倍角公式基础习题

倍角公式基础习题（精选3篇）

篇1：倍角公式基础习题

倍角公式

作者 郭永

工作单位 山东省莱芜市第五中学 邮编271121

(一)教学目标：(1)掌握S2,C2,T2公式的推导；通过公式的推导，掌握由一般到特殊的研究方法,了解个公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力；

(2)能正确运用二倍角公式求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。

(二)教学重点、难点

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及错误！未找到引用源。公式的变形，二倍角公式的基本应用。

难点：倍角的相对性及其公式的灵活应用。

(三)教学方法

提问式教学＋练习，(四)教学过程 1 复习引入

前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们快速回忆一下，不要翻笔记和书。教师提问：对象：基础薄弱生，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，同学口述：

cos()coscossinsin

sin()sincoscossin

tg()tgtg1tgtg

简单重复总结三组公式的用途：

这组公式主要是用两个单角的三角函数值来计算由这两个角 相加或相减合成的角的三角函数，事实上，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角a，我们要求它的二倍，三倍，即2a，3a，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。最简单的倍角就是二倍角。以后我们常说的倍角也是指二倍角。2 公式推导 提问：（对象：程度较好的学生）如何根据已有知识求出倍角的三角函数公式？

生 ：在S(),C(),T()中，令，就可以求出sin2,cos2,tan2的表达式，即：

sin2=sin（+）= sincos+cossin = 2sincos；

cos2=cos（+）= coscos+sinsin = cos2－sin2；

tan2tan()tantan2tan1tantan1tan2.整理一下为

sin2=2sincos cos2= cos2-sin2

2tantan221tan

提问： 对于cos2= cos2－ sin2，还有没有其他的形式？ 生：利用公式sin2 + cos2=1变形可得：

cos2 = cos2－sin2=cos2－（1－cos2）=2cos2－1 cos2 = cos2－sin2=（1－sin2）－sin2 =1－2sin2

因此，cos2还可以变形为下述表达形式：

cos2 = cos2-sin2

＝2cos2-1 =1-2sin2

提问：错误！未找到引用源。

生： 可以利用公式tan2sin22sincos推导，但下面不知如何进22cos2cossin行才能转化为上面的形式？

提问：如何用tan表示tan2？

生：分子分母同时除以错误！未找到引用源。可得。在前面我们遇到过类似的处理方法。公式成立条件

提问：以上公式中，是不是对于任意角都成立？

公式S2 ,C2中，角可以是任意角，但公式T2只有当1tan20,tan和

tan2有意义，即，tan和tan2有意义的时候才成立 提问：那有什么限制条件? k124 ,且k2(kZ)时才成立，否则不成立.师：说得非常好．想得全面．但我还有一个问题希望同学们帮助解决，错误！未找到引用源。时，tanα不存在，但tan2α是存在的，刚才同学说不能用二倍角正切公式解决，那又如何处理呢？

生：这种情况，可以改用诱导公式,错误！未找到引用源。

师：考虑问题要周全，处理问题要讲究方法，要学会作多面手，善于运用所学的知识，用不同的方法来解决问题．通过我们的讨论，使二倍角公式趋于完善，师：在同学们熟悉了二倍角公式的基础上，我还有一点希望同学们注意． 要注意倍角的相对性．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，比如错误！未找到引用源。公式应用（正用，逆用，活用）

例1 已知错误！未找到引用源。求错误！未找到引用源。

例2.求下列各式的值

(1)sin15cos15；

(2)cos2sin2；

882tan22.5

(3)；

(4)12sin275． 21tan22.5例3 化简

（1）错误！未找到引用源。

(2)错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

(4)错误！未找到引用源。

(5)错误！未找到引用源。

(6)例4 化简

（1）错误！未找到引用源。

(2)错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。

（4）错误！未找到引用源。

归纳总结： 这类题的结构特点是什么？ 小结:(如何做小结)请同学们思考,倍角公式与和角公式有什么联系? 2 学会灵活运用倍角公式及其变形

教案特色：

1、难点倍角的相对性和灵活应用在后面的题目中渗透的。以让学生多思考

2、精心选择了题组，第一组题是公式的正用，利用倍角公式求值。第二组是公式的逆用。

第三组的（1）是体现倍角相对性的

（2）是常见的利用倍角对1＋sinx 1－sinx这样的形式的一个转化（3）利用倍角对 1＋cosx、1－cosx 的一个转化

例4是 cosxcos2xcos4x这类题的解决,先给出了sinxcosxcos2x让其化简，再给出cos4xcos8xcos16x化简,让其体会第一个题中之所以能化简是因为sinx的存在，体会sinx的作用，从而想到去构造倍角的正弦公式。

