一次函数图像

一次函数图像（精选十篇）

一次函数图像 篇1

1. 图文灵活互译优化解题过程

案例1某公司专销产品A, 第一批产品上市40 天内全部售完.该公司对第一批产品上市后市场销售情况进行了跟踪调查, 调查结果如图所示:其中, 图1 中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系, 图2 中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系.

(1) 试写出第一批产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式.

(2) 第一批产品上市后, 哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大日销售利润是多少万元?

综合分析大家的解题过程, 发现有以下两种解法:方法一是根据图像1 分别求出日销售量y与上市时间t的函数关系式 (均为分段函数) , 再根据销售利润=日销售量×每件销售利润, 求出销售利润y与上市时间t的函数关系式 (三段的分段函数) , 最后分别求出每段的最大值, 经过比较得到最值. 方法二是将图1 的图像语言翻译成文字语言可知, 第30 天市场的日销售量达到最大为60 万件, 再将图2 翻译成文字语言可知, 第20 天到40 天之间每件产品的日销售利润达到最大, 均是60 元/件, 所以第30 天这家公司市场的日销售利润最大, 最大利润为3 600 万元.比较两种做法, 方法一将数学图像语言转换为函数文字语言, 通过分类讨论将函数分段, 思路严谨, 说理有据, 但思维量大, 过分追求数学的形式化;方法二将数学图像语言转换为文字语言, 说理符合实际生活, 解法小巧灵活, 显然优于方法一.

从这个问题的解决过程来看, 在解读一次函数图表信息时, 应尽量将问题中的图表语言、符号语言和文字语言及时进行灵活的转换.通常情况下, 应着力把图像语言转化成文字语言, 成为一个“纯”文字问题, 再转换成符号语言进行简化, 最后思考解决问题的路径, 方能优化解题过程.

2. 开阔解题思路避免思维定势

案例2已知甲、乙两车分别从相距300 km的A、B两地同时出发相向而行, 甲到B地后立即返回, 下图是它们离各自出发地的距离y (km) 与行驶时间x (h) 之间的函数图像.

(1) 求甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系, 并写出自变量的取值范围;

(2) 当它们行驶到与各自出发地的距离相等时用了4.5 小时, 求乙车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系, 并写出x的范围;

(3) 在 (2) 的条件下, 求在它们行驶过程中相遇的时间.

通过对大家解题情况进行调查, 发现理解题意时思维定势产生的负效应是解错本题的主要原因.因为通常情况下, 行程类的函数图像题, 纵轴 (y轴) 往往用来表示物体行驶的距离, 但在本题中y轴的实际意义为“它们离各自出发地的距离”, 而不是通常我们所认为的两车行驶的距离, 学生在解读信息时思维定势在常规的理解上, 从而导致错解.

从这个问题的解决过程来看, 在理解题意、寻找信息时, 同学们应充分分析已知条件, 特别是解读含有实际意义的一次函数图像时, 要看清横轴与纵轴所表示的实际意义, 避免思维定势负效应给解读图形信息产生的负面影响.

3. 发掘隐含信息释放图像内涵

案例3 如图4 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图, 乙槽中有一圆柱形铁块立放其中 (圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上) .现将甲槽中的水匀速注入乙槽, 甲、乙两个水槽中水的深度y (厘米) 与注水时间x (分钟) 之间的关系如图5 所示.根据图像提供的信息, 解答下列问题:

(1) 图5 中折线ABC表示______ 槽中水的深度与注水时间之间的关系, 线段DE表示______ 槽中水的深度与注水时间之间的关系 (以上两空选填“甲”或“乙”) , 点B的纵坐标表示的实际意义是______.

(2) 注水多长时间时, 甲、乙两个水槽中水的深度相同?

(3) 若乙槽底面积为36 平方厘米 (壁厚不计) , 求乙槽中铁块的体积;

(4) 若乙槽中铁块的体积为112 立方厘米, 求甲槽底面积 (壁厚不计) . (直接写出结果)

解决该问题的关键在于, 观察乙槽的特征, 水面上升的速度先快后慢, 图像的“转折点”对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻, 由此确定图像与器具的对应关系, 对于 (3) 、 (4) , 根据注水时间与注水速度求解, 所以说解决该题的关键是能挖掘隐含信息.

一次函数图像教学反思 篇2

一次函数图像>教学反思

（一）教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图像的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对一次函数的图象是一条直线应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用 “ 两点确定一条直线 ”，很快做出一次函数的图像。在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。

根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整.如第一环节：探究新知，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直切主题，如提出问题：一次函数的代数形式是 y=kx+b，那么，一个一次函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究一次函数对应的图形特征 — 本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中我通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生观察一次函数的图像，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识。本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。

由于这节课的知识容量较大，而且内容较难，我们所用的学案就能很好地帮助学生消化理解该知识。在教学过程中，让学生亲自动手、动脑画图的方式，通过教师的引导，学生的交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。但还存在着不尽人意的地方，由于课的内容容量较大，对于有些知识点，如 “ 随着 x 值的增大，y 的值分别如何化？ ”，本应给学生更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识，但由于时间紧，学生的这一活动开展的不充分。课堂气氛不够活跃，个别学生的主动性、积极性没有充分调动起来。这是今后教学中应该注意的问题。

一次函数图像教学反思

（二）一堂好的数学课常常是由好的数学问题启发并激励学生学习的充实过程。因此，我把教学设计的主体“解决问题，总结性质”设计成由若干个有一定逻辑顺序的问题，并由这些问题组织师生的教学活动。那么，怎样设计好的问题呢？我认为，在完成教学任务并实现教学目的的“作用点”上，在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题就是好问题，这也是问题设计的基本原则。例如：本课在一开始就创设问题情境，引导学生思考，引入课题。给出几个一次函数的图像，让同学们合作学习进行探索一次函数的性质。又如，画一次函数图象只需描出图象上的“任意两点”的结论后，提问学生“你取的是哪两点”，找了四个同学回答出各自的两个点，既让学生知道如何去找图象上的两个点，也使学生理解了刚刚得出的结论。

适当地提出好问题，不仅可以引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察实验、猜测发现、推理论证、交流反思等理性思维的基本过程，而且还给了学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神。而“兴趣是最好的老师”，有良好的兴趣就有良好的学习动机，但不是每个学生都具有良好的学习数学的兴趣。“好奇”是学生的天性，他们对新颖的事物、知道而没有见过的事物都感兴趣，要激发学生的学习数学的积极性，就必须满足他们这些需求。

