二倍角公式评课稿免费

二倍角公式评课稿免费（共8篇）

篇1：二倍角公式评课稿免费

评xxx老师上 《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课

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中学

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2012年4月12日（星期四），我们备课组有幸听了xxx老师上的课——《二倍角公式》，我们深深地体会到新课程不仅要求教师的观念要更新，而且要求教师的角色要转变，同时新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。xxx老师这节课的教学设计既符合数学的学科特点,也符合学生的心理和思维的发展特点，设计主题鲜明，思路清晰，课堂节奏把握较好，各环节紧扣，层层推进，在教法上，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。具体我认为有以下特点：

1、新课改的核心理念是：以学生发展为本。xxx老师这节课以复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.的设计流程，去体现“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式。让学生在由和角公式探究出倍角公式的过程中感受一般化归为特殊的基本数学思想方法，学生的印象是极其深刻的。

2、本节课的重要内容是二倍角公式的应用，故xxx老师设计了该公式的正用、逆用及变形应用，从而让学生在直接正用公式的基础上去发现数学规律，逐步掌握灵活运用的方法，这种引导是否成功是教学的关键所在，经当堂检测效果是非常好的。

3、教学过程中学是中心、会学是目的，本节课通过“探索特殊情形、发现数学规律、主动学习应用”的创新式学习方法，增强了学生的参与意识，使学生真正成为学习的主人，真正体会学习数学的成就感。

4、由于二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广泛，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。但是公式的推导本身相当简单，难点在于公式的应用。它对于学生的思维及能力是一个相当大的挑战。毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。因此，xxx老师的练习设计从简到繁，由易到难，层层推进，全方位、多层次，既遵循了学生的认知规律，又尊重和关注了全体学生，使全班学生都能全面发展。

5、xxx老师在整个课堂教学过程中，始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，非常圆满完成了本节内容的教学任务。并且，十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。另外从学生的角度来说，通过二倍角公式的学习和应用，使

他们体会到化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用，也使学生进一步掌握联系变化的观点，并自觉运用它来分析和解决问题；并且他引导学生领悟了寻找数学规律的方法，培养了学生的创新意识以及善于发现、勇于探索的科学精神，学生灵活运用公式及计算能力也得到了加强。

总之，xxx老师节内容的教学是非常成功的，在本堂课中新课程的理念得到了很好的体现，教学方法多样、贴切，教学的过程中体现出“两个过程”，即注意到以数学知识的发生发展过程和学生认识数学知识的思维过程为依据设计教学进程，突出了教学重点，突破了教学难点，另外也展示了教师扎实的基本功和优秀的专业素养。

通过听课，我清醒的认识到：在今后的教学工作中，作为年轻教师，我们需不断总结、反思。一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，做一名真正合格的人民教师。

篇2：二倍角公式评课稿免费

正弦二倍角公式：

sin2α=2cosαsinα

推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2]1+sin2A=(sinA+cosA)^2

余弦二倍角公式：

余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：

1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]

2.Cos2a=1-2Sina^2

3.Cos2a=2Cosa^2-1

推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1

篇3：正切二倍角公式的妙用及其推广

关键词：正切二倍角公式,正切n倍角公式,三角函数,应用

正切二倍角公式是高中数学三角函数模块的基本公式之一, 试题主要考察的是利用二倍角公式计算特殊角度的正切值, 以及利用公式证明三角恒等式, 等等.类似的练习不仅是为了使学生熟练掌握和运用公式, 还应要求学生达到更高的认知水平, 实现知识迁移, 应用于更宽广的领域.为此, 应努力引导学生在练习普通习题的基础上积极钻研, 深入研究, 领悟透彻正切二倍角公式的本质, 把握其数学结构. 笔者研究总结出正切二倍角公式相关的妙用及其推广, 相信对此进行进一步研究有助于提高学生对正切二倍角公式的认识水平, 拓宽视野.

