双树复小波变换

双树复小波变换（精选三篇）

双树复小波变换 篇1

在轴承故障振动信号分析中常采用共振解调分析技术,但传感器采集到的振动信号中常常含有大量的无用噪声信号,降低了振动信号的信噪比,严重影响了轴承故障特征的提取。 因此在进行共振解调分析之前, 一般需对振动信号进行带通滤波,以消除低频噪声的干扰,提高振动信号的信噪比,但带通滤波的带宽往往很难正确选择[1,2]。离散小波变换具有多分辨的能力,在机械设备故障诊断中得到了广泛的应用[3,4,5]。离散小波变换采用Mallet算法,对信号的分解不具有平移不变性,即输入信号一个很小的平移会使小波系数产生非常明显的变化,而且在信号的分解和重构过程中容易产生频率混叠,不能正确反映信号的真实频率成分,严重影响了故障特征信息的提取。双树复小波变换[6,7](dual-tree complex wavelet transform,DTCWT)不仅具有近似平移不变性,而且能有效消除频率混叠。为此,笔者提出了基于双树复小波变换解调技术的轴承故障诊断方法,并将其应用于齿轮箱轴承故障振动信号故障特征信息的提取。实测齿轮箱振动信号分析结果表明,该方法具有良好的降噪效果,并能有效对振动信号进行解调,提高了轴承的故障诊断准确性。

1 双树复小波变换解调的原理

为构建具有平移不变性的小波,有效消除信号分析中的频率混叠,Kingsbury[6]首次提出了双树复小波变换的概念,Selesnick等[7]进一步提出了双树复小波变换的分解与重构算法。双树复小波变换保留了复小波变换的优良特性,而且采用双树滤波器的形式,保证了信号的完全重构性。因此,双树复小波变换是一种具有近似平移不变性、良好的方向选择性、有限的数据冗余性、完全重构性和计算效率高等良好特性的小波变换,已经成功应用于图像处理[8,9,10]、语音识别[11]和信号降噪处理[12]等领域。双树复小波变换采用两个并行的实小波变换来实现对信号的分解和重构,分别称为实部树(real tree)和虚部树(imaginary tree),如图1所示。在信号的分解与重构过程中,始终保持虚部树的采样位置位于实部树的中间,使双树复小波变换能有效综合利用实部树和虚部树的小波分解系数,从而实现实部树和虚部树的信息互补。这种小波分解算法使双树复小波变换具有近似平移不变性,并减少了有用信息的丢失。双树复小波变换在各层的分解过程中,利用小波系数二分法减少了多余的计算,从而提高了计算速度。双树复小波变换的分解与重构过程见图1。根据双树复小波的构造方法,复小波可表示为

φ(t)=φh(t)+ iφg(t) (1)

式中,φh(t)、φg(t)表示两个实小波;i为复数单位。

由于双树复小波变换由两个并行的小波变换组成,因此,根据小波理论,图1中,虚线上面实部树小波变换的小波系数和尺度系数可由式(2)和(3)计算:

dIRej(n)=2j/2∫+∞-∞x(t)φh(2jt-n)dt (2)

j=1,2,…,J

cReJ(n)=2J/2∫+∞-∞x(t)φh(2Jt-n)dt (3)

同理,下面虚部树小波变换的小波系数和尺度系数可由式(4)和(5)计算:

dImj(n)=2j/2∫+∞-∞x(t)φg(2jt-n)dt (4)

cImJ(n)=2J/2∫+∞-∞x(t)φg(2Jt-n)dt (5)

因此,可得到双树复小波变换的小波系数和尺度系数:

d(φ)j(n)=dRej(n)+idImj(n) (6)

c(φ)J(n)=cReJ(n)+icImJ(n) (7)

最后,双树复小波变换的小波系数和尺度系数可由式(8)、式(9)重构:

$\begin{array}{l}d{}_j(t)=2{}^{(j-1)/2}[{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }d}{}_j^{\mathrm{Re}}(n)\phi {}_h(2{}^{j}t-n)+\\ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }d}{}_j^{\text{Ι}\text{m}}(n)\phi {}_g(2{}^{j}t-k)](8)\end{array}$

