小学数学公式和例题

第一篇：小学数学公式和例题

高中数学公式和定理

数学公式和定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知水平发展的重要学习载体.要学好数学，必须对公式和定理有十分正确透彻的理解，也就是说，牢固掌握并能灵活运用数学公式和定理是提高数学能力的重要前提.在教学过程中我积累了一些经验，下面我就数学公式和定理的教学谈谈我的一些体会.

在数学公式和定理的学习中，需要学生具备多方面的能力，如对新旧知识联系的理解能力，对数学规律的归纳与探究能力，对公式与定理的推理与演绎能力，对知识的存储、记忆与应用能力等.

数学公式和定理教学容易产生“一背二套”、“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围.事实上在公式与定理的教学中一般应有如下五个环节：引入，推导，条件和特例，应用，最后把它们纳入学生的知识体系.因此，教师在教学中注意创设情景、激发兴趣，充分发挥学生在学习中的主体作用，就能避免学生的死记硬背，生搬硬套，做到“活学活用”.

一、知识引入多样化，激发学生求知欲

公式、定理的引入是发展学生思维、培养探索能力的首要环节.一开始的引入如能把学生吸引住，将大大激发学生的求知欲，使他们的思维处于最亢奋的状态.在平时的教学中，我发现，“开门见山”式的引入虽然省时省力，但学生学习缺乏兴趣，只等着老师讲.而针对不同的公式与定理，采用多样化的引入，能很好地吸引学生，激发他们的探究欲望.在教学实践中，我常常采用以下几种引入的方法：

1、实践引入：

教师要善于搜集与公式和定理相关的、有趣味的模型，使学生在接触课题时，就产生强烈的探求欲望.例如在引入线面垂直的判定定理时,先让学生自己动手做一个实验:如图,拿一张矩形纸片

,对折后略为展开,使矩形被折的一边紧贴在桌面上,教师告诉学生，折痕和桌面是垂直的，这是为什么呢?学生一下子被吸引住了，急切地想知道这是为什么.

2、类比引入：

数学具有系统性，因此新公式、新定理可以由旧公式、旧定理通过类比迁移而来. 例如在引入余

选校网专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

弦定理时，先给出三角形的三边a、b、c,其中c为最大边.讨论c2与a2b2的关系.同学们已经学过勾股定理，C900时有c2a2b2.教师向学生提出这样的问题，在斜三角形中a2b2与c2有什么关系?学生通过探究发现，当C900时有c2a2b2;当C900时有c2a2b2.通过对三种三角形的类比，学生会有很大的兴趣去讨论它们之间存在怎样的一种关系式.此时教师引导学生归纳出在△ABC中，三边a、b、c有这样一种关系：c2a2b2m.进而得出m的符号与C的关系.这种引入方法，使学生对新公式、新定理不感到突然，而是旧公式、旧定理的延伸与扩展.

3、发现法引入：

由于公式是对客观实践的抽象，为了完成这一过程，我带领学生重涉前人探索之路去发现公式.这种发现式的引入，对培养学生观察与探究能力有重要作用.在应用这种引入方法时，关键是创设使学生感兴趣的情景.例如在学习等差数列求和公式时，我给同学们讲了他们都知道的高斯小时候求12100的故事，并加上了故事的尾巴：“在高斯说出了他的方法后，老师又提出了新的问题，请学生计算14798”，大家想一想，该如何计算?更一般的等差数列前n项a1a2an的计算公式我们能推导出来吗?同学们兴致盎然，通过独立探究与合作讨论，很快就得出了等差数列前n项和的公式.

二、重视推导和证明，弄清来龙去脉

公式的推导和定理的证明是教学的核心.由于第一环节恰当地引入，学生的心理状态是“兴趣被激发，对证明、推导有迫切感”，因此我抓住机会给予证明.如果在教学中不重视推导，学生对它们的来龙去脉就会很模糊.在推导过程的教学中，我尽量发挥学生的主体作用，能让学生推导的就让学生推导，并注意指出学生推导中的错误.有些推导过程繁琐的公式与定理，教师注重分析，讲清为什么用这样的方法.如果公式和定理有几种推导方法，教学中不是面面俱到，而是让学生课后思考不同的推导方法，在下一节课上进行交流.

三、强调条件和特例

公式成立是要有一定条件的.学生学习公式的最大弱点是把公式作为“万能公式”乱用乱套.因此教学中要强调公式成立的条件.如含有正切的三角公式的角的范围是有限制的.在公式推导完成后，我常常让学生做一个小练习，从中发现他们忽略条件而产生的错误，让学生讨论公式应用中要注意公式成立的条件.

