数字函数

数字函数（精选五篇）

数字函数 篇1

有限冲击响应 (finite impulse response, FIR) 滤波器是数字信号处理系统中最基本的单元, 它可以保证任意幅频特性同时具有严格线性相频特性, 且其单位冲击响应是有限的, 较之于无限冲击响应 (infinite impulse response, IIR) 滤波器没有输入到输出的反馈, 是稳定的系统, 易于在FPGA, DSP等数字处理芯片中实现, 因此其知识产权核 (IP) 广泛地在这类芯片中得到使用。IP就是知识产权核或者知识产权模块的意思。在EDA技术和开发领域具有十分重要的作用, 在半导体产业中IP定义为用于ASIC或FPGA/CPLD中预先设计好的电路功能模块。IP可以分为软IP、固IP和硬IP三种。

随着电子系统越来越复杂, PLD的设计也越来越庞大, 这就增加了市场对IP核的需求, 各大FPGA/CPLD厂商陆续推出了许多IP核。例如:FIR数字滤波器core、快速傅里叶变换 (FFT) core、数控振荡器 (NCO) core等。在设计中, 如果使用了这些知识产权核可以大大简化FPGA/CPLD的设计, 加速设计速度, 缩短研发周期, 并且较之于开发者自己的设计程序, 这些IP有更好的运算精度, 且速度、SFDR参数、SNR参数等均达到良好的效果。

1基于FPGA的DFB系统

由于在射电天文学中对于不同的观测目标 (例如:脉冲星观测、太阳射电观测、活动星系核观测、分子谱线观测等) 具有不同的频谱特点, 为此作为基于FPGA的数字信号处理终端, DFB系统也应该有不同的设计方案, 基于对FPGA内部逻辑资源的合理规划和使用, 有必要在结合分析不同FIR窗函数和射电天文信号频谱规律的条件下, 合理地设计基于FPGA的不同DFB系统, 如图1所示[1]。

2FIR滤波器及其最小积分平方误差设计

在连续无限频率域中, 假设一个滤波器的期望频率响应函数为Hd (ejω) , 它是一个以ω的周期为2π的函数, 使用傅里叶级数形式表示如下[2,3]:

undefined

式中:傅里叶系数{hd[n]}恰好是相应的冲击响应样本。表示为:

undefined

这样就可以根据Hd (ejω) 在整个频域内提出的指标来计算该数字滤波器的特征函数h[n]。但是, 关键问题是对于大多数的实际应用, 期望频率响应应是分段常数, 并且各频带之间有着陡峭的过渡带, 这样就使得特征函数h[n]无限长且非因果。

为此, 设计一种长度仅为2M+1的有限长冲击响应序列{hd[n]}, 其DTFT Ht (ejωn) 在某种程度上逼近于Hd (ejω) 的DTFT, 其逼近误差可以表示为:

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式中:

undefined

再利用帕斯瓦尔关系式 (3) 可以写作:

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由上式可以看出, 若在区间n∈[-M, M]内ht[n]=hd[n], 则上式最小。为此可以得出结论:在均方误差准则下, 理想无限长冲击响应序列的最佳和最简单有限长逼近是通过截短 (俗称加窗) 来得到的, 也就是完成了一个滤波器从无限冲击响应到有限冲击响应的转变过程。为此, 一个FIR滤波器的输入输出关系可以表示为如下形式:

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式中:h[n]为FIR滤波器的时域传递函数或者称为该FIR滤波器的特征函数;x[n]为输入离散数字信号序列;y (n) 为经滤波处理后输出的离散数字信号序列。对其特征函数h[n]是一个有限长度为N的序列;对一个FIR型滤波器, 设计关键是在于通过其频域的要求确定合适的渐变函数 (窗函数) 及其N值。FIR滤波器的基本结构如图2所示。

3各种窗函数的特性分析

在实际工程中许多学者提出了很多的“加窗” (渐变函数) 方法。其中, 基于FPGA的FIR IP Core[3]能够实现的主要原因是固定窗函数 (特性见表1) , 但有以下几种 (矩形窗除外) [2]:

汉宁 (Hanning) 窗:

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海宁 (Hamming) 窗:

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布莱克曼 (blackman) 窗:

