构造SWOT矩阵
构造SWOT矩阵 篇1
新时期的经济竞争,转向了以中心城市为核心的城市群综合实力的竞争。作为西南边境省份的经济重心、也是极具发展潜力的滇中四城,涵盖了昆明、玉溪、曲靖和楚雄等四个紧密相连、浑然一体的行政区域范围。在长期发展中,形成了以昆明市为极核,从东南西向吸引其他三城市的经济地域结构,初具城市群发育形态。当前,云南已将促进滇中城市群建设作为优先发展的战略目标,致力于建设面向东南亚、南亚具有较强竞争力和影响力的特色门户城市群,成为了全省经济、文教、科技、交通中心,云南乃至中国西南区重要的物流、人才流、科技流、信息流、资金流的中心和云南最具综合功能、最具辐射能力的都市区,以及推动云南经济快速发展的策源地。然而,滇中城市群发育条件及其前景究竟如何呢?
2基于SWOT法的滇中城市群发育定性分析
所谓城市群发育,是指若干相邻地级以上城市在其经济社会交互作用下,各成员城市逐步发育成为具有密切分工与协作关系的城市集群。藉由此种组团式合力,产生最大化的结构功能效应,推动区域经济高度集约发展并共享成果[1,2,3,4]。可从以下识别:(1)地域接近性。即由几个在地理空间上邻近、经济实力强的城市相互作用而结成完善的城镇体系。(2)经济资源互补性。即各地区在其优势资源基础上按市场机制配置产业,在差异化发展中互通有无,以节约资源并降低交易成本。(3)区域发展协调性。即区域内形成以较高水平的产业分工与合作为主要内容的功能分化,利用综合竞争实力实现城市化、工业化协调发展目标。(4)基础设施一体化。即城市群拥有由公路、铁路、航空、水运与通讯等许多现代运输方式叠加而成的发达的基础设施网络系统。本文据此对滇中城市群发育进行SWOT分析。
1.1 滇中城市群发育优势
主要表现在:(1)区位优势突出。滇中城市群位于滇中地区,是云南的经济社会重心,又是战略发展要地。而云南则是中国的西南门户,东向与珠三角、长三角经济圈相连;南向将通过建设中的泛亚铁路东、中、西三线直达河内、曼谷、新加坡和仰光;北向可达四川和中国内陆腹地;西向经缅甸直抵孟加拉国吉大港口出印度洋。随着中国·东盟自由贸易区和泛珠江三角经济区的全面启动,云南在区域合作中的地位日益突显,滇中城市群特别是昆明市将有望建成GMS的重要协作主体和商贸物流中心。(2)资源丰富,互补性强。滇中地区自然资源保障程度较高。根据统计数据显示,云南省多年平均水资源量1712亿m3,是全国人均水平的1.98倍;耕地资源609.44万hm2,是全国人均水平的1.37倍;森林资源1501.50万hm2,覆盖率达38.0%,是全国覆盖率的2.09倍;矿产资源以煤和铁为例,其中铁矿保有储量35.67亿t,为全国人均水平的4.97倍,煤矿保有储量263.1亿t,为全国人均量的2.32倍。(3)经济、人文潜力巨大。由于滇中城市群的独特区位和优良的发展空间,现已聚集了云南省主要的城市人口(约727.7万人)、产业产能和密集的城镇生态群落。该地区面积仅占全省的24.25%,却吸纳了37.4%的人口、57.8%的GDP总量、49.5%的地方财政收入、51%的固定资产投资和60.6%的社会总消费[5]。就城市发展来看,滇中地区的城市化率为42.8%,城市发展速度进入加速状态(一般认为门槛值为30%),空间扩散广域化并将日趋连绵成片,区域进一步融合并且跨界发展明显。从经济总量来看,滇中四城具备一定的经济规模和合理的经济格局,其规模效应和集聚效应将成为云南经济建设成败的关键。就产业结构来看,各地州市利用优势资源建立其支柱产业和主导产业,在相互竞争和交流中形成了中心城市昆明承担深加工和高端服务的功能,次级城市承担原料生产和初级加工功能,且逐级形成分化的地域分工与协作局面。如玉溪市烟草加工业发达,得益于楚雄州大力推广种植优质烟草。从空间网络设施来看,高等级的交通体系基本形成,昆明—玉溪、昆明—楚雄、昆明—曲靖都在“3h经济圈”内,有利于人流、物流、资金流和信息流的良性互动。
2.2 滇中城市群发育劣势