提到正切二倍角公式的妙用, 就不应拘泥于三角函数符号, 而要看清其数学结构.对于形如的分式, 可令a=tanα, b=tanβ, 反用正切二倍角公式 , 从而将转化为tan (α-β) , 为问题的解决提供新思路, 收到意想不到的效果.下述例题的解法就彰显了这种技巧的威力.

【例1】对任意的8个实数x1, x2, … , x8 (x1<x2<…<x8) , 必然存在xi, xj (1≤i, j≤8, i≠j) , 使得

解 : 分析的结构 , 可令xi=tanαi, 则

将区间 (-π/2, π/2) 按区间长平均分为7份 , 每份的区间长为π/7, 即分为 (-π/2, -5π/14], (-5π/14, -3π/14], …, (5π/14, π/2) .

由鸽笼原理, 8个x1对应的反正切值α1必有两个落在同一区间, 所以必有αi, αj满足, 于是

所以, 必然存在xi, xj (1≤i, j≤8, i≠j) , 使得

ij正切函数tanα中α不一定是45°、60°这些简单的角度, 在学习过程中切忌形成这种刻板的印象. 在形如arctana+arctanb的式子中, 若能正确认识到arctana也表示角度, 则可利用正切二倍角公式, 除去arctan, 实现“解套”的目的.下述例题的解法就彰显了这种技巧的威力.

【例2】找出2个正整数a, b使得

考虑更多变量, 可将正切二倍角公式推广为n倍角公式.易用数学归纳法证明以下定理:

上述题目的解法篇幅很短, 但有“四两拨千斤”的效果, 主要原因在于正切二倍角公式的灵活运用. 如果能摆脱三角函数符号的束缚, 认清相关数学结构, 勤加思考, 那么相信读者会对正切二倍角公式有新的认知.

参考文献

[1]姚晶.三角函数[M].第1版.上海:百家出版社, 1992.

篇4：二倍角公式评课稿免费

本节内容是三角函数的重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际运用，在高考中占有相当大的比例。

二、学情分析

1.学生已有的知识结构：掌握了两角和的正弦、余弦和正切公式；

2.教学对象：高一年级学生，学习兴趣浓厚，具有一定的逻辑思维能力，有较强的分析和解决问题的能力；

3.从学生的认识角度来看：公式推导比较容易，但灵活运用公式难度较大。

三、教学目标

1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，从中探索数学规律的过程。

2.掌握和灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的“倍”的变换、“换元”等体现思维的灵活性，提高学生的推理能力和解决问题的能力。

3.通过一题多变、一题多解的形式，提升课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和数学情感。

四、教学重点、难点

重点：在掌握两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

难点：二倍角的灵活运用。

五、教法学法分析

本节课采用了引导式和探索式相结合的教学方法，让老师的主导作用和学生的主体作用得到充分发挥，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，形成完整的数学模型，还课堂以生命力，还学生以活力。

六、课堂设计

复习导入：让学生回忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式，思考1：你能利用C（α±β），S（α±β），T （α±β）推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？

1.二倍角公式的作用是用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

2.二倍角公式仅限于2α是α的二倍的形式，形如4α是2α的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，“倍角”的意义是相对的。

3.熟悉“倍角”与“二次”的关系

二倍角公式的变形：

七、教学反思

本节课设计合理，层次分明。教学过程体现以培养学生的观察和探究能力为本，遵循学生现有的认知规律，体现因材施教的教学原则。通过例题的灵活变形，一题多解等方法激发学生的学习兴趣，使学生在问题解决的探索过程中积极主动。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，又注重学生学习方法的指导，加强学生的应用意识，引导学生发现数学公式的美，让学生热爱数学，快乐地学习数学。

篇5：二倍角公式的运用

教学内容：导数的应用

（一）【学习目标】

利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值、函数在连续区间［a，b］上的最大（小）值，培养数学思维能力．

【高考试题剖析】

91．曲线y＝x在点（3，3）处的切线倾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函数f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的单调性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数． 【答案】增函数

3．函数y＝1＋3x－x3有（）A．极小值－1，极大值1

B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2

D．极小值－1，极大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函数y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）检验知，当x＝2时，y极小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面说法正确的是（）

