有关概率问题的高考题型及思路分析

1 等可能事件的概率

例1: (06年山东卷) 盒中装着标有数字1, 2, 3, 4的卡片各2张, 从盒中任意抽取3张, 每张卡片被抽出的可能性都相等, 求:

(Ⅰ) 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率;

(Ⅱ) 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率;

(Ⅲ) 抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。

解: (Ⅰ) “抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A, 由题意得:

(Ⅱ) “抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B, 则

(Ⅲ) “抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C, “抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D, 由题意, C与D是对立事件, 因为

思路: (1) 此类问题关键在于正确求出n, m进而运用公式。在求n, m时要注意利用排列, 组合等知识。 (2) 灵活运用对立事件的概念, 有时可以简化运算过程。

2 互斥事件有一个发生或相互独立事件同时发生的概率

例2: (06年四川卷) 某课程考核分理论与实验两部分进行, 每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”, 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”, 甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为;在实验考核中合格的概率分别为, 所有考核是否合格相互之间没有影响 (Ⅰ) 求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (Ⅱ) 求这三人该课程考核都合格的概率。 (结果保留三位小数)

解:记“甲理论考核合格”为事件A1;“乙理论考核合格”为事件A2;“丙理论考核合格”为事件A3;记为Ai的对立事件, i=1, 2, 3;记“甲实验考核合格”为事件B1;“乙实验考核合格”为事件B2;“丙实验考核合格”为事件B3; (Ⅰ) 记“-理论考核中至少有两人合格”为事件C, 记为C的对立事件。

解法1:

解法2:

所以, 理论考核中至少有两人合格的概率为 (Ⅱ) 记“三人该课程考核都合格”为事件

所以, 这三人该课程考核都合格的概率为0.254

思路: (1) 正确分清互斥事件与相互独立事件是解决此类问题的关键。

(2) 只有当事件A, B互斥时, 才能运用公式P (A+B) =P (A) +P (B) ;只有当事件A, B相互独立时, 才能运用公式P (A·B) =P (A) ·P (B) 。

(3) “至少”型的问题一般有正向思考与逆向思考两种思路。逆向思考可使一些较为复杂的问题得到简化。

3 离散型随机变量的概率分布和数学期望

例3: (06年重庆卷) 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数。求: (Ⅰ) 随机变量ξ的分布列; (Ⅱ) 随机变量ξ的期望。

解: (1) ξ的所有可能值为0, 1, 2, 3, 4, 5。由等可能性事件的概率公式得

从而, ξ的分布列为

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得ξ的期望为

思路:此类问题只需正确求出随机变量在某一范围内取值时所对应的概率, 再运用公式计算即可。

4 等概率抽样

例4: (06年湖北卷) 某单位最近组织了一次健身活动, 活动分为登山组和游泳组, 且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中, 青年人占42.5%, 中年人占47.5%, 老年人占1 0%。登山组的职工占参加活动总人数的, 且该组中, 青年人占5 0%, 中年人占40%, 老年人占10%。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度, 现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定 (Ⅰ) 游泳组中, 青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ) 游泳组中, 青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。解: (Ⅰ) 设登山组人数为, 游泳组中, 青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c, 则有解得b=50%, c=10%。故a=100%-50%-10%=40%.即游泳组中, 青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%。 (Ⅱ) 游泳组中, 抽取的青年人数为抽取的中年人数为人抽取的老年人数为10%=15 (人) 。思路: (1) 用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时, 每个个体被抽到的概率都等于。 (2) 在分层抽样中, 每一层进行抽样时, 都采用简单随机抽样或系统抽样, 因此, 也是等概率抽样。

摘要：有关概率问题的题目, 在每年高考中都占有一席之地。下面就高考中出现的与概率有关的问题及解题思路, 作一归纳, 难免挂一漏万, 供读者参考.

关键词：高考题型思路