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式中:undefined;N为窗函数长度。

4基于FPGA设计DFB的一般步骤

4.1 接收机输入端自然噪底

如果射电天线在对冷空时, 并且接收机在没有无线电干扰 (radio frequency interference, RFI) 的情况下, 在输出端得到噪声输出, 此时该噪声称为自然噪底。自然噪底的大小直接影响到接收系统的灵敏度, 自然噪底同时也是DFB中各个滤波器阻带衰减的参考标准, 进而也是选择何种滤波器窗函数的重要标准之一。为此, 选择窗函数的条件是:其最大衰减应大于频带内需要抑制的信号与自然噪底之间的差值。由于窗函数的旁瓣存在, 应考虑到干扰信号落在旁瓣区域内的可能性, 因此相对旁瓣级别也是选择窗函数的重要准则之一。自然噪底Nc来自2个方面:环境噪声Sn和接收机噪声Sr。环境噪声Sn主要来自大气噪声、太阳噪声和银河噪声等环境因素, 这是自然噪底中不可消除因素。接收机噪声Sr主要来自于电阻的热噪声和有源器件的散弹噪声, 它们的频带非常宽, 频谱基本上是连续均匀分布的。如果将接收机等效为一个四端口网络, 其输出总噪声功率是输入端噪声源电阻产生的可用噪声功率及四端网络内部产生的噪声功率之和, 折合到接收机输入端的噪声总功率为[4]:

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式中:k为玻尔兹曼常数, k=1.38×10-23 W/Hz;T0为绝对温度;Br为接收机噪声带宽;NF为接收机噪声系数。接收机噪声可以通过降低接收机温度来降低, 例如常用的致冷接收机。在通常情况下自然噪底应该呈高斯分布特性[4], 如图3所示。

对冷空观测时应注意是否存在无线电干扰和采用频谱仪的种类, 即现在所对是否绝对冷空、是否存在RFI干扰。上述情况如果存在于RFI中在会因频谱仪的设计问题给自然噪底的测量带来问题。由于现今市场上有FFT式频谱仪和扫频式频谱仪2种, 如果采用FFT式频谱仪对冷空测量时, 会因FFT变换所加窗函数的不同而引起频谱泄漏 (leakage) 引起噪底的不均匀, 并且在非噪声点处出现泄漏频点。为此, 建议最好在天文台站测量无线电噪声环境时采用扫频式频谱仪。

4.2 射电接收机中DFB特性

4.2.1 本道单一性

在射电天文观测中, 如果需要对多个频点进行精细观测时, 需要选取不同的滤波器进行这些频点信号的选取。为此, 某一频点滤波器的选择性应该是单一的, 即接收机应具有本道单一性[4], 通带内不能混有其他频点的信息, 其他频点都应在该滤波器的阻带内, 这样就限制了滤波器的主瓣宽度。接收机的本道单一性是指接收机选择的关心频点/段在一定范围内变化时 (如分裂性的太阳射电Ⅱ型爆发) 不会被衰减, 即某一滤波器的平坦范围应包含关心频点的变化范围, 并且不与另一滤波器的平坦范围重叠。从图4可以看出, 该滤波器的通带在0.150π～0.205π, 这就是该滤波器选择的关心频点及其变化范围。由于在FPGA内部实现同等功能采用不同的窗函数占用资源是不同的, 因此如果根据需要选择合适的窗函数, 可以减少FPGA的内部资源。

4.2.2 邻道隔离性

如果在临近干扰f就有天文观测特别关心的频点F, 则F-f之间的隔离就显得非常重要, 不能使干扰信号进入到观测信号频段的滤波器通带内。为此, 接收机就需要具有良好的邻道隔离性。

接收机邻道隔离性是指接收机抑制邻道干扰的能力。它主要由接收机中频滤波器的阻带衰减特性决定。采用DFB系统时, 可通过邻道隔离的办法有效地抑制干扰。具体方法是:首先通过分析观测得出接收机输入端的自然噪底和干扰出现在奈奎斯特带宽内的位置, 然后将干扰信号视为邻道, 选取合适的滤波器窗函数及其组合, 将所有的干扰频段设置在滤波器组的阻带内, 以抑制这些信号, 所需要观测的没有污染的宇宙射电信号频段均有相应的滤波器通带与之对应, 如图5所示。

假设图5是某一接收机在天线对冷空时测得的干扰分布情况图, 可以看到在图5上共有4个频点干扰, 在DFB中这些位置应该是滤波器阻带的叠加, 并且从图5中可知, 该处环境的自然噪底大约为-85 dBm, 而最强的干扰源功率为-64 dBm, 与自然噪底相差21 dB左右, 所以DFB中所有滤波器的最小阻带衰减应该设置在25 dB以下才能抑制该干扰。

4.3 总结设计流程

一个基于FPGA内部实现的DFB系统设计步骤可以大致分为:

(1) 首先通过ADC的参数确定观测奈奎斯特带宽 (nyquist-bandwidth) RFI的特性:位置及其相对于自然噪底Nc的强度;

(2) 根据RFI特性选取合适的窗函数;

(3) 根据窗函数和FIR IP core规划各滤波器的通带和阻带等参数;

