证明与全等一

证明与全等一（精选4篇）

篇1：证明与全等一

暑假辅导学案

辅导班级或学生：辅导时间：周学科：

证明

（一）证明：根据已知的定义、基本事实、定理（包过推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。外角：由△ABC的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角

外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

证明几何命题时，表达格式是：首先按题意画出图形，分清命题的条件和结论，结合图形，在‘已知’中写出条件，在‘求证’中写出结论，然后在‘证明’中写出推理过程（添加辅助线要写入证明中）

例题1：证明命题：三角形不共顶点的三个外角的和等于360°

A

2：已知，如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证：AB//DE

C

E

3:已知：如图,BC垂直AC于点C，CD垂直AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE//CD

4.命题‘若n是自然数，则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数’是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；然后认为是真命题，给出证明。

5.如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°，∠A＝30°（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。（2）Rt△ABC和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（）

（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗？并请说明理由。

全等三角形及判定

（一）能完全的重合的图形称为全等图形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形重合时（1）能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角；‘全等’可用符号‘≌’来表示，如△ABC和△DEF全等，记做‘△ABC≌△DEF’，读做三角形ABC全等于三角形DEF

1．能够完全重合的两个图形叫做

全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（二）、全等三角形的对应元素及表示

1．平移翻折旋转

A

D

A

BC

B

C

甲

EF

乙

D

D

B

丙

E

C

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）

（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条）——重合的（3）对应角（三个）——重合的3．寻找对应元素的规律

（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；

（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．

简单记为：（1）大边对应大边，大角对应;

(2)公共边是对应边，公共角是4．“全等”用“”表示，读作“

如图甲记作：△ABC≌△DEF读作：△ABC全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：

注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（三）、全等三角形的性质

课堂探究

活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：

A

BDB

E E

BCE第（1）题图第（4）题图

B

DB

D

EC

4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．

B答：∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；DAB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 A

5．如下图，ABC≌CDA，并且BCAD，则下列结论错误的是（）

A．12B．ABCDC．BDD．ACDC

6．如下图，ABC≌BAD，若AB6，AC4，BC5，则AD的长为（）

C

A．4B．5C．6D．以上都不对

7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（）A．ABC≌DEFB．DEF90C．ACDFD．ECCF 8．在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（A．AB．BC．CD．B或C

F）

篇2：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

篇3：2011中考之图形的认识与全等

一、图形的认识

1. 线段、射线和直线

（1）线段的性质：两点之间，线段最短.

（2）两点确定一条直线；两条直线相交，有且只有一个交点.

（3）线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的点的集合. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2. 角

（1）角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）.

（2）互为余角（两角和为90°）、互为补角（两角和为180°）.

（3）角平分线是指到角两边距离相等的点的集合. 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

3. 平面上直线的位置关系

（1）对顶角相等.

（2）垂线的基本性质：①经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. ②垂线段最短.

（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

（4）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. ③平行于同一条直线的两条直线平行.

（5）①经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补. ③在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条. ④两条平行线间的距离处处相等. ⑤平行线间的平行线段相等.

二、图形的全等

1. 概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形.

（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角.

（3）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

2. 三角形全等的判定

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）.

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）.

（3）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.

（4）对于直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

中考试题剖析

（2011山东泰安）如图1，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）

A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°

A.

本题考查了平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质. 可过点B作已知平行线的平行线，利用平行线性质可以求得∠α+∠β=∠ABC=45°，进而求得∠α的度数为25°，故选A.

（2011浙江绍兴）如图2，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）

A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°

D.

本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠ABC=∠CBE=∠BCE=34°，进一步可由三角形外角的性质求得∠BED=68°，也可以利用三角形内角和定理求得∠CEB的度数，再由邻补角的知识求得∠BED=68°，或者，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠BED=∠ABE=68°，所以选D.

（2011广东广州）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命题是________.（填写所有真命题的序号）

①②④.

本题考查了平行线的性质. 由“在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条”得出①是正确的，由“平行于同一条直线的两条直线平行”得出②是正确的，由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可得③是错误的，④是正确的.

（2011浙江衢州）如图3，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

B.

本题考查了点到直线的距离以及角平分线的性质. 由点到直线的距离定义可知垂线段最短，由角平分线性质可以得到PQ的最小值=PA=2.

（2011安徽蕪湖）如图4，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和高BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）

A. 2 B. 4

C. 3 D. 4

B.

本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质以及三角形全等的判定和性质. 由条件可以判定△ABD为等腰直角三角形，因此，BD=AD. 在Rt△ACD与Rt△BCE中，由同角或等角的余角相等可以得到∠CAD=∠FBD，又有∠CDA=∠FDB=90°，所以△ADC≌△BDF. 由全等三角形的性质得DF=CD=4，所以选B.

（2011重庆）如图5，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求证：BC∥EF.

因为AF＝DC，所以AC＝DF. 又∠A＝∠D，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF. 所以∠ACB＝∠DFE. 所以BC∥EF.

