村委会常用证明

村委会常用证明（通用13篇）

篇1：村委会常用证明

（村委会同意新婚妻子迁入）证明

湘东派出所：

兹有我村XX组村民张某某，男，XX年X月X日出生，身体证号码为XXXXXX，于XX年X月X日与余某某，身份证号为XXXXXX登记结婚，经本村两委研究，同意余某某户口迁入本村张某某户，请有关部门协助办理。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

（村委会同意新生婴儿落户）证明

湘东派出所：

兹有我村XX组村民张某某，男，XX年X月X日出生，身体证号码为XXXXXXXX，于XX年X月X日与余某某，身份证号为XXXXXXXXX生下一名男孩/女孩，姓名张XX，经本村两委研究，同意张XX随父亲/母亲落户，请有关部门协助办理。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

（外来户落户)证明

兹有XX，性别X，户口所在地XXXXX，身份证号XXXXXX：，因XX原因户口落户本村，本村同意其（和其妻子XX，身份号：XXXXX子女XX，身份号：XXXXX）户口落户本村。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

(户口外迁)证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX，因（结婚、就业等）需要将户口迁往某地，希望有关部门协助办理户口迁移证为盼。

情况属实，特此证明！

（盖印）

年 月 日

(户口/身份证遗失补办)证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX（或出生年月）。该同志不慎将户口/身份证遗失，给日常生活带来不便，请有关部门给予补办为感。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

（代领养老金、低保金）证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX。因XX原因不能办理签字手续，特请（其儿子、女儿、丈夫...）XXX身份证号为：XXXXX，为其代签。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

未婚证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX。现与其父母上一起生活(或独立生活)，至今沿未结婚。

特此证明

（盖印）

年 月 日

特困证明

兹有我村XX组村民XXX之子女XXX，于XXX年在XXX 学校就读，其家庭人口X人，家庭年人均收入XX元，生活困难，属当地贫困户或特困户。

特此证明

（盖印）年 月 日

房屋证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX。该同志在XX组有一栋房屋，X层，占地面积为：X㎡。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

(亲属关系)证明

兹有我村XX组村民XXX，性别X，身份证号为：XXXXX。与XXX身份证号为：XXXXX，两人为夫妻（父子、母子、爷孙...)关系。

情况属实，特此证明。

（盖印）年 月 日

篇2：村委会常用证明

姓名 ，身份证号 ，系我辖区居民，因 ，从 年 月至今无固定工作(无经济来源)

特此证明!

经办人 电话

篇3：不等式证明常用方法

不等式是中学数学最基本内容之一, 它有着丰富的实际背景, 与生产实践联系十分密切.因此, 无论普通高考, 还是对口高考, 不等式历年都是考试的重点、热点, 甚至难点.下面就不等式的证明, 介绍几种常见方法, 如有不对, 敬请同行、同学们斧正.

一、作差法

例1 对于任意实数x, 求证:x2+3>2x.

证明 ∵x2+3-2x= (x-1) 2+2>0, ∴x2+3>2x.

评注 1.作差法步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论.

2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等, 应注意结合式子的形式, 适当选用.

二、作商法

例2 设a, b均是正实数, 求证:aabb≥abba.

证明 首先, 由条件aabb>0, abba>0,

其次, $\frac{a{}^{a}b{}^b}{a{}^{b}b{}^a}=\left(\frac{a}{b}\right){}^{a-b}‚$

(1) 当a≥b>0时, $\frac{a}{b}\ge 1‚a-b\ge 0‚\therefore \left(\frac{a}{b}\right){}^{a-b}\ge 1.$

(2) 当b>a>0时, $0<\frac{a}{b}<1‚a-b<0‚\therefore \left(\frac{a}{b}\right){}^{a-b}>1.$

综合 (1) , (2) :$\left(\frac{a}{b}\right){}^{a-b}\ge 1‚\therefore a{}^{a}b{}^b\ge a{}^{b}b{}^a.$

评注 1.作商法步骤:作商——变形——判断与1的关系—结论.

2.作差法是通法, 运用较广;作商法要注意条件, 不等式两边必须是正数.作商法常用于证幂、指数形式的不等式.

三、综合法

例3 设a, b, c均是正实数, 求证:$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.$

证明 ∵a, b, c均是正实数,

$\therefore \frac{bc}{a},\frac{ca}{b},\frac{ab}{c}$也均是正实数.

$\begin{array}{l}\therefore \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge 2c,\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge 2a,\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2b.\\ \therefore 2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge 2(a+b+c)‚\\ \therefore \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.\end{array}$

评注 1.利用某些已经证明过的不等式 (例如正数的算术均值不小于几何均数等) 和不等式的性质 (例如|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|等) 推导出所要证明的不等式成立, 这种证明方法通常叫做综合法.

2.综合法的思维特点是:由因导果, 即由已知条件出发, 利用已知的数学定理、性质和公式, 推出结论的一种证明方法.

3.运用综合法证明不等式, 必须发现式子的结构特征, 结合重要不等式和常用不等式, 找到解题的方法.

四、分析法

例4 设a>b>0, 求证:$\frac{(a-b){}^2}{8a}<\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}<\frac{(a-b){}^2}{8b}.$

证明 由条件, 要证原不等式成立,

只需证$\frac{(a-b){}^2}{8a}<\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}){}^2}{2}<\frac{(a-b){}^2}{8b}$,

只需证$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}){}^2}{4a}<1<\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}){}^2}{4b}$,

只需证$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}}<1<\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{b}}$,

$\begin{array}{l}\text{只}\text{需}\text{证}\sqrt{\frac{b}{a}}<1<\sqrt{\frac{a}{b}}.\\ \because a>b>0‚\end{array}$

∴此式显然成立, ∴原不等式在a>b>0时成立.

