秦九韶算法优秀教案

秦九韶算法优秀教案（共4篇）

篇1：秦九韶算法优秀教案

秦九韶算法

学习目标

1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。学习重难点

重点：1.秦九韶算法的特点

2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 难点：1.秦九韶算法的先进性理解

2.排序法的计算机程序设计

学法与学习用具

学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。

2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。

学习用具：电脑，计算器，图形计算器 学习设想

（一）创设情景，揭示课题

我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式

f(x)x5x4x3x2x1当x5时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。

根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。我们把多项式变形为：f(x)x2(1x(1x(1x)))x1再统计一下计算当x5时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。

（二）研探新知

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1.秦九韶计算多项式的方法

f(x)anxnan1xn1an2xn2a1xa0(anxn1an1xn2an2xn3a1)xa0((anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(((anxan1)xan2)xa1)a0例1 已知一个5次多项式为f(x)5x52x43.5x32.6x21.7x0.8 用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值。解：略

思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？

（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当xx0时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？

练习：利用秦九韶算法计算f(x)0.83x50.41x40.16x30.33x20.5x1 当x5时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？ 例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式

f(x)a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0当xx0时的值的程序框图。解：程序框图如下：

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开始输入f(x)的系数：a1,a2,a3,a4,a5输入x0n=1v=a5 n=n+1v=v x0+a5-nn≤5是否输出v结束

练习：利用程序框图试编写BASIC程序并在计算机上测试自己的程序。

2.排序

在信息技术课中我们学习过电子表格,电子表格对分数的排序非常简单,那么电子计算机是怎么对数据进行排序的呢? 阅读课本P30—P31面的内容,回答下面的问题:(1)排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤有什么区别?(2)冒泡法排序中对5个数字进行排序最多需要多少趟?(3)在冒泡法排序对5个数字进行排序的每一趟中需要比较大小几次? 游戏:5位同学每人拿一个数字牌在讲台上演示冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程,让学生通过观察叙述冒泡排序法的主要步骤.并结合步骤解决例3的问题.例3 用冒泡排序法对数据7,5,3,9,1从小到大进行排序

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练习:写出用冒泡排序法对5个数据4,11,7,9,6排序的过程中每一趟排序的结果.例4 设计冒泡排序法对5个数据进行排序的程序框图.解: 程序框图如下:

开始输入a1,a2,a3,a4,a5r=1i=1ai>ai+1是否x=aiai=ai+1ai+1=xi=i+1r=r+1i=5否是r=5否是输出a1,a2,a3,a4,a5结束 思考:直接排序法的程序框图如何设计?可否把上述程序框图转化为程序? 练习:用直接排序法对例3中的数据从小到大排序 3.小结:(1)秦九韶算法计算多项式的值及程序设计

(2)数字排序法中的常见的两种排序法直接插入排序法与冒泡排序法(3)冒泡法排序的计算机程序框图设计

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篇2：秦九韶算法优秀教案

2013/04/16 Tuesday 09:41 算法案例---秦九韶算法

教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用.教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.教学过程：

一、复习准备：

1.分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2.设计一个求多项式

f(x)2x5x4x3x6x75432当x5时的值的算法.（学生自己提出一般的解决方案：将x5代入多项式进行计算即可）

提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算.优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)

二、讲授新课： 1.教学秦九韶算法：

① 提问：在计算x的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x，2然后依次计算xx，(xx)x，((xx)x)x的值，这样计算上述多项式的值，一共需

222要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）

② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是： 将f(5多x)4项

2x式

3变

5x2形

4x为

3x：

6x7，依次计算2555，55421，2153108，10856534，534572677

故f(5)2677.――这种算法就是“秦九韶算法”.（注意变形，强调格式）

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第1页，共2页 清华同方教育技术研究院数学所

2013/04/16 Tuesday 09:41 ④ 练习：用秦九韶算法求多项式f(x)2xx3x5x1当x4时的值.（学生板书师生共评教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）

⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式题？

改f(xanxan1xnn1432f(x)anxan1xnn1a1xa0的求值问

写axa)anxanxanxaxa1：

.首先计算最内层括号内一次多项式的值，即次多项式的值，即v2v1xan2v1anxan1，然后由内向外逐层计算一

.，v3v2xan3，，vnvn1xa0⑥ 结论：秦九韶算法将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，整个过程只需n次乘法运算和n次加法运算；观察上述n个一次式，可发出

vk的计算要用到

vk1的值，v0an,vvk1xank(k1,2,,n)v0an若令，可得到下列递推公式：k.这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式x5时的值并画出程序框图.f(x)5x2x3.5x2.6x1.7x0.85432当2.小结：秦九韶算法的特点及其程序设计

三、巩固练习：

1、练习：教材P35第2题

2、作业：教材P36第2题

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篇3：南宋秦九韶的数学成就

一、秦九韶的“大衍术”的理论

秦九韶在许多的数学分支领域内取得的成就是非常巨大的，尤其在“大衍术”的理论上的概况与总结，是其对数学史上又一巨大贡献。秦九韶在处理同余问题的方法上，一是采用“大衍术”，二是“治理术”（治理演纪术）。“大衍术”是一次同余式组问题的通常解法，而治理术则是专为历元推算设计的程序，两者都是在“大衍术”的基础上实现的。秦九韶的大衍总数术并不是将剩余定理推广到模数上的两两非互素的一般形式，而是将模数转化为两两互素的情形，这在当时中国古代历史条件下是个非常棘手的问题，而秦九韶通过转化元数为定数的思路及算法，成功地解决了这一问题，具有重大的历史价值和意义。

他的“大衍术”是对《孙子算经》题中的“物不知数”的算法推广，“大衍术”是求数组的一般方法，秦九韶将其称之为“乘率”，他还注意到当除数都为两两互素的现象，并且其个数也都仅限于三个，才能求解的特例，还需要继续探求更普遍的算法，并给出了通过使一组数据转化为两两互素的方法，但当时中国还没有互质及最小公倍数的概念，所以转化起来较为复杂。我们可以证明，秦九韶的算法是正确无误的，且论证十分严密。中国的现代数学家通过研究得出，秦九韶的“大衍术”在某些方面和现代计算机程序的设计有着惊人相似的地方，其中就包含了程序设计的许多方法及技巧。在十八、十九世纪的国外，欧拉和高斯都同时对一次同余组进行了论证和研究，并独立地获得了与“大衍术”相一致的结论。在欧洲最早接触一次同余问题的是意大利数学家列奥纳多·斐波那契（约1170—1250），他在《算盘之书》中给出了两个一次同余的问题，但是没有相应的一般算法。直到十八、十九世纪，才由数学家欧拉（1743）和高斯（1801）得出了与“孙子剩余定理”相似的结论[1]95。东方数学无疑在一次同余问题的研究上处于优先的地位，印度学者在一次同余分析方面也有一定的兴趣与探讨。早在公元6世纪到12世纪期间，印度数学家都沿用一种类似于“大衍术”的算法来求解一次不定方程组，而这些从未有过像秦九韶“大衍术”这样完整、系统的理论总结与概括。所以，西方数学家将秦九韶这项重大的数学发现称为“中国剩余定理”，是完全符合历史史实的科学论断。