(4) 生成FIR滤波器并组合成滤波器组。

流程如图6所示。

5太阳射电型爆发在谱域的一般特点

太阳Ⅱ型爆发是太阳射电米波爆发中十分重要的一类。长期以来, 人们一直极为重视对它的研究。目前, 一般认为:Ⅱ型爆发是相关于一无碰撞MHD激波的等离子体辐射。它在谱域上具有以下特点[5]:

爆发起始频率 尽管在有些观测中有初始频率为500 MHz的太阳射电Ⅱ型爆发, 但是绝大部分的太阳射电Ⅱ型爆发的起始频率小于150 MHz。

低的漂移速率 太阳射电Ⅱ型爆发具有从高频到低频较慢的漂移速率:小于1 MHz/s;

窄带宽 典型的爆发带宽从几MHz到100 MHz;

频率分裂 在射电谱上2条谐波带经过一段时间后, 均“分裂”成2个互有间隔的子带, 间隔频率约为Δf/f≈10%, 并且通过统计符合公式:

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假设在观测带宽内有一干扰信号频点位于24 MHz, 强度相对于噪底为14 dB, 仿真如图7所示。参数如表2所示。

图8是在Matlab下仿真得到的滤波器组通带幅值和相位响应图。

由于在FPGA设计中, 设计一个带通滤波器非常占用FPGA的资源, 所以采用3个滤波器拼接构成以上通带, 各滤波器的参数如表3所示。

在FPGA内实现的滤波器如图9～图11所示。

实验结果经过滤波处理后通带, 如图12所示。由图12可见, 整个通带内的RFI信号被滤除, 通带内只剩下太阳爆发信号。

6结语

与众多的接收设备不同, 射电天文接收机所处理的信号频带宽, 强度弱, 易受无线电干扰影响。本文提出的该类接收机在数字处理方面规避和消除无线电干扰一般方法, 基于窗函数实现滤波器易在FPGA的处理器中通过FIR IP core实现, 且占用资源较少。通过实验仿真验证的该方法的正确性。相信必能为将来接收机的数字终端的设计提供依据。

摘要：由于在FPGA中能够通过FIRIPCore很方便地实现FIR滤波器组。在此, 从FIR滤波器组的各种窗函数特性分析入手, 分析了各种窗函数在频域内的各种性质, 提出了在合理使用FPGA内部资源的前提下, 设计适用于不同天文观测的预处理DFB系统中FIR滤波器的设计。通过设计观测具有频率分裂特征的太阳Ⅱ型爆发的DFB, 详细论证了该种设计的可行性。

关键词：FPGA,FIR,窗函数,DFB

参考文献

[1]FRIDMAN P A.RFImitigation withthe time-frequency ro-bust statistical analysis[C/OL].[2002-05-11].Proc.I U-CAF Summer School:Spectrum Management for Radio As-tronomy, National Radio.http://www.iucaf.org/sschool/procs/.

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[3]丁玉美, 高西全.数字信号处理[M].2版.西安:西安电子科技大学出版社, 2001.

[4]祁玉生, 邵世祥.现代移动通信系统[M].北京:人民邮电出版社, 1999.

[5]曹文达, 杨开平, 陈国强.日冕和行星际空间中的太阳射电Ⅱ型爆发[J].云南天文台台刊, 1994 (1) :32-35.

[6]Altera Corporation.FIR MegaCore function user guide[M].USA:Altera, 2006.

[7]DONG Liang, WANG Min, XU Chun, et al.FPGA based nature noise reduction and RFI removing in radio astronomy[C]//Proceedings of the2nd International Conference on Image and Signal Processing.Tianjin:[s.n.], 2009, 7:3902-3906.

[8]NYQUIST H.Thermal agitation of electricityin conductors[J].Physical Review, 1998, 32:110-113.

[9]MANOLAKIS D G.Statistical and adaptive signal process-ing-spectral estimation, signal modeling, adaptive filtering and array processing[M].[S.l.]:Graw Hill, 2003.

位置差分数字测速传递函数的推导 篇2

位置差分数字测速传递函数，直接影响按连续系统设计法设计的速度回路校正环节的有效性。通过本文推导和仿真验证表明数字测速传递函数等效为一个微分和惯性环节的组合 更为合理，而不是文献［1］、［2］等所等效的`纯延迟环节。文章给出了满足等效的工程条件。

作 者：王建立 陈娟 陈涛 王世杰 WANG Jian-li CHEN Juan CHEN Tao WANG Shi-jie  作者单位：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所, 刊 名：光学精密工程  ISTIC EI PKU英文刊名：OPTICS AND PERCISION ENGINEERING 年，卷(期)：2001 9(1) 分类号：V556.51 关键词：位置差分   数字测速   传递函数  

