两参数Weibull分布联合置信区间估计

2024-04-11

两参数Weibull分布联合置信区间估计（共3篇）

篇1：两参数Weibull分布联合置信区间估计

提出了定数截尾下两参数Weibull分布精确联合置信区间估计的`一种方法,并给出了可靠度的一个保守的置信下限,最后用模拟方法将其和已有的联合置信区间估计方法进行比较,表明文章的估计方法更好.本方法亦可推广到双边定数截尾的情形.

作者：邢兆飞徐海燕 XING Zhao-fei XU Hai-yan 作者单位：上海师范大学,数理信息学院,上海,34刊名：山西大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SHANXI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：31(3)分类号：O212关键词：Weibull分布联合置信区间估计定数截尾可靠度

篇2：两参数Weibull分布联合置信区间估计

用两个次序统计量确定Weibull分布形状参数的置信下限

从两个次序统计量出发,给出了二参数Weibull分布的形状参数的`置信下限.在实际数据的缺失、删失、截尾等情况下,为可靠性试验的数据处理提供了一种有效的估计方法.

作者：刘玉霜 LIU Yu-shuang 作者单位：青岛科技大学,青岛,266061刊名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：9(20)分类号：O213.2关键词：两参数Weibull分布次序统计量参数估计

篇3：负二项分布参数的两种区间估计

负二项分布又称帕斯卡分布,是概率统计中一个重要的离散型随机分布,在实际中有着广泛的应用。常用于描述生物群聚性,医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布,在风险理论中常用来刻画和拟合索赔次数,在可靠性理论中常用来刻画寿命试验等。因此,对负二项分布的参数估计的研究也引起诸多学者的关注。其中对参数p的点估计研究较多,如文献[1]讨论了参数的矩估计和零频率估计的性质及其模拟精度比较,文献[2～4]研究了参数的贝叶斯估计,熵损失函数下的贝叶斯估计以及方差一致最小无偏估计等。但对其参数的区间估计研究较少,本文主要研究其参数的区间估计,探讨给出了负二项分布参数p的两种区间估计方法,即精确区间估计、大样本下近似区间估计。

1 负二项分布参数的精确区间估计

设总体Y～NB(r,p),参数p未知;其分布列为

Y1,Y2,…,Yn为来自该总体的样本,我们试图通过样本信息来给出参数p的1-α水平的区间估计。通过研究讨论得出下述定理1,为了方便推证定理1我们引入如下几个引理。

引理1[5] 设βα(K1,K2)是β分布β(x,K1,K2)的下侧α分位数(K1,K2都是正整数),Fα(K1,K2)是自由度为K1,K2的F分布的下侧α分位数,则

引理2[6] 若随机变量X,Y分别服从二项和负二项分布即X～B(n,p),Y～NB(r,p),则有

FX(r-1)=1-FY(n-r)。

引理3[7] 下列恒等式成立

$\begin{array}{l} (ⅰ) \sum_{k = j}^{n} C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \times \\ \int_{0}^{p} u^{j - 1} (1 - u)^{n - j} d u ； \end{array}$

$\begin{array}{l} (ⅱ) \sum_{k = 0}^{j - 1} C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \times \\ \int_{p}^{1} u^{j - 1} (1 - u)^{n - j} d u 。 \end{array}$

定理1 设总体Y～NB(r,p),参数p未知, 给定置信水平1-α,则未知参数p的1-α水平的等尾置信区间为

$\begin{array}{l} {p : {1 + \frac{y + 1}{r} F_{1 - α / 2} [2 (y + 1), 2 r]}^{- 1} \leq \\ p \leq {1 + \frac{y}{r + 1} \frac{1}{F_{1 - α / 2} [2 (r + 1), 2 y]}}^{- 1} \end{array}$

,其中Fα(m,n)为分布F(x,m,n)的下侧α分位数, y表示第r次成功之前失败的次数。

证明考虑到参数p的矩估计为 $\hat{p} = \frac{r}{\bar{Y} + r}$ ,对于试验观察的失败次数y可知,考虑等尾置信区间,则参数P的置信限pL,pu应分别满足如下两个方程

通过考察式(1)和式(2)来求出置信限pu,pL。首先考虑式(1),利用引理2可得

对式(3)利用引理3中(ⅰ)可转化为

$\begin{array}{l} Ρ (X \geq n - y) = \frac{n!}{(n - y - 1)! y!} \int_{0}^{p} u^{n - y - 1} (1 - u)^{y} d u = \\ Ρ (β (n - y, y + 1) \leq p) = α / 2 (4) \end{array}$

对式(4)结合引理1可以解出

$\begin{array}{l} p_{L} (y) = β_{α / 2} (n - y, y + 1) = \\ {1 + \frac{y + 1}{n - y} F_{1 - α / 2} [2 (y + 1), 2 (n - y)]}^{- 1} 。 \end{array}$

同理我们利用同样的方法考察式(2)可得

$\begin{array}{l} Ρ (Y \geq y) = Ρ (X \leq n - y) = \\ \frac{n!}{(n - y)! (y - 1)!} \int_{p}^{1} u^{n - y} (1 - u)^{y - 1} d u = \\ Ρ (β (n - y + 1, y) \geq p) = α / 2 (5) \end{array}$

对式(5)利用引理1可以解出

$\begin{array}{l} p_{u} (y) = β_{1 - α / 2} (n - y + 1, y) = \\ {1 + \frac{y}{n - y + 1} \frac{1}{F_{1 - α / 2} [2 (n - y + 1), 2 y]}}^{- 1} 。 \end{array}$