探索一次函数的性质时，给出几个关联问题，问题1：既然一次函数 y=kx+b（k不为零）的图象是一条直线，那么作图时，至少要取几个点就可以了？取哪一些点比较简单，有代表性？

问题2：在前面的直角坐标系中作一次函数 y=2x-1，y=2x，y=-1/2x的图象，并观察四条直线的位置关系。

问题3：正比例函数 y=kx（k不为零）是一次函数吗？作图时需要几个点？每一个正比例函数一定能通过哪一个点？

设置的问题由浅入深，使得学生能进行理性的思考，并提升他们思维的深度。

学生是学习的主人。新课标强调，让学生在自主探索与合作交流中学会学习，提高数学素养。本节课充分体现了这一理念，学生有足够的自主探索时间，有与同学合作互动的空间，有与老师交流表达的机会。学生不是从老师那里获取知识，而是在数学活动的过程中发现规律、体验成功。

教师是课堂的主导。教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。然而，组织、引导本身就强调了教师必须是一个特殊的“合作者”，而不是撒手不管的“非主导者”。教师的主导作用不是体现在“主宰”课堂，而应体现在为学生提供鲜活的学习素材，体现在对学习团体的严密组织，体现在对交流活动的精心策划，体现在处理反馈信息的及时有效。这不仅需要教师透彻领会教材实质，更需要教师准确把握学生个性。试想本节课，如果教师不是真正了解学生，就不能组成协调高效的学习小组，也不能在有限的时间内完成教学任务。

一次函数图像教学反思

（三）一次函数图像，是北师大八年级上册的内容。教学这一节时，我没有按照课本的讲解。我着这样安排的，先讲正比例函数的图像和性质，用一课时，今天我就是讲这一节。

先介绍函数的图像、画法。再画正比例函数的图像，引出正比例函数是经过原点的直线。接着介绍怎样作正比例函数的图像。用这种方法，作几个正比例函数的图像，总结规律。接着练习。

练习之后我备课时又有一个性质要介绍，由于时间的关系，没有讲解，就下课了！

反思：

1、课堂中前段时间留给学生的时间长，没完成课前准备的教学任务。

2、本节课讲到第三个性质。

3、练习题要精而且少，难易适中。

一次函数图像正确解读 篇3

1. 图文灵活互译 优化解题过程

案例1 某公司专销产品A，第一批产品上市40天内全部售完.该公司对第一批产品上市后市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示：其中，图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系，图2中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系.

（1） 试写出第一批产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式.

（2） 第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大日销售利润是多少万元？

综合分析大家的解题过程，发现有以下两种解法：方法一是根据图像1分别求出日销售量y与上市时间t的函数关系式（均为分段函数），再根据销售利润=日销售量×每件销售利润，求出销售利润y与上市时间t的函数关系式（三段的分段函数），最后分别求出每段的最大值，经过比较得到最值.方法二是将图1的图像语言翻译成文字语言可知，第30天市场的日销售量达到最大为60万件，再将图2翻译成文字语言可知，第20天到40天之间每件产品的日销售利润达到最大，均是60元/件，所以第30天这家公司市场的日销售利润最大，最大利润为3 600万元.比较两种做法，方法一将数学图像语言转换为函数文字语言，通过分类讨论将函数分段，思路严谨，说理有据，但思维量大，过分追求数学的形式化；方法二将数学图像语言转换为文字语言，说理符合实际生活，解法小巧灵活，显然优于方法一.

从这个问题的解决过程来看，在解读一次函数图表信息时，应尽量将问题中的图表语言、符号语言和文字语言及时进行灵活的转换.通常情况下，应着力把图像语言转化成文字语言，成为一个“纯”文字问题，再转换成符号语言进行简化，最后思考解决问题的路径，方能优化解题过程.

2. 开阔解题思路 避免思维定势

案例2 已知甲、乙两车分别从相距300 km的A、B两地同时出发相向而行，甲到B地后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图像.

（1） 求甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2） 当它们行驶到与各自出发地的距离相等时用了4.5小时，求乙车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系，并写出x的范围；

（3） 在（2）的条件下，求在它们行驶过程中相遇的时间.

通过对大家解题情况进行调查，发现理解题意时思维定势产生的负效应是解错本题的主要原因.因为通常情况下，行程类的函数图像题，纵轴（y轴）往往用来表示物体行驶的距离，但在本题中y轴的实际意义为“它们离各自出发地的距离”，而不是通常我们所认为的两车行驶的距离，学生在解读信息时思维定势在常规的理解上，从而导致错解.

从这个问题的解决过程来看，在理解题意、寻找信息时，同学们应充分分析已知条件，特别是解读含有实际意义的一次函数图像时，要看清横轴与纵轴所表示的实际意义，避免思维定势负效应给解读图形信息产生的负面影响.

3. 发掘隐含信息 释放图像内涵

案例3 如图4是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图5所示.根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1） 图5中折线ABC表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是______.

（2） 注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？

（3） 若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4） 若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）.（直接写出结果）

解决该问题的关键在于，观察乙槽的特征，水面上升的速度先快后慢，图像的“转折点”对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定图像与器具的对应关系，对于（3）、（4），根据注水时间与注水速度求解，所以说解决该题的关键是能挖掘隐含信息.

函数图像以其直观、形象的特征囊括了众多显现的与隐含的信息，解决问题的过程就是释放图像内涵、信息转换的过程.

“一次函数的图像(2)”教学案例 篇4

课前让学生分别在两个直角坐标系中画出函数 (1) y=3x+3, y=2x, y=x-2和函数 (2) y=-4x+4, y=-2x, y=-x-1的图像。

【点评】设计画一次函数图像既复习了上节课的内容:如何画一次函数的图像。又为本节课学生合作与探究提供了素材。

温故而知新

1.作函数图像的步骤是什么?

2.一次函数图像是什么?如何快速作出它?

合作与探究

我先用实物投影仪展示学生课前画的图像, 让学生互相纠正错误后, 展示正确的图像。

我让学生带着以下三个问题进行合作与探究: (要求小组合作时记下讨论结果)

(1) 你发现一次函数图像的变化趋势有几种?何时会有你说的那种变化趋势?

