小学奥数精华15讲

第一篇：小学奥数精华15讲

小学奥数之第10讲 数论综合(一)

第10讲 数论综合

(一)

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.

1.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?

【分析与解】 我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

所以n小于5.

:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0;

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9;它们的积的个位数字都是4;

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能.

：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足.

：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足.

至于n取1显然不满足了.

所以满足条件的n是4.

2.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d.那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l， 67，71，73，79，83，89，97.

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168.

所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168.

1 3.如果某整数同时具备如下3条性质：

①这个数与1的差是质数;

②这个数除以2所得的商也是质数;

③这个数除以9所得的余数是5.

那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.

【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件.

其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14.

所以两位幸运数只有14.

4.在555555的约数中，最大的三位数是多少?

【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 显然其最大的三位数约数为777.

5.从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商.而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77.231÷77=3.

不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米.

6.已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质.请写出所有可能的答案.

【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且a

小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18.其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数.

所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列.

2 所以，所有可能的答案为(6，10，15);(10，12，15);(10，15，18).

7.把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1.那么最少要分成多少组?

【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13.

由于质因数13出现在

26、9

1、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：

将

26、

33、35分为一组，9

1、

34、33分为一组，而1

43、6

3、85分为一组. 所以，至少要分成3组.

8.图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远.如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远.

小圆周长为×30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120.

120÷30=4.120÷24=5.

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个两只甲虫相距最远.

1圆周长，即爬到了过A的直径另一点B.这时2

9.设a与b是两个不相等的非零自然数.

(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?

(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72.不妨设a>b.

:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73;

:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值;

3 ：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第

一、二种情况中的值; 当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第

一、

二、三种情况的值; ：当a=12时，b无解;

:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第

一、

二、

三、四情况中的值.

总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值.

(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60.a、b为60的约数，不妨设a>b. ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a-b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30; .当a=30时，b可取4，12，20，于是a-b可取26，18，10; ：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a-b可取17，14，8，5;

当a=15时，b可取4，12，所以a-b可取11，3; : 当a=12时，b可取5，10，所以a-b可取7，2.

总之，a-b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值.

10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4次.比赛途中，从起点开始每隔12少米?

13米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟都只跳一243米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多83111339÷4=，12÷2=. 82484233 所以狐狸跳4个12米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个12米的距离时，将掉进陷阱.

88 【分析与解】 由于12 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒. 距离为9×41=40.5(米). 2

11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【分析与解】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次.

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数.

4

12.甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?

【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数.

即603÷A=a……k;(2×939)÷A=b……k;(4×393)÷A=c……k.

于是有(1878-603)÷A=b-a;(1878-1572)÷A=b-c;(1572-603)÷A=c-a.

所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51.

于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍).

当A为51时，有603÷51=11……42;939÷51=18……21;393÷51=7……36.不满足;

当A为17时，有603÷17=35……8;939÷17=55……4;393÷17=23……2;满足.

所以，除数4为17.

13.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数.

【分析与解】

我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除.

现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数.

评注：设奇数为2n+1，则它的平方为4n+4n+1，显然除以4余1.

14.有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块.甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?

【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.

八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216.

从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6.

观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31.

因此甲取走的一盒中有3l块奶糖.

15.在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份;第二种将木棍分成12等份;第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?

5 【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的

1作为一个长度单位，这60样，木棍10等份的每一等份长6个单位;12等份的每等份长5个单位;15等份的每等份长4单位.

不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个.

由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1.

又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2.

同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4.

由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点.沿这些刻度点把木棍锯成28段.

