推理与证明试题与答案

推理与证明试题与答案（精选6篇）

篇1：推理与证明试题与答案

1、求证：

(1)a2b23abab);(2)+>22+5。

2、设a，b，x，y∈R，且

3、若a,b,c均为实数，且，,（8分）

求证：a，b，c中至少有一个大于0。（8分）

4、用数学归纳法证明： 1222n2n(n1)（Ⅰ）；（7分）1335(2n1)(2n1)2(2n1)

（Ⅱ）1

5、数学归纳法证明：

6、已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论。（12分）

能被整除,.（8分）1111nn；（7分）2342

17、（12分）观察以下各等式：

202003 sin30cos60sin30cos60

202000sin20cos50sin20cos5040

3，sin15cos45sin15cos454202000

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性

9、（10分）已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：，不可能是等差数abc

列。

10、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论。

1、证明：（1）∵a2b2

2ab,a23,b23;

将此三式相加得

2(a2b23)2ab,∴a2b23abab).（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）>（22+），即证242240。

∵上式显然成立,∴原不等式成立.2、可以用综合法与分析法---略

3、可以用反证法---略

4、（1）可以用数学归纳法---略

（2）当nk1时，左边(1221111k)(kk1)k 22122

11111k（k

kk）k2kk1=右边，命题正确 222

22k项

5、可以用数学归纳法---略

6、解：(1)a1＝37151, a2＝, a3＝,猜测 an＝2－n248

21,2k(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－11,a,k＋1＝2－2k2k

11都成立2n4即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N, an＝2－

7、猜想：sin2cos2(30)sincos(30)

证明： +

1cos21cos(6002)sin(3002)sin300

sincos(30)sincos(30)2222200

cos(6002)cos2111[sin(3002)]222

2sin(3002)sin30011 01[sin(302)]222

3113 00sin(302)sin(302)

根据①②得n∈N+, an＝2－2n都成立

篇2：推理与证明试题与答案

13.－2114)①③⑤15)

2n(n116)n1)17.n(n1)(n2)......(3n2)(2n1)

218.n2n6

219（本大题30分）1）证明：左边=3

a

bbacbbcacc

a因为：a、b、c为正数所以：左边3

2abcbba2bc2acc

a

32229abc111

abc9（2）证明：要证上式成立，需证n2n2n1…………2分需证(n2n)2(2n1)2需证n1

n22n…………6分

需证(n1)2n22n需证n2

2n1n2

2n，只需证1>0…………8分

因为1>0显然成立，所以原命题成立…………10分（3）证明：假设a,b中没有一个不少于0，即a0，b0则：ab0…………3分又abx2

12x2x2

2x1(x1)2

0…………8分

这与假设所得结论矛盾，故假设不成立

所以a,b中至少有一个不少于0…………10分 20（15分）

证明：A、B、C成等差数列

A+C=2B

由A+B+C=1800得：B=600…………4分

5分

…………

COSB

1即：a2c2b

22ac1

b2a2b2a c①…………8分

又 a、b、c成等比数列

b2ac②…………10分

由①②得：aca2b2ac

即：(ac)20

ac

ABC是等腰三角形………13分

又 B=600

ABC是等边三角形…………15分

21．（15分）

解：（1）取a2,b1可知：abba，又当a1,b1ba

2时，ab

由此猜测abba对一切0bae成立…………5分

（2）证明：

要证abba对一切0bae成立

需证lnablnba

需证blnaalnb 需证lna

alnb

b…………10分 设函数f(x)lnx

xx(0,e)

f(x)1lnx

x2，当x(0,e)时，f(x)0恒成立f(x)lnx

x在(0,e)上单调递增…………13分f(a)f(b)即lnalnb

ab

篇3：中考中的推理与证明

一、证明中的定义与命题

例1 (2014·浙江宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是().

A. b=-1 B. b=2

C. b=-2 D. b=0

分析 先根据判别式得到Δ=b2-4,在满足b<0的前提下,取b=-1得到Δ<0,根据判别式的意义得到方程没有实数解,于是b=-1可作为说明这个命题是假命题的一个反例.

解:Δ=b2-4,由于当b=-1时,满足b<0,而Δ<0,方程没有实数解,所以当b=-1时,可说明这个命题是假命题. 故选A.

点评 本题考查了根的判别式、命题与定理. 判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果……那么……”的形式;有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 本题也考查了根的判别式.

例2 (2014·广西崇左)写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.

命题:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:“等角对等边”).

已知:如图,_____________.

求证:_____________.

分析 根据图示,分析原命题,找出其条件与结 论 ,然后根据 ∠B = ∠C证明△ABC为等腰三角形,从而得出结论.

解:已知,如图1,在△ABC中,∠B=∠C.