篇2：正切二倍角公式的妙用及其推广

关键词：正切二倍角公式,正切n倍角公式,三角函数,应用

正切二倍角公式是高中数学三角函数模块的基本公式之一, 试题主要考察的是利用二倍角公式计算特殊角度的正切值, 以及利用公式证明三角恒等式, 等等.类似的练习不仅是为了使学生熟练掌握和运用公式, 还应要求学生达到更高的认知水平, 实现知识迁移, 应用于更宽广的领域.为此, 应努力引导学生在练习普通习题的基础上积极钻研, 深入研究, 领悟透彻正切二倍角公式的本质, 把握其数学结构. 笔者研究总结出正切二倍角公式相关的妙用及其推广, 相信对此进行进一步研究有助于提高学生对正切二倍角公式的认识水平, 拓宽视野.

提到正切二倍角公式的妙用, 就不应拘泥于三角函数符号, 而要看清其数学结构.对于形如的分式, 可令a=tanα, b=tanβ, 反用正切二倍角公式 , 从而将转化为tan (α-β) , 为问题的解决提供新思路, 收到意想不到的效果.下述例题的解法就彰显了这种技巧的威力.

【例1】对任意的8个实数x1, x2, … , x8 (x1<x2<…<x8) , 必然存在xi, xj (1≤i, j≤8, i≠j) , 使得

解 : 分析的结构 , 可令xi=tanαi, 则

将区间 (-π/2, π/2) 按区间长平均分为7份 , 每份的区间长为π/7, 即分为 (-π/2, -5π/14], (-5π/14, -3π/14], …, (5π/14, π/2) .

由鸽笼原理, 8个x1对应的反正切值α1必有两个落在同一区间, 所以必有αi, αj满足, 于是

所以, 必然存在xi, xj (1≤i, j≤8, i≠j) , 使得

ij正切函数tanα中α不一定是45°、60°这些简单的角度, 在学习过程中切忌形成这种刻板的印象. 在形如arctana+arctanb的式子中, 若能正确认识到arctana也表示角度, 则可利用正切二倍角公式, 除去arctan, 实现“解套”的目的.下述例题的解法就彰显了这种技巧的威力.

【例2】找出2个正整数a, b使得

考虑更多变量, 可将正切二倍角公式推广为n倍角公式.易用数学归纳法证明以下定理:

上述题目的解法篇幅很短, 但有“四两拨千斤”的效果, 主要原因在于正切二倍角公式的灵活运用. 如果能摆脱三角函数符号的束缚, 认清相关数学结构, 勤加思考, 那么相信读者会对正切二倍角公式有新的认知.

参考文献

[1]姚晶.三角函数[M].第1版.上海:百家出版社, 1992.

篇3：倍角公式基础习题

本节内容是三角函数的重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际运用，在高考中占有相当大的比例。

二、学情分析

1.学生已有的知识结构：掌握了两角和的正弦、余弦和正切公式；

2.教学对象：高一年级学生，学习兴趣浓厚，具有一定的逻辑思维能力，有较强的分析和解决问题的能力；

3.从学生的认识角度来看：公式推导比较容易，但灵活运用公式难度较大。

三、教学目标

1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，从中探索数学规律的过程。

2.掌握和灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的“倍”的变换、“换元”等体现思维的灵活性，提高学生的推理能力和解决问题的能力。

3.通过一题多变、一题多解的形式，提升课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和数学情感。

四、教学重点、难点

重点：在掌握两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

难点：二倍角的灵活运用。

五、教法学法分析

本节课采用了引导式和探索式相结合的教学方法，让老师的主导作用和学生的主体作用得到充分发挥，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，形成完整的数学模型，还课堂以生命力，还学生以活力。

六、课堂设计

复习导入：让学生回忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式，思考1：你能利用C（α±β），S（α±β），T （α±β）推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？

1.二倍角公式的作用是用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

2.二倍角公式仅限于2α是α的二倍的形式，形如4α是2α的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，“倍角”的意义是相对的。

3.熟悉“倍角”与“二次”的关系

二倍角公式的变形：

七、教学反思

本节课设计合理，层次分明。教学过程体现以培养学生的观察和探究能力为本，遵循学生现有的认知规律，体现因材施教的教学原则。通过例题的灵活变形，一题多解等方法激发学生的学习兴趣，使学生在问题解决的探索过程中积极主动。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，又注重学生学习方法的指导，加强学生的应用意识，引导学生发现数学公式的美，让学生热爱数学，快乐地学习数学。