例谈中学数学竞赛解题方法

2022-09-10

数学竞赛它是青少年的一种智力竞赛, 特别是近几年来数学竞赛得到了飞速的发展, 越来越多的学生参与竞赛, 越来越多的人在研究数学竞赛。对数学竞赛的解题方法进行探讨对提高广大数学爱好者解决数学竞赛试题的能力具有很重要的意义, 基于这种背景, 本文介绍几种重要的解决数学竞赛试题的方法, 以供参考。

1 不等式法

在中学数学竞赛试题中存在大量的不等式问题, 这些试题结构优美, 结论简洁, 其结果看似很显然, 其实不然。它们通常都很灵活, 解题思路独特, 构造性强, 现举例如下:

例1设x1, x2, …, xn都是正数, 求证:

证由平均不等式, 得

将上述n个不等式相加, 得

即

评注:这是一道全国高中数学联赛题, 证明它的方法很多, 不少参考资料都给出了自己独特的证明方法, 但是笔者在认真分析了试题的结构之后, 发现可以反复利用平均不等式达到化繁为简、化难为易的目的。可见某些看似无从下手的所谓“难题”, 实际上可能是某些简单结论的灵活运用, 这些事实的存在为我们求解竞赛试题提供了一些重要线索。

2 构造“模型”法

所谓构造模型解题是指, 当解题遇到困难时, 我们就换一个角度去看问题, 针对问题的特点构造一个与它等价的命题即“模型”, 在这个模型上, 问题变得直观或易于解决。

例2已知a, b, c, A, B, C满足条件a+A=b+B=c+C=k, 求证a B+b C+c A

分析本题局限在代数不等式范畴不易求证。如将题目中的式子赋予“形”的解释, 则可构造反映题目要求的几何模型 (如图1) 。

由S△L R M+S△M P N+S△N Q L

证明:构造一个边长为k的正三角形 (如图1)

由题目已知得:a+A=b+B=c+C=k

又:S△L R M+S△M P N+S△N Q L

即得

a B+b C+c A

评注:这是一道前苏联数学竞赛试题, 原始解法是通过把a、b、c分别用k-A、kB、k-C来表示, 然后运用柯西不等式变形可以得到上述结果, 但是其过程比较繁琐, 技巧性强。笔者在认真分析了题目的条件和结论后, 通过反复尝试, 构造出了上述图形, 从而把纯代数不等式问题转化成了几何图形的面积计算问题, 使问题迎刃而解。事实上许多代数问题都有它的几何背景, 反之亦然。因此, 如果我们在解题时能时刻关注几何与代数的这种内在联系, 有时能获得出其不意的良好效果。

3 抽屉原理法

抽屉原理直指这样的一个简单事实:如果把n+1个苹果放到n个抽屉里面, 那么至少有一个抽屉有2个或2个以上的苹果。这个道理虽然简单, 但是如果能灵活运用它, 则可以解决许多看似无从下手的难题。

例3九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2∶3的两个四边形。证明:这九条直线中至少有三条经过同一点。

证如图2, 设C D是一条这样的直线。我们再画出这两个梯形的中位线A B, 因这两个梯形有相同的高, 所以它们的面积比应等于对应的中位线长的比, 即等于 (或者) 因此点P有确定的位置, 它在正方形一对对边中点的连线上, 并且=2∶3, 由几何上的对称性, 这种点

共有四个, 既如图2所示中的P, Q, R, S。已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过P, Q, R, S这4点中的一点, 把P, Q, R, S分成4个抽屉, 9条直线当成9个苹果, 既可以看出必定有3条分割直线经过同一点。

评注:这也是一道全国数学竞赛题, 问题本身没有牵涉到很深的数学知识, 但是凡和线过点或点共线相关的问题都是比较复杂的, 解决它往往需要很敏锐的洞察事物的能力, 问题的关键是如何构造出“苹果”和“抽屉”。目前还没有发现比上述过程更有效的证明方法。这说明, 抽屉原理尽管简单易懂, 但是要想在实践中成功运用该原理, 是需要有丰富的经验和敏锐的观察能力的。从这个角度来说, 数学竞赛同时也是参与者能力和素质的竞赛。