是3的倍数的同学站起来（学生按要求起立后坐下）其他同学从他们起立的次数上看你能发现什么？

生：我发现有同学两次都站起来了。

师：报哪些数的同学两次都站起来了？

生：报6、12、18......的同学。

师：报6的同学你能说说你为什么两次都要站起来吗？

生：我报的数6既是2的倍数，又是3的倍数，所以两次都要站起来。

师：说的好。6既是2的倍数，又是3的倍数，可以说6是2和3公有的倍数。报12的同学你能说说吗？

生：我报的数12也是2和3公有的倍数，所以也要两次都站起来。

师：说的有理。这样的数还有吗？

生：18、24、30......师：像6、12、18、24、30等这些数都是2和3公有的倍数，可以简称为是2和3的公倍数（板书：公倍数）。

师：你能不能像我们表示最大公因数一样，用一个集合图把他们表示了出来？动手试着画一画，你能给我们大家讲一讲吗？

师：讲得真不错，想一想2和3的公倍数有哪些？那其中最大的是几？最小的是几？

生：找不出最大的，不可能有一个最大的，最小的是6。

师：说的真好。2和3的公倍数中6最小，我们称它是2和3的最小公倍数。（接上面板书前添写“最小”）2和3的公倍数很多，而且不可能有一个最大的公倍数，所以研究两个数的公倍数的问题一般只研究最小公倍数。今天，我们就学习有关两个数的最小公倍数的知识。

【通过解决游戏情景中的问题这一活动，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面通过学生报数，进一步体会和认识了公倍数、最小公倍数，理解了最小公倍数知识的形成和内部结构特征，这样学生面对生动有趣的游戏情景时，会自觉地调动起已有的生活经验和旧知参与到解决问题的过程中来，并主动地借助外部的物质材料，解决了对抽象概念的理解，达到了事半功倍的作用。】

二、探究新知

师：通过刚才的学习，我们已经认识了公倍数和最小公倍数，那么怎样才能找出两个数的公倍数和最小公倍数呢？

生：先分别找出每个数的倍数，再从这些倍数中找出相同的倍数，就是它们的公倍数，公倍数中最小的一个就是它们的最小公倍数了。

师：用你们的方法找一找3和4的公倍数和它们的最小公倍数。学生尝试练习。

师：观察，2和3的最小公倍数6，3和4的最小公倍数是12，你有什么发现？它们之间有怎样的联系呢？

生：发现最小公倍数6正好是2和3的乘积，12正好是3和4的乘积。

师：有了这一发现，你会有怎样的猜想？

生：两个数的最小公倍数就是这两个数的乘积？

师：这个猜想是否正确？下面我们就一起验证一下。

3和5，7和9，2和7，5和10，6和1师：你发现了什么？

学生验证后发现，只有当两个数是互质数时，它们的最小公倍数才是它们的乘积。当较大数是较小数的倍数的时候，较大数就是他们的最小公倍数。

师：根据这个规律让我们再来做几道题目

3和7，2和6，8和16，7和10，6和10 师：为什么最后一题按照我们刚才的规律找到的最小公倍数不对？那么我们如何找这样的数的最小公倍数呢？请你找一找6和10的最小公倍数。

生：列举的方法。

师：用列举法，像刚才这样一个一个地找倍数，再找公倍数，再找最小公倍数。你觉得用这种方法找最小公倍数怎么样啊？你有什么想法？

生1：麻烦。有没有简捷的方法？

生2：浪费时间，费事。还有别的方法？能不能像求最大公因数那样？

师：大家还记得我们是怎样研究最大公约数的计算方法的？那么，今天我们仍然通过分解质因数的途径，研究最小公倍数的计算方法。

师：我们一起分别把6和10分解质因数。6=2×3，10=2×5。（板书：6=2×3，10=2×5）

师：你发现了什么？

生1：2是6和10的公有质因数。（教师板书：公有质因数）

生2：3和5分别是6和10的独有质因数。（教师板书：独有质因数）

师：30分解质因数是：30＝2*3*5你又有怎样的发现？

两个数的最小公倍数是把他们的共公有质因数和独有质因数分别相乘。

练习：请你找出12和18的最小公倍数。

三、层层深入，巩固提升。

1、“快速抢答”。用我们学到的小窍门很快说出下面两个数的最小公倍数，利用分解质因数的方法求出下面两个数的最小公倍数

3和7，8和24，5和30，10和9，6和9，8和10，8和12

2、当回“小法官”。

（1）一个数倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。

（2）几个数的最小公倍数是倍数中最小的一个。

（3）如果较大数是较小数的倍数，它们的最小公倍数是它们的乘积。

（4）16是10和6的最小公倍数。

3、解决问题

前两天刘老师家装修，装修师傅遇到了一个问题，求助了正在教数学的刘老师。

我把这个问题带来了。看看你能不能帮助老师来解决它。

装修师傅买了许多的长6分米、宽8分米的长方形墙砖，打算在墙面上用墙砖拼成正方形做装饰。要求使用的墙砖必须使整块的，拼成的正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？

师：正方形的边长可以是多少分米？最少是多少分米？大家可以借助课前准备的长方形纸片（长3厘米，宽2厘米）代替墙砖，在课桌上拼一拼或者在纸上画一画。想一想，这个问题和我们今天所学的知识有关系没有，可不可以利用我们今天的知识解决它。

（1）学生操作，教师巡视，适时指导。（2）小组内的同学互相交流。

（3）学生结合铺的过程进行汇报。（课件演示铺的过程）

师：除了能铺出边长是6分米的正方形，正方形的边长还可以是多少？请同桌两人交流，谁能一下说出几个？

预设：正好能铺满边长是12分米、18分米、24分米的正方形。（课件同时演示边长可以是12分米、18分米。）

师：还有吗？有无数个。加上省略号„„。正方形的边长最少是多少分米？

师：能拼出边长是8分米的正方形吗？（不能）

师：为什么？能用已掌握的数学知识来解释吗？（因为6是2的倍数，也是3的倍数。8不是3的倍数。）

师：你发现这里的6、12、18、24都是什么数？所以解决这道题目的关键点是什么？咱们要找什么？

（它们是2和3的公倍数。其中6是2和3的最小公倍数。要找公倍数和最小公倍数）

4、当回“汽车调度员”。张华是个爱动脑筋的好孩子，凡事都要想一想，能不能用数学知识去解答。有一次，爸爸带着张华去人民公园游玩。人民公园是1路和3路公共汽车的起点站。1路公共汽车每3分钟发车一次，3路公共汽车每5分钟发车一次。张华在想：“这两路公共汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车呢？”很快他就想出了结果，同学们，你们知道吗？

5、小游戏：“猜猜它们是几”。

（1）两个数的最小公倍数是10，这两个数可能是（）和（）。