求证:AB=AC.

证明:过点A作AD⊥BC于点D,

∴∠ADB=∠ADC=90°.

在△ABD和△ACD中,

∠ADB=∠ADC,∠B=∠C,AD=AD,

∴△ABD≌△ACD(AAS),

∴AB=AC.

点评 本题主要考查同学们对命题与证明的理解,难度适中.

二、证明中的推理与论证

例3 (2014·浙江绍兴)如图2,汽车在东西向的公路l上行驶,途中A、B、C、D四个十字路口都有红绿灯. AB之间的距离为800米,BC为1 000米,CD为1 400米,且l上各路口的红绿灯设置为:同时亮红灯或同时亮绿灯,每次红(绿)灯亮的时长相同,红灯亮的时长与绿灯亮的时长也相同. 若绿灯刚亮时,甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶,同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶,这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,则每次绿灯亮的时间可能设置为().

A. 50秒 B. 45秒

C. 40秒 D. 35秒

分析 首先求出汽车行驶各路段所用的时间,进而根据红绿灯的设置,分析每次绿灯亮的时间,得出符合题意的答案.

解:∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶,同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶,

∴两车的速度为:30000/3600=25/3(m/s）,

∵AB之间的距离为800米,BC为1 000米,CD为1 400米,∴分别通过AB,BC,CD所用的时间为:,

∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,∴当每次绿灯亮的时长为50 s时,∵,∴甲车到达B路口时遇到红灯,故A错误;

当每次绿灯亮的时长为45 s时,

∵,∴乙车到达C路口时遇到红灯,故B错误;

当每次绿灯亮 的时间长40 s时 ,∵,∴甲车到达C路口时遇到红灯,故C错误;

当每次绿灯亮的时长为35 s时,

∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,故D正确.

故选D.

点评 此题主要考查了推理与论证,根据题意得出汽车行驶每段所用的时间,进而对选项进行逐一分析是解题关键.

三、证明中的互逆命题

例4 (2012·浙江温州)下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是().

A. a=-2 B. a=-1

C. a=1 D. a=2

分析 要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明这个命题是假命题.

解:用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是:a=-2,∵(-2)2>1,但是a=-2<1,∴A正确.

点评 此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可,这是数学中常用的一种方法.

例5 (2010·辽宁鞍山)用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.

分析 根据反证法的步骤进行证明.

证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,则大于或等于90°.

根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底角的和大于或等于180°.

则该三角形的三个内角的和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,故假设不成立.

所以等腰三角形的底角是锐角.

点评 反证法的步骤是:

(1) 假设结论不成立;

(2) 从假设出发推出矛盾;

(3) 假设不成立,则结论成立.

篇4：推理与证明

例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（ ）

A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]

解析 法一：利用类比推理.

本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.

法二：利用演绎推理.

∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，

则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，

∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，

而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，

则[f(-1)=-f(1)=-12]，

∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，

再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，

∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.

点拨 本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：

[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]

例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.

[…]

分析 要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].

解 法一：利用归纳推理.

设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法二：利用递推关系.

由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为

[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]

而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，

第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，

…

第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]

以上[n]个不等式相加得

[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]

而[f(1)=1]，

故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法三：利用组合数的性质.

设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]

而[C22=C33]，

则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]

[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

法四：归纳—猜想—证明.

由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，

[f(3)=10=3×4×56,]…

猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

下面用数学归纳法证明该结论.

（1）显然[n=1]时，猜想成立；

（2）假设[n=k]时猜想成立，

即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，

当[n=k+1]时，由法二知：

[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]

∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]

[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]

故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]

[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]

所以[n=k+1]时，猜想也成立.

综上，对任意正整数[n]猜想均成立，

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

点拨 本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.

例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].

证 法一：假设三式同时大于[14]，

即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]

[∵ a、b、c∈(0,1)]，

[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，

又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]

同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]

[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，

这与假设矛盾，故原命题得证.

法二：假设三式同时大于[14]，

[∵ 00]，

[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]

同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]

三式相加得[32>32]，这是矛盾的，

故假设错误，所以原命题正确.

点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.

当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.

用反证法的步骤是：

①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；

②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]

③因此结论不能否定，结论成立.

例4 用数学归纳法证明等式 ：

[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.

证明 （1）当[n=1]时，

左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，

∴左式=右式，等式成立.

（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，

即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]

[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，

则当[n=k+1]时，

[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]

[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]

[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]

[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]

[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]

[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]

[+1(k+1)+k+12(k+1).]

即[n=k+1]时，等式也成立，

由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.

点拨 在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.

由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.

例5 用数学归纳法证明：

[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].

证明 （1）当[n=2]时，

左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，

∵ [649>5]， ∴[649>5]，

即[n=2]时，原不等式成立.