A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C．对于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，则f（x）无极值 D．函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值

【解析】极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，因此，极大值不一定是最大值，A错．由于函数的最值可能在端点取得，因此最大值不一定是极值，B错．

22对于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，当|p|<6时无实根，而f（x）在R内可导，因此f（x）无极值．

【答案】C 【典型例题精讲】

1［例1］研究函数f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的单调性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2b当a＞0时，f′（x）＞0，则x＜

2b33a或

22xbb33a，2bf′（x）＜0时，b33a2xbb33ab32，(,所以f（x）在在[bb3a2b2b33a],[b3a,)上单调递增，3,bb3a3]上单调递减．

[当a＜0时，同样可得f（x）在bb3bb3,]3a3a上单调递增，b3222bb323a3a在（－∞，＋∞）上单调递减．

432［例2］偶函数f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P（0，1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的极值．

【解】（1）∵f（x）是偶函数，∴b＝d＝0．又图象过点P（0，1），则e＝1，此时f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切线的切点（1，－1）在曲线上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[ba52,c92，∴

f(x)52x4923x12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通过列表可知：

341当x＝±10时，f（x）极小＝－40

当x＝0时，f（x）极大＝1 1［例3］曲线y＝3x6上哪一个点的法线在y轴上截距最小?（所谓法线是指：过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）

1【解】在曲线y＝3x6上任取一点（x，y），过该点切线的斜率为k＝2x5

1∴法线的斜率为－2x．

51∴法线的方程为Y－y＝－2x（z－x）

5Yy令z＝0，得法线在y轴上的截距：

12x4x6312x

4xx则

令Y′＝0，得x＝±1 当x＜－1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当－1＜x＜0时，Y′＞0，则Y单调增加； 当0＜x＜1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当x＞1时，Y′＞0，则Y单调增加； Y2x5252(x1051)51从而当x＝±1时，Y取得最小值为6，此时点（±1，3）为所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f（1）＝－1，（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

【分析】考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）＝0的根建立起由极值点x＝±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)xxx(x1)(x1)22，∴f′（x）＝222（2）

当x<－1或x>1时f′（x）>0，当－1

【注】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．

［例5］证明方程sinx＝2x只有一个实根：x＝0．

【证明】构造函数f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数． 由①、②、③解得：

a1,b0,c3a12,b0,c3又当x＝0时，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一实根x＝0． 【注】本题体现了函数思想的应用．

【达标训练】

1．函数y＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（）A．有极大值

B．有极小值 C．无极值

D．无法确定极值情况

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但当x∈（－∞，－1）时，y′<0，当x∈（－1，0）时，y′<0，因此当x＝－1时无极值．

【答案】C 2．设y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，则a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意实数 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函数y＝sin2x－x，x∈

[,22上的最大值是___________，最小值是_________．

32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(而端点6)326,f(6)6 ,f(2),f()222

所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函数f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上单调递增，则a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求证：当|x|≤2时，|3x－x3|≤2． 【证明】设f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）当x＝±1时，f′（x）＝0 当x＜－1时，f′（x）＜0 当－1

16．设f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；

（2）当x∈［－1，2］时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函数的单调增区间为（－∞，－3）、（1，＋∞），单调减区间为（－3，1）（2）原命题等价于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函数y＝xlnx的极值． f(1)11,f(2)522,f(1)72，1【解析】定义域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

212121212令y′＝0，得：x＝e时，y′>0，12，当0e∴y在（e12，＋∞）上是增函数．

1211∴x＝e时，y有极小值（e）2（－2）＝－2e．

【解题指导】

掌握求给定函数的单调区间、极值、最值的一般方法，会求已知曲线在指定点处的切线的斜率．

【拓展练习】 备选题

1．求y＝excosx的极值．

【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

35当x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）时，y′<0，f（x）为减函数；当x∈（2kπ－4π，2kπ＋4），k∈Z时，y′>0，f（x）为增函数，因此，当x＝2kπ＋4（k2∈Z）时，y有极大值2·e2k4（k∈Z）．