★ 典型环节及其传递函数？

★ 读少女索菲的航海故事有感

数字函数 篇3

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

数字函数 篇4

数字液压缸是利用步进电机作为电-机转换元件, 以数字脉冲信号直接控制的机液伺服机构, 具有控制简单、定位精度高、抗污能力强等优点。 但数字液压缸的特殊内部结构使系统特性主要取决于固有的结构参数, 而无法在线调整。这对数字液压缸的结构设计提出了更高的要求。目前, 针对数字液压缸响应的本质特性及结构参数作用的研究还相对较少。

传递函数模型不仅能够表征系统的动态特性, 还可以清晰地体现系统的结构组成, 便于对系统响应从物理本质上作出解释[1-2]。对数字液压缸进行频域建模, 能够有效判断系统的稳定性, 准确分析各结构参数在控制系统中的作用以及对系统性能的影响, 这对提高数字液压缸的系统特性, 并以不同的性能指标对系统进行优化设计具有重要意义。

1工作原理

数字液压缸由步进电机、四边滑阀、液压缸和反馈机构组成, 是一种具有局部内反馈的复合系统, 工作原理如图1所示。输入的脉冲信号经过细分电路驱动步进电机带动滑阀阀芯旋转;阀芯的旋转运动在其端部螺杆螺母副的作用下转化为直线运动, 形成阀口开度;通过改变阀口开度, 调节液压油的流向和流量, 来控制液压缸的运动方向和速度;液压缸位移通过滚珠丝杠, 经减速机减速传动至螺杆螺母副, 形成负反馈, 使阀芯复位, 阀口关闭, 液压缸停止运动。由此实现了以数字脉冲信号对液压缸位移和速度的精确控制。

2数学模型

2.1步进电机及滑阀 (简称数字滑阀) 模型

记输入脉冲数为N, 考虑到脉冲的方向性, 以N的正负代表脉冲方向, 即N>0表示正向脉冲, 电机正转;N<0表示反向脉冲, 电机反转。步进电机实际输出角位移为θr, 则其数学模型可表示为[3,4]

式中, θm为指令角位移;θb为步进电机固有步距角;nd为驱动细分数;Tm为最大静转矩;Zr为转子齿数;Jr为转子转动惯量;Be为转子黏性阻尼系数;TL为负载转矩。

滑阀阀芯与步进电机转子轴直接相连, 可视为刚性连接, 故阀芯旋转动力学方程为

式中, JL为阀芯转动惯量;Bm为阀芯黏性阻尼系数;Tf为摩擦转矩;Tx为轴向合力产生的转矩。

将阀芯旋转运动的惯性矩、阻尼矩和摩擦矩等折算到步进电机转子轴上, 以简化电- 机转换部件的数学模型, 从而得到:

式中, J为综合转动惯量, J=Jr+JL;B为综合黏性阻尼系数, B = Be+Bm;Te为综合阻力矩, Te= Tf+Tx。

联合式 (1) ~式 (3) , 得

由于Δθ=θm-θr较小, 有sin (Δθ) ≈Δθ, 故式 (4) 可变为

式 (5) 经拉氏变换后, 得到输出转角的传递函数:

2.2阀芯及反馈机构模型

由数字液压缸的工作原理可知, 滑阀阀口开度是由阀芯、螺母、滚珠丝杠和减速机反馈机构的旋转运动复合而成的, 参照图1, 可用下式描述其运动过程:

式中, xv为阀芯实际位移;xm为输入位移;xf为反馈位移; xp为活塞位移;kf为位移反馈系数;t1为阀芯螺杆螺母导程;t2为滚珠丝杆导程;i为减速机减速比。

2.3阀控缸模型

数字液压缸一般采用阀控非对称缸结构, 建模时不能简单套用阀控对称缸建模的方法[5], 工作原点的选取和负载压力、负载流量的定义必须考虑系统的不对称特性。

2.3.1确定系统工作原点

液压系统中, 液压弹簧刚度最小时, 系统固有频率最低, 阻尼比最小, 系统稳定性最差[6]。因此以液压弹簧刚度最小位置为工作点对系统特性进行研究具有代表性。

由文献[6]知, 液压缸总液压弹簧刚度为

式中, K为油液的体积模量;L为活塞行程;A1、V1分别为无杆腔的有效作用面积和等效容积;A2、V2分别为有杆腔的有效作用面积和等效容积。

定义面积比n=A2/A1, 则Kh取得最小值的条件为以此位置为工作原点, 取液压缸的总压缩体积Vt=A1L, 则两腔初始体积分别为

2.3.2定义负载压力和负载流量

负载压力pL与负载流量qL的定义必须满足功率匹配的要求, 即输出功率不大于输入功率。参考文献[7], 本文作如下定义:

