趣谈博弈中的概率问题

2022-09-11

概率论是研究随机现象的一门数学分科。随着上世纪中叶概率论公理化 (概率的公理化是指将概率概念从频率解释抽象出来, 同时又可以从形式系统再回到现实世界) 的完成, 概率论为其他数学理论分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具, 也成为许多应用数学如信息论、对策论、控制论等学科的基础。随着近几十年来科技的不断发展, 概率论更是广泛地应用于国民经济、工农业生产、国防、航天等众多领域。而就是这样一门数学分支却是起源于博弈问题。历史上有许多著名的博弈问题就曾引发过从民众到数学家的大讨论。

1 分赌注问题

15世纪末叶, 意大利出版的一本关于计算技术的教科书中就曾提出了著名的“分赌注问题”。两人赌博, 事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果甲已经赢4局, 而乙赢了3局时因故要终止赌博, 应如何分赌金?曾有人认为由于甲胜4局, 乙胜3局, 所以赌金应按4∶3的比例分给甲乙双方。当然这样貌似合理的分配方案很快受到了质疑。如果事先约定要赢16次才算最终胜利, 而甲已经赢了15局, 乙赢了12局, 按上述方法, 甲乙取得的赌金应为15∶12, 也就是说两个人分得的赌金相差不多。但实际上, 甲只要再胜1局就能得到全部赌金, 而乙要连胜4局才行。这样看来上面将赌金“几乎”平分的分配方案明显是不公正的。参赌者自己无法解决这样的问题, 于是他们将问题抛给了数学家, 寻求他们的帮助。

1654年左右, 法国数学家费马和帕斯卡在一系列通信中讨论了合理分配赌金的问题, 并用组合方法给出正确解答。实际上, 最多再赌4局就能确定谁是最终的赢家。而4次赌博的所有可能有种, 其中乙成为最后赢家的可能有其中的5种情况。用“甲”代表甲胜, 用“乙”代表乙胜, 这5种可能情况为:甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲、乙乙乙乙。则甲成为最后的赢家的可能就有11种情况。因此甲乙瓜分赌金的比例应为11∶5, 而不是4∶3。

2 蒙特霍尔问题 (Monty Hall Problem)

在美国的一档名为“Let's Make a Deal”的电视游戏节目中, 主持人蒙特霍尔给参赛者看到紧闭的三扇门, 门后分别有两只山羊和一辆汽车。主持人让参赛者从三扇门中选择一个, 参赛者可以拿走门后的奖品。当然每个人都希望得到汽车, 但参赛者只能凭运气选择。假定参赛者选定了1号门, 此时主持人打开了剩下两扇门中的一个, 假定打开了2号门, 门后是山羊。这里要说明的是主持人事先知道汽车藏在几号门中, 并且他总会打开那扇藏着山羊的门。主持人给了参赛者一次改变选择的机会。参赛者是该坚持选择1号门, 还是换成3号门呢?

大多数人面临这样的挑战都会坚持原来的选择, 因为2号门后是山羊, 那么汽车藏在1号门和3号门中的概率都是1/2, 因此也就没必要改变主意了。事实果真如此吗?对于参赛者而言, 选中汽车是个随机事件, 不管选哪扇门中大奖的概率都为1/3。但对主持人而言, 由于事先知道了汽车的所在, 所以在主持人的参与下, 这个问题就不再适用于古典概型的随机事件概率的计算方法了。在符合前面提到的条件下, 符合要求的情况一共有4种。如表1。

在第1种及第2种情况下, 参赛者改变选择将失去大奖, 在剩下两种情况下, 改变选择将获得大奖。看起来列表的结论好像也在支持“没必要改变选择”。但实际上这四种情况并不是等可能出现的。参赛者随机选中汽车的概率为1/3, 3号门中为山羊A的概率为1/2, 则出现第1种情况的概率为1/3×1/2=1/6, 对于第2种情况概率也理应为1/6。若参赛者选中了山羊A, 由于打开的门中不能为汽车, 所以剩下两扇门后所藏的物品就是唯一确定的了, 因此出现第3、4种情况的概率都为1/3。也就是说改变选择后得到汽车的概率为2/3, 而坚持原来的选择得到汽车的概率只有1/3。也许有人认为这样的结论难以置信, 但从上万学生参与的试验结果及计算机模拟试验的结果来看都有力的支持了上面的结论。

3 斗地主中的概率问题

斗地主是近年来很流行的一种扑克玩法。一般为三人打一副牌, 其中一人为地主, 剩下两人为佃户。地主手中有20张牌, 两个佃户手中各有17张牌。问题是双王出现在一个人手中的概率为多少呢?斗地主的规则是先每人拿17张牌后留下3张底牌, 再根据不同的规则来叫地主, 叫到地主的一人拿走3张底牌。在这里3张底牌中是否有王, 有几个王及叫地主的规定都将影响双王出现在一个人手中的概率, 因此不妨简单处理。不管三人中谁当地主, 底牌最后还是要拿走, 所以可以认为底牌被随机地分为了三份, 分别有20、17、17张牌。

那么地主拿到双王的概率是多少呢?问题并不复杂, 就是求54张牌中有两个王, 从中任取20张, 其中有两张王的概率。20张牌中王牌的个数服从超几何分布。

因此这个概率为:

佃户拿到双王的概率又该如何计算呢?道理和上面一样, 所求概率为:

而在实战中双王和4个一样的牌同为炸弹, 并且双王是所有炸弹中最大的, 这样的规则又是否“合理”呢?所谓的合理, 从数学的角度来看应该认为是越大的牌对应出现的概率越小。比如在扑克游戏“梭哈”里就规定同花顺胜四条, 四条胜富尔豪斯, 富尔豪斯胜同花, 同花胜顺子。美国斯坦福大学教授、概率论专家钟开莱先生及拉斯维加斯的赌博专家就对这个问题进行了计算。

果然出现这5种牌型的概率是从小到大排列, 是符合概率论的理论的。而上面提到的问题也很容易解答, 只要把双王看成是普通的牌, 其实不用进行精确地计算就可以判断出双王出现在一个人手中的概率明显大于四个一样的牌出现在一个人手中的概率。那么规定双王最大就不合概率论的道理, 只不过是人们的一种规定罢了。

摘要：概率论是研究随机现象的一门数学分科。它起源于博弈问题。历史上有许多著名的博弈问题就曾引发过从民众到数学家的大讨论。本文对历史上著名的分赌注问题、蒙特霍尔问题、及现今流行的斗地主中的概率问题进行了探讨。

关键词：概率论,分赌注问题,蒙特霍尔问题,斗地主中的概率问题,合理