另外，公式虽具有一定的普遍意义，但对一些具有特殊条件的情形要给予注意，这就是公式的特例.如三角诱导公式及倍角公式是两角和与差公式的特例.而一般结论往往是特例的发展与完善.如正弦定理是三角形面积公式的发展与推广.

四、注重灵活应用，提高学生学习能力数学教学的目的在于应用，因此，在公式和定理的教学中，必须使学生灵活巧妙地应用公式和定理，提高、培养学生实际运用的能力.在此教学环节中要注意引导学生灵活应用公式.

每个公式本身均可作各种变化，为了在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进各种变形.这一层次的思维量大，可很好地培养学生思维的灵活性.例如：ai(i1,2,,n)为正数，求证

222a12a2a2ana122(a1a2an)，可把基本不等式a2b22ab变形为

a2b2ab

2来用.再如求tg200tg400tg200tg400的值，是将tg()的公式变形使用.

五、把公式和定理纳入学生的知识体系

数学知识系统性强.学生学习数学知识后，可以形成相应的认知结构.认知结构的发展，是“同化”与“顺应”调节的辨证统一.“同化”指的是新知识与旧知识相一致时，新知识被纳入原有认知结构中;“顺应”指的是新知识与旧知识不一致时，对原有的认知结构进行调节，以适应新的知识结构.如在复数的教学中，判别式小于零的实系数一元两次方程的根与系数的关系可同化到学生已有的知识结构中;而|z|2zz，就要学生将旧知识“顺应”到新的知识机构中去.因此，在教学中我们要注意把新知识纳入学生的认知结构中.为此，我在教学中充分注意以下几点：

1、 注意公式推导过程中包含的数学思想方法.

在公式与定理的推导过程中，常常要用到数形结合，从特殊到一般，分类讨论等数学思想方法.在推导过程中，教师常从特殊的情景出发进行分析.例如，在推导sinxa(|a|1)解集时，从a的特殊值开始进行分析.在推导等比数列前n项和公式时，要分q1与q1两种情况讨论.在教学中要充分挖掘公式与定理推导中的数学思想方法，可以有效地培养学生的思维的严密性与灵活性.

2、公式和定理的推广及引申

由于学生学习的阶段性和教材要求等原因，中学数学有许多公式和定理是可以推广的，教会学生推广，让学生看清知识的内部联系，是把知识纳入学生认知结构的有效途径.例如三角形面积公式S11absinC中bsinC就是a边上的高,它其实就是初中所学的公式Sah的另一种新的形式.再如学2

2习了祖暅原理后，让学生把它引申到平面几何的相应命题.

3、比较与鉴别

比较与鉴别是把公式和定理纳入学生认知结构的必由之路.在教学的后阶段，一般是应用所学新知识来解题.如果仅仅盯住新公式，学生就失去一次独立选择公式的机会，这无助于学生认知结构的发展.特别是公式较多时，学生一旦面临复杂的问题，他们会无所适从.因此在教学中用注意公式的比较

与鉴别，选择合适的公式解题，使学生的解题能力得到发展.例如有这样一道题：在△ABC中，已知a3，b1,B300 ,求c边的长.如果用正弦定理来解，要分两步而且面临∠A是一解还是两解的选择，而直接用余弦定理就可一步到位.在数学公式和定理的教学中，教师必须使学生到达以下目标：一是要用准确的数学语言表述公式与定理的内容;二是要学会分析其条件与结论间的内在关系;三是要正确地掌握其证明及推导方法;四是要明确其使用的条件和适用的范围及应用的规律;五是要考虑对一些重要的公式和定理能否作适当的引申与推广.我们在教学中，必须以适当的方式将公式和定理的发生发展过程展示给学生，让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理所包含的教学思想方法，灵活地掌握知识，应用知识，达到提高分析问题，解决问题的能力.

参考资料：

李果民《中学数学教学建模》 广西教育出版社2003年

选校网高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)

选校网()是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具!

产品介绍：

1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。

3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。

5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。

7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。

9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。

10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。

11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。

选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力! 我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。

陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况;预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......