(2) 图 (1) 中:自变量x增大时函数值y有何变化?图 (2) 呢?

(3) 你能说出图 (1) 中的三条直线分别经过哪几个象限?为何它们经过的象限不同?图 (2) 呢?

【设计意图】这种设计可以让学生明确所需合作的内容, 避免学生无所适从。

在上述问题中, 问题 (1) 学生很快就能答出来, 变化趋势有两种上升和下降。我设置了这样一个问题:对于同一条直线从左往右看可能是上升的而从右往左看就是下降的, 该如何完善你的结论?由学生总结得出当k>0时, 从左到右看函数的图像是上升的;当k<0时, 从左到右看函数的图像是下降的。

问题 (2) 学生讨论得出k>0时y随x的增大而增大。我趁热打铁再抛一个问题给学生:图 (1) 中:自变量x减小时函数值y有何变化?学生很快得出k>0时y随x的减小而减小。在此基础上我总结出k>0时, xy的变化相同。由图 (2) 学生很快就能得出k<0时, xy的变化相反。

由学生总结得出一次函数y=kx+b的性质1:

(1) 当k>0时, y随x的增大而增大, 从左到右看函数的图像是上升的;

(2) 当k<0时, y随x的增大而减小, 从左到右看函数的图像是下降的。

板书设计:

一次函数y=kx+b的性质1:

(1) 当k>0变化趋势:↗x↗y↗或x↘y↘变化相同,

(2) 当k<0变化趋势:↘x↗y↘或x↘y↗变化相反。

【点评】这种板书较为清晰、形象, 便于学生理解和掌握。特别便于学生发现两者变化是相同还是相反。

合作与探究

已知点 (-1, a) 和 (0.5, b) 都在直线y=2x+C上, 你能比较a和b的大小吗?

【教学反思】本题是这节课的难点, 但是因为一次函数y=kx+b的性质1是学生自己总结发现的, 学生很快就说出答案, 并说出理由:∵k=2>0, ∴xy的变化相同, ∵-1<0.5, ∴a

变式训练:

(1) 已知点 (-1, a) 和 (0.5, b) 都在直线y=-2x+C上, 你能比较a和b的大小吗?

(2) 已知点 (a, -1) 和 (b, 0.5) 都在直线y=-2x+C上, 你能比较a和b的大小吗?

继续回到引入的两幅图, 解决问题 (3) , 学生回答出它们与y轴的交点不同故而它们经过的象限有所区别。我继续设疑:图像与y轴的交点由什么决定?学生讨论总结得出一次函数y=kx+b的性质2:

(1) 当b>0时, 一次函数的图像与y轴的交点在y轴正半轴上;

(2) 当b=0时, 一次函数的图像与y轴的交点在原点;

(3) 当b<0时, 一次函数的图像与y轴交点在y轴负半轴上。

板书设计:

一次函数y=kx+b的性质2:

2. 一次函数y=kx+b中, kb>0, 且y随x的增大而减小, 则它的图像大致为 ( ) 。

3. 已知一次函数y= (m-2) x+m-4。

(1) 当m=___时, 直线经过原点, 此时y随x的增大而___。

(2) 当m=___时, 直线与x轴交于点 (1, 0) 。

(3) 当m___时, y随x的增大而减小。

(4) 当m___时, 图像与y轴的交点在y轴负半轴上。

【点评】本题全由学生合作完成后再讲评。 (1) 、 (3) 、 (4) 题学生很快就解决了, 且正确率很高。但第 (2) 题学生卡住了, 不理解题意。我设问: (1, 0) 在x轴上吗?在直线y= (m-2) x+m-4上吗?当学生明白点 (1, 0) 在直线y= (m-2) x+m-4上, 问题就迎刃而解了。

知识大盘点

一次函数的图像的形态有几种?

一次函数y=kx+b图像的大致位置跟k, b的关系。

作业布置

《补充习题》5.3 (2) 《合作学习》5.3 (2)

教学反思

《一次函数的图像》教学设计 篇5

作者： 史利利(初中数学

河南济源初中数学一班)

评论数/浏览数： 7 / 14

发表日期： 2010-12-17 21:13:56

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一、教学内容分析

·本节课属于人教版八年级数学上册，第一章《一次函数》

· 前一节已学习了一次函数的定义，接着是一次函数的图像和性质，需要二课时，这一课主要研究一次函数的图像及简单性质

·通过这一节课的学习使学生掌握一次函数图象的画法和一次函数的一部分性质。它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是今后继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础，在本章中起着承上启下的作用。本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。作为一种数学模型，一次函数在日常生活中也有着极其广泛的应用。

二、学生情况分析

本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的观察了解而做出的：

（1）学生是济源市轵城实验中学八年级学生；（2）学生已经熟练掌握正比例函数的图像和性质；（3）学生对怎样从两个函数图象的比较、分析中提取有用信息，弄清两者之间的联系兴趣浓厚；

（4）学生的画图、识图能力还不强，对数形结合思想还比较陌生，没有深刻的体会。

三、教学目标

（１）.知识与技能

1、理解一次函数与正比例函数的图象是两条平行的直线,可由直线y=kx平移得到

2、.已知函数y=kx+b的图象经过的象限，能判断k、b的正负，反之亦然；

3、会用两个合适的点画出一次函数的图象（２）.过程与方法

通过操作、观察、联想、表达，达到会利用画大致图象来直观形象地解决问题，体会到数形结合的思想方法（３）.情感态度与价值观

1.在动手操作过程中,培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。2.体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。激发学生学数学的兴趣。教学重点、难点

重点：一次函数与正比例函数的关系

难点：已知函数y=kx+b的图象经过的象限，能判断k、b的正负，反之亦然；

四、教学策略选择与设计

教师引导下的自主探究。以启发式教学法为主线，充分调动学生自己动手、动眼、动脑的主动性和积极性。合理设置问题逐步引导学生观察图象、探索图象的变化特点，从而总结出函数的图像规律和性质。教学过程中对学生进行分组设置问题来研究，由同学间的讨论得出结论；并借助多媒体手段来引导学生发现变化规律。教学关键:引导学生正确理解一次函数与正比例函数的图像及性质的对应关系；教会学生学会观察探索函数图象，最后由性质又回归函数关系式（即总结出字母 k,b 的符号与图象及性质的关系）。