$\begin{array}{l}c{}_J(t)=2{}^{(J-1)/2}[{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c}{}_J^{\mathrm{Re}}(n)\phi {}_g(2{}^{J}t-n)+\\ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c}{}_J^{\text{Ι}\text{m}}(n)\phi {}_g(2{}^{J}t-k)](9)\end{array}$

双树复小波变换后的重构信号可表示为

x(t)=dj(t)+cJ(t) (10)

根据式(8)~式(10),原信号x(t)的重构信号可表示为

$\widehat{x}(t)={\rm T}{}^{\mathrm{Re}}+\text{i}{\rm T}{}^{\text{Ι}\text{m}}(11)$

式中,TRe为小波分解的实部树系数;TIm为小波分解的虚部树系数。

因此,双树复小波变换后的重构信号$\widehat{x}$(t)的幅值包络可表示为

$Env{}_x(t)=\sqrt{({\rm T}{}^{\mathrm{Re}}){}^2+({\rm T}{}^{\text{Ι}\text{m}}){}^2}(12)$

由式(11)、式(12)可知:双树复小波变换能将信号x(t)进行有效幅值解调,从而得到信号x(t)的幅值包络。通过对幅值包络进行傅里叶变换,即可得到信号的包络谱。

2 信号仿真分析

为了验证双树复小波变换的优良特性——减小频率混叠,给出多谐波仿真信号:

x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)+x4(t)+x5(t) (13)

x1(t)=0.5sin70πt x2(t)=sin240πt

x3(t)=1.5sin420πt x4(t)=0.5sin580πt

x5(t)=0.6sin1040πt

图2为仿真信号的时域波形及其快速傅里叶变换(FFT),采样频率为2000Hz,采样时间为0.256s,采样点数为512。从图2b可以看出,多谐波仿真信号的频率成分为35Hz、120Hz、210Hz、290Hz和520Hz。图3为仿真信号进行4层双树复小波分解后,对小波系数进行重构的结果。各层重构信号a4、d4、d3、d2和d1,分别与信号x1(t)、x2(t)、x3(t)、x4(t)和x5(t)对应。图4为各层重构信号的频谱图,其频率成分与仿真信号的频率成分一致。尽管小波滤波器的非理想截止特性使d2和d3频谱中含有邻带频率成分,但双树复小波变换的频率混叠抑制特性在很大程度上抑制了频率混叠现象的产生。

(b)仿真信号的FFT变换

图5为对仿真信号进行4层db3离散小波分解和重构的结果,对比图5和图3可知,db3离散小波重构信号存在较大的分解误差。图6为对仿真信号进行db3离散小波分解后,各层重构信号的频谱图。从图6可以看出:仿真信号db3离散小波分解后,各层的重构信号存在严重的频率混叠,如在d1分量中存在480Hz、520Hz、710Hz、790Hz的频率成分,其中520Hz为仿真信号中的频率成分,而480Hz、710Hz、790Hz频率成分则为db3离散小波变换在分解过程中的隔点抽样和重构过程中的隔点插零造成的虚假频率成分。对比图5、图6和图3、图4可知:双树复小波变换的分解效果优于传统的离散小波变换,能有效避免频率混叠现象的产生。

3 基于双树复小波变换的轴承故障诊断

在齿轮箱振动信号采集系统[13,14]中,齿轮箱输入轴的轴承为滚珠轴承208,采用线切割技术,分别在滚珠轴承的外圈和内圈加工深1mm、宽0.5mm的沟槽,以分别模拟轴承内圈、外圈局部裂纹故障。

轴承内圈故障特征频率:

$f{}_{\text{i}\text{n}}=\frac{z}{2}(1+\frac{d}{D}\cos \alpha )f{}_{\text{r}}(14)$

轴承外圈故障特征频率:

$f{}_{\text{o}\text{u}\text{t}}=\frac{z}{2}(1-\frac{d}{D}\cos \alpha )f{}_{\text{r}}(15)$