式中, p1、p2分别为无杆腔压力和有杆腔压力;q1、q2分别为流入无杆腔体积流量和流出有杆腔体积流量。

2.3.3阀口流量线性化方程

xv≥0时, 阀口流量方程为

式中, w1、w2分别为与无杆腔和有杆腔相通的阀口面积梯度;Cd为阀口流量系数;ps为供油压力;p0为回油压力, 且p0≈0。

此时

xv<0时, 阀口流量方程为

同理可得

此时

在工作点处对负载流量进行线性化, 得

式中, Kq为流量增益系数;Kc为流量- 压力系数。

Kq、Kc的取值分别为

2.3.4流量连续性方程

假设连接管道短而粗, 管道内压力损失和动态损失可忽略;液压缸各工作腔内压力均衡, 油温和体积模量为常数;液压缸内外泄漏均为层流流动。可得液压缸两工作腔流量连续性方程:

式中, Ci、Ce分别为液压缸的内外泄漏系数。

整理可得

假设液压缸在初始位置附近做微小位移运动, 则可忽略式 (11) 的最后一项, 可得

式中, Cta为附加泄漏系数;Ctc为等效泄漏系数;Kt为比例系数。

2.3.5力平衡方程

液压缸输出力与负载力平衡方程为

式中, M为折算到活塞杆上的总质量;Bp为活塞及负载的黏性阻尼系数;k为负载弹簧等效刚度;FL为外负载力。

对式 (9) 、式 (12) 和式 (13) 进行拉氏变换, 得到以活塞位移为输出的传递函数:

式中, Ktc为总流量- 压力系数, Ktc= Kc+Ctc。

图2为数字液压缸的系统结构图。忽略弹性负载, 同时由于KtcBp/A12 1, 忽略此项, 化简整理后得到如图3所示的系统结构。

图3中, Ka=θb/nd为细分后的步距角;Kb=t1/ (2π) 为角度-位移转换系数;ωs=为数字滑阀的固有频率;ξs=Bωs/ (2TmZr) 为数字滑阀的阻尼比;ωh=为液压阻尼比。

不考虑负载和油源泄漏引起的干扰作用, 数字缸内反馈回路开环传递函数为

式中, Kv为开环放大系数, Kv= Kqkf/A1。

由自动控制原理可知, 该内反馈回路为一阶无静差系统, 稳态时, 系统位置误差趋于零, 速度误差与开环放大系数Kv成反比。

以脉冲数N为输入、活塞位移xp为输出的数字液压缸总传递函数为

式 (16) 综合考虑了正向运动 (xv≥0) 和反向运动 (xv<0) 两种工况。在不同工况下分别取相应阀系数Kq、Kc即可得到相应的数学模型。同时该传递函数在m =1时为对称阀控数字液压缸模型; 在m≠1时代表非对称阀控数字液压缸, 因此模型具有统一性和通用性。

3系统分析

3.1参数意义分析

对上述数学模型及系统结构图进行分析, 可得出以下结论:

(1) 数字液压缸位移反馈增益为kf, 速度反馈增益为无杆腔作用面积A1。由负载压力pL定义可知, A1本质上为负载面积AL, 需按负载要求设计;kf由滚珠丝杠和阀芯螺母导程、减速比决定, 需要合理选取。

(2) 系统的跟踪误差体现为阀芯位移xv, 控制增益为阀流量增益系数Kq。Kq为常数时, 数字液压缸本质上为比例控制。通过优化设计滑阀结构可将Kq非线性化, 实现系统的非线性控制, 获得更佳的控制效果。

(3) 步进电机至滑阀的电- 机转换环节相当于前处理器, 增益系数Ka、Kb使数字液压缸响应速度、分辨率和定位精度可调。

3.2系统特性分析

由数字液压缸传递函数的推导过程可知, 流量增益系数Kq和流量-压力系数Kc在正反两个运动方向上具有不同的形式, 正反向速度之比实际上为流量增益系数之比。以上标“+”代表正方向, “-”代表反方向, 则有其值与m无关, 即两方向的速度差异主要取决于负载和液压缸的结构, 无法通过采用匹配的非对称阀控方式消除。pL= (1-n) /ps时, v+/v-=1;pL=0时, v+/v-=阀芯正反向偏移量相同时, 流量-压力系数与流量增益系数Kq之比互为倒数。