52当x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，y有极小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m为常数），在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值为f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函数y＝3x2－2lnx的单调增区间为_____；减区间为_____． 【解析】函数的定义域为：（0，＋∞）

42k52300，得x>3，∴单调增区间为（3，＋∞），由y′<0，得

3∴单调减区间为（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲线y＝4－x2（x>0）上与定点P（0，2）距离最近的点． 【解】设曲线y＝4－x2上任意一点为Q（x，y），则

4|PQ|＝

2423设f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，则f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x0)(y2)22x2(2x)22x43x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又当0

32时取极小值，因为f（x）只有一个极3当x>2时，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值点，因此该极小值也是最小值，相应地|PQ|也取得最小值，这时Q点坐标为（22），35,22）即与点P（0，2）最近的点是Q（．

注：如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点（单峰函数），那么极小值即为最小值，极大值即为最大值．

学科：数学 教学内容：导数的应用

（二）【学习目标】

利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力．

【高考试题剖析】

x1）的单调性是______________．

lgelgex2(1xx)(1)222xx11x 【解析】y′＝xx1lge021x，所以f（x）在R上是增函数． 1．函数f（x）＝lg（x＋【答案】增函数

212．已知一直线切曲线y＝10x于x＝2，且交此曲线于另一点，则此点坐标___________．

313【解析】∵k＝y′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切点为（2，0.8），切线方程为6x－5y－8＝0

x2x4,联立解得y0.8y6.4 所以另一交点为（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等边三角形当高为8 cm时，其面积对高的改变率是__________． 13xy106x5y801【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函数y＝x3＋3x2－24x＋12的极小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，检验知：当x＝2时，y取极小值－16． 【答案】－16

【典型例题精讲】

1［例1］当x＞0时，证明ln（1＋x）＞x－2x．

21【证明】设f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定义域为（－1，＋∞），1x1f′（x）＝x1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函数

由增函数定义知：当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 x1x201所以当x＞0时，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］设f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，则f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此时f（x）只有一个单调区间，矛盾；若a＝0，则f′（x）＝1>0，此时f（x）仍只有一个单调区间．

2(x若a<0，f′（x）＝3a·

13a)(x113a，综上可知a<0时，f（x）恰有

113a，＋∞），增区间为（－

3a)三个单调区间，其中减区间为（－∞，－

3a）和（，13a）．

［例3］用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积? 【解】设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x＋0.5）m，高为（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 设容器的容积为y m3，则有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使y′＝0，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x＝1时，ymax＝1.8，此时高1.2 m．

3【答】容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m． ［例4］一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

33【解】设船速为x（x>0）公里/小时，燃料费是Q元，则Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，总费用y＝（500x2＋96）·x3500x2966x，∵y′＝500x96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于该函数在（0，＋∞）内有惟一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值．因此，当船速为20公里/小时时，航行每公里的费用总和最小．

［例5］直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得单调增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得单调减区间为（－1，＋1），检验知x＝1时，f（1）＝－2是极小值，当x＝－1时，f（－1）＝2是极大值，结合图象知：

当－2

【达标训练】

1．证明双曲线xy＝a2上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．

a2【证明】设y＝x上任一点为Q（x0，y0），则

ky|xx0ax22|xx0a22x0，∴切a22线方程为：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，则xx0y0x0a22x0ax0a2222x0

yy0令x＝0，则

a2x02

x0y0ax02a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

22．当0

【证明】令f（x）＝x－sinx，则当0＜x＜2时，f′（x）＝1－cosx＞0 ∴f（x）在（0，2）上单调增加，而f（0）＝0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－x，∴ｇ′（x）＝cosx－

当0＜x＜arccos时，ｇ′（x）＞0，则ｇ（x）单调增加；

2＝0

当arccos＜x＜2时，ｇ′（x）＜0，则ｇ（x）单调减小，而f（0）＝f（2）2∴当0＜x＜2时，ｇ（x）＞0，即sinx＞x．

2综上，当0＜x＜2时，x＜sinx＜x．

3．如图11—1，扇形AOB中，半径OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB面积最小？

【解】设OC＝x（x＞0），过D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x1）

x2∴S′＝1－2x1＝0，∴x＝23

2所以当OC＝3时，直角梯形OCDB面积最小．

4．如图11—2，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km．计划铺设动力线，先求C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在何处时，动力线最短？

