空间向量与空间角学案

第一篇：空间向量与空间角学案

空间向量与立体几何

一、知识点

<一>常用结论

1.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径：(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径：(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径：(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径：(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径：(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a=

，b=

，则cos〈a，b〉=. 8.异面直线所成角：(其中(量)

)为异面直线

=

所成角，

分别表示异面直线

的方向向9.直线10.二面角与平面所成角：的平面角

(为平面的法向量). 或11.空间两点间的距离公式 若A

(，B.

，为平面，则

，=

的法向量). 12.异面直线间的距离：

别是上任一点，

为

(是两异面直线，其公垂向量为，分

间的距离). 1 13.点线，到平面). 的距离：(为平面的法向量，是经过面的一条斜14.三个向量和的平方公式：

15. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,则有

. (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

，夹角分别为116. 面积射影定理

成锐二面角的).

.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长

〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义?

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次

. ② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

.

线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理(及逆定理)：

线面垂直：

面面垂直：

2、三类角的定义及求法

(1)异面直线所成的角θ，0°<θ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

(三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。)

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

二、题型与方法

【考点透视】

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】

考点1 点到平面的距离

4 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例1如图，正三棱柱

的所有棱长都为，

为

中点.

(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求二面角(Ⅲ)求点到平面平面

; 的大小; 的距离.

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.

解答过程：解法一：(Ⅰ)取

中点，连结

.

为正三角形，正三棱柱平面连结.

中，

，

分别为

.

中，平面

平面

，

.

，在正方形的中点，

5 在正方形(Ⅱ)设平面与. ， 中，交于点

， ，在平面

平面中，作

.

于

，连结

，由(Ⅰ)得为二面角的平面角.

在中，由等面积法可求得，

又， .

所以二面角(Ⅲ)中，的大小为.

，

的距离为

.

.

在正三棱柱中，设点到平面由到平面的距离为，得

.

，

.

点到平面的距离为.

. 解法二：(Ⅰ)取为正三角形，在正三棱柱平面. 中点，连结

. 中，平面

平面，

取中点，以为原点，，，，，平面(Ⅱ)设平面，.

的法向量为

.

. ，

， .

，，，

，，

. ， 的方向为

，

轴的正方向建立空间直角， 坐标系，则

令得为平面平面

，

的一个法向量.

由(Ⅰ)知为平面的法向量.

，.

二面角(Ⅲ)由(Ⅱ)，的大小为为平面

.

. 法向量，

7 点到平面的距离.

小结：本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面

的距离转化为容易求的点K到平面

的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 考点2 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例

2、如图，在线

中，

，斜边

.

是

可以通过的中点.

以直为轴旋转得到，且二面角

平面与

;

所成角的大

的直二面角.(I)求证：平面(II)求异面直线

小.

思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内. 解答过程：解法1：(I)由题意，是二面角，又平面，

，

，

是直二面角， ，

8 又平面(II)作平面. 平面

.

，连结

(如图)，则，

，垂足为是异面直线

与

所成的角. ，

， 在中，.

又.

在中，.

异面直线与所成角的大小为.

解法2：(I)同解法1. (II)建立空间直角坐标系，

，如图，则，

，

，

，

，

.

异面直线与所成角的大小为.

9 小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二;②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：考点3 直线和平面所成的角

.

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容. 例3. 四棱锥，(Ⅰ)证明(Ⅱ)求直线 ，; 与平面

所成角的大小. 中，底面

，

为平行四边形，侧面

.

底面

.已知

考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，

二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

解答过程：解法一：(Ⅰ)作得因为又底面. ，所以，故

，

为等腰直角三角形，. ，依题设

，.

， ，

，得 ，

，垂足为，连结

，由侧面

底面

，

由三垂线定理，得(Ⅱ)由(Ⅰ)知故，，由的面积.

连结设，得到平面的面积的距离为，由于，解得

.

，得

设与平面所成角为，则.

所以，直线解法二： (Ⅰ)作.

因为 与平面所成的我为.

，垂足为，连结，由侧面底面，得平面，所以.

又如图，以，为坐标原点，，，

，

，所以

为等腰直角三角形，为

.

，

，

轴正向，建立直角坐标系

，

.

，(Ⅱ)取中点，，

连结，取中点，连结，.

，，所以与平面互余.

，

. ，

，与

，与平面的夹角记为

.

内两条相交直线，

与平面

，

垂直.

，则

所成的角记为，，

所以，直线与平面所成的角为.

小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值.