一切，贵在真实。

第二篇：考研数学公式总结之高等数学柱面坐标和球面坐标公式

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

考研数学公式总结之高等数学柱面坐标

和球面坐标公式

考研数学复习，公式是基础也是关键，高等数学中公式众多，大家要加深理解记忆。下面带着大家一起来巩固熟悉高等数学各类重要公式，下面是柱面坐标和球面坐标公式。

凯程提醒各位考生考研数学公式的记忆一定要准、牢，否则就没办法进行做题和运算。

第三篇：小学数学公式大全

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

小学数学公式大全

工具箱

(多种工具共用一个快捷键的可同时按【Shift】加此快捷键选取)

矩形、椭圆选框工具 【M】

裁剪工具 【C】

移动工具 【V】

套索、多边形套索、磁性套索 【L】

魔棒工具 【W】

喷枪工具 【J】

画笔工具 【B】

像皮图章、图案图章 【S】

历史记录画笔工具 【Y】

像皮擦工具 【E】

铅笔、直线工具 【N】

模糊、锐化、涂抹工具 【R】

减淡、加深、海棉工具 【O】

钢笔、自由钢笔、磁性钢笔 【P】

添加锚点工具 【+】

删除锚点工具 【-】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

直接选取工具 【A】

文字、文字蒙板、直排文字、直排文字蒙板 【T】

度量工具 【U】

直线渐变、径向渐变、对称渐变、角度渐变、菱形渐变 【G】

油漆桶工具 【K】

吸管、颜色取样器 【I】

抓手工具 【H】

缩放工具 【Z】

默认前景色和背景色 【D】

切换前景色和背景色 【X】

切换标准模式和快速蒙板模式 【Q】

标准屏幕模式、带有菜单栏的全屏模式、全屏模式 【F】

临时使用移动工具 【Ctrl】

临时使用吸色工具 【Alt】

临时使用抓手工具 【空格】

打开工具选项面板 【Enter】

快速输入工具选项(当前工具选项面板中至少有一个可调节数字) 【0】至【9】

循环选择画笔 【[】或【]】

选择第一个画笔 【Shift】+【[】

选择最后一个画笔 【Shift】+【】】

建立新渐变(在”渐变编辑器”中) 【Ctrl】+【N】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

文件操作

新建图形文件 【Ctrl】+【N】

用默认设置创建新文件 【Ctrl】+【Alt】+【N】

打开已有的图像 【Ctrl】+【O】

打开为... 【Ctrl】+【Alt】+【O】

关闭当前图像 【Ctrl】+【W】

保存当前图像 【Ctrl】+【S】

另存为... 【Ctrl】+【Shift】+【S】

存储副本 【Ctrl】+【Alt】+【S】

页面设置 【Ctrl】+【Shift】+【P】

打印 【Ctrl】+【P】

打开“预置”对话框 【Ctrl】+【K】

显示最后一次显示的“预置”对话框 【Alt】+【Ctrl】+【K】

设置“常规”选项(在预置对话框中) 【Ctrl】+【1】

设置“存储文件”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【2】

设置“显示和光标”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【3】

设置“透明区域与色域”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【4】

设置“单位与标尺”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【5】

设置“参考线与网格”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【6】

设置“增效工具与暂存盘”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【7】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