注意到r=n-y,所以参数p的1-α水平的等尾置信区间为

$\begin{array}{l} {p : {1 + \frac{y + 1}{r} F_{1 - α / 2} [2 (y + 1), 2 r]}^{- 1} \leq \\ p \leq {1 + \frac{y}{r + 1} \frac{1}{F_{1 - α / 2} [2 (r + 1), 2 y]}}^{- 1} \end{array}$

综上所述,定理成立。

2 大样本下参数的近似区间估计

定理2 设总体

$X ~ Ν B (r, p) ‚ Ρ (X = k) = (\begin{matrix} k - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) p^{r} (1 - p)^{k - r}, k = r, r + 1, \dots ‚ X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$

为来自该总体的样本。当分为数 $z_{1 - \frac{α}{2}} < \sqrt{n r}$ 时,负二项分布参数p的置信水平为1-α的近似区间估计为

$\begin{array}{l} \frac{2 n r \bar{X} - a^{2} r - \sqrt{r^{2} a^{4} + 4 n r a^{2} \bar{X}^{2} - 4 n a^{2} r^{2} \bar{X}}}{2 n \bar{X}^{2}}, \\ \frac{2 n r \bar{X} - a^{2} r + \sqrt{r^{2} a^{4} + 4 n r a^{2} \bar{X}^{2} - 4 n a^{2} r^{2} \bar{X}}}{2 n \bar{X}^{2}}] 。 \end{array}$

其中, $a = z_{1 - \frac{α}{2}} ‚ r$ 为已知的正整数。

注:关于“ $z_{1 - \frac{α}{2}} < \sqrt{n r}$ ”这一条件。由于我们研究的是大样本场合,因此这一条件一定是满足的。

证明设离散随机变量X～NB(r,p),即

$Ρ (X = k) = (\begin{matrix} k - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) p^{r} (1 - p)^{k - r}, k = r, r + 1, \dots$

。X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本,在样本容量n很大的情况下由中心极限定理易知统计量 $\frac{\bar{X} - E \bar{X}}{\sqrt{V a r \bar{X}}}$ 近似服从标准正态分布,其中 $E \bar{X} = r / p, V a r \bar{X} = r (1 - p) / n p^{2}$ 。于是对于给定的水平1-α,有式(6)成立。

式(6)中, $z_{1 - \frac{α}{2}}$ 为标准正态分布的下侧 $1 - \frac{α}{2}$ 分位数。

令 $z_{1 - \frac{α}{2}} = a$ ,为求置信区间的上下限p2,p1,由式(6)可知只需考察如下关于p的一元二次方程实根的情况

根据问题的背景,被考察的参数p表示成功率,因此参数的置信区间的上下限p2,p1应满足0<p1<p2<1,进而可得方程(7)的两个实根要满足的条件为

注意到 $r < \bar{X}$ ,条件式(8)可等价转化为: $a < \sqrt{n r}$ ,即 $z_{1 - \frac{α}{2}} < \sqrt{n r}$ 成立。

在 $a < \sqrt{n r}$ 的条件下,易求方程式(7)的两个实根为

${\begin{cases} p_{1} = \frac{2 n r \bar{X} - a^{2} r - \sqrt{r^{2} a^{4} + 4 n r a^{2} \bar{X}^{2} - 4 n a^{2} r^{2} \bar{X}}}{2 n \bar{X}^{2}} \\ p_{2} = \frac{2 n r \bar{X} - a^{2} r + \sqrt{r^{2} a^{4} + 4 n r a^{2} \bar{X}^{2} - 4 n a^{2} r^{2} \bar{X}}}{2 n \bar{X}^{2}} 。 \end{cases}$

综上所述可得定理成立。

3 数值例子与比较

在工程实践中也常常遇到这种情况,产品试验之前,它的成功次数r(或失败次数k)是预定的,所需的试验次数却是随机的,这种情况在导弹飞行试验中也屡见不鲜。在导弹的装备研制阶段,导弹的可靠度(命中率)是一个重要指标,我们经常通过试验来推断其可靠度或命中率的区间估计等指标。某军工企业为了推断A和B两种类型导弹命中率的区间估计,设计如下,根据各方协商结果应有5发成功的子样,每种类型的导弹各做了5组重复试验,获得数据如下:

A类型:r=5,k=5,6,7,8,9;B类型:r=5,k=10,12,14,16,18 ,n=5为试验组数;

对于给定的水平α=0.05,利用定理1由统计软件(MINITAB)经过数值计算可得下述区间估计表:

比较上述区间估计表,我们容易看出随着失败次数的增多,区间长度逐渐缩短并且区间的中点左移,这也符合我们的统计规律,因为失败次数增大说明试验次数增多,样本容量增大,隐含着命中率降低。

4 结束语

本文通过讨论推导给出负二项分布参数p在不同场合不同条件下的两类区间估计方法。首先,巧妙利用负二项分布与二项分布的关系、二项分布与贝塔分布、贝塔分布与F分布的内在联系给出了负二项分布参数p的精确区间估计,此方法对样本容量n和参数p均未做具体要求。其次,利用中心极限定理考虑样本容量n较大时的近似区间估计,并给出此方法要满足的条件“ $z_{1 - \frac{α}{2}} < \sqrt{n r}$ ”;最后,文中结合数值例子给出这些方法的应用。