五、教学资源与工具设计

教具准备：多媒体课件

作图工具

学案

学具准备： 学案

绘图纸

作图工具

六、教学过程

（一）、知识回顾

提出问题，引导学生回忆：

1、什么是正比例函数 ？什么是一次函数？从解析式来看它们有什么关系？主要是什么不同？

2、正比例函数的图象是一条经过______的______，当k>0时,直线y=kx经过第______象限

当k<0时,直线y=kx经过第______象限

既然正比例函数是特殊的一次函数，那么它们的图象是不是也有一些特殊的关系呢？由此引入课题。

（设计意图：通过回顾正比例函数的图象和性质，为类比、探究一次函数的图象及其平移规律做好铺垫，自然的引入课题。）

（二）、自主探究

同桌两人分别发学案A、学案B，画两个不同的图象，以便交流，并发现一般规律 [动手操作，画一画]

A、在同一平面直角坐标系中画出函数y=－2x与y=—2x+３的图象 B、在同一平面直角坐标系中画出函数y=x与y=x－4的图象（同桌两个同学一个做A，一个做B，以便互相交流猜想）

画完后教师引导学生观察从列表来看：当x取同一个值时，它们的函数值有什么关系？体现在图象上你发现什么？

（设计意图：在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画正比例函数、一次函数的图象，让学生在描点的过程中去体验两者之间的位置关系。）

[观察图象,填一填]

A、这两个函数的图象都是______,并且倾斜程度____，函数y=－2x的图象经过_____,函数y=－2x+３的图象与y轴交于点______,可以看作是由直线y=－2x向____平移____个单位长度得到的.B、这两个函数的图象都是______,并且倾斜程度____, 函数y=x的图象经过_____,函数y=x－4的图象与y轴交于点______, 可以看作是由直线y=x向____平移____个单位长度得到的。[交流猜想,论一论]

一次函数y=kx+b的图象是什么形状?它与直线y=kx有什么关系?

同桌学生填空后把学案放到一起交流、猜想、讨论再用自己的语言归纳、互相补充，得到：(教师板书)一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作是由直线y=kx平移︱b︱个单位长度得到的（b>0时向上平移, b<0时向下平移）

最后教师动画直观演示平移过程。

（设计意图：通过一系列富有层次性、探究性的问题来引导学生猜想讨论，揭示知识的形成过程。）[说一说]

你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状?它与直线y=3x有什么关系?这个图象经过哪几个象限?

函数y=-6x+5呢? 由学生说出“经过的象限”自己是怎样判断的，教师画大致图象帮助理解（设计意图：让学生结合刚学的知识说一说，及时巩固应用新知，进一步加强学生对一次函数图象的认识）

（三）、拓展思维：

1、探究并填表: K、b符号 y=kx+b图象 K>0

b >0

K>0

b <0 K____0

b ____0

K<0

b <0

经过象限

图象过第

_______象限

图象过第

_______象限

图象过第

一.二.四象限

图象过第

_______象限

2、思考：

画一次函数图象时怎样画更简便？为什么？ [试一试]

一条直线y1=kx+3与直线y2=－2x－3平行，则k为多少？ 在同一平面直角坐标系中画出这两条直线，并说出直线 y1可以由直线y2=－2x－3怎样平移得到？

学生在方格纸上画，教师动画演示，加深理解平移规律 总结：

1、函数y=kx+b的图象位置由k、b的符号决定，已知函数 y=kx+b的图象经过的象限，能判断k、b的正负，反之亦然；

2、画一次函数的图象取两个适当的点即可，取点以简单为原则。（设计意图：梳理知识的基础上拓展思维，体会数形结合法在在问题解决中的应用，在此过程中熟悉和掌握一次函数图象的简单画法）

（四）、自我检测

1、直线y=－3x－6与x轴的交点坐标是

，与y轴的交点坐标为

,图象经过第________象限.2、直线y=3x－1经过

象限,可以看作是直线____向____平移___个单位长度得到的.3、一次函数的图象y=kx+b图象是下面的A图,则k___0,b___0

4、当k<0时,y=kx+k2的图象大致是（）（设计意图：及时反馈教学效果，查漏补缺，对学有困难的同学给予鼓励和帮助）

（五）、运用提高（课后作业）

1、已知直线y=8x+n不经过第四象限,则n的取值范围是__________

2、直线y=3x+2与直线y=3x－2具有什么样的位置关系?

3、一次函数y=kx－k的图象可能是（）

（六）、课堂小结：先由学生说说你在本节课上的收获，在师生共同查漏补缺，得出总结，达到熟练掌握和深刻理解。

1、一次函数与正比例函数的图象是两条平行的直线,由直线y=kx平移︱b︱个单位长度可得到直线y=kx+b(b>0时向上平移,b<0时向下平移)

2、一次函数y=kx+b的图象的位置由系数k、b的正负决定

3、会用简便方法作出一次函数的图象

4、可通过画大致图象来直观形象的解决问题

5、体会到数形结合的思想方法 最后送给同学们一首诗用心体会： 数缺形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事非

 ————华罗庚

（设计意图：让学生参与小结并允许学生答案不同，培养他们对所学知识的回顾思考习惯，巩固所学内容，教师再进行补充完善，并用一首诗让学生加深对数形结合思想的体会）

七、教学反思

备课过程是一种艰苦的复杂的脑力劳动过程，知识的发展、教育对象的变化、教学效益要求的提高，使作为一种艺术创造和再创造的备课是没有止境的，一种最佳教学方案的设计和选择，往往是难以完全使人满意的。关于备课，苏霍姆林斯基曾讲过这样一个故事：一位教师的一堂历史课上得精彩之至，令所有听课者叹为观止，于是下课后，大家围住这个老师，询问他，这节课上得这么好，你花了多少时间备课？那位历史老师说：我是用我的一生来备这一节课，至于这节课的教案，大概用了一刻钟。是的，最高境界的备课是用一生用心去备课。我们新教师在行动中可能无法达到此境界，但首先在意识上应以这样的境界要求自己吧。先前总觉得坐在电脑前、打开书本、翻阅各种可利用资料的资料等就可备好一堂课，自从备“7.4一次函数的图像（1）”这堂课之后才逐渐领悟到备课就像酿酒，最重要的是酝酿过程，在我们对教材及相关资料熟悉的基础上，随时随地在脑中反复地琢磨、酝酿、修改，这样才能挤出精华、酿出香酒。另一点感触是：任何一项教学辅助技能的掌握都是在应用中达成的。先前虽然学习过制作Flash动画，但学习效率很低、主动性不强，加上时间的推移，掌握率的几乎为零，由于在“7.4一次函数的图像（1）”这堂课的引入部分需要制作Flash动画，所以燃起了自觉学习探究制作Flash动画的激情。