【解】设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.50.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x0.3动力线总长l＝22222x0.3＋0.4－x

2x222212x2x0.3x0.3222l′＝（2x0.3＋0.4－x）′＝2·2x0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于该函数只有这一个极值点．因此它是最小值点． 【答】D点选在距AB0.17 km处时，动力线最短．

【解题指导】

应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系）．如果函数在区间内只有一个点使f′（x）＝0的情形，此时函数在此点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值．

【拓展练习】 备选题

1．已知x、y为正实数，且满足关系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222xx2

x02x2xx2xx0∴xy＝2，由得0

122xx(32x)2(2xxx)22222xx22xx∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333检验知x＝2是极大值点，由极值点是惟一的，知当x＝2时，函数f（x）的最大值为f（2）＝8，即x·y的最大值为8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1设x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），设f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

则f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

3338333∵0<α<π，∴α＝3，此时x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即当x＝2，y＝4时［x·y］max＝8． 2．如图，一条河宽1千米，相距4千米（直线距离）的两座城市A和B分别位于河的两岸（城市A、B与岸边的距离忽略不计），现需铺设一条电缆连通城市A与B，已知地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．假设两岸是平行直线，问应如何铺设电缆可使总费用最省?（153.813,f()3331.732，精确到百米、百元）

【解】过B作对岸所在直线的垂线，垂足记为O，设在到O距离为x km的点C，分别铺设BC、CA间的水下、地下电缆可使费用最省．则BC＝x1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，总费用为y，则y＝2（15－x）＋41x（0≤x≤15）

4x求导y′＝1x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以当x＝3＝0.6千米时，费用最省． x23．过曲线4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一点引切线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点坐标．

【解】设|AB|＝l，切点为P（x0，y0），则所求切线方程为：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），1614122x0y0x0y02切线在x轴、y轴上的截距分别为、，∴l＝，∵P（x0，y0）在曲线上，∵y＝1x24，∴

y|xx0x04y0x02∴y02＝1－4，16422x04x02∴l＝（0

16令Y＝l＝2x0244x0232x（0

2226当Y′＝0时，有x0＝得极小值，也是最小值．

3，在（0，2）内Y只有一个极值点，检验知，在这点Y取26∴当x0＝

篇6：二倍角公式评课稿免费

设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形

时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

教学重点、难点

重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。

教学过程

一、复习启发、设置情景、引出正题

1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式

（学生回答，教师板书）

2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系

时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

学生板书：

3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果

（学生回答：左边角均为

4、引入正题

师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

教师板书（放幻灯片），右边角均为，具有“二倍”关系）

二倍角公式简记为

即为我们今天要学习的二倍角公式

【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】

二、引导探究、深化认识

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系

2、（探索性提问）对

中的平方联想到，有无其他变式？

：

（学生探索、总结得出两种变式：

3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

（学生：不能，要注意公式成立的条件）

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件）

指出：尤其注意

【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

4、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）

（1）填角

成立的条件

【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

三、巩固公式，学习应用

出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

（第一组学生做）例

1、不查表,求下列函数值

【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

(第二组学生做)例

2、已知

讲评：此题目中对角，求的值。

有范围限制,做题中应注意什么?仅知道

值时,要灵活应用

值,欲求二倍角正三种等价形式,弦、余弦、正切,先需要知道什么?„ „在求并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】