评注 1.证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题, 如果能够肯定这些充分条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立, 这种方法通常叫做分析法.

2.分析法的思维特点是:执果索因, 步步寻求上一步为真的充分条件, 即从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”.

3.分析法的书写格式:要证明命题B为真, 只需要证明命题B1为真, 从而有……这只需要证明命题B2为真, 从而又有……这只需要证明命题A为真, 而已知A为真, 故命题B必为真.

五、反证法

例5 已知0<a, b, c<1, 求证: (1-a) b, (1-b) c, (1-c) a不可能都大于$\frac{1}{4}.$

证明 假设 (1-a) b, (1-b) c, (1-c) a都大于$\frac{1}{4}$, 则$(1-a)b(1-b)c(1-c)a>\frac{1}{64}.$

由条件, 得

$(1-a)b(1-b)c(1-c)a=(1-a)a(1-b)b(1-c)c\le \left(\frac{a+1-a}{2}\right){}^2\left(\frac{b+1-b}{2}\right){}^2\left(\frac{c+1-c}{2}\right){}^2=\frac{1}{64}.$

前后矛盾, 因而原命题成立.

评注 1.反证法是指有些不等式的证明, 从正面证不好说清楚, 可以从“正难, 则反”的角度考虑, 即要证明不等式A>B, 先假设A≤B, 由题设及其他性质, 推出矛盾, 从而肯定A>B.

2.反证法证题步骤:反设——推理——归谬——确认.

3.反证法证题类型:凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语, 可以考虑用反证法.

六、换元法

例6 已知x2+y2=1, 求证:$|x{}^2+2xy-y{}^2|\le \sqrt{2}.$

证明 由条件, 可令x=cosθ, y=sinθ,

则|x2+2xy-y2|=|cos2θ+2cosθsinθ-sin2θ|=|cos2θ+sin2θ|=$\sqrt{2}\sin \left(2\theta +\frac{\text{π}}{4}\right)$$\le \sqrt{2}.$

评注 1.换元法是指对一些结构比较复杂, 变量较多, 变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换, 以便简化原有的结构或实现某种转化与变通, 给证明带来新启迪的方法.

2.换元法常用两种换元形式:

(1) 三角换元:多用于条件不等式的证明, 当所给条件较复杂, 一个变量不易用另一个变量表示时, 这时可考虑三角代换, 将两个变量都用同一个参数表示.此法如果运用恰当, 可沟通三角与代数的联系, 将复杂的代数问题转化为三角问题.

根据具体问题, 实施的三角换元如:①若x2+y2=1, 可设x=cosθ, y=sinθ;②若x2+y2≤1, 可设x=rcosθ, y=rsinθ (其中-1≤r≤1) ;③若$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1$, 则可设x=acosθ, y=bsinθ等.

(2) 增量换元:在对称式 (任意交换两个字母, 代数式不变) 和给定字母顺序 (如a>b>c等) 的不等式, 考虑用增量法进行换元, 其目的是通过换元达到减元, 使问题化难为易, 化繁为简.

七、均值法

例7 已知a, b, c均为正实数, 求证:$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}.$

证明 ∵a, b为正实数, $\therefore \frac{a+b}{2}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}},$

即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$

$\begin{array}{l}\text{同}\text{理}:\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{b+c}‚\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge \frac{4}{c+a}.\\ \therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}‚\\ \therefore \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}.\end{array}$

评注 1.均值法是指应用均值不等式, 直接回答不等式成立的方法.

2.均值不等式:设a1, a2, a3, …, a4均为正数, 则

算术均数$A{}_n=\frac{a{}_1+a{}_2+a{}_3+\cdots +a{}_n}{n},$

几何均数$G{}_n=\sqrt{a{}_{1}a{}_{2}a{}_3\cdots a{}_n},$

平方均数$Q{}_n=\sqrt{\frac{a{}_1^2+a{}_2^2+a{}_3^2+\cdots +a{}_n^2}{n}},$

调和均数${\rm H}{}_n=\frac{n}{\frac{1}{a{}_1}+\frac{1}{a{}_2}+\frac{1}{a{}_3}+\cdots +\frac{1}{a{}_n}}.$

必满足Hn≤Gn≤An≤Qn, 而且当且仅当a1=a2=…=an时, 取等号.

八、“Δ”法

例8 已知实数a, b, c满足a+b+c=0, abc=2, 求证:a, b, c中至少有一个不小于2.

证明 由条件知a, b, c中必有一个为正数, 不妨令

$\begin{array}{l}a>0.\\ \because a+b+c=0,abc=2,\therefore b+c=-a,bc=\frac{2}{a},\end{array}$

即b, c是二次方程$x{}^2+ax+\frac{2}{a}=0$的两个实根,

$\therefore \text{Δ}=a{}^2-4\cdot \frac{2}{a}\ge 0,a\ge 2.$

∴该命题获证.

评注 1.“Δ”法是指一元二次方程存在实根, 则判别式Δ=b2-4ac≥0, 从而推得原不等式成立的方法.

2.应用“Δ”法, 必须保证两个“一定”:一个原方程一定是实系数一元二次方程, 两个实系数一元二次方程一定存在实根.