本题考查了等量公理，全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定. 由等量公理（等量加等量和相等）可以得到AC=DF，合并已知条件，由“SAS”可以判定△ABC≌△DEF. 由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE. 由平行线的判定（内错角相等，两直线平行）可以判定BC∥EF.

（2011四川内江）如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

BE=EC，BE⊥EC. 理由如下：因为AC=2AB，点D是AC的中点，所以AB=AD=CD. 因为∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=∠EDC=135°. 因为EA=ED，所以△EAB≌△EDC. 所以∠AEB=∠DEC，EB=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BE⊥EC.

篇4：对图形认识与全等的思考

2. 了解常见的平面图形、立体图形及立体图形的展开与折叠，从不同方向看立体图形.

3. 了解点、线（直线、射线、线段）的基本性质.

4. 理解相交线与平行线的性质与判定.

5. 全等三角形的性质、判定、应用及与相关知识的综合.

思维走势

1正方体有多少条棱？几个顶点？几个面？

____________________________

2正方体每个顶点处与几个面相邻？____________________________

3每个数字的对面是什么数？

____________________________

思维走势

1正方体展开后的图形是怎样的？

____________________________

2正方体展开与折叠有哪些关系？

____________________________

思維走势

1本题涉及的三个数与其余的三个数是什么关系？

____________________________

2?摇每个数的对面是什么？六个数的和是多少？

____________________________

思维走势

1什么是命题？命题的构成是怎样的？

____________________________

2如何把一个命题改为已知、求证的形式？

____________________________

3如何利用全等三角形知识证明相等关系？

____________________________

思维走势

1怎样作出证明所需要的辅助线？

____________________________

2作辅助线的目的是什么？

____________________________

3如何合理地选用全等三角形的证明方法？

____________________________

有一个正方体，它的六个面上分别写着数字.

问题1 图1中三个正方体的六个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中的信息想想“？”处的数字是什么.

刷新思维 我们知道，正方体的任何一个面都与其余五个面中的四个相邻、与一个面相对. 从所给的图推断，本题中标有“1”的面与标有“4”“5”“2”“3”的面相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面. 所以“？”处应是“6”.

问题2 下列A，B，C，D四个图形折叠后，能得到图2中的正方体的是（ ）

刷新思维 根据图2中的正方体仅给出的三个带有标记的面可知，标有①②③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记. 再考虑正方体的四个展开图，选项B，C中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B，C；选项D中标有②的面与标有③的面不相邻，也不符合要求. 所以本题的正确答案为A.

问题3 如图3，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为_____．

刷新思维 根据“立方体的六个面上标着连续的整数”，结合图形，可以推断数字6必定是与数字4，5，7中的某个数字相对. 现在假设与4相对，则4+6=10，再根据“相对的两个面上所标之数的和相等”，又10-5=5，知与5相对的数还必须是5，这显然不可能，所以6不可能与4相对；同理，6不可能与5相对，因为5+6=11，而11-7=4，即与7相对的是4，这显然也是不可能的. 所以，6只能与7相对. 又6+7=13，13-4=9，13-5=8，即4与9相对，5与8相对，6与7相对，这六个数是4，5，6，7，8，9，符合题目的条件. 所以，这六个数的和是39.

若将含有30°角的两个全等直角三角形拼成如图4所示的图形，于是我们可以得到一个重要的结论：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

问题1 如何证明这一结论？

刷新思维 首先要将命题改写为常规的已知、求证的形式，接下来再证明.

已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.

求证：BC＝AB.

证明：延长BC到点D，使DC＝BC，连结AD.?摇因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝90°. 在△ABC和△ADC中，BC=DC（辅助线画法），∠ACB=∠ACD＝90°（已证）?摇，AC=AC（公共边）?摇， 所以△ABC≌△ADC（SAS）. 所以AB＝AD（全等三角形的对应边相等）. 又因为∠BAC＝30°，所以∠B＝60°. 所以△ABD是等边三角形. 所以BD＝AB. 而DC＝BC，所以BC＝AB.

问题2 事实上，我们还可以利用两个全等的直角三角形的三角板平分一个已知角. 如图6，已知∠AOB，在OA，OB上分别取点E，F，使OE＝OF，再分别过点E，F画OA，OB的垂线，这两条垂线相交于点P. 画射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 此时也有PE＝PF.

于是，我们便有角平分线的定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个定理，课本上有详细的证明过程（同学们可以看一看）.

如果我们把角平分线的定理的题设与结论颠倒一下，则有另外一个定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如何证明这个定理呢？

刷新思维 已知：如图7，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.

证明：过点P作射线OC，因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠ODP＝∠OEP＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP=OP（公共边），PD=PE（已知），所以Rt△ODP≌Rt△OEP（HL）. 所以∠POD＝∠POE（全等三角形的对应角相等）. 所以OC是∠AOB的平分线. 故点P在∠AOB的平分线上.

热身训练

1. 图8是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是________.