式中,fr为轴承内圈的旋转频率;D为轴承中径;d为滚动体直径;z为滚动体的个数;α为轴承负载的接触角[13]。

实验时,采样频率为32 768Hz,采样点数为8192,电机转速为1500r/min(fs=25Hz)。根据208轴承的几何尺寸可知,滚动体的个数z=10,d=18.333mm,D=97.5mm,轴承负载的接触角α=0°,将上述参数带入式(14)、式(15)中得到

fin=148.5Hz fout=101.5Hz

3.1 轴承内圈故障诊断

当滚动轴承内圈存在局部裂纹故障时,滚动体在转动过程中,不断撞击故障点,产生周期性的冲击,因而在故障轴承的包络谱中表现为,在轴承内圈故障特征频率fin及其倍频处产生明显的幅值线,且在轴承内圈故障特征频率fin及其倍频处存在以轴承内圈旋转频率fr为间隔的边频带[13]。

图7所示为轴承内圈存在故障时采集的时域振动信号。从图7可看出,当滚动轴承内圈表面存在局部裂纹故障时,在其时域振动信号产生了峰值较大的高频冲击振动,即存在振幅较大的幅值线,但是,由于强背景噪声的影响,只根据时域振动信号中高频幅值线之间的间隔,还不能确定齿轮箱中故障轴承的位置和故障特征。

图8所示为轴承内圈故障信号快速傅里叶变换(FFT),由于受背景噪声的影响,从图8也无法识别轴承的内圈故障特征频率。图9为带通滤波后振动信号的包络谱。图9中,受背景噪声的影响和带通滤波带宽选择的限制,轴承的内圈故障特征频率fin不明显。图10所示为4层db3离散小波分解后重构信号的包络谱,尽管图10中存在轴承内圈故障特征频率fin,但轴承内圈故障特征频率的高次谐波不明显,其信噪比较低。

图11所示为轴承内圈故障振动信号(见图7)经双树复小波分解、重构后,由式(12)计算得到的轴承内圈故障振动信号的幅值包络。由于双树复小波变换良好的滤波降噪效果,由轴承内圈故障产生的周期性瞬态冲击系列,在双树复小波幅值包络谱中得到了充分的反映,且瞬态冲击系列的周期为故障轴承的内圈特征故障周期(Tin=6.73ms),与内圈故障特征频率一致。

图12所示为小波幅值包络的FFT后得到的小波包络谱。在图12中可以清楚地看到轴承内圈故障特征频率fin及其高倍频,并且在轴承内圈故障特征频率fin及其高倍频处存在以fr为间隔的边频带。对比图7、图10和图12可知,双树复小波变换能在强噪声背景下准确检测分析信号,

能有效捕捉混杂在噪声信号中的高频脉冲,提高了轴承故障识别的准确性和可靠性。

3.2 轴承外圈故障诊断

当轴承外圈存在局部裂纹故障时,在轴承故障振动信号包络谱中表现为,在轴承外圈故障特征频率fout及其倍频处产生明显的峰值线。

图13所示为轴承外圈存在故障的时域波形。图14所示为4层db3离散小波分解后重构信号的包络谱,尽管在图14中存在轴承外圈故障特征频率fout,但轴承外圈故障特征频率的高次谐波不明显,其信噪比较低。

图15所示为经双树复小波变换后,由式(12)计算得到的振动信号的双树复小波幅值包络,瞬态冲击的周期为故障轴承的外圈特征故障周期Tout,Tout=9.85ms。图16所示为双树复小波变换包络谱。在图16中可以清楚地看到:在轴承外圈故障特征频率fout及其倍频处有明显的峰值,实验结果与理论分析一致,表明双树复小波变换包络谱能在强噪声环境中有效提取轴承外圈故障特征,验证了方法的正确性和有效性。

4 结语

在轴承故障诊断中,一般采用计算带通滤波后信号的包络谱对轴承故障振动信号进行解调分析,以获取轴承的故障特征,但带通滤波频带的选择存在着人为因素,影响故障识别的准确性。通过轴承内外圈故障信号的分析可知:双树复小波变换解调方法能有效提取混杂在强噪声环境中的指数振荡衰减信号,具有自适应的特点,因而基于双树复小波变换的包络分析技术能有效降低强噪声信号的干扰,为滚动轴承故障诊断与识别的有效分析技术。