满意之笔

能大胆对教材作出调整、修改本来这节课还需要由图像讲一次函数的增减性，以及求两坐标轴的交点坐标，但由于内容较多，为了培养学生的数形结合思想，我决定还是先不讲一次函数的性质，放手上学生画图像，掌握平移规律。在学生已经知道正比例函数的图象是一条直线的基础上，通过对应描点法来画正比例函数、一次函数的图象，让学生在描点的过程中去体验两者之间的位置关系。再通过一系列富有层次性、探究性的问题来引导学生猜想讨论，揭示知识的形成过程。然后梳理知识的基础上拓展思维，体会数形结合法在在问题解决中的应用，在此过程中熟悉和掌握一次函数图象的简单画法。这个过程中学生的动手操作能力、合作探究能力也得到了进一步培养。

遗憾之处

一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。

二、部分内容上处理出现失误：在探索一次函数的画法时，我直接用多媒体展示自己事先先取的五个点，然后动画连成了一条线，而没有先征求学生的意见，看看他们是怎么取的，有没有什么疑惑的地方，也没有解释为什么要取这五个点（理由应是：这五个点分布均匀，它们的坐标较简单，有代表性）

函数图像动起来 篇6

对于一次函数y=kx+b的图像和正比例函数y=kx的图像的平移关系我们已经研究过，有了一定的认识，甚至一次函数y=k（x+m）的图像和正比例函数y=kx的图像的平移关系我们也作了一定的探究. 对于函数y=2/x+1和y=2/x+1，我们知道这已经不再是严格意义上的反比例函数，但是它的图像是怎样的？和反比例函数y=2/x的图像有怎样的关系？我们根据一次函数的知识经验大胆猜想，但是如果要经过列表、描点、连线画出图像来观察感觉十分麻烦、费时. 通过老师的指导，我们利用几何画板进行了探究实验，不仅很快画出精确的图像，而且通过新建参数、变化参数的方法，我们看到函数图像动起来了，让我们对多个函数图像之间的运动关系有了直观的感受，有了更深入的理解.

同时通过这节探究实验课，我们感受到了几何画板的魅力. 几何画板能够形象地表现出函数图像的变化趋势，在变化的过程中直观地展示许多原本难以理解的结论；变抽象为直观，“数”和“形”互相转化，让我们的学习一下子轻松起来.这堂课大大激发了我们学习的兴趣，我们都想学习几何画板，做属于自己的动画片！

教师点评：伟大的科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师.”一个人一旦对某事物有了浓厚的兴趣，就会主动去求知、去探索、去实践. 正如程前同学最后所言：“我们都想学习几何画板，做属于自己的动画片！”几何画板走进课堂不仅让函数图像动起来，几何图形动起来，也让同学们动起来了，充分调动了同学们的学习积极性，让同学们能自主学习、主动学习. 当前，教育新技术不断涌现，移动设备、云技术、翻转课堂、创客等等，这些促使我们教师也要“动起来”，转变教学方式，追求高效教学.

一次函数图像 篇7

【活动目标】学习使用“几何画板”软件作出一次函数y=kx+b(k≠0)的图像;借助于动态图形,理解k和b的几何意义.

【活动准备】一间计算机教室,电脑需预装“几何画板”5.0或更高版本;在此前的课堂学习中,同学们已经学会软件的一些基本操作,熟悉“一次函数”的图像与性质,会熟练地手工作图.

【活动过程】

1. 小组分工:为提高学习效率,共同提高,每4~5名同学分成一组,并按小组在计算机教室入座,以便合作讨论,及时总结.

2. 教师课前设计好本节课的教学案 ,本节课需要解决以下几个问题:

(1) 学会用“几何画板”画出某个具体的一次函数图像,例如y=2x-1;

(2) 学会用“几何画板”画出含参数k、b的一次函数图像,并能改变k、b的值,理解它们的几何意义,并借此理解一次函数图像的性质;

(3) 借助画板工具 ,理解一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式之间的关系,学会利用图像求解方程组的解,利用图像的几何意义求解一元一次不等式.

同学们需要带着教学案进入机房,并熟知本节课的学习任务.

3. 问题和探索

问题1:在平面直角坐标系中画出函数y=2x-1的图像,并和手工作图的图像进行比较,温习一次函数图像的性质.

基本操作:

(1) 打开“几何画板” 软件 , 在“编辑”菜单中点击“参数选项”,选中“文本”选项卡,并勾选所有复选框.

这样做的目的是,让作图过程中自动加上点的字母,并让函数关系式自动呈现为y=kx+b的形式,免得后面重复这一操作

(2) 打开“绘图”菜单 ,选中“绘制新函数”,并在打开的“新建函数”选项卡中,按照运算顺序输入“2*x-1”, 在输入的过程中,注意观察界面上的函数式也同步变化,输入完成后,点击“确定”,会看到页面上出现一条倾斜向上的直线, 这就是y=2x-1的图像.

作图技巧:我们把坐标原点用O表示,拖动图中的点A可以改变坐标轴的单位长度,在默认情况下,我们选用的坐标系是“方形网格”,如果需要,可以在“绘图”菜单中改成“矩形网格”. 例如,我们要画出函数y=2x-30的图像,我们可以在矩形网格中,先输入函数式,然后拖动坐标轴上的A和B点,让图像呈现在屏幕的合适位置.

问题2:用“几何画板”画出含参数k、b的一次函数图像,改变k、b的值,观察函数的图像随着k、b的变化如何改变.

基本操作:在x轴上任作两点A、B,过这两点作x轴的垂线,在垂线上各选一点C、D,度量出C、D的纵坐标的数值,改变数值的标签分别为k、b. 打开“新建函数”选项卡,输入y=kx+b(其中k和b分别用鼠标点击刚才的标签),点击“确定”,出现如下的图形.

