一种非线性函数线性化的处理方法

2022-09-12

传感器是自动检测仪表的重要部分。传感器将非电量变换为电量, 其变换特性往往是非线性的。如温度传感器铂热电阻的电阻值与温度之间为二次函数关系;又如氧化锆氧传感器的氧电势与氧浓度之间为指数函数关系, 非线性度非常大。

解决非线性特性的方法有硬件电路校正和软件数据处理。现在自动检测仪表大都由单片机控制, 采用软件处理非线性, 方法有: (1) 根据函数关系式计算; (2) 列出在测量范围内所有取值, 用查表法求取; (3) 直线方程校正法, 本文讨论这一方法。

1 拟合原理与步骤

分段折线拟合是在允许误差范围内, 在函数曲线上取若干点, 连成几段直线段即折线, 来近似代替曲线。如果直线位于曲线上方, 则除了端点外, 精确值总是小于近似值, 误差为负值;反之, 如果直线位于曲线下方, 精确值总是大于近似值, 误差为正值。如图1所示, 以直线l1近似拟合曲线, 误差为负值。在A点处误差最大, 记为εm, 其余各点误差均小于εm。如果将l1向下平移εm/2, 至l2处, 以l2来拟合曲线, 则最大误差减少到一半, 误差有正有负。显然, 在相同的误差范围内, 这样的方法来拟合整条曲线分段数较少, 有利于简化数据处理。求解l2较为不便, 可以先求出l1的方程y=kx+d, 然后向上 (直线位于曲线下方) 或向下 (直线位于曲线上方) 平移εm/2,

即以代替, 下面以指数曲线为例来说明。氧化锆氧传感器在7200C温度下, 氧浓度y (%) 与其产生的氧电势x (m V) 之间成指数关系:

量程为0~10%。因y→0时, x将非常大且不准确, 实际测量下限取0.1%。y~x对照见表1。

用黄金分割法求解拟合直线方程。参见图2, 从测量上限y1开始。

x的取值上下限之差为l。第1黄金分割点为x2=x1+0.618l, 第2黄金分

割点为x2=x1+0.6182l……, 第i黄金分割点为x2=x1+0.618il。直线方程l1为:

yi=k (x+x1) +y1斜率为:

第i黄金分割点拟合的直线方程为:yl=ki (x-x1) +y1…… (1)

为表达简洁起见, 设曲线方程为:y=a10cx。直线与曲线的误差为:

(4) 代入 (3) 得:

以下来求第1段拟合方程。取最大误差0.05, 即0.05%氧浓度, 则εm=0.1 (见图1) 。由于曲线非现线程度大, 第1段拟合方程的i值不妨取大些试之, 设i=4, 代入 (2) :

, 将此值代入 (4) 得:

于是取i=5, 重复上述过程, 得最大误差εm=0.175。再设i=6, 得εm=0.0725, 已符合要求, k6=-0.4124。这样, 第1段方程为:

再向下平移εm/2, 得:

依上述方法, 解得:k6=-0.3 2 1 2 4, εm=0.05034。拟合方程为:

平移εm/2, 得:yl=-0.32124x+14.5562其余类推。

2 推广应用

以上提出的非线性函数的分段折线拟合处理方法, 简化了数据处理工作量, 在氧化锆氧传感器的氧浓度与氧电势之间转换得到应用。这一方法可以推广。传感器的非线性类型分为指数型和有理函数型, 前者除上述氧化锆氧传感器外, 还有半导体PN结伏安特性 (图3) 、热敏电阻的温度—阻值特性 (图4) , 可参考上述方法进行线性化处理。后者如铂热电阻, 在0~500OC范围内, 温度为T的电阻值为:RT=R0 (1+aT+bT2)

式中:R0为0℃时的电阻值;a、b为常数, 在0~500OC范围内a=3.9752×10-3/℃, b=-5.8880×10-7/℃。图5为铂热电阻温度特性, 其非线性程度小于指数型, 线性化处理的分段数少于指数型, 且较易设计。由图可见, 以一直线近似, 误差达2%, 若以上述方法处理, 误差降至1%;若分为两段误差可降至0.5%以下。

摘要：直线方程校正是常见的非线性函数的线性化处理方法。本文改进这一方法, 在一定误差允许范围内, 简化了数据处理。具体应用于指数函数的线性化数据处理。

关键词：直线方程校正法,数据处理,氧化锆氧传感器