(第四组学生做)例

4、【设计意图：】

四、提炼总结——放幻灯片

（1）在两角和的三角函数公式角的三角函数公式

（2）

中角

没有条件限制，而

中，只有

中，当

时，就可得到二倍

。说明：后者是前者的特例。

时才成立。

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

有三种形式：件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

五、作业布置：

教科书P150习题3.1A组14、1

5【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】

设计思路：

。要依据条

1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

4、以公式特殊情形

为主线

板书设计： 以学生发展能力为目的

化简为切入点

篇7：二倍角公式评课稿免费

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。过程：

一、解答本章开头的问题：（课本 P3）

令AOB =  , 则AB = acos OA = asin

∴S = a2sin2≤a

2矩形ABCD= acos×2asin 当且仅当 sin2 = 1，即2 = 90， = 45时, 等号成立。

此时，A,B两点与O点的距离都是

22a

二、半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

例

一、求证：sin21cos1cos1cos22,cos222,tan221cos 证：1在 cos212sin2 中，以代2，2代 即得：

cos12sin221cos2 ∴sin22 2在 cos22cos21 中，以代2，2代 即得：

cos2cos21cos21 ∴cos222 3以上结果相除得：tan21cos21cos

注意：1左边是平方形式，只要知道2角终边所在象限，就可以开平方。

2公式的“本质”是用角的余弦表示2角的正弦、余弦、正切

3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）sin1cos1cos22,cos21cos2,tan21cos 4还有一个有用的公式：tansin1cos21cossin（课后自己证）

三、万能公式

2tan1tan2例

二、求证：sin2,cos22tan1tan21,tan2tan221tan2 22 1

cos2tan2sin 证：1sinsin2212 sin2cos221tan222cos2 2cos2sin221tan2cos1sin2cos221tan2 222 3tansin2sincos2cos22tancos22 2sin221tan22 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

即：f(tan2)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小

例

三、已知2sincossin3cos5，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

解：∵2sincossin3cos5 ∴cos   0(否则 2 =  5)∴2tan1tan35 解之得：tan  = 2 ∴原式3(1tan2)1tan242tan3(122)42271tan21221225

四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

五、作业：《精编》P73 16

补充：

1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1)（《教学与测试》P115 例二）

2．已知2，0，tan =13，tan =17，求2 +  的大小。(34)

3．已知sinx =43555，且x是锐角，求sinx2cosx2的值。(5,5)4．下列函数何时取得最值？最值是多少？

11,ymin)2231 2y2sinxcos2x(ymax,ymin)

2223 3ycos(2x)2cos(x)(ymax3,ymin)

篇8：二倍角公式评课稿免费

1. 教学目的、重点及难点

1.1 教学目的

(1) 了解二倍角公式产生的来由、过程, 探求二倍角公式证明的思想方法.

(2) 通过学习二倍角公式产生的过程, 深刻理解二倍角公式的本质.

(3) 培养学生利用二倍角公式解决一些简单实际问题的能力.

1.2 教学重点:深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程, 认识二倍角公式的本质.

1.3 教学难点:二倍角公式的本质及拓广.

2. 教学过程

2.1 提出问题

要在半径为R的半圆材料上 (如图) 截成一条边在直径上的内接长方形.设∠BOC=θ, 当θ为多大时, 才能使长方形ABCD的面积最大?

师:首先计算出长方形ABCD面积S.

生:计算S=2R2sinθ·cosθ;.还有其他方法.

师:θ为多少时, S最大呢?需要化简2sinθ·cosθ, 首先回顾已学过的和角三角函数公式.

2.2 知识回放, 公式探索

师:sin (α+β) =?cos (α+β) =?tan (α+β) =?

生:sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.Sα+β

com (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ.Cα+β

师:能利用Sα+β, Cα+β, Tα+β推导出sin2α, cos2α, tan2α的公式吗?大家考虑一下.

生:sin2α=sin (α+α) =2sinαcosα.

cos2α=cos (α+α) =cos2α-sin2α.

师:还能得到其他更简捷的形式吗?

生:cos2α=1-2sin2α=2cos2β-1.

师:很好, 用sinθ, cosθ其中一个就可以表示cos2α, 为我们今后应用带来更大方便.

师:这些公式有什么特征?

生:二倍角正弦、余弦公式, 从左到右减倍增次.

师:很好, 以这些公式推导过程中体会到什么思想?

生:从一般到特殊的替换思想.

师:这是中学数学的重要思想方法, sinα, 等能用倍角公式吗?