二、秦九韶对高次方程求解的贡献

中世纪数学的中心课题和难题就是寻求对高次方程问题的求解。秦九韶关于高次方程的数值解法，正是中国传统数学的辉煌成绩的出色总结。中国的传统数学以重视其实用性为最基本的特征，所以，算家们一致致力于高次方程的数值解法问题，即开方术的应用问题。早在汉代的《九章算术》里面就有了对开方术系统和完整的探讨，并成功运用开方法求解了二次方程问题[2]21。早在11世纪初期，贾宪通过对刘益的正负开方算术的推广成为一般高次方程的数值解法，其优点是可以随乘随加，方法非常简单，且还可以推广到对高次方程求正根的问题上去。秦九韶的《数书九章》汇集了汉朝以来开方术的大成，通过运用“增乘开方”法的思想成功解决了高次方程有理数根和无理数根近似值的计算问题，他所设计的演算程序就是世人称道的“秦九韶方法”。而西方数学关于高次方程求解的过程却非常漫长，还延续着符号代数的方式，且以寻求解的公式为目的，这在15世纪代数符号被普遍采用后才逐渐发展起来。在16世纪，欧洲才有了三次方程公式的求解，18世纪才开始了对方程论的研究，而在19世纪才有对于高次方程数值求解的探讨[3]193。在1804年，意大利数学家罗飞妮创造出一种通过逐步近似求解数字高次方程的无理数根的近似值的方法。在1819年，英国的霍纳发表的论文“连续近似求解任何次数方程的新解法”，才正式提出了与宋代算法中增开方法相同的演算步骤，这要比秦九韶的方法要晚五六百年的历史。

三、秦九韶对代数学与几何学的贡献

秦九韶的数学成就还表现在很多方面，在代数学方面，他继承并改进了《九章算术》中的方程计算方式，尤其是在计算方法上进行了有效的改进。秦九韶在领悟《九章算术》中方程术的情况下，通过将题设中的20个数据列为方程，来解四元线性方程组，并将数据依次相乘和直除，并画出了十四幅图形详细注释变换中的因果关系，直到系数矩阵转化为单位矩阵才算结束。其计算过程按部就班，准确无误，是中国史料中完整地记载多元方程演算过程的实录，非常具有史料价值，并早于欧洲的高斯2000多年采用这种消去法。在几何学方面，秦九韶发扬了《九章算术》和《海岛算经》里的测算方法，对勾股及“重差”的算法进行了有效的阐述，尤其是其斜边求积公式的推算与应用。我国古代还没有素数的概念，秦九韶首创“连环求等”的方法，以实现几个数的最小公倍数。在推陈出新方面，秦九韶模拟了《九章算术》中的以漆、漆题，衍为易麦、踏曲题等，认为题意出自于“盈不足”且不落窠臼，开辟了新的途径，达到了另辟蹊径、推陈出新的效果[3]57。秦九韶早于德国数学家高斯500多年，在大衍总数术中“用数”的互通及借贷关系中正确地且富有一定道理地说出了它们之间的联系，而现代人只能通过采用现代数论的知识来考察其内涵。秦九韶在几何领域也为中国传统数学的研究填补了空白，其中的“三斜求积”就是著名的一例，这使得希腊哲学家海龙创造的用边长来表示三角形面积的公式晚了好些年。秦九韶在数值解多项式方程方面也有所建树，他创造出“投胎”、“换骨”的方法，并允许多项式方程系数可以为负数，其“兴田求积”的草文是一典型的例子，说明数值解方程的方法已经达到了非常成熟的地步[4]211。这比五个世纪之后的英国人霍纳的类似方法在质量上都还要高。

三、总结

秦九韶的数学著作虽然不多，但不管是他的数学成就还是数学思想、方法论都有巨大的创新与贡献，不愧为一代宗师。秦九韶指出了数学起源于“河图洛书”，且以后的数学成果都与其有关，这方面秦九韶的贡献是非常可贵的。秦九韶在追求数学方法的一般化方面取得了重要成就，尤其是其“大衍术”的重要成果，在当时世界上处于领先地位。秦九韶概况了宋元时期中国在传统数学方面的主要成就，仅就高次方程数值解法和一次同余方程式组的解法两个内容来说，就已经代表了中世纪世界数学发展的前沿水平与最高水准。秦九韶的数学成就标志着中国古代数学的最高峰，对以后中、外数学的发展都具有非常重要及深远的影响。