设置“内存与图像高速缓存”(在预置对话框中) 【Ctrl】+【8】

编辑操作

还原/重做前一步操作 【Ctrl】+【Z】

还原两步以上操作 【Ctrl】+【Alt】+【Z】

重做两步以上操作 【Ctrl】+【Shift】+【Z】

剪切选取的图像或路径 【Ctrl】+【X】或【F2】

拷贝选取的图像或路径 【Ctrl】+【C】

合并拷贝 【Ctrl】+【Shift】+【C】

将剪贴板的内容粘到当前图形中 【Ctrl】+【V】或【F4】

将剪贴板的内容粘到选框中 【Ctrl】+【Shift】+【V】

自由变换 【Ctrl】+【T】

应用自由变换(在自由变换模式下) 【Enter】

从中心或对称点开始变换 (在自由变换模式下) 【Alt】

限制(在自由变换模式下) 【Shift】

扭曲(在自由变换模式下) 【Ctrl】

取消变形(在自由变换模式下) 【Esc】

自由变换复制的象素数据 【Ctrl】+【Shift】+【T】

再次变换复制的象素数据并建立一个副本 【Ctrl】+【Shift】+【Alt】+【T】

删除选框中的图案或选取的路径 【DEL】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

用背景色填充所选区域或整个图层 【Ctrl】+【BackSpace】或【Ctrl】+【Del】

用前景色填充所选区域或整个图层 【Alt】+【BackSpace】或【Alt】+【Del】

弹出“填充”对话框 【Shift】+【BackSpace】

从历史记录中填充 【Alt】+【Ctrl】+【Backspace】

图像调整

调整色阶 【Ctrl】+【L】

自动调整色阶 【Ctrl】+【Shift】+【L】

打开曲线调整对话框 【Ctrl】+【M】

在所选通道的曲线上添加新的点(‘曲线’对话框中) 在图象中【Ctrl】加点按

在复合曲线以外的所有曲线上添加新的点(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【Shift】

加点按移动所选点(‘曲线’对话框中) 【↑】/【↓】/【←】/【→】

以10点为增幅移动所选点以10点为增幅‘曲线’(对话框中) 【Shift】+【箭头】

选择多个控制点(‘曲线’对话框中) 【Shift】加点按

前移控制点(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【Tab】

后移控制点(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【Shift】+【Tab】

添加新的点(‘曲线’对话框中) 点按网格

删除点(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】加点按点

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

取消选择所选通道上的所有点(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【D】

使曲线网格更精细或更粗糙(‘曲线’对话框中) 【Alt】加点按网格

选择彩色通道(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【~】

选择单色通道(‘曲线’对话框中) 【Ctrl】+【数字】

打开“色彩平衡”对话框 【Ctrl】+【B】

打开“色相/饱和度”对话框 【Ctrl】+【U】

全图调整(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【~】

只调整红色(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【1】

只调整黄色(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【2】

只调整绿色(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【3】

只调整青色(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【4】

只调整蓝色(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【5】

只调整洋红(在色相/饱和度”对话框中) 【Ctrl】+【6】

去色 【Ctrl】+【Shift】+【U】

反相 【Ctrl】+【I】

图层操作

从对话框新建一个图层 【Ctrl】+【Shift】+【N】

以默认选项建立一个新的图层 【Ctrl】+【Alt】+【Shift】+【N】

通过拷贝建立一个图层 【Ctrl】+【J】

通过剪切建立一个图层 【Ctrl】+【Shift】+【J】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

与前一图层编组 【Ctrl】+【G】

取消编组 【Ctrl】+【Shift】+【G】

向下合并或合并联接图层 【Ctrl】+【E】

合并可见图层 【Ctrl】+【Shift】+【E】

盖印或盖印联接图层 【Ctrl】+【Alt】+【E】

盖印可见图层 【Ctrl】+【Alt】+【Shift】+【E】

将当前层下移一层 【Ctrl】+【[】

将当前层上移一层 【Ctrl】+【]】

将当前层移到最下面 【Ctrl】+【Shift】+【[】

将当前层移到最上面 【Ctrl】+【Shift】+【]】

激活下一个图层 【Alt】+【[】

激活上一个图层 【Alt】+【]】

激活底部图层 【Shift】+【Alt】+【[】

激活顶部图层 【Shift】+【Alt】+【]】

调整当前图层的透明度(当前工具为无数字参数的,如移动工具) 至【9】

保留当前图层的透明区域(开关) 【/】

投影效果(在”效果”对话框中) 【Ctrl】+【1】

内阴影效果(在”效果”对话框中) 【Ctrl】+【2】

外发光效果(在”效果”对话框中) 【Ctrl】+【3】

内发光效果(在”效果”对话框中) 【Ctrl】+【4】

斜面和浮雕效果(在”效果”对话框中) 【Ctrl】+【5】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