主要表现在:(1)综合竞争实力犹显不足。云南地处西部,经济底子薄且远离中国经济发展中心,综合竞争实力不足[6]。滇中地区城市化为42.8%,比全国水平低2.1%;人均GDP为19397元,比全国水平低3243元;工业新增值1440.05亿元,占滇中地区经济总量的43.7%,比全国水平低4.9%。可见,滇中城市群现有的经济规模还不足以使之成为带动全省经济腾飞的“引擎”。(2)区域一体化成长机制缺失。由于发展阶段所限和地方利益驱使,滇中地区尚未形成较高层次的分工、协作和互补关系,城市间投资市场竞争白热化,低水平重复建设较普遍,产业结构雷同,缺乏具有核心竞争力的经济基础和特色产业,尚未建立高效的区域协调机制。在产业结构方面,曲靖、玉溪和楚雄的相似系数高达0.95[7]。在城际收入差异方面,2004年以来体现绝对差距的标准差从5413元扩大到7856元。(3)资源利用和环境保护矛盾尖锐。滇中城市群拥有丰富的水资源、矿产资源和旅游资源,但是其综合开发利用效率不高,对环境保护力度不够。一方面,对资源开发利用缺乏有效管理,自然资源开发市场秩序混乱,产品加工低端粗放;另一方面,在追求经济利益时忽视了对生态环境保护的统一认识和行动,引起区内人地关系紧张、“三废”污染加剧、环境容量急剧下降。近年来滇池污染、阳宗海砷中毒就充分暴露出资源利用和环境保护之间存在的问题。
1.3滇中城市圈的发育机遇
主要表现在:(1)西部开发的有利政策。用好、用足国家新一轮西部大开发的人才支持计划、财政转移支付政策和其他优惠扶持政策,把推动滇中城市群发展作为云南省空间开发的重要战略支撑点,通过构建城市间合理的空间关系,使云南省经济社会驶入发展快车道。(2)省域优先开发区功能定位。云南“十一五规划”确立的空间开发战略布局为“遵循多极多轴线的空间布局原则,依据地质地貌、水、土地和环境承载力,综合考虑经济社会发展阶段和现有开发状况、对内对外的联系等因素,在今后20—30年间逐步形成以滇中地区为发展极的`一极三向五群'空间开发战略布局”[8]。2009年云南省提出“两强一堡”战略发展目标,滇中城市群在打造绿色经济强省、民族文化强省、中国面向西南开放的桥头堡将起到龙头作用。现今,在云南省主体功能区划中,“滇中城市群”作为云南省最集中和最大的优化开发区,承担着加快工业化和城市化进程,壮大经济规模和集聚人口的重任,必将会得到国家和省市的政策扶持和财政支持。(3)推动区域经济合作共赢。云南与缅甸、老挝和越南接壤,滇中城市群则是云南与东南亚、南亚交往的核心区域,极具区域合作的便利条件[9]。除了占据多国边境贸易便利之外,滇中地区在中国—东盟“10+1”和中国—南盟区域经济合作中具有得天独厚的条件。正在筹划酝酿中的GMS经济区,与之对接的中国省份就是云南。此外,在泛珠三角“9+2”协作中,作为北承川渝城市群乃至大陆腹地,东引黔桂直至珠三角城市群的重要结节点,滇中城市群在打造先进工业制造、商贸、物流、信息、中介和服务中心必将大有作为。
2.4 滇中城市圈的发育威胁
主要表现在:(1)国际经济竞争激烈。经济全球化是一把“双刃剑”,在给滇中城市群带来承接东部产业转移的发展良机的同时,还携裹着可能的世界性经济危机风险。如由美国次贷危机引发的世界性经济危机,不仅危及中国东部沿海发展,西部内陆也在所难免。因此,滇中城市群在主动融入经济全球化、区域一体化过程中,不可忽视对风险的研究。(2)区域经济体竞争趋强。改革开放30多年来,城市群的涌现是中国经济发展的突出成果,长三角、珠三角、京津翼北、辽中南、武汉、中原、长株潭、成渝、关中等城市群,成为了区域经济快速成长的新增点。滇中城市群与其他城市群相比,在固定资产投资、对外贸易、新兴经济等方面都存在竞争。而滇中城市群的经济总量、产业结构、城市化水平、人才存量、科技实力等方面还有一定差距,必须加强滇中四城的经济建设,充分发挥比较优势和能统筹协调功能,完善产业结构,构建完整的产业链,充分发挥市场作用,才能使滇中城市群在国内城市群竞争中冲出殿后位次。
3 基于QSPM矩阵法的滇中城市群发育定量分析
SWOT方法是一种比较成熟的定性分析方法,在没有精确数据支撑和专业化分析工具的情况下,可以得出具有说服力的结论供决策层参考。但在解决问题要求做到分析模式化、论证数理化、决策科学化和风险可控性的现代哲学思维逻辑背景下,如此粗略的归纳描述式结论是远远不够的。为此,本文在运用SWOT分析法分析滇中城市群发育条件的基础上,引进了定量战略计划矩阵法(QSPM矩阵)[10],对影响滇中城市群一体化进程的内外条件进行量化评价。
3.1 构建滇中城市群QSPM决策矩阵
本文将影响滇中城市群发育的优势、劣势、机会和威胁等各种条件,按内部、外部因素归类后对两者进行整体性定量评价。其中内部因素由资源环境基础、区位条件、经济规模、市场化水平、分工合作水平、空间作用强度、经济外部性等方面来刻画,外部因素由地缘经济与地缘政治潮流、经济全球化与区域一体化趋势、城市发展战略、政策导向、外来竞争与合作等方面来刻画,并依据既定原则选择指标。