当然，秦九韶的数学成就是建立在对历朝算术家长期探索与不断积累的基础上的，但仅从数学发展史的学术水平来说，秦九韶作为南宋、元朝时期算家的卓越代表是当之无愧的。众所周知，中世纪数学的中心课题是寻求应用问题的解决方法，当时最难的问题是如何有效求解高次方程，而对于不定问题则主要表现为同余与不定方程求解等方面。秦九韶给出了高次方程的数值解法和解一次同余问题的总数术，其“大衍术”与“增乘开方术”都已经成为了经典，并在中国传统数学上获得了出色的成就，其实这也标志着中世纪世界数学成就的最高水准。

参考文献

[1]李文林.数学史教程[M].北京:高等教育出版社、施普林各出版, 2002.

[2]郭书春.《九章算术》和刘徽注中之率概念及其应用试析[A].科学文集刊编辑委员会.科学史集刊 (十一) [C].北京:地质出版社, 1984.

[3]朱一文.秦九韶“历家虽用, 用而不知”解[J].自然科学史研究, 2011 (2) .

篇4：秦九韶的是与非

咱们先看一段湖州藏书家陆心源写的《同治乌程县志跋二》，其间说：“同治八年上元，宗湘文源翰权知湖州，邀余及汪谢城、广文丁宝书处士同修《湖州府志》，以三年之久。谢城仅认‘蚕桑’一门，馀皆余与宝书任之。及《府志》成，郡人议修县志，谢城籍录乌程，随以《乌程志》属之。其各传皆取材于《府志》，而于‘宋寓贤’增《秦九韶传》。考九韶之为人，有不孝、不义、不仁、不廉之目。先有议幕之除，首遭驳论，又除农丞，措置平江米餫，后省再驳，其命遂寝。后村谓其人暴如虎狼，毒如蛇蝎，非復人类……周密与九韶同寓湖州，或有乡里私怨，后村气节文章名重当世，且见之奏驳，必非无影响者。故余修《府志》，于《寓贤》不为立传，而谢城矜为独得，不免变乱是非矣。”

这段话大致的意思是，同治八年的时候，宗源翰（字湘文）任湖州权知州事的时候，他邀请陆心源、汪谢城、丁宝书三人修《湖州府志》。府志修成后，当时汪谢城（即汪日桢）在《乌程志》“宋寓贤”这个栏目内，增加了《秦九韶传》。为此，陆心源提出自己不同的看法，他认为秦九韶没有资格收入在“宋寓贤”内，因为秦九韶的人品很差。陆心源说，周密跟秦九韶当时一起同在湖州寓居，他或许是跟秦九韶有私下的恩怨，因此才说了许多秦九韶的坏话。那么，后村（即刘克庄）这个人，他是一个很有文章气节的人，而且他举的事例，都收录在奏驳中，应该是有依据的。

同治《湖州府志》是陆心源负责编修的，他不同意为秦九韶立传。因此，秦九韶便没有被录在湖州寓贤栏内。我们现今看到《湖州府志》内，均没有关于秦九韶的记载。

秦九韶曾经在湖州生活过，他那本有名的《数书九章》一书，便是在1244—1247年间到湖州为母亲三年守丧期内完成的。

新世纪不久，在四川安岳县，也就是在南宋1208年秦九韶出生的那个地方，建起了一座“秦九韶纪念馆”，里面还塑造了秦九韶像。秦九韶纪念馆在2000年12月落成。开馆仪式上，大批专家院士和科技人才云集安岳。纪念馆的落成，也标志着国内外专家院士对秦九韶数学成就的充分肯定。