根据劳斯判据, 系统稳定条件为Kv<2ξhωh。正反向开环放大系数Kv和阻尼比的不同, 使得正反向的稳定性有所差异。数字液压缸结构参数确定后, Kq直接影响Kv, Kc直接影响ξh。阀系数随阀工作点变化, 使得系统的稳定性指标不易确定。 但当阀芯处于原点时, 流量增益最大, 流量- 压力系数最小, 系统阻尼比最低, 此时系统最不稳定。故以零位阀系数分析验证系统稳定性, 能够保证系统在其他工作点处稳定。

4仿真验证

某对称阀控数字液压缸 (m=1) 的主要参数如下:步进电机齿数Zr= 50, 固有步距角θb= π/100, 最大静转矩Tm=1.2N·m, 驱动细分数nd=20;数字滑阀综合转动惯量J = 5.66× 10-5kg· m2, 综合黏性阻尼系数B = 0.06 N·m·s/rad, 阀口流量系数Cd=0.62, 面积梯度w1= w2=0.05m;液压缸无杆腔面积A1= 2.5×10-2m2, 面积比n=0.8, 总压缩体积Vt= 1.15×10-2m3, 反馈系数kf=0.3, 内泄漏系数Ci=2.4×10-11m/ (Pa·s) , 外泄漏系数Ce=4.7× 10-13m/ (Pa·s) ;活塞杆总质量M =360kg, 黏性阻尼系数Bp= 800N· m/s;外负载力FL= 2940N;油源供油压力ps=10MPa;油液密度ρ= 918kg/m3;油液体积模量K =700MPa。

将上述参数代入推导的数学模型, 计算得到Kq+=3.71, Kq-=3.37;数字滑阀的固有频率ωs=1.03×103rad/s, 阻尼比ξs=0.51;液压固有频率ωh=615.5rad/s, 该液压固有频率的计算充分考虑了滑阀结构的影响, 更准确地反映了阀控非对称缸的实际情况, 所得结果小于一般文献中直接通过最小液压弹簧刚度计算得到的固有频率[8]。

图4所示为计算得到的液压阻尼比随相对阀芯偏移量、相对负载压力变化曲线, 液压阻尼比与阀开度成正比, 且正反向运动时的液压阻尼比不相同。相对负载力为负时, 反向运动液压阻尼比大于正向运动, 反之, 正向运动液压阻尼比大于反向运动。pL/ps<0.1即相对负载力较小时, 反向运动阻尼比仍大于正向运动。由此可知液压阻尼比难以确定, 且计算值一般偏小, 而实验测量的零位阻尼比一般为0.1~0.2[9], 为了简化计算, 本文取正向运动阻尼比为0.1, 反向运动为0.12。

容易得到Kv+=43.78, 2ξh+ωh=123.10, Kv+< 2ξh+ωh;Kv-=39.73, 2ξh-ωh= 147.72, Kv-< 2ξh-ωh, 由此可知正反向运动模型均满足稳定条件, 系统稳定。图5为数字液压缸内反馈回路开环Bode图, 可以看出正反向运动的幅值裕度均大于6dB, 相角裕度均大于45°, 系统稳定性良好, 且反向运动幅值裕度大于正向运动, 稳定性更优。 穿越频率处的谐振峰由系统欠阻尼造成, 因此必须设法提高数字液压缸的阻尼比, 如增加负载黏性阻尼、设置压力反馈网络等[9-10]。

数字液压缸系统总传递函数的特征方程为

系统正向运动和反向运动的特征根分别为

可知所有极点均位于虚轴左侧, 数字滑阀部分的极点远离虚轴, 对系统影响较小 (系统响应的过渡过程主要由阀控缸部分的闭环极点引起的暂态分量决定) 。不考虑活塞位移符号, 数字液压缸正反向运动阶跃响应曲线如图6a所示。由图6a可知, 系统响应速度快, 振荡但无超调, 这是由于阀控缸部分的负实数极点与共轭复数极点距离虚轴的距离十分接近, 对应的2个暂态过程共同作用的结果。过渡时间t1+=0.089s, t1-=0.099s, 正向运动的响应速度大于反向运动。

图6b所示为kf=0.03时, 数字液压缸的阶跃响应曲线。其中, 过渡时间t2+= 0.894s, t2-= 0.985s, 正向运动响应速度依然大于反向运动, 但系统响应速度变慢, 无振荡也无超调。此时, 系统的特征根分别为

由此可知, 减小反馈增益使得阀控缸部分的共轭极点远离虚轴, 负实数极点靠近虚轴, 使得负实数极点对应的暂态分量在过渡过程中起主导作用, 这与响应曲线反映出的结果基本一致。

5结论

(1) 综合考虑数字液压缸各组成部分和不同工况建立的传递函数模型, 能适应不同阀控方式和运动方向的差异, 具有系统性和通用性。

(2) 以液压弹簧刚度最小位置为工作原点, 推导得到了液压固有频率和阻尼比的计算公式。由于充分考虑了滑阀结构的影响, 计算结果更准确地反映了数字液压缸的实际情况。