0】【

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

应用当前所选效果并使参数可调(在”效果”对话框中) 【A】

图层混合模式

循环选择混合模式 【Alt】+【-】或【+】

正常 【Ctrl】+【Alt】+【N】

阈值(位图模式) 【Ctrl】+【Alt】+【L】溶解 【Ctrl】+【Alt】+【I】

背后 【Ctrl】+【Alt】+【Q】

清除 【Ctrl】+【Alt】+【R】

正片叠底 【Ctrl】+【Alt】+【M】

屏幕 【Ctrl】+【Alt】+【S】

叠加 【Ctrl】+【Alt】+【O】

柔光 【Ctrl】+【Alt】+【F】

强光 【Ctrl】+【Alt】+【H】

颜色减淡 【Ctrl】+【Alt】+【D】

颜色加深 【Ctrl】+【Alt】+【B】

变暗 【Ctrl】+【Alt】+【K】

变亮 【Ctrl】+【Alt】+【G】

差值 【Ctrl】+【Alt】+【E】

排除 【Ctrl】+【Alt】+【X】

色相 【Ctrl】+【Alt】+【U】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

饱和度 【Ctrl】+【Alt】+【T】

颜色 【Ctrl】+【Alt】+【C】

光度 【Ctrl】+【Alt】+【Y】

去色 海棉工具+【Ctrl】+【Alt】+【J】

加色 海棉工具+【Ctrl】+【Alt】+【A】

暗调 减淡/加深工具+【Ctrl】+【Alt】+【W】

中间调 减淡/加深工具+【Ctrl】+【Alt】+【V】

高光 减淡/加深工具+【Ctrl】+【Alt】+【Z】

选择功能

全部选取 【Ctrl】+【A】

取消选择 【Ctrl】+【D】

重新选择 【Ctrl】+【Shift】+【D】

羽化选择 【Ctrl】+【Alt】+【D】

反向选择 【Ctrl】+【Shift】+【I】

路径变选区 数字键盘的【Enter】

载入选区 【Ctrl】+点按图层、路径、通道面板中的缩约图

滤镜

按上次的参数再做一次上次的滤镜 【Ctrl】+【F】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

退去上次所做滤镜的效果 【Ctrl】+【Shift】+【F】

重复上次所做的滤镜(可调参数) 【Ctrl】+【Alt】+【F】

选择工具(在“3D变化”滤镜中) 【V】

立方体工具(在“3D变化”滤镜中) 【M】

球体工具(在“3D变化”滤镜中) 【N】

柱体工具(在“3D变化”滤镜中) 【C】

轨迹球(在“3D变化”滤镜中) 【R】

全景相机工具(在“3D变化”滤镜中) 【E】

视图操作

显示彩色通道 【Ctrl】+【~】

显示单色通道 【Ctrl】+【数字】

显示复合通道 【~】

以CMYK方式预览(开关) 【Ctrl】+【Y】

打开/关闭色域警告 【Ctrl】+【Shift】+【Y】

放大视图 【Ctrl】+【+】

缩小视图 【Ctrl】+【-】

满画布显示 【Ctrl】+【0】

实际象素显示 【Ctrl】+【Alt】+【0】

向上卷动一屏 【PageUp】

向下卷动一屏 【PageDown】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

向左卷动一屏 【Ctrl】+【PageUp】

向右卷动一屏 【Ctrl】+【PageDown】

向上卷动10 个单位 【Shift】+【PageUp】

向下卷动10 个单位 【Shift】+【PageDown】

向左卷动10 个单位 【Shift】+【Ctrl】+【PageUp】

向右卷动10 个单位 【Shift】+【Ctrl】+【PageDown】

将视图移到左上角 【Home】

将视图移到右下角 【End】

显示/隐藏选择区域 【Ctrl】+【H】

显示/隐藏路径 【Ctrl】+【Shift】+【H】

显示/隐藏标尺 【Ctrl】+【R】

显示/隐藏参考线 【Ctrl】+【;】

显示/隐藏网格 【Ctrl】+【”】

贴紧参考线 【Ctrl】+【Shift】+【;】

锁定参考线 【Ctrl】+【Alt】+【;】

贴紧网格 【Ctrl】+【Shift】+【”】

显示/隐藏“画笔”面板 【F5】

显示/隐藏“颜色”面板 【F6】

显示/隐藏“图层”面板 【F7】

显示/隐藏“信息”面板 【F8】

显示/隐藏“动作”面板 【F9】

显示/隐藏所有命令面板 【TAB】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

显示或隐藏工具箱以外的所有调板 【Shift】+【TAB】

文字处理(在”文字工具”对话框中) 左对齐或顶对齐 【Ctrl】+【Shift】+【L】

中对齐 【Ctrl】+【Shift】+【C】

右对齐或底对齐 【Ctrl】+【Shift】+【R】

左/右选择 1 个字符 【Shift】+【←】/【→】

下/上选择 1 行 【Shift】+【↑】/【↓】

选择所有字符 【Ctrl】+【A】

选择从插入点到鼠标点按点的字符 【Shift】加点按

左/右移动 1 个字符 【←】/【→】