12 考点4 二面角

此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视. 例4.如图，已知直二面角，直线

和平面

，

所成的角为

.

，

，

，

，(I)证明(II)求二面角;

的大小.

命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

过程指引：(I)在平面因为又因为而从而所以，，所以，所以，又平面.因为

，

平面，又

，故

，

.

，

内过点，所以

. ，

，

作

，

于点

，连结

.

(II)解法一：由(I)知，，所以过点故

. 于点

，连结

，由三垂线定理知，

. 作是二面角

的平面角.

13 由(I)知，，所以是和平面所成的角，则，

不妨设在，则中，

，

，所以

.

，

于是在故二面角中，的大小为

.

.

解法二：由(I)知，可以为原点，分别以直线

为

轴，

，轴，

，，故

轴建立空间直角坐标系(如图). 因为不妨设在所以，所以，则中，.

是，

和平面

. ，

所成的角，则

.

则相关各点的坐标分别是

，所以，，

，

.

.

设取易知，得是平面

.

是平面

的一个法向量，由得

的一个法向量.

14 设二面角的平面角为，由图可知，.

所以.

故二面角的大小为.

小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点5 利用空间向量求空间距离和角

众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.

例5.如图，已知且(1)求证：.

四点共面;

是棱长为的正方体，点

在

上，点

在

上，(2)若点平面在; 上，，点在上，，垂足为，求证：(3)用表示截面

和侧面所成的锐二面角的大小，求.

命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.

过程指引：解法一： (1)如图，在.

因为从而又因为从而因此，(2)如图，，，，所以.

四点共面. ，又

，所以

，

，所以四边形.

，故四边形

是平行四边形，由此推知

，

，

都为平行四边形. 上取点

，使

，连结

，

，则

，

.

因为又平面，所以，所以.

，所以

平面

，得.

为平行四边形，从而

平面

.

.

(3)如图，连结因为于是因为 ，.

是所求的二面角的平面角，即，所以

，

解法二：

.

(1)建立如图所示的坐标系，则，所以又它们有公共点，故，所以

， ，

，

共面. 四点共面.

，(2)如图，设，则，

而得因为又.

故平面. ，由题设得，

，，

，有

，所以

，

，

，从而

，.

截面，

，得

.

，所以

和

的夹角等于或

(

为锐角).

，于是

，，

.

，解得(3)设向量而，又，所以平面 17 于是故.

.

小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角;点面距离一般转化为

在面BDF的法向量上的投影的绝对值.

第二篇：空间向量与立体几何

天河中学邵晓叶

一.基本方法：

1、 利用向量证明平行



(1) 线线平行(面面平行)方法：ab(b0)ab

→→→

(2) 线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量a、b 不共线，则向量 c与向

→→→→→量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y，使c=xa+yb.

2. 利用向量求距离

(1) 点到平面的距离

方法1：直接作出距离，然后用向量进行计算.

方法2：已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量， 则A到平面的距离

AC



=

ABnn

.(2) 两条异面直线距离：

ABn

方法：a、b为异面直线，a、b间的距离为：dn

.与a、b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点

3、利用向量求角

(1)异面直线所成角：

→→→→

向量a和b的夹角(或者说其补角)等于异面直线a和b的夹角.

abcosa,bab

其中n

(2)直线和平面所成的角



(法向量法)与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角(或

者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.

(3)求二面角的大小。方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).

方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.

方法3：(法向量法)m、n分别是平面和平面的法向量，那么(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。

二、分类训练 (一).求距离

例1：如图，正四棱锥SABCD的高SO

2，底边长AB

求(1)异面直线BD和SC之间的距离.(2)点O到平面SBC的距离

(3)直线AD与平面SBC的距离

解：

基础训练：1.长方体ABCDA1B1C1D1中BAB1300,AA11,则A1A与B1C间的距离为

()

(A)

1(B)

(C)

(D)

22.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥底面BCD,BD⊥DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30º,则点C到平面ABD的距离是() (A55a

B((D)

53a

(C)

3.已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，

是侧棱CC1的中点.

(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1;

D

A1C1

D

(2)求点C1到平面AB1D的距离.