九、单调法

例9 设x>0, 求证:$x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\ge \frac{5}{2}.$

证明 构造函数$u=x+\frac{1}{x},y=u+\frac{1}{u},$

∴证明$x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\ge \frac{5}{2}$, 相当于证明

$\begin{array}{l}y\ge \frac{5}{2}.\\ \because x>0,\therefore u\ge 2.\end{array}$

又 ∵易证$y=u+\frac{1}{u}$在u∈[2, +∞) 时, 单调减少,

$\therefore y\ge 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.即原不等式成立.

评注 1.单调法是指利用已知函数的单调增加或单调减少特性来回答不等式成立的方法.

2.单调法证题步骤:首先, 分析要证不等式, 设法建立辅助函数;其次, 说明辅助函数在某区间上的单调性 (单调增加或单调减少) ;第三, 根据辅助函数单调性确认不等式成立.

3.函数$y=x+\frac{a}{x}(a>0)$在$(0,\sqrt{a})$上单调减少, 在$[\sqrt{a},+\infty )$上单调增加的特性, $f(x)=\frac{x}{1+x}$在[0, +∞) 上单调增加的特性经常被应用.

十、“1”还法

例10 设a, b, c均为正数, 且a+b+c=1, 求证:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9.$

证明 由条件, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}=3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge 3+2+2+2=9$, 而且, 当且仅当a=b=c时, 等号成立.

即原命题获证.

评注 1.“1”还法是指将要证不等式“1”, 有选择性地还原成条件中的代数式, 而后根据条件, 利用所学定理、公式、性质等, 推得要证不等式成立的一种方法.

2.条件中如有a+b=1, a+b+c=1等的不等式证明题, 常常应用“1”还法证明.

十一、配凑法

例11 已知$0<x<\frac{2}{5}$, 求证:$x{}^2(2-5x)\le \frac{32}{675}.$

证明 配凑法$(1)\because 0<x<\frac{2}{5}‚\therefore x{}^2(2-5x)=\frac{4}{25}\cdot \frac{5}{2}x\cdot \frac{5}{2}x\cdot (2-5x)\le \frac{4}{25}\cdot \left(\frac{\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+(2-5x)}{3}\right){}^3=\frac{32}{675}$, 当且仅当$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}x=(2-5x)$, 即$x=\frac{4}{15}$时, 取等号.

配凑法$(2)\because 0<x<\frac{2}{5}‚\therefore x{}^2(2-5x)=20\cdot \frac{1}{2}x\cdot \frac{1}{2}x\cdot \left(\frac{2}{5}-x\right)\le 20\cdot \left(\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\left(\frac{2}{5}-x\right)}{3}\right){}^3=\frac{32}{675}$, 当且仅当$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x=\left(\frac{2}{5}-x\right)$, 即$x=\frac{4}{15}$时, 取等号.

评注 1.配凑法是指将要证不等式一边配凑成基本不等式能应用的形式.

2.应用配凑法, 必须注意基本不等式试用条件, 如若不满足试用条件, 必须重新组合配凑.

十二、放缩法

例12 已知a, b, c, d均为正实数, 求证:

$1<\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+b}+\frac{d}{d+a+c}<2.$

证明 记$m=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+d+b}+\frac{d}{d+a+c}.$

∵a, b, c, d均为正实数, $\therefore m>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{b+c+d+a}+\frac{c}{c+d+a+b}+\frac{d}{d+a+b+c}=1‚m<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+c}=2‚\therefore 1<m<2$, 即原不等式成立.

评注 1.放缩法是要证明不等式A<B成立不容易, 而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法.

2.放缩法证明不等式的理论依据主要有: (1) 不等式的传递性; (2) 等量加不等量为不等量; (3) 同分子 (分母) 异分母 (分子) 的两个分式大小的比较.

3.常用的放缩技巧有:①舍掉 (或加进) 一些项;②在分式中放大或缩小分子或分母;③应用均值不等式.

十三、几何法

例13 已知x, y, z∈R+, 求证:

$\sqrt{x{}^2+y{}^2-xy}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2-zx}.$

证明 首先, 容易联想:

x2+y2-xy=x2+y2-2xycos60°,

y2+z2-yz=y2+z2-2yzcos60°,

z2+x2-zx=z2+x2-2zxcos60°.

其次, 构造三棱锥P-ABC, 并令∠APB=∠BPC=∠CPA=60°, PA=x, PB=y, PC=z.

$\begin{array}{l}\text{在}△ABC\text{中},|AB|=\sqrt{x{}^2+y{}^2-xy},|BC|=\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}‚|CA|=\sqrt{z{}^2+x{}^2-zx}.\\ \because |AB|+|BC|\ge |CA|,\\ \therefore \sqrt{x{}^2+y{}^2-xy}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2-zx}.\end{array}$

评注 1.几何法是指利用几何图形上边的不等关系来证明不等式成立.

2.几何法实质:设法将要证不等式转化到几何图形对应线段上去.

十四、图像法

例14 设α, β, γ是三角形三内角, x, y, z∈R, 求证:

x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

证明 构造函数f (x) =x2-2x (ycosα+zcosγ) +y2+z2-2yzcosβ, 显然其图像为开口向上的抛物线.

∵Δ=[-2x (ycosα+zcosγ) ]2-4 (y2+z2-2yzcosβ) =-4 (ysinα-zsinγ) 2≤0,

∴函数y=f (x) 的图像不可能落在x轴下方, 应全在x轴上方, 最多与x轴相切, 即f (x) ≥0, ∴x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.

评注 1.图像法是指通过构造函数, 画函数图像, 由函数图像性质说明要证不等式成立.

2.二次函数、二次图像、二次方程、二次不等式之间的关系, 常常是图像法解题的关键.