问题2的操作比较复杂,如果有同学发生困难,教师可以利用教师机给同学先展示,再由学生自己操作. 个别问题,教师单独解决.

作图技巧:作好图形后,拖动C点,可以改变k的值,拖动D点,可以改变b的值,由此观察直线的位置、倾斜程度、经过的象限随着k和b如何发生变化.

问题3:在同一坐标系中画出y1=2x-1和y2=x+2的图像.

(1)观察它们有无交点,并尝试读出交点的坐标;

(2)根据图像,说出使y1>y2的x的取值范围.

基本操作:如图所示,按照要求作出两个函数图像,为了区分,可以用红色、蓝色分别标记. 可以发现它们有一个交点,用鼠标点中交 点P,可以直接 观察出P(3,5)对于不能直接看出交点坐标,或坐标不是整数的情况,可以选中点P,利用“度量”菜单中的“坐标”工具,直接度量出交点的横坐标和纵坐标.

作图技巧:可以在y1上任选一点M,并过M作y轴的平行线,看这条直线与y2的交点N与M的位置关系 ,由此感受y1和y2的大小关系是如何变化的.

【活动总结】每个小组互相交流一下,解决以上3个问题的过程中有没有新的想法? 还有没有疑问和困惑?

一次函数图像与性质的重难点讲析 篇8

1. 一次函数的图像与性质是怎么得到的?

一次函数是我们学习的第一种函数,函数的图像与性质又是我们研究函数的重要手段,所以我们在学习一次函数的图像时,一定要理解其性质的含义.

我们在学习一次函数的图像和性质时,只画出了几个特殊的函数图像,通过这几个一次函数的图像总结所有一次函数图像的规律,即由特殊总结归纳一般规律,这是我们认识事物特征的重要方法.

通过描点法画出几个一次函数的图像,我们归纳出一次函数的图像是“一条直线”的规律,又由“两点确定一条直线”得出作一次函数的图像的快速方法———“两点法”.一般情况下我们取(0,b)(即直线与y轴的交点)和（-b/k, 0） (即直线与x轴的交点)这两点可以快速画出其图像.

例如,在下面的平面直角坐标系中,分别用“两点法”画出一次函数y=2x-1、y=x+2和y=-2x+3、y=-x-2的图像.

观察画出的四个函数图像,·从·左·往·右看,一次函数y=2x-1、y=x+2的图像是上升的,表明随着自变量x的值逐渐增大,一次函数y=2x-1、y=x+2的值逐渐增大;一次函数y=-2x+3、y=-x-2的图像是下降的,表明随着自变量x的值逐渐增大,一次函数y=-2x+3、y=-x-2的值逐渐减小.

由此归纳:在一次函数y=kx+b(k、b是常数,且k≠0)中,

(1)当k>0时,y随着x的增大而增大,从左往右看函数的图像是上升的;

(2) 当k<0时,y随着x的增大而减小,从左往右看函数的图像是下降的.

2. 一次函数的图像与性质中体现了什么数学思想?

我们总结一次函数的图像与性质的目的就是为了熟练地实现由关系式到图像、由图像到关系式的转化,这里重点体现了数形结合思想.关系式里的“k”是数,“y随着x的增大而增大(减小)”是形.在以后的应用中,我们可以根据k的值判断一次函数的值随x的增大而变化的规律;同样,也可以根据图像估计k的取值范围. 而且,在以后学习其他函数时,经常要运用这个思想方法,所以,理解一次函数的图像与性质是我们学好函数知识的敲门砖.

3. 关系式中的k值与函数图像有怎样的关系?

研究一次函数y1=2x,y2=2x+3,y3=2x-3的关系:

(1)填表,并指出对应于同一个自变量的值,3个函数值之间的关系.

结论:对应于同一个自变量的值:

一次函数y2=2x+3的值比y1=2x的值大3,

一次函数y3=2x-3的值比y1=2x的值小3.

(2)在同一平面直角坐标系中,作出上面三个函数的图像,比较它们的位置关系.

结论:一次函数y2=2x+3的图像可以看作是由正比例函数y1=2x的图像向上平移3个单位长度所得;一次函数y3=2x-3的图像可以看作是由正比例函数y1=2x的图像向下平移3个单位长度所得.

归纳:一般地,正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线,一次函数y=kx+b的图像是由正比例函数y=kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移b个单位长度得到的一条直线.

二、难点突破

根据k、b的符号确定一次函数y=kx+b大致的图像.

数形结合是我们解决函数问题的很重要的途径,但有时不易画出一次函数的准确图像,所以,很多时候我们只要画出一次函数的大致图像,就可以结合一次函数的性质解决问题. 如何快速地画出一次函数的大致图像呢?

一次函数经过哪几个象限,不需要死记硬背,只要掌握了一次函数图像的性质,就可以快速画出草图,从而确定其位置.

例如:已知一次函数y=-kx+b(k<0,b>0),那么该函数图像不经过第几象限?

∵直线y=-kx+b与y轴的交点为(0,b),b>0,∴交点在y轴的正半轴.

又∵k<0,∴-k>0,即y随x增大而增大,即从左向右往上画,画出草图如下:

关于“函数图像”的教学 篇9

函数占据了高中代数一半的内容, 同时渗透于立体几何、解析几何之中, 可以说, 函数教学是整个高中数学之精髓, 但学生对函数的学习普遍感到困难.正如有人调查学生状况得到的结论:普高中只有67%的学生认为还可以, 在重点高中, 也只有80%的学生认为可以接受, 可见其问题的严重性.因此, 如何把握好函数教学, 让学生顺利逾越函数这一难关, 很值得我们探究.笔者从教学中体会到, 函数教学, 关键是函数图像的教学, 即教会学生识图、作图以及深刻理解、认识函数图像的功能.现就这三方面谈谈自己在教学中的做法.

一、识图教学

给出一段图像, 要让学生迅速得出这段图像所确定的x值的范围、y值的范围、最值、单调性、对称性等.

例1 已知某函数y=f (x) 的图像如图所示, 求:

(1) x为何值时, y≥2

(2) 函数的值域.

(3) 函数的单调区间以及单调区间上的单调性.

解 由图可知, 显然:

(1) {x|x≤-2或x≥2或x=0}时, y≥2.

(2) 值域y∈[0, +∞) .

(3) x∈ (-∞, -1.5) , (0, 1.5) 时为减函数, x∈ (1.5, 0) , (1.5, +∞) 时为增函数.