(3) 数字液压缸正反两运动方向上的速度差异实质为流量增益Kq的差异, 主要由负载和液压缸的非对称结构决定, 而与阀的匹配与否无关。 液压阻尼比受流量-压力系数Kc的影响, 与滑阀开度成正比。负载力为负时, 反向运动液压阻尼比较大, 反之, 正向运动阻尼比较大, 但当正向负载力较小时, 反向运动阻尼比略大于正向运动。

(4) 数字液压缸的系统特性主要由内反馈回路决定, 系统稳定性良好。反馈增益kf和阀流量增益Kq的设计决定系统的闭环极点分布, 从而影响系统稳定性和响应过程。

参考文献

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数字函数 篇5

1 光场成像原理

图1 中只表示了目标物的光线追迹。其中主透镜的作用是将目标物成像在微透镜阵列上,再通过微透镜阵列分割成若干个子孔径分别成像在探测器上并覆盖若干个探测器像元。假设微透镜阵列由N×N个微透镜单元组成,每个微透镜单元又覆盖M×M个探测器像元,那么所获取的图像其分辨率为N×N×M×M。

这样微透镜单元反映的是目标物的二维空间位置信息,每个微透镜单元对应探测器上的若干个像元,每个像元反映该位置上不同的二维方向信息,实现了四维光场信息的解析。对所得光场数据进行数字对焦处理可以获得不同景深的图像。

2 数字对焦

2.1 光场成像的光场分布

为了表示光场成像的光场分布,可以通过两个平行平面来进行参数化表示如图2。光线与这两个平面相交于两点,形成一个四维光场LF(u,v,x,y) 。探测器面上的辐照度EF(x,y) 可以通过积分成像得出,其计算公式为

光场成像包括两个步骤:光场的采集和与之对应的光场数据处理。数据的处理是通过计算机实现的,无需机械调焦便可以根据自己的喜好进行定焦。这就是所谓与传统相机不同的数字对焦。这种技术可以达到先拍摄后对焦的目的,降低了实现精密对焦的难度和复杂度。

2.2 频域数字对焦

数字对焦的处理在空域和频域中都可实现,文献[2]对数字对焦的原理进行了分析,推导出基于积分成像的数字对焦公式如下

假设光场与新焦平面的交点为(x,y)且F′= αF 。探测器与透镜间的距离为F。所以根据相似性质,光场在探测器平面上的交点为(u(1 - 1/α) + x/α,v(1 - 1/α) + y/α) 。 LF′(u, v, x, y) =LF(u,v,u(1 - 1/α) + x/α,v(1 - 1/α) + y/α) 是重聚焦像面的光场分布,LF是原探测器面上的光场分布。 α 表示不同对焦深度的参量,通过改变 α 值就可以得到不同对焦深度的图像。上述是在空域中实现数字对焦,由于积分算法比较复杂,运行速度慢,所以采用在频率域中进行数字对焦。

在频域中是基于傅里叶切片定理[2]对所得图像进行数字对焦,二维探测器上所得的投影图像,其傅里叶频谱即为光场傅里叶变换中的某个二维切片。不同对焦深度的图像频谱对应不同的切片,计算公式为

式中,F4为四维傅里叶变换操作算子;F-2为二维傅里叶反变换操作算子;βα为切片成像操作算子;I(ku,kv,kx,ky) 为L(u,v,x,y) 的四维傅里叶变换;α 为表征不同对焦深度的参量。

3 图像清晰度评价函数

在图像数字对焦处理中图像清晰度评价函数起到至关重要的作用。到目前为止大体可以分为两种清晰度评价方法,即空域的评价方法和频率域的评价方法。Sobel算子评价方法、拉普拉斯算子评价方法和基于Tenengrad梯度算子评价方法都属于空域中的评价函数。基于离散小波变换和傅里叶变换的评价函数则属于频域的评价方法。清晰度评价函数的选取直接决定对图像评价的好坏。因此想要对几幅图进行正确的评价就要遵循引言中所提到的一个优良的评价函数所具备所有特征。不应有局部峰值,具有良好的无偏性和较高的灵敏度。

3.1 传统的清晰度评价函数

基于梯度的评价函数是目前常用的对图像进行清晰度评价的方法。基于频率域的评价函数与梯度评价函数相比虽能够对噪声有较好的消除,但是需把图像信息从空域转换到频域,计算量明显比空域复杂,运算量大,并且其系统的实时性很难得到满足。综合考虑光场成像系统,其图像信息所包含的噪声小可忽略不计。由于传统的梯度评价函数曲线比较平坦其灵敏度不高,文中将对基于梯度的评价函数作进一步的改进,从而研究出一种实时性较高,整体性能好的清晰度评价函数。