十五、柯西法

例15 已知a1, a2, …an为实数, 求证:n (a${}_1^2$+a${}_2^2$+…+a${}_n^2$) ≥ (a1+a2+…+an) 2.

证明 首先将n改写成12+12+…+12, 即n个12相加, 由柯西不等式, 得

$\begin{array}{l}n(a{}_1^2+a{}_2^2+\cdots +a{}_n^2)\\ =\underset{n\text{个}1{}^2\text{和}}{{\displaystyle (1{}^2+1{}^2+\cdots +1{}^2)}}\cdot (a{}_1^2+a{}_2^2+\cdots +a{}_n^2)\\ \ge (1\cdot a{}_1+1\cdot a{}_2+\cdots +1\cdot a{}_n){}^2\\ =(a{}_1+a{}_2+\cdots +a{}_n){}^2‚\end{array}$

当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

因此, 原不等式成立.

评注:

1.柯西法是指借助柯西不等式证明不等式成立.

2.柯西不等式:

(a${}_1^2$+a${}_2^2$+…+a${}_n^2$) (b${}_1^2$+b${}_2^2$+…+b${}_n^2$) ≥ (a1b1+a2b2+…+anbn) 2, 当且仅当$\frac{b{}_1}{a{}_1}=\frac{b{}_2}{a{}_2}=\cdots =\frac{b{}_n}{a{}_n}$时等号成立 (当ai=0时, 约定bi=0, i=1, 2, …, n) .

3.柯西不等式应用的关键:

寻求柯西不等式应用条件或形式.

十六、归纳法

例16 已知a, b为正数, n∈N*, 求证:

$\frac{a{}^n+b{}^n}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^n.$

证明 (1) 当n=1时, 不等式显然成立.

(2) 假设n=k时, 不等式成立, 即

$\begin{array}{l}\frac{a{}^k+b{}^k}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^k.\\ \because \frac{a{}^k+b{}^k}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^k,\therefore \frac{a{}^k+b{}^k}{2}\cdot \frac{a+b}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^{k+1}.\end{array}$

而$\frac{a{}^{k+1}+b{}^{k+1}}{2}\ge \frac{a{}^k+b{}^k}{2}\cdot \frac{a+b}{2}\iff (a-b)(a{}^k-b{}^k)\ge 0,$

∵由条件, (a-b) (ak-bk) ≥0显然成立,

$\therefore \frac{a{}^{k+1}+b{}^{k+1}}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^{k+1}.$

(3) 综合 (1) , (2) 可知:

对任何n∈N*, 不等式$\frac{a{}^n+b{}^n}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right){}^n$成立.

评注 1.归纳法是指严格按照数学归纳法三步骤证明不等式成立.

2.数学归纳法证题有三步曲:第一步验证打基础—关键, 第二步推理找规律——核心, 第三步归纳下结论——确认.

十七、排序法

例17 设a>0, b>0, 求证:a3+b3≥a2b+ab2.

证明 根据正数a, b对称性, 不妨设a≥b>0,

则a2≥b2.

由排序定理知, 同序和不小于乱序和,

∴a·a2+b·b2≥a·b2+b·a2, 即a3+b3≥a2b+ab2.

评注 1.排序法是指借助排序定理证明不等式成立.

2.排序定理:设两组实数a1, a2, …, an与b1, b2, …, bn, 且a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn, c1, c2, …, cn为b1, b2, …, bn的任意一个排列, 则和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1, a2, …, an与b1, b2, …, bn同序时最大, 反序时最小, 即a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1.

3.只有满足排序定理条件时, 方可应用其证明不等式.

实践证明:中学数学不等式的证明, 对于培养和提高同学们逻辑思维能力、分析解决问题能力确实非常有好处, 而且方法绝非上述几种, 还有很多很多, 如函数法、方程法、性质法、公式法、构造法、调整法, 等等, 具体遇到不等式证明题目, 必须灵活、综合选用.

篇4：三角恒等式常用证明思路

1. 基量换元，化归转化

例1 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]

证明 方法一：先转换命题，只需证：[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论.

[sin(2α+β)-2cosα+βsinα=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]

[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]

[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin[(α+β)-α]=sinβ.]

两边同除[sinα]得，

[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα.]

方法二：根据三角函数的特点，先统一角，再统一三角函数名，再进行换元.

令[x=α+β,y=α]，则

[左边=sin(x+y)siny-2cosx]

[=sin(x+y)-2sinycosxsiny=cosxsiny-sinycosxsiny]

[=sin(x-y)siny=右边].

方法三：结合数学化归转化思想，用换元法把三角函数问题转化为代数证明问题.

令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n],则[a2+b2=1,m2+n2=1.]

[左边=sin2αcosβ+cos2αsinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαcosαcosβ+(cos2α-sin2α)sinβsinα -2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2abn+(b2-a2)ma-2(bn-am)=2abn+b2m-a2m-2abn+2a2ma=m(b2+a2)a=ma=右边.]

点拨 变角、变名是三角变换的常用技巧，利用换元法把问题进行化归转化常能起到意想不到的效果.如证法二是对角进行换元，证法三是对基本量进行换元.

2. 弦切互化，消元降次

例2 求证：[1+sinα1-2sin2α2=1+tanα21-tanα2.]

证明 方法一：变角，弦化切.

[左边=sin2α2+cos2α2+2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2]

[=(sinα2+cosα2)2(sinα2+cosα2)(cosα2-sinα2)]

[=sinα2+cosα2cosα2-sinα2=1+tanα21-tanα2.]

方法二：通过换元，把三角恒等变形转化为代数恒等变形.