师:很好, 倍角是相对而言的, 也就是α是α2的倍角, 的倍角.

2.3 公式运用, 加深理解

例1引入问题, 求面积最大值S=2R2sinαcosα=R2sin2α.

当时, S有最大值R2.

例2 (1) 已知, 求cos2α的值.

(2) 已知, 求tanα的值.

学生上黑板板演, 这两个例子加深了学生对倍角公式的理解.

2.4 公式的拓广变形

师:公式可以拓广变化吗?

(学生探索)

师:是公式逆用.还有吗?

(学生思考)

师 (提示) :1±sinα=?

生:1±sin2α= (sinα±cosα) 2

师:1+cos2α=?

生:1+cos2α=2cos2α.

师:还有吗?

生:1-cos2α=2sin2α.

师:很好, 公式拓广:

师 (总结) :从左到右, 降幂升角公式, 从右到左, 降角升幂公式.

2.5 总结反思, 教师启发并归纳

(1) 倍角公式探索是从一般到特殊的替代过程, 是高中数学重要的一种思想方法, 利用此方法, 可以探索出更多的公式如三倍角公式.

(2) 倍角是相对的, 2α是α的倍角, 4α是2α的倍角, α是的倍角等.

(3) 公式的推广、变形、逆用也是灵活运用, 是理解公式的关键所在.

师:希望同学们正确理解公式的替换、推广、变形、逆用等, 而不是机械地记忆, 最后留给同学们课后来拓广:

(1) 用tanα来表示sin2α, cos2α.

(2) 用sinα, cosα来表示

3. 教学特色简评

学习三角函数的二倍角公式的目的, 是引导学生经历从一般到特殊的公式替换过程.从一个母公式产生出子公式, 认识和理解三角公式推广变形的本质.这节课的内容平淡、单薄, 教学中很难“出新、出奇、出彩”, 如何在教学中构建生动的情境, 让学生在探索中求知, 在思考中求智, 在品味中求美, 使课堂充满生动, 演绎精彩, 彰显魅力, 是对教师的悟性和能力的极好考验.

教师以民主的精神, 开放的态度, 合作的方式, 宽松的环境组织教学活动, 教学过程呈现出一种双向的交流, 动态的建构, 生长的愉悦, 发展的快乐, 课堂成为师生共同拥有的家园.在整节课中, 教师尊重学生的主体地位, 为学生探索新知创造条件, 尊重学生的个人感受和独特见解, 鼓励学生自主探究与合作交流, 敏锐地捕捉发生在课堂情境中的每一次思维灵感的闪烁, 并巧妙地加以引导、点拨, 课堂中有疑问, 有猜想, 有思考, 有体验, 学生的理解过程和整个精神世界得到了实质性的发展和提升.真正落实了“促进学生持续和谐发展”的新课程理念.

3.1 在教材的处理上, 体现了用教材教的新课程理念

新教材是“课程标准”的物化, 是教育专家理论研究成果和优秀教师教学实践的经验结晶, 是依据学生的年龄特征、心理特征和身心发展规律精心策划的成果.教材中的每道例题都蕴含着某些数学思想方法, 都具有其特点的教育功能, 这功能需要教师深入教材认真研究, 从课程的高度来理解、思考和处理, 其价值才能得以阐释.从本节课来看, 教师在教材处理上, 体现了用教材教的新课程理念.

数学课堂在完成其特定的教学任务同时, 理应承担着“为学生的终身发展打好基础”的责任, 教师用教材教, 不能简单地把教学目标锁定完成在教材上, 这节课开始时, 教师能够引入教学情境, 通过半圆的内接矩形面积最大问题, 将学生带入探究数学问题, 引入和谐自然, 在教学过程中, 让学生亲身经历倍角公式的形成、发现和应用过程, 使学生既加深了对倍角公式本质的理解, 也使学生领会替代思想在三角函数公式拓广、交换中的作用.在这节课的结尾, 教师巧妙地设计了探究性问题, 使学生既获得了教学思想方法, 又感到问题中变化规律的奇特, 更会被数学之美所诱惑.殊不知, 这是教师特意设计的悬念, 为下节课的引入做好了铺垫.