3.1.1 灰度方差算子

数字对焦后的清晰图像其灰度变化与离焦图像相比必然是明显的,因此图像的对焦好坏可以用灰度变化的程度及方差来进行评价。图像的灰度方差算子的定义如下

式中,,MN表示图像区域的大小尺寸。

3.1.2 基于梯度的Tenengrad图像清晰度评价函数

在图像评价过程中,对于图像的边缘可以用梯度来提取,最大的图像梯度值应该对应的正确对焦的图像,其边缘最锋利。Tenengrad函数是通过用Sobel算子对水平和垂直方向的梯度值进行提取。评价函数F(k)定义为梯度的平方和。梯度G(x,y)要大于一个提前设定的阈值T,即

式中,G(x,y)是在点(x,y)上与Sobel算子的卷积,为

3.2 改进后的清晰度评价函数

由于对一整幅图像进行清晰度评价其运算速度会时间长,可以选取一个灰度变化明显的图像区域代替整幅图再进行评价。3.1.2 节中已经讲到梯度评价函数需要提前设定一个阈值,选取一个好的阈值会对评价函数曲线的单峰性起到至关重要的作用。这就是文中改进评价函数的思想前提。

采用待选区域的灰度平均值作为阈值T,然后进行Tenengrad梯度函数进行评价数字对焦的一系列图像。即对式(7)进行改进如下

式中,I(i,j)是图像坐标(i,j)所对应的灰度值。

4 实验仿真结果

为了验证该评价算法在光场成像应用中的有效性,利用Matlab软件进行仿真,如图3 所示。实验采用8 幅数字对焦图像,按照离焦-正确对焦-离焦的顺序依次排列,每一幅图对应不同的景深参数值α 。每一幅对应的 α 取值分别为0.8、0.85、0.9、0.95、1.0、1.05、1.1、1.15。F(k)达到最大时,它所对应的图像最清楚即正确对焦的结果。图3中的第四幅图即 α =0.95所对应的图像最为清晰,则认为是准确的数字对焦。与理论推断相一致。

图3 是光场成像的数字对焦的一系列数据,图像的模糊程度与景深参数 α 值有关。利用上述所提到的评价函数对着一系列的图像数据进行评价,从而可很直接的看出哪一幅图像最清晰且它所对应的 α 值是多少。图4 是传统的梯度评价函数曲线。图5 是文中算法仿真出的评价函数曲线图(该图峰值对应的 α 值为0.98,这是为了仿真的精确性,采用的 α 间隔变小为0.03,与上文提到的 α =0.95其间隔为0.05对应的最大值是一致的)。

从图中可直观地看到,该算法在光场成像的应用中具有可实用性。采用改进的图像清晰度评价算法进行改善评价曲线,与传统的梯度评价函数相比,其单峰性(只有一个峰值)得到了很好的改善、灵敏度(斜率)也有所提高、其运行速度也有所加快。

为了更好的验证该算法的有效性,可以采用客观的方法计算出算法之间的运行速度。如表1所示。

5 结束语

随着图像处理技术的发展需求,光场成像技术也随之发展壮大。光场成像的优势在于不需要在成像之前进行机械式对焦,可在任意景深处成像,然后通过计算机图像处理进行数字对焦,根据自己的需求进行成像出不同景深处的图像。利用图像清晰度评价函数对不同对焦程度的图像进行评价从而找到最佳对焦图像。文中采用改进的梯度评价算法对其灵敏度和单峰性进行改善。图像清晰度评价算法有很多种,在国内外的图像研究领域中已取得了重要的成果。实验证明,所运用的该算法是对传统的梯度评价算法的一种改进。其优势在于灵敏度提高,消除了局部的峰值性且其运行速度加快,并且有较好的峰值信噪比。

摘要：光场成像数字对焦是图像处理中的重要技术。文中分析了数字对焦的基本原理,不同景深对应的对焦结果不同。针对传统的灰度方差评价函数对光场成像系统引入了过多的梯度信息,从而影响评价函数的灵敏性。就这一缺陷,提出一种改进的图像清晰度评价算法。该方法采用对图像局部区域进行评价,首先利用图像灰度梯度能量函数即Tenengrad函数来提取高频信息来评价图像的清晰度,再加入一个阈值区分边缘点和非边缘点来减少图像对比度不明显的区域对评价函数的影响。与其他几种传统梯度评价算法相比,该算法的优势在于取得了更高的识别精度。通过MATLAB平台进行了仿真,实验结果表明,该算法与传统的梯度算法相比,其灵敏度有很大的改善。