改进的平滑约束低秩张量修补算法

1 引言

近年来, 随着多媒体技术、现代传感器、计算机通信及网络技术的飞速发展和广泛应用, 人们经常需要存储、处理与分析规模更大、结构更复杂的数据, 如生物信息数据、人脸图像数据、高光谱图像、超分辨率和监控视频数据等。海量数据为我们提供了更多信息的同时, 也对计算机的处理数据、存储数据以及传输数据等能力提出了更高的要求。从部分缺失的矩阵和张量数据中恢复原始数据, 受到了图像与计算机视觉、数据挖掘、机器学习等众多研究领域的广泛关注。

在图像修补中通常假定数据是平滑的。对于灰度图像, 相邻像素之间的差异通常应该较小。近期的文章中有人将全变差 (TV) 的极小化作为平滑性约束。此外, 结合了低秩逼近和平滑约束并采用类似ADMM的优化框架来解决。通常, 自然图像兼具这两种结构特征, 这种结合是相当有效的。

张量是一个多维数组, 向量和矩阵可以被分别看作是一阶和二阶张量。例如, 彩色图像的数据是三阶张量, 因为它由三个红、绿和蓝三种颜色叠加而成。同样, 彩色视频的数据是第四阶张量, 因为它由彩色图像的多个帧组成。张量修补是矩阵修补的高阶推广, 能够比矩阵修补更有效地利用数据的结构信息。为更好地利用张量结构信息, 目前张量修补中有两类常见的方法。一类方法称为核范数极小化。在这类方法中将张量的核范数定义为张量的每个模式展开矩阵的核范数之和。另一类方法涉及使用低秩张量分解, 张量分解是一种将n阶张量分解为另一个较小尺寸的n阶张量的方法, 称为“核心张量”和n个因子矩阵。有两种常用的分解模型:Tuker分解以及CP (CANDE COMP/PARAFAC) 分解。

2 算法

线性全变差易引起的阶梯效应使得约束效率更高。本文考虑以下二次全变差矩阵Wn∈ℝn×n来约束因子向量。

(2) 和 (3) 对于因子向量的约束在几何上的不同如图1所示。

本文基于文献[10]中的模型求解方法, 现将算法流程介绍如下:

针对优化问题 (1) 使用分层交替最小二乘法 (HALS) [13,14]求解。首先固定r考虑以下局部函数的最小化:

ar, br, cr为单位向量

br, cr的更新与之类似, 其中α为步长参数, 作用在于确保目标函数减小。迭代上式直到收敛。gr的

注1:由图1可知本文所使用的二阶全变分相比于一阶全变分利用了更多的相邻元素, 同时避免一阶全变分所带来的阶梯效应, 因此能产生更好的性能。

注2:从平滑约束的形式来看, 还可以考虑更为复杂的高阶光滑以及根据图片局部形式自适应的调整平滑约束形式。

3 数值实验

在本节中, 将本文所提出的算法应用于随机缺失图片的修补问题, 并与SPC (由于SPC已经与LTVNN, Ha LRTC, STDC和FBCP-MP进行对比, 且结果优于这些方法, 故此处只和SPC进行对比) 进行对比, 以此来进行算法的评估。算法实验运行在个人电脑[Intel (R) Xeon (R) CPU 3.50GHz Windows 7]上的MATLAB R2015b中, 每个修补程序重复十次, 取平均值为最终结果。测试图片选用了三张图像处理领域常用彩色图片, 每张图片大小为256×256, png格式, 如图2所示。

本文采用峰值信噪比 (PSNR) 和结构相似度 (SSIM) 作为评价图片恢复质量的指标。PSNR通过下式定义:

其中MSE为输入与输出张量的均方误差。SSIM是通过使用图像中局部小块的平均值和方差参数来定义的, 更多细节可以参考[17]。容易看出, SSIM是对PSNR的改进, 因为其更好的度量了局部平滑性。

为了说明本文所提出算法的有效性, 将算法在约束项||L (n) ur (n) ||pp中p=1, p=2两种情况下分别与spc-TV和spc-QV进行比较。在实验中, 当p=1和p=2时平滑参数向量ρ分别设置为ρ=[0.01, 0.01, 0], ρ=[0.5, 0.5, 0]。最大迭代数均设置为1000。每张图片以不同缺失比例60%, 70%, 80%进行测试。实验结果如表1。

从结果中我们可以看出本文所提出的算法在P=1时ssim和psnr两项指标上均优于原SPC算法, p=2时, 在过半数的测试图片上也表现优异。

4 结语

本文研究了基于低秩张量修补的彩色图像修补问题。通过改进的平滑约束矩阵对张量CP分解中特征向量进行约束, 得到了一种新的低秩张量修补算法。实验结果表明, 本文提出的算法更为有效的优于现有的算法。

摘要：张量修补作为矩阵修补在结构性上的延伸与拓展, 因其能更好地刻画现实生活中的数据结构, 被广泛应用于化学荧光光谱数据、医学图像处理、脑电图、人脸识别等领域。本文通过对张量CP分解中特征向量平滑性的全变分约束的改进, 对图像修补问题进行了研究。实验结果表明, 通过改进的平滑约束张量修补算法优于现有的张量修补算法。

关键词：低秩,张量修补,张量分解,全变分,CP分解

参考文献

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