令[sinα2=x,cosα2=y,则x2+y2=1， tanα2=xy.]

[左边-右边=1+2xy1-2x2-1+xy1-xy=1+2xy1-2x2-y+xy-x=(1+2xy)(y-x)-(y+x)(1-2x2)(1-2x2)(y-x)=0.]

故左边=右边.

点拨 在三角恒等变形中，首先考虑消元和降次，可通过弦化切或换元法达到目的.所求问题的条件或结论中的各项次数较高时，可用“换元法”达到降次的目的.

3. 左右变形，两相归一

例3 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]

证明 方法一：左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证.

[左边=sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]

[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2.]

右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ]

[=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2.]

左边[=]右边，故等式成立.

方法二：换元法，化三角恒等变换为代数恒等变换.

[令x=sinθ,y=cosθ,则x2+y2=1,tanθ=xy.]

[左边=xy(1+x)+xxy(1+x)-x=x(1+x)+xyx(1+x)-xy=1+x+y1+x-y，]

[右边=xy+xxy•x=x+xyx2=1+yx，]

[左边-右边=(1+x+y)x-(1+y)(1+x-y)(1+x-y)x]

[=x2+y2-1(1+x-y)x=1-1(1+x-y)x=0.]

[∴]左边=右边.

点拨 对于左右结构相当分数型三角恒等式，左右归一，将左右两边化简成相同的三角式.当然，“寻求角与函数名的统一”是证明的关键.

4. 作差变形，化证为求

例4 求证：[sinα-cosα+1sinα+cosα-1=1+sinαcosα.]

证明 方法一：左式－右式，通过运用同角三角函数公式及[1=cos2α+sin2α]等公式的化简，得左式－右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.

[左边-右边=sinα+1-cosα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+sinα-1cosα+sinα-1⋅cosα]

[=sinαcosα+cosα-cos2α+1-cosα-sinαcosα-sin2αcosα+1+sinα⋅cosα]

[=1-cos2α-sin2αsinα+cosα-1⋅cosα=0.]

[∴]左边=右边.

方法二：通过换元，把问题转化为代数式证明问题.

[令x=sinα,y=cosα,则x2+y2=1,]

[左边-右边=x-y+1x+y-1-1+xy=(x-y+1)y-(1+x)(x+y-1)(x+y+1)y=-y2-x2+1(x+y+1)y=-1+1(x+y+1)y=0.]

[∴]左边=右边.

点拨 对于结构较为复杂的分数型三角恒等式，利用作差法证明可从形式上起到简化的目的.

5．构造函数，巧用性质

例5 已知[α]、[β]为锐角，且[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1,]求证：[α+β=π2.]

证明 方法一：要证明角相等，则必须转化为证角的同名三角函数值相等，为此可设法构建三角函数[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，再通过已知条件挖掘性质即可解决.

构造函数

[f(x)=(cos2αsinβx-sinβ)2+(sin2αcosβx-cosβ)2]，

由条件[cos4αsin2β+sin4αcos2β=1]知，[f(x)=(x-1)2≥0].

当[x=1]时，

[f(1)=][(cos2αsinβ-sinβ)2+(sin2αcosβ-cosβ)2=0.]

故[cos2α=sin2β]，且[sin2α=cos2β]，

[∴tan2α=cot2β=tan2(π2-β)].

又[α、π2-β]均为锐角，

则[α=π2-β]，即证[α+β=π2.]

方法二：[欲证α+β=π2,即α=π2-β.]

[∴sinα=sin(π2-β),也即证sinα=cosβ.]

令[sinα=a,cosα=b,sinβ=m,cosβ=n,]

[a,b,m,n均大于0,且a2+b2=1,m2+n2=1,]

[cos4αsin2β+sin4αcos2β=b4m2+a4n2=1,]

[⇒b4n2+a4m2=m2n2,]

[⇒(1-a2)2n2+a4(1-n2)=(1-n2)n2,]

[⇒n2-2a2n2+a4n2+a4-a4n2=n2-n4，]

[⇒a4-2a2n2+n4=0,]

[⇒a2=n2],

[⇒a=n,]

即[sinα=cosβ.]

[∵α、β均为锐角，]

[∴α+β=π2.]

点拨 证法一通过构造函数模型，利用函数的有关性质巧妙地寻找到条件与结论间的逻辑关系，从而问题得以巧妙解决. 证法二通过换元，把本题转换为代数式证明问题，效果明显.

6．角角相关，熟用公式

例6 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]

分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边.

证明 [∵]左式[=32sin40∘2-1cos40∘2]

[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘⋅cos240∘]

[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘⋅cos240∘]

[=4⋅22(32cos40∘-12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘⋅cos40∘)2]

[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=右边.]

点拨 化繁为简型三角恒等式的证明的关键是寻求角、名、式的统一. 本题中是具体的角，不适合用换元法，因为换元的关键是问题的等价变形.如令[x=sin40°],[y=cos40°]，则[x2+y2=1],但反过来却不成立.

练习

1. 求证：[tan2α-cot2αsin2α-cos2α+1cos2α-1sin2α=2cos2α.]

2. 求证：[2(cosα-sinα)1+sinα+cosα=cosα1+sinα-sinα1+cosα.]

3. 已知:[7sinα=3sin(α+β),]

[求证：][2tan2α+β2=5tanβ2.]

篇5：村委会证明

兹有在开发项目，经我村委会/居委会同意其的开发建设。

特此意见

村委会/居委会盖章

篇6：村委会证明

，性别， 年 月 日出生， ，于 年 月 日生育第一个小孩，性别 ，现有 特此证明!