第二篇：小学数学奥数基础教程(三年级) --第14讲

本教程共30讲

第14讲 火柴棍游戏(二)

火柴棍游戏的另一种形式是摆算式。

用火柴棍可以摆出下列数字和符号：

这些数字和符号，在去掉或添加或移动火柴棍后有些可以相互变化。例如：

添加1根火柴，可以得到

去掉1根火柴，可以得到

移动1根火柴，可以得到

其中“→”表示“可变为”。

做火柴棍算式游戏就是利用这些变化，改变算式，使之符合题目要求。

下面举的几个例子，只要仔细观察答式，就可以明白是如何按规定变化的，因此就不再进行过细说明了。

游戏1下面火柴棍摆的算式都是错的。请在各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式成立：

解：(1)去掉1根，可变为

(2)添加1根，可变为

(3)去掉1根，可变为

游戏2在下列各式中只移动1根火柴棍，使错误的式子变成正确的算式：

解：(1)把221中的1移到等号右边使1变成7。

(2)把17前面的“+”变成“-”，这1根移到等号右边使71变成21。

(3)移动7中1根到4前面去。

游戏3下面的两个算式都是错误的，各移动2根火柴，使它们都变成正确的算式：

解：(1)右边移2根到左边，变为正确算式。

(2)左边的2根火柴移动后，变为正确算式。

游戏4 每式移动3根火柴棍，使各式都变为正确的算式：

为了锻练同学们变换算式的灵活性，我们再做一个游戏。

游戏5 下面是一个不正确的不等式，请移动其中1根火柴，使不等式成立。要求找到尽可能多的不同的移动方法。

分析与解：因为右边的21无法通过移动一根火柴变小，所以只考虑左边算式，或使被减数变大，或使减数变小，或改变“-”、“>”等符号。

将“-”号变为“+”号，有

改变“>”号，有

改变被减数与减数，有

练习14

1.在下面各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式变成正确的算式：

2.在下面各式中，只移动1根火柴棍，使各式变为正确的算式：

3.移动2根火柴棍，使下面的不等式反向：

4.在下列各式中移动2根火柴，使它们成立：

5.移动3根火柴棍，使下式成立：

6.在下面的等式中，移动3根火柴棍，使其成为一个新的等式：

7.下面是一个不正确的不等式，请移动其中1根火柴，使不等式成立。请找出尽量多的不同移法。

答案与提示练习14

1.(1)12-2=10;(2)14+1=15。

2.(1)7+7=7+7;(2)12-2+1=11;

(3)14-7+4=11。

3.4+1<7。

4.(1)2+3=5;(2)19+10+9=38。

5.19×7=133。

6.86-63=23。

7.93-91<32，93-31<92，93+31>32，

33+31<92，53+31<92。

第三篇：奥数 一年级 教案 奥数讲些啥？

第一讲 “奥数”究竟学些啥?——趣味启蒙、寓教于乐

1. 学学讲道理：

狐狸去狗熊经营的餐厅吃饭，要了一份松子，于是狗熊端了一盘松子来。狐狸眼珠骨碌碌一转，说：“我不想吃松子了，给我换一盘蜜糖。”狗熊就换了一盘蜜糖端上来，狐狸眨眨眼睛，说：“我又不想吃蜜糖了，给我换一盘葡萄吧。”狗熊又换了一盘葡萄给狐狸，狐狸高高兴兴地把葡萄吃了个一干二净(连皮儿和籽儿都没剩下)，然后大摇大摆的走了。狗熊追了出来，说：“狐狸狐狸，你吃了我的葡萄，还没给钱呐。”狐狸说：“可那是我用蜜糖换的啊。”狗熊又说：“那你的蜜糖也没钱啊。”狐狸说：“可那是我用松子换的啊。”狗熊说：“那你的松子也没给钱啊。”狐狸说：“可是那盘松子我没吃啊，我为什么要给钱呢?”狗熊想了想，说不出话来了。同学们，你们说狐狸该不该付钱呢?为什么?

(黑箱问题、偷换概念、画图法) 2. 智巧趣题：

小明、小红、小刚、小华4位同学在一起打扑克牌，他们一共玩了40分钟，他们每位同学玩了多久呢?

奶奶用平底锅烙好吃的馅饼，锅里只能同时装下两个馅饼，而每个馅饼两面都要烙，每面要烙2分钟才能熟。如果奶奶今天打算烙三个馅饼，最快要多长时间才能把三个馅饼都烙熟呢?