例2 如图, 是$y=x{}^{\frac{n}{m}}(m,n\in \mathbf{{\rm N}},m,n$互质) 的图像, 则 ( ) .

A.m为奇数, n为偶数, 且m, n同号

B.m, n均为奇数, 且m, n同号

C.m为偶数, n为奇数, 且m, n异号

D.m为奇数, n为偶数, 且m, n异号

解 由图知, 图像在第一象限为增函数, $\therefore \frac{n}{m}>0$.又图像关于y轴对称, 应为偶函数.∴A答案符合要求.

二、作图教学

1.首先让学生对基本函数图形, 如:$y=kx+b(k\ne 0),y=\frac{k}{x}(k\ne 0)‚y=ax{}^2+bx+c(a\ne 0)‚y=x{}^n(n\in \mathbf{Q})‚y=a{}^x(a>0$, 且a≠1) , y=logax (a>0且a≠1) , y=sinx (或cosx, tanx, cotx) , y=arcsinx (或arccosx, arctanx, arccotx) 等函数的图像进行反复练习, 达到相当熟练的程度.

2.补充一些特殊函数的作图知识, 如分段函数的作图, 奇、偶函数的作图, 对称性的作图, 含有绝对值符号的作图, 平移坐标轴的作图等, 使学生能对高中所见的函数, 几乎都能正确作出其大致图像.

例3 作出下列函数的图像.

(1) y=x2+|2x-3|;$(2)y=-\log {}_{\frac{1}{2}}(-x)$;

$(3)y=\frac{2x-1}{x-2}$;$(4)y=||x|{}^{\frac{5}{3}}-1|.$

解

$(1)y=x{}^2+|2x-3|=\{\begin{array}{l}(x+1){}^2-4‚x\ge \frac{3}{2}‚\\ (x-1){}^2+2‚x<\frac{3}{2}‚\end{array}$

按分段函数的作图即可作出如图 (1) 所示的图像.

$(2)y=-\log {}_{\frac{1}{2}}(-x)\Rightarrow -y=\log {}_{\frac{1}{2}}(-x)$, 所以先作出$y=\log {}_{\frac{1}{2}}x$的图像, 再作该图像关于原点对称的图像即得原函数的图像[图 (2) 中实线部分].

$(3)y=\frac{2x-1}{x-2}\Rightarrow y-2=\frac{3}{x-2}$, 令$x^{\prime }=x-2,y^{\prime }=y-2‚y^{\prime }=\frac{3}{x^{\prime }}$, 利用坐标平移作出新坐标系下$y^{\prime }=\frac{3}{x^{\prime }}$的图像, 即得原函数在旧坐标系下的图像, 即如图 (3) 所示的图像.

(4) 先利用平移和偶函数的性质作出函数$y=|x|{}^{\frac{5}{3}}-1$的图像, 再利用绝对值定义即可作出原函数的图像[图 (4) 中实线部分].

例4 已知y=f (x) 的图像, 问:如何作出y=f (1-x) 的图像?

解 由坐标轴的平移可得到y=f (x+1) 图像, 再作该图像关于y轴对称的图像, 即得y=f (1-x) 的图像 (图中实线部分) .

三、图像功能教学

通过识图、作图教学, 我们的目的是引导学生如何去研究图像, 揭示图像的本质属性, 从而达到利用图像解决具体问题, 这是函数教学的核心.

1.由基本函数图像掌握其性质

学生对各种基本函数的性质, 很难将它一一记住.即使一时记住了, 也很难持久, 教会学生由图像导出其性质, 这样, 只要他们能作出函数的大致图像, 就能间接地记住其性质, 从而将死记硬背的东西转变成形象、直观的图像, 留在学生们的脑海里, 使他们难以忘怀.

2.由基本函数图像的性质解题

换元, 是一种重要的数学解题思想, 它可以将一些复合函数还原成基本函数, 从而可借助于基本函数使问题得到简单解决.

例5 求满足$\cos \left(2x-\frac{\text{π}}{3}\right)>\frac{1}{2}$的x集合.

解 令$t=2x-\frac{\text{π}}{3}‚\cos t>\frac{1}{2}$, 由余弦函数图像取[-π, π]周期, $t\in \left(-\frac{\text{π}}{3}‚\frac{\text{π}}{3}\right)$, 拓展, $t\in \left(2kx-\frac{\text{π}}{3},2kx+\frac{\text{π}}{3}\right)$, 还原, $\left\{x|k\text{π}<x<kx+\frac{\text{π}}{3},k\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}.$

例6 求函数$y=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{4}\right)$的单调区间、对称中心、对称轴.

解 令$t=\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{4}‚y=\sin t$, 由正弦函数图像取[-π, π]周期, 增区间为$\left[-\frac{\text{π}}{2}‚\frac{\text{π}}{2}\right]$,

拓展, $t\in \left[2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}‚2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\right]$,

还原, $x\in \left[4k\text{π}-\frac{3\text{π}}{2}‚4k\text{π}+\frac{3\text{π}}{2}\right](k\in \mathbf{{\rm Z}})$是递增区间.

同理可得出递减区间为$x\in \left[4k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}‚4k\text{π}+\frac{5\text{π}}{2}\right](k\in \mathbf{{\rm Z}})$.由y=sint图像知对称中心为 (kπ, 0) (k∈Z) ,

还原, 即得$\left(2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}‚0\right)$, 即为对称中心.

由y=sint图像, 对称轴为$t=k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$, 还原, 即得$x=2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}(k\in \mathbf{{\rm Z}})$为对称轴.

例7 求抛物线y=ax2+bx+c的焦点坐标.

解 由$y=ax{}^2+bx+c‚\left(x+\frac{b}{2a}\right){}^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b{}^2-4ac}{4a}\right),$

令$x^{\prime }=x+\frac{b}{2a},y^{\prime }=y+\frac{b{}^2-4ac}{4a}‚x{}^{´{}^2}=\frac{1}{2}{y}^{\prime }$,

由标准抛物线图像, $x{}^{´2}=\frac{1}{a}{y}^{\prime }$的焦点为$\left(0‚\frac{1}{4a}\right)$,

还原, 原抛物线的焦点为$\left(-\frac{b}{2a}‚\frac{4ac-b{}^2+1}{4a}\right).$

3.函数图像的灵活运用

近年来高考命题力求考查学生的素质与能力, 数形结合的思想的运用正体现了学生综合运用知识的能力.