（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，

即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],

则[n=k+1]时，

左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]

[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]

右边=[2k+3]，要证左边>右边，

只要证[2k+22k+1>2k+3]，

只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，

只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]

只要证4>3.

而上式显然成立，所以原不等式成立，

即[n=k+1]时，左式>右式.

由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.

点拨 运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.

例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].

证明 （1）[n=2]时，

左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],

右式=[2+22=2]，

∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.

[n=3]时，

左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],

右式=[3+22=52]，

左式-右式=[15+17-18>0]，

左式>右式，不等式成立.

（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，

即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，

当[n=k+1]时，

[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]

[+12k+2+⋯+12k+1]

[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]

[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]

[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]

即[n=k+1]时，不等式也成立.

由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，

都有[f(2n)>n+22].

点拨 注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.

【专题训练九】

1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]

B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式

2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）

A. 使用了归纳推理

B. 使用了类比推理

C. 使用了“三段论”，但大前提错误

D. 使用了“三段论”，但小前提错误

3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].

4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a]（ ）

A. 都不大于2 B. 都不小于2

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：

①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；

②[fn(n+1)2]；

③[n(n+1 )]；

④[n(n+1)f(1 )].

其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（ ）

A. ①③ B. ①②

C. ①②③④ D. ①②③

6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式： ；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .

7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（ ）

A. [P(n)]对所有自然数都成立

B. [P(n)]对所有正偶数都成立

C. [P(n)]对所有正奇数都成立

D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立

篇5：推理与证明测试题

一.教学内容：

推理与证明

二.本周教学目标：

1.结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。

2.结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。

3.了解直接证明的两种基本方法——分析法与综合法;了解间接证明的一种基本方法——反证法。

三.本周知识要点：

(一)合情推理与演绎推理

1.归纳推理与类比推理

(1)已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出的值。

(2)若数列为等差数列，且，则。现已知数列为等比数列，且，类比以上结论，可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗?

【学生讨论：】(学生讨论结果预测如下)

(1)

由此猜想，(2)结论：

证明：设等比数列的公比为，则，所以

所以

——如(1)是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

——如(2)是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。

说明：

(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

(2)归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同的性质。

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)。

(3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性

质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

(4)类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。

2.演绎推理

现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢?原来在它们的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。

被人们称为世界屋脊的西-藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西-藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山校谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢?

科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。

1.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。

2.演绎推理的一般模式

分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋的推理过程：

鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提

在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提

喜马拉雅山曾经是海洋……结论

M-p(M是p)

常用格式：

S-M(S是M)

S-p(S是p)

三段论：(1)大前提……已知的一般原理

(2)小前提……所研究的特殊情况

(3)结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断

用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质p，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质p。

练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么?

(1)因为指数函数是增函数，(2)因为无理数是无限小数

而是指数函数而π是无限小数

所以是增函数所以π是无理数

(3)因为无理数是无限小数，而(=0.333……)是无限小数，所以是无理数

说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。

比较：合情推理与演绎推理的区别与联系

从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。

就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。

(二)直接证明与间接证明

1.综合法与分析法

(1)综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。

它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。

(2)分析法

我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法，它的特点是：从未知看需知，再逐步靠近已知。

2.间接证明

反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

(三)数学归纳法

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值时结论正确;

(2)假设当n=k(k∈，且k≥)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

【典型例题】

例1.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等。

证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提

在△ABD中，AD⊥BC，∠ADB=90，………………………小前提

所以△ABD是直角三角形。……………………………………结论

同理，△AEB也是直角三角形

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提

所以DM=，……………………………………………………结论

同理，EM=。所以DM=EM

例2.已知，求证：。

证法一(综合法)：

证法二(分析法)：，为了证明，只需证明，即，即，即，即.成立，成立

例3：证明：不能为同一等差数列的三项。

证明：假设、、为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足

=+md①=+nd②

①n-②m得：n-m=(n-m)

两边平方得：3n2+5m2-2mn=2(n-m)

2左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数

所以，假设不正确。即、、不能为同一等差数列的三项

例4.通过计算可得下列等式：

……

将以上各式分别相加得：

即：

类比上述求法：请你求出的值。

解：

……

将以上各式分别相加得：

所以：

例5.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，且>0。不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数。

(Ⅰ)求与的关系式;

(Ⅱ)猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

解：(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

(II)若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈，从而由(*)式得

因为x1>0，所以a>b。

猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。

【模拟试题】

1.如果数列是等差数列，则

A.B.C.D.2.下面使用类比推理正确的是

A.“若，则”类推出“若，则”

B.“若”类推出“”

C.“若”类推出“(c≠0)”

D.“”类推出“”