摘要：提出了一种基于双树复小波变换解调技术的轴承故障诊断新方法。该方法利用双树复小波变换具有近似平移不变性、避免频率混叠和有效降噪的优点,首先对轴承故障振动信号进行双树复小波分解和重构,将振动信号分解成实部和虚部,然后计算振动信号的双树复小波幅值包络和包络谱。齿轮箱轴承故障振动实验信号的分析表明,该方法能在强噪声环境下准确提取轴承故障产生的周期性瞬态冲击信号,能有效消除频率混叠现象和强噪声的影响,能有效识别轴承内圈和外圈故障。

双树复小波变换 篇2

【关键词】图像增强；小波变换；阈值函数

1. 引言

（1）图像增强是图像处理优化处理的主要方法之一，现有的图像增强方法-小波变换因其良好的时频局部分析及多分辨率分析的能力而得到广泛应用。小波变换是一维实小波基张量基形成，存在平移敏感性、混叠性、较少的方向性以及缺少相位信息等缺点。

（2）目前，为了克服小波变换中的缺点，Kingsbury [1]将小波变换基中实部和虚部满足Hilbert变换，实现图像的近似平移不变性；Chan[2]在双树复小波、四元数傅里叶变换以及Bulow的四元数解析信号的基础上，采用实系数滤波器和双树结构，实现双树四元数小波变换，克服了实小波变换的震荡性，缺乏相位等不足；殷明等人[3，4]提出基于四元数小波变换的隐马尔科夫树去噪方法、基于四元数小波变换的混合统计模型的去噪方法以及基于非高斯分布的四元数小波等方法，增加四元数小波系数层与层之间及层内的相关性，实现图像去噪。

（3）上述方法优化小波变换，达到图像的优化处理，实现去噪优化的同时会造成图像丢失细节信息，使得图像边缘变得模糊。本文在双树四元数小波变换分解的基础上，改进阈值函数，收缩保留小波系数，达到图像去噪和细节增强的效果。

2. 四元数小波变换

2.1四元数解析信号包含一个实部和三个虚部，四元数是复数的扩展，定义为[5]：

其中， P为增强因子，取值范围在0-1， P取值越大代表越强的对图像的细节进行增强，但是峰值信噪比会随着增强因子P 的取值的增大而减小，要使峰值信噪比与细节增强之间寻求平衡，取 P=0.5。

4. 实验结果

（1）采用Matlab对上文计算公式（5）、（6）、（7）进行编程，得到本文图像增强方法，同NeighShrink（NS）方法、Enhanced NeighShrink（ENS）方法三种不同的方法对图像进行降噪增强处理。三种方法均采用Q-shift双树滤波波器进行五层双树四元数小波分解，邻域窗口的大小为 ， 。增强处理结果如图1所示：

（2）可以看出，经处理后的图像比加噪图像具有较丰富的边缘信息；由于图像压缩及像素原因，在图1中本文算法和NS、ENS视觉效果相当。因此，图2对图像进行峰值信噪比分析，可以看出在不同噪声水平下相比于NS和ENS图像处理方法，本文算法拥有较高的峰值信噪比，使得图像在高的噪声水平下保留图像精度和信息，避免图像失真，实现图像的降噪增强处理（图像的PSNR（dB）见图2）。

5. 结论

（1）本文在双树四元数小波变换分解的基础上，采用最小均方误差的方法，改进阈值函数，收缩保留小波系数，得到新的图像降噪增强处理函数；采用Matlab对处理函数编程得到图像增强方法，同NS、ENS方法相比，本文算法使得图像获得较丰富的边缘信息。（2）在不同噪声水平下，本文算法与NS、ENS图像处理方法相比，可使图像获得较高的峰值信噪比，实现图像的降噪增强。

参考文献

[1]N.G.Kingsbury.The dual-tree complex wavelet transform：a new efficient tool for image restoration and enhancement[J].In Proceedings of Eusipco，1998：319-322.