县 村民委员会 (盖章)

篇7：村委会证明

证明

出租方（甲方）：﹍﹍﹍身份证号码：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 承租方（乙方）：﹍﹍﹍身份证号码：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

甲方为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍村民，甲方现有土地使用证的土地出租给乙方，土地使用权证号：﹍﹍﹍﹍﹍土地面积﹍﹍，出租年限为﹍﹍年，乙方从事正常的耕种，乙方保证不破坏耕种土地。甲方承诺的事项不影响四邻无任何争议。为此甲乙双方申请村委会集体同意。

特此证明

审批人（签字盖章）：

村委会盖章

备注：审批人必须为村长或村主任开会讨论后签字盖章，签字后必须加村委会盖章。

篇8：放缩法证明数列不等式常用技巧

例1(2014年广东高考文)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*.

(1)求a1的值;

(2)求数列{an}的通项公式;

分析:在证明“a1+a2+a3+…+an<f(n)(或>f(n)”数列不等式时,如果左边不易直接求和,可以适当放缩为可以裂项求和或直接求和的式子进行求解.

二、等比放缩

例2(2014年全国新课标2理)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

三、加减放缩

点评:用放缩法证明不等式常常在等式的基础上通过对其中一边加减一个数或可判断正负的式子,达到放大或缩小的目的.

四、凑项放缩

点评:观察不等式左右两边的结构特点,再作适当配凑(分拆重组)发现规律,再与结论对照合理放缩,“凑”是达到证明目标的重要手段.

五、分类放缩

点评:要证不等式当变量取不同的值不等式也不一样时,要分类运用放缩法,最后还需合并说明.

六、基本不等式放缩

点评:基本不等式本身具有放缩的作用,若要证不等式具有基本不等式的特征时可考虑用不等式法进行放缩.

七、二项式放缩

八、构造函数放缩

例8已知n∈N*,求证:en>1+n.

证明:构造函数g(n)=en-n-1,则g'(n)=en-1.当n≥1时g'(n)>0,g(n)在[1,+∞)上是增函数,所以g(n)>g(1)=e-2>0,即en>1+n.

点评:如果把所证不等式两侧相减的结果构造成一个函数,这个函数容易求导,求导后也容易判断正负,就可以直接构造函数.另外例7也可以构造函数来解决,有兴趣的读者可以试一试.

参考文献

篇9：三角恒等式的常用证明思路

1．无条件三角恒等式的证明遵循化简原则

无条件三角恒等式的证明的基本思路是化简，常用方法有：化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”．

思路一：“化繁为简”

例1 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]．

分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角公式化简到右边.

证明[∵]左式=[32sin40∘2-1cos40∘2]

[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘cos240∘]

[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘cos240∘]

[=4⋅22(32cos40∘+12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘cos40∘)2]

[=16sin100∘sin20∘sin280∘=16sin80∘sin20∘sin280∘=16sin20∘sin80∘]

[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=]右边．

点评 在证明三角恒等式时，若无明确思路，则可先将式子化繁为简，化简三角函数式的常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．

思路二：“左右归一”

例2 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]

分析 左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证．

证明左边=[sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]

[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2]，

右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2]，

所以左边[=]右边，故等式成立．

点评 将三角函数式化简时，可能从左化到右，也可能从右化到左，还可能从两边化到中间，关键是要遵循化简的原则，能正确运用三角公式，采用切割化弦、通分、平方降次、1的代换等方法技巧来进行化简．

思路三：“化差为零”

例3 求证：[cosα+1-sinαcosα+1+sinα=1+sinαcosα]．

分析 左式-右式，通过运用同角三角函数公式及[1=sin2α+cos2α]等公式的化简，得左式-右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.

证明左边-右边[=]

[cosα+1-sinα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+1+sinαcosα+1+sinα⋅cosα,]

∵分子[=cos2α+cosα+sinαcosα-cosα-1+]

[sinα-sinαcosα-sinα+sin2α]

[=cos2α+sin2α-1=0]，

∴左边-右边[=][0]．

点评 化差为零的方法可将棘手的证明问题转化为同学们熟知的计算问题．

思路四：“等价化归”

例4 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．

分析先转换命题，将分式整式化：[sin(2α+β)-][2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=][(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论．

证明[sin(2α+β)-2cosα+βsinα]

[=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]

[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]

[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]

[=sin[(α+β)-α]=sinβ]，

两边同除以[sinα]，

得[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．

点评 证明三角恒等式，有时需要对原命题作整体的转化．

2．有条件三角恒等式的证明遵循目标消差原则

有条件三角恒等式的证明的基本思路是盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，包括角的差异、函数名称的差异、运算关系的差异，特别是角的差异，常用方法有代入法、消元法、综合法、分析法等.

例5 已知[5sinβ=sin(2α+β),]

求证：[tan(α+β)tanα][=32]．

分析 从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是[α+β、α，]而已知条件中的两个角可以用[α+β、][α]来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可．

证明[∵5sinβ=sin(2α+β)，]

[∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，]

[∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα]

[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，]

即[4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，]

[∴ tan(α+β)tanα=32.]

点评 三角条件的证明关键是要比较条件等式与结论等式等式的差异，再用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换来变角变次变名称，使两等式之间的“异”转化为“同”．

例6已知：[sinα=a⋅sinβ,tanα=b⋅tanβ，]

求证：[cos2α=a2-1b2-1].

分析可以采用消元法，注意到结论中没有关于[β]的相关函数，故可由条件消[β].