3.2 在目标设置上, 正确把握理解与体验公式的本质

过程和结果是辩证统一的.就其性质而言, 结果通常只涉及认知层面, 它以“产品”的形成存在, 是封闭的, 固定的, 静态的, 而过程则涉及认知层面, 又渗透着活动主体的情感、态度、意志等心理因素, 它以“活动”的形式存在, 是开放的, 灵活的, 发展变化的, 它对学生身心素质的形成与发展具有促进作用, “没有过程的结果是没有体验、没有深刻理解的结果, 不追述结果的过程是缺乏价值和意义的过程”.

本节课中, 教师设计了半圆中作内接矩形, 探求面积最大的矩形, 引导学生从和角的正弦、余弦、正切公式中自主探究倍角三角函数公式, 找出公式替换的数学方法, 学生通过对公式的探究, 经历了判析、比较以及相应的分析、变形、推广等多样化的过程, 有了数学学习个性化的感悟和体验, 有了数学经验的孕育和理解能力的提升, 自然而然的对倍角公式的本质有了深刻的理解, 通过例题有目的、有层次的题理解, 倍角公式的应用理解得到强化, 教师在例题教学中能够充分放手让学生参与自主探究活动, 使学生在成功与失败.正确与错误的矛盾冲突中层层深入, 思维碰撞时时激起, 个体的创造力、潜能、天赋、个性等得以充分表征, 凝固在活动结果上的是学生完全理解倍角、半角的概念, 公式的变化形成了一个活的数学知识结构、理智过程.

3.3 在教学方法运用上, 把握探究与理解相结合

探究学习比较开放, 它更重视学生学习动机和独立思考, 更强调过程, 在培养学生的创新精神和实践能力方面有其独到之处.但这种学习方式花费的时间较多, 接受性学习可以在较短的时间内让学生吸取更多的信息, 在传递系统的学科知识方面, 其效率是其他学习方式无法比拟的, 但这种方法不利于激发学生探索和创新的积极欲望, 对学生理解本质的体验不够深入.接受性学习和探究性学习在实际教学中, 教师不能采取非此即彼、二元对立的方式看问题, 要尽可能地做到“探究”与“接受”的和谐, 实现多种学习方式的优化组合, 本节课, 教师在这方面有较好的体现.

3.4 在教学的过程中, 体现了“主体”与“主导”的关系

教学是一种教师价值引导和学生自主建构相统一的活动, 一方面教学设计蕴含着老师的主观意趣, 这种主观意趣内含着教师的价值选择和价值预设, 另一方面, 学生的精神世界是自主地、能动地生成、建构的, 而不是外部力量塑造而成的, 过分强调前者, 教学就会走向机械灌输, 被动接受;过分强调后者, 教学就会走向无目标的误区.因此, 教学中一方面我们应当承认学生是学习的主人, 尊重学生在学习中的主体地位, 促进学生积极、主动的建构;另一方面, 也要看到, 教师肩负着帮助学生增加自我价值感和追求成功的责任, 也就是说, 课堂教学是在教师有目的的引领下, 通过学生的自主探究、自主建构去不断地感悟、探究、理解、体验, 实现发展思维的目标.学生的主体地位得到较好的体现, 而且教师还能牢牢抓住有目的的引导, 使得课堂教学既生动, 又能按照预设有序地推进.

学生在探究中, 有过困惑, 有过迷茫, 有过失败, 有过错误, 产生情绪波动也在意料之中, 每每遇到这些, 教师给予学生的都是恰到好处的扶持帮助, 点拨引导, 启发诱思.如sinα, 能运用倍角公式吗?启发学生体会公式的本质, 如1+sin2α= (sinα+cosα) 2, 1-cos2α=?引导学生对公式的变形与逆用, 开拓学生思维, 引领学生体验, 恰当地把学生的思维引到关键的问题上, 这些都说明了教师是用理智上课, 也展示了教师高超的教学技艺和驾驭课堂教学的能力.