例8 关于x的不等式2x+1>3a的最小整数解为-7, 求a的取值范围.

这是一道初中知识的题目, 我曾将它给刚入高一年级的学生做, 目的是想了解学生们是否会利用图像解决具体问题, 结果, 很不理想.

解 由$2x+1>3a‚x>\frac{3a-1}{2}$, 由数轴表示不等式的解集:当$-8\le \frac{3a-1}{2}<-7$时, 该不等式的最小整数解为$-7‚-5\le a<-\frac{13}{3}.$

例9 如果奇函数f (x) 在区间[3, 7]上是增函数, 且最小值为5, 那么f (x) 在区间[-7, -3]上是 ( ) .

A.增函数且最小值为-5

B.减函数且最小值为-5

C.增函数且最大值为-5

D.减函数且最大值为-5

解 根据f (x) 的性质, 我们可以作出f (x) 在[3, 7], [-7, -3]上的假设图像, 如图所示, 由图像即可知答案为B.

例10 如果$\alpha ‚\beta \in \left(\frac{\text{π}}{2}‚\text{π}\right)$, 且tanα<cotβ, 则 ( ) .

$\begin{array}{l}\text{A}.\alpha <\beta \text{B}.\alpha >\beta \\ \text{C}.\alpha +\beta <\frac{3}{2}\text{π}\text{D}.\alpha +\beta >\frac{3}{2}\text{π}\end{array}$

解 借助单位圆和三角函数线, 由图中正切线和余切线知, 要使tanα<cotβ, 作出二、四象限的角平分线, 则cotβ位于线段BN上 (不含N点) , tanα位于射线MM′上 (不含M点) , $\alpha <\frac{3}{4}\text{π}‚\beta <\frac{3}{4}\text{π}‚\alpha +\beta <\frac{3}{2}\text{π}.$

例11 设x+lgx=2005有一根x1, 方程x+10x=2005有一根x2, 求x1+x2.

解 依题意lgx=2005-x,

10x=2005-x.

设y=lgx, y=10x, y=2005-x, 作出这三个函数的图像, 如图所示, 其交点P (x1, 2005-x1) , Q (x2, 2005-x2) .

由y=lgx与y=10x互为反函数知点P, Q关于直线y=x对称, 所以x1=2005-x2, 即x1+x2=2005.

例12 求函数$f(x)=\sqrt{x{}^4-3x{}^2-6+13}+\sqrt{x{}^4-5x{}^2+9}$的最小值.

解 将$f(x)=\sqrt{x{}^4-3x{}^2-6+13}+\sqrt{x{}^4-5x{}^2+9}$变形, 得

$f(x)=\sqrt{(x-3){}^2+(x{}^2-2){}^2}+\sqrt{x{}^2+(x-3){}^2}$,

对该式子作几何解释, 求f (x) 的最小值, 即在抛物线y=x2上求一点与两定点A (3, 2) , B (0, 3) 之间的距离之和最小.

即直线AB与抛物线 (x>0) 部分的交点能使f (x) 取得最小值, $f(x){}_{\min }=\sqrt{(0-3){}^2+(3-2){}^2}=\sqrt{10}.$

反比例函数的图像 篇10

1. 回顾:正比例函数y=kx(k为常数 ,k≠0)的图像是什么形状?画图像的一般步骤是什么?

2. 学习几何画板软件操作:

(1)建立直角坐标系:“绘图”———“定义坐标系”.

(2)描点:“绘图”———“绘制点”.

(3)连线:“标识工具”.

3. 小组内练习“几何画板”的以上操作.

【活动说明】回忆正比例函数图像的画法,并认识到可以用描点法来画函数的图像,激活原有的认识. 另外,发现用几何画板软件作图,既能节省画图时间,又能提高画图精确度. 这都为探究反比例函数的图像奠定了基础.

二、活动探究

活动1初探图像

1. 如何画反比例函数y=k/x(k为常数,k≠0)的图像?

2. 以小组为单位,用几何画板软件画反比例函数y=6/x的图像.

3. 你们小组描出了哪些点?你是如何连线的?作出的图像是什么形状?

4. 在作图过程中,你遇到哪些困难?

【活动说明】通过画反比例函数y=k/x(k为常数,k≠0)的图像,发现困难,激发了大家的好奇心与求知欲.

活动2探讨———交流

1. 小组内探讨以下问题:

(1)反比例函数y=6/x中,x、y取值的符号有什么关系?x、y的值可以为0吗?当x>0时,随着x的增大,y怎样变化?当x<0时,随着x的增大,y怎样变化?

(2)这个函数的图像会在哪几个象限?图像与x轴、y轴有交点吗?图像与x轴、y轴的位置关系有什么特征?

2. 小组内推荐代表在全班讲解交流:问题(1)、(2)你是如何思考的?这两个问题之间有什么联系?

【活动说明】安排此环节基于以下思考:从发现到表达交流是能力提升的过程,在倾听、思辨中统一认识,为继续探索图像提供基础. 此外,从问题(1)、(2)中感受数形结合思想.

活动3再探图像

1. 已描出的点尚不能判断出函数图像走势,我们该怎么办?

2. 你描出了多少个点?能看出函数图像的走势了吗?

3. 它是什么形状?连线时需要注意什么?

4. 结合图像,小组内再讨论活动2中的第(2)个问题?

【活动说明】此环节的目的在于使学生感受并能真正理解反比例函数的图像是“平滑的曲线”,并且有两个分支,以及采用几何画板软件作图具有很强的优势.

活动4猜想———验证

1. 猜想:反比例函数y=-6/x的图像是什么样的?

2. 小组内验证猜想.

【活动说明】在积累基本活动经验的基础上进行巩固练习,为后面观察、分析、归纳反比例函数图像的性质增加感性认识,积累数学活动经验.

活动5归纳、总结

1. 组内讨论:反比例函数y=6/x与y=-6/x的图像有什么共同特征?

2. 推荐代表在全班总结.

【活动说明】目的在于由感性认识上升到理性认识,提高抽象概括的能力.

三、活动收获

在本节课的探究过程中,你有哪些感受与收获?回顾你的探究心路历程,请将你的探究感悟和发现写成数学小论文.