证明[∵][sinα=a⋅sinβ,] [∴cscβ=asinα]，①

[∵tanα=b⋅tanβ,] [∴cotβ=btanα]， ②

将①②式平方后相减，得

[csc2β-cot2β=a2sin2α-b2tan2α=1]，

即[a2sin2α-b2cos2αsin2α=1]，

[∴][a2-b2cos2α=sin2α=1-cos2α]，

[∴][(b2-1)cos2α=a2-1]，[∴][cos2α=a2-1b2-1]．

点评 证明条件三角恒等式的方法是消元法，即代入法、换元法等；解题的基本途径是利用给定的条件把问题转化一般恒等式的证明．如：本题还可以由给定条件求得[a=sinαsinβ,b=tanαtanβ]，代入结论中的右边，消去[a、b，]即可将原问题转化为无条件三角恒等式的证明问题．

篇10：村委会单身证明

兹有我村村民XXX，身份证号：XXXXXXXXXXXXXXXXXXX，至今未婚。

特此证明

XXX村委会

篇11：村委会.(外伤)证明

新蔡县人民医院：

兹有我村村民__________，性别____，系_______乡_______村_______组，_______年___月___日生人，身份证号码___________________。受伤时间_______年___月___日___时，受伤详细经过：

受伤部位：______________________________。情况属实特此证明

________________村委会

（加盖公章）

年月日

邻居（外伤）证明

新蔡县人民医院：

我叫________系_____乡____村____组村民，与（患者）________同村，（患者）________身份证号码_____________。我于_____年___月___日___时，在（某地方）：_____________________看见（患者）________（伤详细经过）：

我是亲眼所见，自愿作证，后果自负。证明人联系地点：

证明人联系电话：

证明人身份证号码：

证明人签字（按指印）：

篇12：村委会户籍证明

兹证明我村村民某某某，现年(多少)岁，身份证号码：(18位)因(结婚、就业等)需要将户口迁往某地，希望户籍科办理户口迁移证为盼。特此证明!

然后在右下角落款某村村委会，再起一行，在村委会下方，写上年、月、日。并加盖村委会公章。

整个【户口迁移证明】完成

湖北省荆门市东宝区人民法院近日在审理一起抢劫案中，因担任刑事被告人李某的辩护人提出的李某户籍年龄为农历的辩解意见不能被合理排除，李某最后被法院认定犯罪时未满18周岁，由此被从轻判处刑罚。

10月12日至13日，被告人李某伙同他人在荆门城区连续抢劫作案4起，受害人达7人，涉案金额3390元。案发后，李某被抓获归案。公安机关户籍资料证明显示，李某生于1987年9月21日，案发时应当已满18周岁。但担任李某辩护人的李某之父庭上提出辩解意见，李某户籍上的`出生年月是农历，按公历计算应是1987年11月12日，据此计算他作案时应尚未满18周岁。

为了慎重起见，主审法官随即协同主审检察官赶赴李某出生地荆门市沙洋县五里镇，进行实地调查。李某的邻居纷纷证实，李某的生日应该在国庆节后，一位刘姓的女子更介绍，李某和其儿子差不多几天出生，按公历应该是11月份。当地村委会也出具证明，证明当时报户口时为李某报的是农历(阴历)。主审法官与检察官又驱车赶往当地派出所，派出所户籍民-警证实，从1982年人口普查开始，派出所登记的户籍资料都是由村里统一后上报的，也就是说村委会的工作决定了派出所户籍资料的正确与否。

法院审理后认为，派出所和刘某等人的证言、村委会证明均证实，李某户籍上出生日期为农历，李某之父提出的辩解意见不能被合理排除，应作出有利于被告人的判决，即认定李某犯罪时未满18周岁。据此，法院对李某从轻判处有期徒刑8年。东省利津县人民法院对一起村委会拒不履行协助落户职责被起诉的案件，判决被告利津县北岭乡某村委会于判决书生效之日起3日内为二原告办理户籍迁出证明。

13岁的张某与5岁的弟弟系被告村民，户口一直在被告村。，张某父亲发生车祸不幸去世。1月，张某与弟弟跟随母亲改嫁邻村。205月，母-子三人想把户口迁入邻村，该村遂为母-子三人开具了同意迁入的证明，但被告却只为张某母亲开具迁出证明，却以张某祖父不同意为由拒绝为张某姐弟开具证明，至此，派出所无法将二人户籍落入邻村。

篇13：村委会常用证明

一、换元法

例1 斜率为k的直线与曲线f ( x) = lnx交于A ( x1, y1) , B ( x2, y2) ( x1< x2) 两点, 求证: x1<< x2.

所以原不等式x1<1/k<x2成立.

注通过常见的比值代换 ( 令t =) , 就可以把复杂的二元不等式证明问题转化为一元不等式的证明, 使问题变得简单、常规.

例2 已知函数f ( x) = ex, x∈R的图像与g ( x) 的图像关于直线y = x对称.

( Ⅰ) 若直线y = kx + 1 与g ( x) 的图像相切, 求实数k的值;

( Ⅱ) 判断曲线y = f ( x) 与曲线y =x2+ x + 1 公共点的个数.

( Ⅲ) 设a < b, 比较的大小, 并说明理由.

分析 (Ⅰ) 、 (Ⅱ) 略.