A

B

C

(二).求角度

例2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，求平面EB1FD与ADD1A1所成的二面角的余弦值。

基础训练：1.在正方体ABCD–A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线

CM与D1N所成的角,则sin=()

19

2(B

3C(9

9(A)2.有块直角三角板ABC,∠A=30º,∠c=90º,BC边在桌面上,当三角板和桌面成45º

角时,AB边与桌面所成角的大小(

)

(A)arcsin

(B)



6(C)



(4)arccos

10

3.已知正四棱锥S-ABCD的底边长为4,高为6,点M是高SO的中点,点G是侧面SBC的重心，求直线MG与底面ABCD所成的角。

(三)。综合应用

1. (04浙理)在正三棱柱ABC―A1B1C1中,已知AB=1,D在棱B1B上,且BD=1,,若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则α

=()

(A)



(B)



(C)arcsin

(D)arcsin

2.三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC所成的角均为60°,点A到PB

A到平面PBC的距离为()

(A

3(B3

(C)

(D)

3. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1A1D11，AB=2，E为AB的中点，则C1到平面D1DE 的距离

4.四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C1 ，C1D1，D1 D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，

有MN//平面BBDD。

115.已知斜三棱柱ABC―ABC中，∠BAC=90°，∠BAA=120

1111∠CAA1=60°，

AB=AC=1，AA1=2，O是B1C和BC1的交点. →→→→

(Ⅰ)用基向量AB、AC、AA1表示向量AO; (Ⅱ)求异面直线AO与BC所成的角;

(Ⅲ)判定平面ABC与平面BB1C1C是否垂直? 并说明理由 6.正三棱柱ABC—A1B1C1，M是A1C上的点， N是BC1上的点，且CM=BN. 求证：MN∥平面A1B1C1.

7. PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，且AE与PD

所成角为3

.(Ⅰ)求PD的长;( Ⅱ)在AD上是否存在一点F，使

得EF⊥平面PBC，若存在，请确定F点的位置，若不存在，请说明理由.

第三篇：用空间向量求直线与平面的夹角

1、 平面的平行线与平面所成的角：规定为0°;

2、 平面的垂线与平面所成的角：规定为90°;

3、 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这

条直线和这个平面所成的角。

4、 直线和平面所成的角的范围是(0°，90°);

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

5、直线AB与平面所成角：(为平面α的法向量);

与，在空间中任取一点O，作

。

时，与反

6、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量，则∠AOB叫做向量注：(1)规定：，当与的夹角，记作=0时，与同向;当

向;当时，与垂直，记。

。(2)两个向量的夹角唯一确定且

7、空间向量夹角的坐标表示：。

第四篇：空间向量求空间角

教学知能目标：1.理解空间向量求解空间角的一般方法;

2.能用空间向量解决空间角问题。

教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。 教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。 教学难点：线面角，面面角的化归。

一、复习引入：

1 .在三棱锥PABC中，PAAB,ABAC,ACPA,

则面ABC的法向量是什么?面PBC PAPBPC2，的法向量又怎么求?

2 .空间向量的数量积运算公式是什么?

二、新课探究：

四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，AB1,AA14,E,F,G分

A1D1C1PACBZ别是CC1,AC,BB1的中点。

问题1：求异面直线B1F,D1E所成角的余弦值.

探究：如何用空间向量求异面直线所成的角?

AB1EGDFBCY设l1与l2是两异面直线，a,b分别为l

1、l2的方向向量，它们所成角为， l

1、l2所成的角为，则θ与相等或

Xab互补，则coscos

ab

αab

问题2：求直线AC与平面AGF所成角的余弦值; 1

探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角?

如图，设l为平面的斜线，lA，a,为l的方

Ban向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与

平面所成的角为，则sincosanan

问题3：求二面角AAG1F的平面角的余弦值。

探究：如何用空间向量求二面角?

平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1,n2 = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则coscosn1nn

21n2

φαACαn1An2φβlOB

三、巩固提高：

已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为(1)当时SA2a时，求异面直线a的正方形，

(2)当SA2a时AB和SC所成角的余弦值;求直线BD和平面SCD所成角的余弦值;(3)

ZSSA的值为多少时，二面角BSCD的大AB小为120? 当

四、小结：

ADYBXCab1.求异面直线所成的角时，一定要注意(0,90]，从而有coscos

ab2.求直线与平面所成的角时，一定要注意它和a,n之间的关系，从而有ansincos

an3.求二面角时一定要注意它和m,n之间的关系，从而有

mncoscos

，同时还要观察图形确定二面角的范围。

mn

五、作业：选修2-1，习题3.2A组1,2,4,6

第五篇：向量空间证明

向量空间证明解题的基本方法：

1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系 中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位; 3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标; 4)求解给定问题

证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。

证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可 只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：

因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z (x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数

则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2) 步骤1 记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A) =-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。