[2]G.Y.Chen，T.A.Bui，A.Krzyzak.Image denoising with neighbour dependency and customized Wavelet and threshold[J].Pattern Recognition Society，2005，38：115-124.

[3]殷明.四元数小波变换理论及其在图像处理中的应用研究[D].合肥工业大学博士论文，2012.

[4]殷明，刘卫.基于四元数小波混合统计模型的图像去噪[J].图学学报.2012，33（2）：77-82.

双树复小波变换 篇3

随着医学技术的不断发展, 医学影像学为临床提供了多种模态的影像信息供医生对病人的病情做判断, 如电子计算机体层扫描 (CT) 、磁共振成像 (MR) 、数字减影成像 (DSA) 、正电子发射体层扫描 (PET) 、单光子发射断层成像 (SPECT) 等, 但不同的医学影像提供人体相关脏器和组织的不同信息, 在实际临床应用中单一模态的医学图像往往不能提供医生所需要的足够信息, 需要将不同模态的医学图像进行融合得到更丰富的信息, 使医生了解病变组织或器官的综合信息从而做出准确的诊断或制订出合适的治疗方案[1]。

目前, 传统离散小波所具有的空间和频域的局部转换功能, 使得图像研究者利用在高频处的时间细分和低频处的频率细分可以聚焦到图像的任意细节的特性基于, 使得基于传统离散小波变换 (DWT) 的图像融合技术得到了深入的研究, 并取得了很好的效果[2~4]。但是由于传统离散小波变换每一个尺度空间只能被分解成有限的3个方向 (水平、垂直和对角方向) , 提取其它方向上的特征很难, 方向选择性非常有限, 它们对信号的表示不具有平移不变性, 在该小波域内的图像融合结果并不是平移一致的, 而是强烈依赖于原图像的平移等缺点, 而Nick Kingsbury提出二元树复数小波变换[5]可以解决这个问题。

2 二元树复小波变换 (DT-CWT)

二元树复小波变换在保留了复小波变换诸多优良特性的同时, 它通过采用二元树滤波的形式, 保证了完全重构性。通过对图像的行和列分别进行二元树复数小波滤波, 即对列滤波器的输出再进行行滤波器复共轭滤波, 可把一维DT-CWT扩展为二维, 这样就能够获得一种具有方向选择性的图像小波特征。这就使得二维信号的DT-CWT变换具有4∶1的冗余性, 提高了图像纹理特征的抗干扰性.。行滤波器的子采样输出和它们的复共轭构成了6个带通子图, 这些子图像分别指向±15°、±45°和±75, 可以区分频域空间的各个不同部分, 如图1所示。

因此, 二元树复数小波变换不仅具有良好的方向分析能力, 而且还保持了传统小波变换良好的时频局部化的分析能力, 通过采用二元树滤波的形式, 保证了完全重构性, 是一种具有平移不变性、良好的方向选择性、有限的数据冗余和高效的计算效率这几种优良特性的小波变换形式。它能够为图像提供更加精确的分析方法, 更适合运用到图像融合中, 在实际应用中比传统离散小波更快捷, 更精确。

目前二元树复数小波变换在图像去噪、图像滤波、图像水印、图像识别等方面得到了一定的应用, 并取得较好的效果。但在医学图像融合方面的应用较少。

3 基于二元树复小波变换的图像融合方法

基于二元树复小波变换 (DT-CWT) 的图像融合如图2所示[6], 这里以两幅图像的融合为例, 设A, B为待融合原始图像, F为融合后的图像, 其融合处理的基本步骤如下:

(1) 对待融合的原图像进行DT-CWT生成多分辨率图像;

(2) 对变换后图像的每个分辨率尺度上不同的频率分量采用相应的融合规则进行融合处理, 得到融合后图像的DT-CWT的多分辨率图像。在该步骤中, 融合规则的选择直接影响着融合的效果。

对图像经DT-CWT分解后的低频分量, 采用对应点绝对值取大的融合规则进行融合;