(Ⅲ) 解法一:

设b - a = x ( x > 0) ,

令g ( x) = x + 2 + ( x - 2) ·ex, x > 0,

则g' ( x) = 1 + ( 1 + x - 2) ·ex= 1 + ( x - 1) ·ex.

g' (x) 的导函数g″ (x) = (1+x-1) ·ex=x·ex>0,

所以g' (x) 在 (0, +∞) 上单调递增, 则

g' ( x) > g' ( 0) = 0,

从而g ( x) 在 ( 0, + ∞ ) 上单调递增, 又g ( 0) = 0, 则在 ( 0, + ∞ ) 上g ( x) > 0,

注对于第 ( Ⅲ) 小题, 绝大部分的学生会望而生畏. 本题要比较两数的大小, 而大小关系又与函数的单调性密切相关, 由此可过渡到先作差, 再根据差式的结构, 构造恰当的函数, 利用导数研究函数的单调性, 借助单调性比较函数值的大小. 难点在于如何对差式变形出相同的式子“b - a”, 才能利用换元法构造函数.

二、主元法构造函数

以b为主元, 并将其视为x, 构造函数h ( x) = ( x - a) · ( ex+ ea) - 2· ( ex- ea) ( x > a) , 则

h' (x) = (x-a-1) ·ex+ea, 且h' (a) =0.

∵h″ (x) = (x-a) ·ex且x-a>0,

∴h' (x) 在 (a, +∞) 上单调递增,

∴当x>a时h' (x) >h' (a) =0,

∴h (x) 在 (a, +∞) 上单调递增,

∴当x>a时, h (x) >h (a) =0,

注: 例2 ( Ⅲ) 的解法一中作差后式子结构复杂, 虽然通过变形, 运用换元法后式子变得相对简单, 但该方法对式子的变形能力要求较高, 很多学生不易想到. 在本题中同时出现了a、b两个未知数, 解法二将其中b看作变量当主元x, a看成常数, 利用主元法构造一元函数, 再借助导数研究函数的单调性, 则可化难为易.

三、利用“相同结构”构造函数

例3 f ( x) 是定义在 ( 0, + ∞ ) 上的非负可导函数, 且满足xf' ( x) - f ( x) ≤0, 对任意正数a、b, 若a < b, 则必有 () .

A. af ( b) ≤bf ( a) B. bf ( a) ≤af ( b)

C.af (a) ≤f (b) D.bf (b) ≤f (a)

上是减函数. 由a < b, 得, 即af ( b) ≤bf ( a) .故选A.

注本例构造辅助函数关键在于将选项中的不等式转化为左右两边是相同结构的式子. 如选项A: 转化后的不等式的两边都有“”的相同结构, 所以考虑构造辅助函数F ( x) =.

例4已知函数f ( x) = ln ( x + m) + 2x2在点P ( 0, f ( 0) ) 处的切线与直线x + y = 0 垂直.

( Ⅰ) x1> x2> - m, f ( x1) - f ( x2) > a ( x1- x2) 恒成立, 求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 当x>0时, 求证ln (x+1) +2x2 (9x-5) .

分析由条件先求得m=1.

构造g ( x) = f ( x) - ax, 则g ( x1) > g ( x2) .

由x1> x2> - 1, 得g ( x) 在 ( - 1, + ∞ ) 上单调递增, 故只需g' ( x) =+ 4x - a > 0 在 ( - 1, + ∞ ) 上恒成立, 解得a≤0.

( Ⅱ) 略.

注本题 ( Ⅰ) 中的不等式含有x1, x2两个变量, 观察不等式的两边, 通过移项, 使其左右两边具有相同的结构“f ( x) - ax”, 再利用这一结构特征构造函数g ( x) = f ( x) - ax.

四、对数法构造函数

例5已知m, n都是正整数, 且1 < m < n, 证明: (1+m) n> (1+n) m.

证明要证 ( 1 + m) n> ( 1 + n) m, 只需证ln ( 1 + m) n>ln ( 1 + n) m, 即证:

∴f' (x) <0, 即f (x) 在[2, +∞) 上单调递减.

又m<n, ∴f (m) >f (n) .

注对指数型不等式, 通过两边同时取同底的对数 ( 常取以e为底的对数) , 将其转化为对数型不等式, 再根据具体情况 ( 如本例中利用“相同结构”) 构造辅助函数.

五、利用图像的对称性构造函数

例6 已知函数f ( x) = xe- x ( x∈R) .

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间和极值;

( Ⅱ) 如果x1≠x2, 且f ( x1) = f ( x2) , 证明x1+ x2> 2.

分析 ( Ⅰ) 函数f ( x) 在 ( - ∞ , 1) 上单调递增, 在 ( 1, + ∞ ) 上单调递减. 所以函数f ( x) 在x = 1 处取得极大值, 无极小值.

可知 (x1-1) (x2-1) <0, 不妨设x1<1<x2.

函数y = f ( x) 与y = f ( 2 - x) 的图像关于直线x = 1 对称, 在同一直角坐标系中, 作出y = f ( x) 与y = f ( 2 - x) 的大致图像 ( 如上) .

构造g ( x) = f ( x) - f ( 2 - x) = xe- x- ( 2 - x) ex - 2,

则只需证x > 1 时, g ( x) > 0.

由g' ( x) = ( x - 1) ( e2x - 2- 1) e- x, 得g ( x) 在 ( 1, + ∞ ) 上是增函数,

所以g ( x) > g ( 1) = 0.

注第 ( Ⅱ) 小题虽是不等式的证明, 但通过对x1+x2> 2 变形为x1> 2 - x2, 又转化为两个数比大小的问题, 因而考虑构造函数, 利用函数的单调性比大小. 本小题的突破口在于由不等x1> 2 - x2, 联想到f ( 2 - x2) 与f ( x2) 关于直线x = 1 对称, 因而构造函数g ( x) = f ( x) - f ( 2 - x) .