下/上移动 1 行 【↑】/【↓】

左/右移动1个字 【Ctrl】+【←】/【→】

将所选文本的文字大小减小2 点象素 【Ctrl】+【Shift】+【<】

将所选文本的文字大小增大2 点象素 【Ctrl】+【Shift】+【>】

将所选文本的文字大小减小10 点象素 【Ctrl】+【Alt】+【Shift】+【<】

将所选文本的文字大小增大10 点象素 【Ctrl】+【Alt】+【Shift】+【>】

将行距减小2点象素 【Alt】+【↓】

将行距增大2点象素 【Alt】+【↑】

将基线位移减小2点象素 【Shift】+【Alt】+【↓】

将基线位移增加2点象素 【Shift】+【Alt】+【↑】

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

将字距微调或字距调整减小20/1000ems 【Alt】+【←】

将字距微调或字距调整增加20/1000ems 【Alt】+【→】

将字距微调或字距调整减小100/1000ems 【Ctrl】+【Alt】+【←】

将字距微调或字距调整增加100/1000ems 【Ctrl】+【Alt】+【→】

切换图层模式 【shift】+【 + 】或【 - 】... 双击面板=Open file ctrl+双击面板=New file shift+双击面板=Save alt+双击面板=Open as ctrl+shift+=Save as ctrl+alt+o=实际像素显示

ctrl+h=隐藏选定区域

ctrl+d=取消选定区域

ctrl+w=关闭文件

ctrl+q=退出photoshop

F=标准显示模式→带菜单的全屏显示模式→全屏显示模式

按Tab键可以显示或隐藏工具箱和调色板，按“Shift+Tab"键可以显示或隐藏除工具箱外的其它调色板。

ESC=取消操作

可以通过按键盘上的某一字母键来快速选择某一工具，各个工具的字母快捷键如下：Mar-quee-M, Lasso-l, Airbrush-a, Eraser-E, Rubber

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

Stamp-S, Focus-R, Path-P, Line-N, Paint Bucket-K, Hand-H, Move-V, Magic Wand-W, Paintbrush-B, Pencil-Y, Smudge-U, Toning-O, Type-T, Gradient-G, Eyedropper-I, Zoom-Z, Default Colors-D, Switch Colors-X, Standard Mode-Q, Quick Mask Mode-Q,

使用其它工具时，按住Ctrl键可切换到Move工具的功能(除了选择Hand工具时);按住空格键可切换到Hand工具的功能。

使用其它工具时，按“Ctrl+空格键”可切换到Zoom In工具放大图像显示比例：按“Alt+Ctrl+空格键”可切换到Zoom Out工具缩小图像显示比例。

按“Ctrl+[+]"键可使图像文件持续放大显示比例，但窗口不随之放大;按“Ctrl+[-]”键可使图像文件持续缩小显示比例，但窗口不随之缩小。

按“Ctrl+Alt+[+]”键可使图像文件持续放大显示比例，且窗口随之放大;按“Ctrl+Alt+[-]”键可使图像文件持续缩小显示比例，且窗口随之缩小。

在Hand工具上双击鼠标可以使图像匹配窗口的大小显示。

按“Ctrl+Alt+[数字键0]”或在Zoom工具上双击鼠标可使图像文件以1：1比例显示。

按“Shift+Backspace”键可直接调用Fill(填充)对话框。

按“Alt+Backspace(delete)”键可将前景色填入选取框，按“Ctrl+Backspace(delete)”键可将背景色填入选取框内

在Layers、Channels、Paths调色板上，按Alt单击这些调色板底部的

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

工具图标时，对于有对话框的工具可调出相应的对话框来更改设置。

移动图层和选取框时，按住Shift键可做水平、垂直或45度角的移动，按键盘上的方向键可做每次lpixel的移动，按住Shift 键再按键盘上的方向键可做每次10pixel的移动。

在使用选取工具时，按Shift键拖动鼠标可以在原选取框外增加选取范围(开集);按Alt键拖动鼠标可以删除与原选取框重叠部分的选取范围;同时按Shift与Alt键拖动鼠标可以选取与原选取框重叠的范围(交集)。

调用Curves对话框时，按住Alt键于格线内单击鼠标可以增加网格线，提高曲线精度。

更改某一对话框的设置后，若要恢复为默认值，只要按住Alt键，Cancel键会变成Reset键，在Reset键上单击即可。

若要将某一图层上的图像拷贝到尺寸不同的图像窗口中央位置时，可以在拖动鼠标的同时按住Shift键，图像拖动到目的窗口后会自动居中。

若要将图像用于网络传输，可将图像模式设置为Indexed Color索引色彩色模式，有文件小、传输快的优点，如果再选择GIF89a Export(GIF输出)，可以设置透明的效果，并将文件保存成GIF格式。