对图像经DT-CWT分解后的高频分量, 采用基于小波系数区域相似度的融合规则[2]进行融合, 具体计算方法如下:

(1) 选择M×N (采用3×3) 窗口掩模, 计算各高频子带系数对应的均值和方差, 以点 (x, y) 为中心的区域均值和方差分别为 (i代表图像X或Y) :

(2) 计算图像X以点 (x, y) 为中心的区域与图像Y对应区域的协方差:

(3) 计算图像X以点 (x, y) 为中心的区域与图像Y对应区域小波系数相似度作为匹配度:

(4) 选定阈值α, 如果r (x, y) ≥α, 则融合图像中对应点dF (x, y) 值为:

如果r (x, y) <α, 则融合图像中对应点dF (x, y) 值为:

其中:

(3) 确定融合图像F的各小波分解系数后, 对其进行IDT-CWT变换, 即可得到融合后的图像。

4 实验结果与效果评价

4.1 实验结果

源图像采用已配准好的医学脑部CT图像和MR图像, 同时对它们进行基于传统离散小波变换和上述基于DT-CWT的图像融合方法进行图像融合实验, 结果如图3所示。

图像 (a) 和图像 (b) 分别为待融合的脑部CT与MR图像, 图像 (c) 是采用基于DT-CWT融合方法得到的, 图像 (d) 是采用基于传统离散小波变换融合方法得到的。

4.2 融合效果评价

目前, 对于融合后图像质量的评价还没有一个统一的标准, 主要是依靠观察者的主观感觉。为了对融合后的图像进行定性的分析, 通常采用图像的信息熵、平均交叉熵、均方根交叉熵和峰值信噪比来进行对比, 结果如表1所示。

表1中, 图像 (c) 与图像 (d) 相比, 信息熵较大, 表明其携带的信息量大;平均交叉熵和均方根交叉熵较小, 表明图像 (c) 从原图像提取的信息较多;图像 (c) 的峰值信噪较图像 (d) 的大, 表明融合效果和质量更好;从主观上看, 图像 (c) 比图像 (d) 更清晰, 达到主观判断与客观评价的一致, 说明了基于二元树复小波变换的融合方法的有效性和相对的优越性。

5 结论

基于二元树复小波变换具有时频局部化的分析能力、平移不变性、良好的方向选择性、有限的数据冗余和高效的计算效率的优点, 采用基于二元树复小波变换的融合方法对多模态医学图像进行融合, 通过传统离散小波变换融合方法得到的融合图像进行效果评价, 证实了该方法的有效性和优越性。而且目前, 医学图像融合的方法很多, 每种方法都有其使用的对象, 具有一定的针对性, 但其目标是一致的, 即尽可能多地保留原始图像的信息和相关的重要细节。医学图像大多模糊, 特征不是很明显, 因此基于DT-CWT的融合方法提供了又一选择。

摘要：在研究了二元树复小波变换 (DT-CWT) 近似的移动不变性、良好的方向选择性等优点后, 提出了一种基于二元树复小波变换的融合方法.将该方法应用于医学脑部CT图像和MR图像的融合, 通过与基于传统离散小波变换 (DWT) 融合方法得到的融合图像进行主观评判和客观效果评价, 证实了该方法具有更良好的视觉效果和更优的量化指标, 体现出更强的融合性能。

关键词：多模态医学图像,图像融合,二元树复小波变换

参考文献

[1]王修信, 张大力等.“多模态医学图像的融合研究”.广西师范大学学报 (自然科学版) .2004, 22 (2) .

[2]黄彩霞, 陈家新等.基于小波系数区域相似度的医学图像融合.计算机应用研究2008.25 (1) :274-276

[3]杨飒.医学图像融合中最佳小波分解层数的选择.计算机工程与设计2008.29 (20) :5265-5268

[4]杨立才, 刘延梅等.基于小波包变换的医学图像融合.中国生物医学工程学报.2009.28 (1) 12-16

[5]Nick Kingsbury.The dual-tree complex wavelet transform with improved orthogonality and symmetry properties[C]//IEEE International Conference on Image Processing, 2000;375-378.