3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4.设，n∈N，则

A.B.-C.D.-

5.在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为

A.29B.254C.602D.200

46.函数的图像与直线相切，则=

A.B.C.D.17.下面的四个不等式：①;②;③;④。其中不成立的有

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为。

9.从中，可得到一般规律为(用数学表达式表示)

10.函数y=f(x)在(0，2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是。

11.在△ABC中，判断△ABC的形状

12.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：。

13.在各项为正的数列中，数列的前n项和满足

篇6：2011推理与证明测试题

1一、选择题（每题5分，共55分）

1.复数

534i的共轭复数是（）B．34i 5

5nA．34i nC．34iD．34i 552.设f(n)=ii(n∈N)，则集合{f(n)}中元素的个数为（）

A．4B．3C．2D．

13．设ｚ∈C，则方程|ｚ－ｉ|－|ｚ+ｉ|＝2所表示的图形是（）

A．双曲线B.线段C.一条射线D.两条射线

4．设z=x+yi（x,yR），且|z4|2,则y的最小值是（）x

A． B．3C．

3D．-1

5．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都不是

6．在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

1361015 则第n个三角形数为（）

11n(n1)C.n21D.n(n1)2

21117．设a,b,c(,0),则a,b,c（）bca

A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2 A.nB.8．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca． 证明过程如下：∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，∴a2b2c2abbcca．

此证法是（）Ａ．分析法

Ｂ．综合法Ｃ．分析法与综合法并用Ｄ．反证法

9．用数学归纳法证明等式123(n3)时，左边应取的项是（）

Ａ．1Ｂ．12Ｃ．12

3(n3)(n4)

第一步验证n1(nN)时，2Ｄ．123

410．用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，当nk1时，对于34(k1)152(k1)1可变形为（）

·34k152·52kＣ．34k152k1Ｄ．25(34k152k1)Ａ．56·34k125(34k152k1)Ｂ．34

11．观察式子：1（）Ａ．1Ｃ．1

131151117，11，，则可归纳出式子为***

11111111

Ｂ．(n≥2)1(n≥2)222222

23n2n123n2n1

1112n11112n22(n≥2)Ｄ．1222(n≥2)2

23nn23n2n1

二、填空题（每题5分，共25分）

12.实数x、y满足（1–i）x+(1+i)y=2,则xy的值是.1 13.复数Z满足12i43i，那么Z=________.

14.设O是原点，向量OA,OB对应的复数分别为23i,32i，那么向量BA对应的复数是____________.15．若复数z满足1z= i ,则z1的值为

1z

16．已知ABC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r（用SABC表示ABC的面积），则

SABC1r(abc)；类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱

锥体积VABCD

三、解答题：70分

17.（本小题12分）用分析法证明： 已知ab0,求证aab

18．（本小题14分）用反证法证明：已知a,b,c均为实数，且ax2y 求证：a,b,c中至少有一个大于0

2,by22z

,cz22x



6，DBC，B2BDBC·19．（本小题14分）如图（1），在三角形ABC中，ABAC，若A则A；

若类比该命题，如图（2），三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．

5an

20.（本小题14分）数列{an}中，a1,an1(nN)，用数学归纳法证

22(an1)

明：an2(nN)

21.（本小题16分）是否存在常数a、b、c，使等式

122232n(n1)2

结论

n(n1)

(an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你的1

5R(SABCSABDSACDSBCD

3

|()|2

16(1,),(3,3),sin,[解析]要证aab，只需证(a)2(ab)2即ab2abab，只需证b

ab，即证ba

显然ba成立，因此aab成立 20(1)当n=1时, a1

2,不等式成立 2

（2）假设当n=k时等式成立，即ak2(kN)，(ak2)2ak

则ak120，ak12 2

2(ak1)2(ak1)

当n=k+1时，不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

19解：命题是：三棱锥ABCD中，AD面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S△·S△BCD是一个真命题． ABCS△BCM

证明如下：

在图（2）中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DEBC． 因为AD面ABC，所以ADAE． 又AMDE，所以AE2EM·ED． 于是S

△ABC

111BC·AEBC·EM·BC·EDS△BCM·S△BCD． 222

21【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切nN，等式都成立



abc24

a3

[解析] 把n=1,2,3代入得方程组4a2bc44，解得b11，

9a3bc70c10

猜想：等式1223n(n1)

n(n1)

(3n211n10)对一切nN都成立 12

下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即1223k(k1)

222

k(k1)

(3k211k10)则12

122232k(k1)2(k1)(k2)2

k(k1)

(3k211k10)(k1)(k2)2

k(k1)(k1)(k2)(3k5)(k2)(k1)(k2)2[k(3k5)12(k2)]

1212(k1)(k2)[3(k1)211(k1)10]

所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对nN等式都成立

【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式