3. 火柴棒游戏：

移动一根火柴，使得等式成立：

请同学们用火柴棒摆出一个鱼的形状。 4. 找规律画图：

观察规律，请接着画出后面两个图形：

5. 找规律填数：

(1)

1、

3、

5、

7、

9、____ (2)

12、

10、

8、

6、

4、____ (3)

1、

3、

4、

6、

7、

9、

10、____ 6. 元角分趣题：外婆每天用硬币去买菜， 而且总钱数都不超过一元钱。如果外婆今天 不想别人找零钱，那么外婆至少要带多少个 硬币呢?

7. 巧切西瓜：只切三刀，最多可以将一个 西瓜，切成几块?同样只切三刀，能将一张 纸切成几块?

8. 哈里波特在迷宫里寻找魔法石，请你在 地图上帮助哈里波特设计出一条可以拿到魔 法石的道路。

第四篇：小奥 96 奥数 一年级 教案 第7讲 摆摆看看

第7讲摆摆看看

【例1】用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。

【例2】用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直线。

【例3】用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、一个长方形、一个平行四边形、一个等腰梯形、一个五边形、一个六边形、一个八边形。

【例4】用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。

(1)再加两根火柴棍，摆出两个三角形。 (2)再加两根，摆出三个三角形来。 (3)再加两根，摆出五个三角形来。

解摆一个三角形必需三根火柴棍，这样计算，摆两个三角形就需要六根。但是现在只给你增加两根，却要求你用五根摆出两个三角形，可见必有一根火柴棍要供两个三角形公用才行。

同样道理，再加两根后共七根要摆三个三角形还差两根，所以必须有两根公用。

再给两根后共九根火柴棍，要摆五个三角形。摆法如图所示。可以看出九根火柴棍摆出了三个“正立”的小三角形，同时中间还出现了一个

“倒立”的小三角形，它并没有额外需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴棍又形成了一个大三角形。所以这九根火柴棍共摆出了五个三角形。

习 题七

1.用两根小木棍，摆成一个很小的锐角：然后，慢慢地挪动一根，使锐角渐渐变大。如果继续转动小棍，将会出现什么角?

2.如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。 (1)拿掉哪三棍，就可以变成一个三角形?

(2)拿掉哪两根，就可变成两个三角形? (3)拿掉哪一根，就可变成三个三角形? 3.如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。 (1)拿掉两根，剩下三个正方形。 (2)请你拿掉两根，剩下两个正方形。

4.如下图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三根火柴棍就变成了三个三角形，应该拿掉哪三根?试试看。

5.如右图所示，用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用15根、14根、13根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗?摆摆看。

习题七解答

1.慢慢转动小棍的过程中锐角逐渐变大，之后出现直角，直角再变大随之出现钝角。

2.

3.

4.

5.

第五篇：小奥 27 奥数 一年级 教案 第1讲 认识图形

第1.

1讲 认识图形(一) 这叫什么?这叫“点”. 用笔在纸上画一个点，可以画大

些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。

2.

这叫什么?这叫“线段”。

沿着直尺把两点用笔连起来，就能 画出一条线段。线段有两个端点。 3.

这叫什么?这叫“射线”。

从一点出发，沿着直尺画出去，就 能画出一条射线。射线有一个端点， 另一边延伸得很远很远，没有尽头。

4. 这叫什么?这叫“直线”。

沿着直尺用笔可以画出直线。直线 没有端点，可以向两边无限延伸。

5.

这两条直线相交。

两条直线相交，只有一个交点。 这两条直线平行。

6.

两条直线互相平行，没有交点，无 ，论延伸多远都不相交。

7. 这叫什么?这叫“角”。

角是由从一点引出的两条射线构 成的。这点叫角的顶点，射线叫角 的边。角分锐角、直角和钝角三种。

直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。

锐角比直角小，钝角比直角大。

习 题 一

1.点 (1)看，这些点排列得多好!这些点排列得多好

(2)看，这个带箭头的线上画了点。

2.线段 下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣! (1)一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。

(2)两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。

(3)三根小棍。可以像下面这样摆。

3.两条直线

哪两条直线相交? 哪两条直线垂直? 哪两条直线平行?

4.你能在自己的周围发现这样的角吗?