秦九韶的父亲秦季槱是一位朝廷命官，在秦九韶很小的时候，父亲在朝廷任工部郎中和秘书少监，当时的工部郎中负责掌管营建，秘书省则负责掌管图书，在这样一位父亲身边生活，秦九韶自少能够有机会接触天文历数这方面的知识。秦季槱还有三位好友，他们是同年登进士的挚友，许奕、魏了翁和真得秀，这三人跟秦季槱在政治观点上趋向一致，他们是好朋友，后来也成了秦九韶的老师。还有一人是秦九韶的启蒙老师，人称“隐君子”的陈元靓。陈元靓是福建人，很有学问，曾著《事林广记》一书，内容包含天文地理、社会文学。据传，陈元靓还精通数学。

秦九韶在1231年考中进士，后来做过县尉、建康府通判。他虽然为官，可是他更喜爱建筑、数学这些自然科学。1238年，他到杭州为父亲守丧，发现西溪上面没有一座桥，百姓出行很不便，就自行设计造了一座桥。后来此桥以他的名字更名“道古桥”。他在湖州造的住宅，也是自己设计，堂分七间，极其宏伟宽敞，颇显其建筑才能。1244年，正当他在南京出任建康府通判时，秦九韶年迈的母亲病故。十一月，他解官离任，回到湖州为母亲守灵。在这三年守灵时期，他潜心研究，著书《数术大略》（即《数书九章》）。1248年，也就是淳祐八年，皇帝获悉他在天文历法有突出的成就而破格召见他，他随机将《数术大略》呈给皇上。

该书在明代时收入《永乐大典》，改名《数书九章》。清代时收入《四库全书》。秦九韶在自序中说：“窃尝设为问答，以拟于用，积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之。”秦九韶在书中叙述到九类问题：即大衍类，天时类，田域类，测望类，赋役类，钱谷类，营建类，军旅类，市物类。全书包括数学、赋税以及营造等等方面。他把数学和社会经济密切联系起来。

然而，秦九韶是一个封建官吏，他身上有很强的官瘾以及很浓的追求荣华富贵的思想。因此，当完成《数书九章》以后，他就放弃了学术研究而转向跑官要官沉迷于功名利禄。周密《癸辛杂识续集》载，宝祐五年（1257），他去扬州拜谒贾似道，以重金贿赂之。也许是贾似道爱他的人才，也许贾似道已经被他收买，而据周密《齐东野语》介绍，贾似道生母胡氏为湖州德清人，贾似道对母亲非常畏惧，所以，照常理推断，秦九韶不会不去拜谒胡氏，也许贾似道看在同乡的面子上，对其特别照顾，反正贾似道写了一个手书交给他，让他去长沙找李曾伯。当时李曾伯在长沙担任荆湖南路安抚使。1258年正月，秦九韶在长沙见到李曾伯，李曾伯知道秦之为人，不予安排。秦后去广州，广州守臣安排秦九韶暂代琼州守。可是，秦九韶到任只有三个月即被免职。关于免职的原因，刘克庄称其“到琼州仅百日许，郡人莫不厌其贪暴”。后来，秦九韶又回到家乡湖州投入到吴潜的麾下。吴潜也是湖州人，当时在湖州丁母忧，两人由此交往密切。吴潜在鄞县任沿海制置使，不久又升为左丞相。秦九韶在贾似道和吴潜之间游走，表明他在政治上飘忽不定，因为吴潜跟贾似道当时分别代表着主战派和投降派。随着吴潜后来被弹劾，贾似道在朝廷取得了绝对权势，秦九韶也受到株连。史料记载，吴潜曾经任命秦九韶担任“司农寺丞”，前去平江措置米餫，不久，遭到驳议，其命遂寝。

秦九韶沉迷仕途，没有为老百姓做过几样像样的事情。但是，他的学识成就，尤其是在数学研究领域却有着突出的贡献。新中国的数学家梁宗巨教授对他非常崇拜。而美国的科学家萨顿称赞“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的科学家之一”。现在公认秦九韶是中国十三世纪四大杰出数学家之一，其余三人分别是杨辉、李冶和朱世杰。