在使用自由变形(Layer/Free Transform)功能时，按Ctrl键并拖动某一控制点可以进行随意变形的调整;“Shift+Ctrl”键并拖动某一控制点可以进行倾斜调整;按Alt键并拖动某一控制点可以进行对称调整;按“Shift+Ctrl+Alt”键并拖动某一控制点可以进行透视效果的调整。

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

在layers调色板上，按住Ctrl用鼠标单击某一图层时，可载入该层图像成选取框(Background层除外，改名后可以)。

使用路径(Path)工具时的几个技巧：使用笔形(Pen)工具制作路径时按住Shift键可以强制路径或方向线成水平、垂直或45度角，按住Ctrl键可暂时切换到路径选取工具，按住Alt键将笔形光标在在黑色节点上单击可以改变方向线的方向，使曲线能够转折;按Alt键用路径选取(Direct Selection)工具单击路径会选取整个路径;要同时选取多个路径可以按住Shift后逐个单击;使用路径选工具时按住“Ctrl+Alt”键移近路径会切换到加节点与减节点笔形工具。

若要切换路径(path)是否显示，可以按住Shift键后在路径调色板的路径栏上单击鼠标, 或者在路径调色版灰色区域单击.

若要一起执行数个宏(Action),可以先增加一个宏，然后录制每一个所要执行的宏。

若要在一个宏(Action)中的某一命令后新增一条命令，可以先选中该命令，然后单击调色板上的开始录制(Begin recording)图标，选择要增加的命令，再单击停止录制(Stop recording)图标即可。

在使用Filter/Render/Clouds滤镜时，若要产生更多明显的支纹图案，可先按住Alt键后再执行该命令;若要生成低漫射支彩效果，可先按住Shift键后再执行命令。

在使用Filter/Render/Lighting Effects滤镜时，若要在对话框内复制光源时，可先按住Alt键后再拖动光源即可实现复制。

若要在Color调色板上直接切换色彩模式，可先按住Shift键后，再将

精心收集

精心编辑

精致阅读

如需请下载!

演讲稿 工作总结 调研报告 讲话稿 事迹材料 心得体会 策划方案

光标移到色彩条上单击即可

精心收集

精心编辑 精致阅读 如需请下载!

第四篇：新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）

基本不等式

知识点：

1. (1)若a,bR，则ab2ab

ab时取“=”) 22(2)若a,bR，则abab222(当且仅当

2. (1)若a,bR*，则

ab时取“=”) ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab (当且仅当

ab(3)若a,bR，则ab) (当且仅当ab时取“=”

2*

23.若x0，则x

若x0，则x1x

1x) 2 (当且仅当x1时取“=”2 (当且仅当x1时取“=”)

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”)

xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”)若ab0，则

ba

a

b2即a

bb

a2或

2ab2ba() -2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则(

注意： ab2)2ab2(当且仅当ab时取“=”)

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

(1)y=3x 2+

12x 21(2)y=x+ x

解：(1)y=3x 2+1

2x 2 ≥23x 2·12x 2=6∴值域为[6 ，+∞)

1(2)当x>0时，y=x ≥2x1x·=2; x

11

当x<0时， y=x+= -(- x-)≤-

2xx∴值域为(-∞，-2]∪[2，+∞)

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54x·=-2 x

，求函数y

4x2

14x5

的最大值。

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，

x

54,54x0，y4x2

4x5

不是常数，所以对4x

21

54x

4x554x

231 

3

当且仅当54x

154x

，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x

)的最大值。 解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，

此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将

yx

(82x)凑上一个系数即可。

当

，即x=2时取等号当x=2时，yx(82x)的最大值为8。

32

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。 42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。

当

,即

时

,y59(当且仅当x=1时取“=”号)。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。 y

(t1)7(t1)+10

t

=

t5t4

t

t4t

5

当,即t=时

,y59(当t=2即x=1时取“=”号)。

例：求函数y

的值域。

t(

t2)，则y

1t

1t

t

1t

(t2)

因t0,t1，但t因为yt

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

52

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y

5



。

所以，所求函数的值域为,。

2

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知x0,y0，且

1x9y

1x

1，求xy的最小值。

9y

1x

9

xyy

12故

错.解.：x0,y0，且

1，

xy



xymin

12 。

等号成立条件

是xy，在

错因：解法中

两次连用均值不等式，在xy1x

9y

1x



9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，

在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xy

xy

xy

当且仅当技巧七

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12时， xymin16 。

例：已知x，y为正实数，且x =1，求1+y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

221+y中y前面的系数为，x

y 2

a 2+b 2

。

1+y 22· =2

同时还应化简1+y 2 =x

x·

1y 2

+22

1y 2

+分别看成两个因式： 22x 2+(

1y 2

+ )22222

x 2+ =

y 22+

下面将x，

x·

1y 2

+ ≤22

=即x

1+y 2 =2 ·x

1y 23+≤224技巧八：

已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值.

ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30-2b-2 b 2+30b

法一：a=，ab=·b=

b+1b+1b+1由a>0得，0

∴ ab≤18∴ y≥

118

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。

2 ab

-2t 2+34t-31

1616

=-2(t+)+34∵t+ ≥2

16

t·

30-2b

tttt

法二：由已知得：30-ab=a+2b∵ a+2b≥22 ab∴ 30-ab≥2令u=ab则u2+22 u-30≤0， -5∴

2 ≤u≤3

ab≤32 ，ab≤18，∴y≥

ab2

18

ab(a,bR)的应用、不等式的解法及运算能力;②



点评：①本题考查不等式





如何由已知不等式aba2b30(a,

bR)出发求得ab

的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

2ab(a,bR)，这样将已知条件转换



为含ab的不等式，进而解得ab的范围

.技巧

九、取平方

例:

求函数y



12x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y

44(2x

1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x

32

时取等号。故ymax。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且

abc1。求证：



111

1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。

a

a

a

a

解：a、b、cR，abc1。



1a

1

1aa



bca



a

。同理

1b

1

b

，

1c

1

c

1111。当且仅当时取等号。 abc1118

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令xyk,x0,y0,

10k

3k

1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



9xky

1

12

。k16 ，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,P

lgalgb,Q

12

(lgalgb),Rlg(

ab2

)，则P,Q,R的大小关系

是.

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

12

(lgalgb)

ab2

)lg

lgalgbp

12

lgabQ∴R>Q>P。

Rlg(ab

第五篇：小学数学公式(调整格式)

数学公式

一.数量关系

1、 每份数×份数=总数

总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数

2、 1倍数×倍数=几倍数

几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数

3、 速度×时间=路程

路程÷速度=时间

路程÷时间=速度

4、 单价×数量=总价

总价÷单价=数量

总价÷数量=单价

5、 工作效率×工作时间=工作总量

工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率

6、 加数+加数=和

和=加数+加数

7、 被减数-减数=差

被减数-差=减数

减数+差=被减数

8、 因数×因数=积

积÷一个因数=另一个因数

9、 被除数÷除数=商

除数=被除数÷商

被除数=商×除数

二.图形计算公式

1 、正方形：

C：周长 S：面积 a：边长

周长=边长×4

C=4a 面积= 边长×边长

S=a×a 2 、正方体：

V:体积

a:棱长

表面积 =棱长×棱长×6

S=a×a×6 体积 =棱长×棱长×棱长

V=a×a×a 3 、长方形 ：

C：周长 S：面积 a：边长

周长= (长+宽)×2

C= 2(a+b) 面积= 长×宽

S= ab 4 、长方体：

V:体积

s:面积

a:长

b: 宽

h:高

表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2

S = (ab+ah+bh) ×2 体积=长×宽×高

V = abh

5 、三角形：

S：面积 a：底 h：高

面积=底×高÷2

S =ah÷2

三角形高h= 面积×2÷底

h= S×2÷a 三角形底a= 面积×2÷高

a= S×2÷h

6、 平行四边形：

S：面积 a：底 h：高 面积=底×高

S=ah 7 、 梯形：

S：面积 a：上底 b：下底 h：高

面积=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)× h÷2

8、

圆形：

S：面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径

周长= ∏×直径=2×∏×半径

C= ∏d

=2∏r

面积=半径×半径×∏

S= r×r×∏ 9 、 圆柱体：

v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长

侧面积=底面周长×高

表面积=侧面积+底面积×2

v体积=底面积×高

v体积=侧面积÷2×半径

10 、圆锥体： v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径

v体积=底面积×高÷

三、换算

1.长度单位换算

1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1米=100厘米

1厘米=10毫米

2.面积单位换算

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

3.体(容)积单位换算

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升

4.重量单位换算

1吨=1000 千克

1千克=1000克 1千克=1公斤

5.人民币单位换算

1元=10角

1角=10分

1元=100分

6.时间单位换算

1世纪=100年

1年=12月

大月(31天)有:135781012月

小月(30天)的有:46911月

平年2月28天, 闰年2月29天

平年全年365天, 闰年全年366天

1日=24小时

1时=60分

1分=60秒

1时=3600秒