指标遴选原则为:(1)科学性原则。指标应该能够全面反映城市群发育的内涵和特征。(2)代表性原则。选择具有代表性的指标,使用最少的指标来刻画出最真实情况。(3)可行性原则。保证指标数据容易获取,便于操作分析,并要求指标具有一定的区分度,以便进行量化评价。本文将正向指标与逆向指标、优势项与机遇项作为正向指标,劣势项与威胁项作为逆向指标(表1)。
3.2 确定影响因素权重
本文征询了10余位专家意见,采用专家打分法结合AHP法得到各因素权重值。第一步,估算出内因素的优势与劣势的权重。内部因素权重集为:={KS,KW}={优势,劣势}={0.67,0.33},满足:K+KW=1。第二步,分别估算出优势项目和劣势项相对权重。优势项目相对权重集为:KS={KSi}={KS1,KS2,…,KS6}={0.1031,0.0584,0.3868,0.25710.0331,0.1615},满足:劣势项目相对权集为:KW={KWi}={KW1,KW2,…,K6}={0.10060.06,0.3837,0.0843,0.2033,0.168},满足:第三步,求出优势项目和劣势项目在内部因素中的权重。设定优势项目加权权重集A,则有:A=KS×KSi={0.0691,0.0391,0.2592,0.1723,0.0222,0.1082};劣势项目加权权重集B,则有:B=KW×KWi={0.0332,0.0198,0.1266,0.0278,0.0671,0.0554}。同理可对外部因素赋权。
3.3 评价方法与结果
查找滇中城市群2008年相关统计数据,把指标影响力分成五等级标度(极小、较小、中等、较大、极大),经过专家讨论评分,可判断优势项目和机遇项目对城市群发育的推动作用(即驱动力综合值),也能估计劣势项目和威胁项目对城市群发育的阻碍程度(即制动力综合值),见表2。在此基础上,可评价优势、劣势、机遇和威胁在城市群发育中的单项作用效能,内部因素和外部因素在城市群发育中的总体作用效能。处理方法为:单项作用效能=驱动力(制动力)综合值/权重;总体作用效能=驱动力综合值/制动力综合值。其中,内部因素总体作用效能的经济学意义为:总体作用效能≤1,说明城市群发育的内部障碍极大;1≤总体作用效能≤0.67/0.33=2.0303,说明城市群在发育中受到了一定限制;总体作用效能≥2.0303,说明城市群发育具备优良的内部条件。类似地,外部因素的总体作用效能处于[0,1]区间,说明城市群发育的外部阻力极大;处于第二区间[1,0.7/0.3=2.333],说明城市群发育的外部条件有利;处于区间[2.333,+∞],说明城市群的发育外部条件优良。
从单项作用分析来看,优势项目、劣势项目和机遇项目作用力都较大,单项作用效能分别为0.6330、0.6539和0.7313,而威胁项目产生的制动力为0.5873,属中等。从内外部因素总体作用来看:(1)内部因素总体作用效能为1.9652,可见滇中城市群的发育受到了一定限制,但将近具备“优良的内部条件”。存在的问题是城市间产业同构化比较严重,边境贸易及出口能力不足,滇中地区经济发展的外向拉动力有限。(2)外部因素总体作用效能为3.2814,处于第三区间,可见滇中城市群发育的外部条件很好,应当抓住时机加快滇中城市群一体化建设步伐。
4 结论与启示
通过SWOT矩阵分析,使定性问题定量化,为滇中城市群发展问题的科学决策进行了数理论证。通过分析表明,滇中城市群尚处于城市群发育的初期阶段。在其影响因素中,优势与劣势都很明显,机遇胜过威胁。从总体作用效能来看,滇中城市群发育的内部动力需要得到进一步强化,外部动力是难得的发展机遇,正在和将会成为滇中城市群成长的助推剂。诚然,在滇中城市群的发展道路上存在着诸多困难和挑战,但是在现代区域经济日渐表现出城市空间组团式、产业布局集群式发展的趋势下,鉴于滇中地区在云南经济社会发展中所处的增长极地位、承载的历史责任及其发展潜力,必须坚定不移地推进滇中城市群整体快速地发展。
这就需要把握好滇中城市群作为优化功能区、“桥头堡”战略建设目标及区域协作的重要主体等有利时机,利用优势资源和优惠政策引进资本、技术与管理,培育产业集群,加快工业化、城市化进程;实施出口替代战略,做大做强包括边境贸易在内的对外贸易,发挥出口拉动经济增长的作用;以政府为主导创新城际协调机制,按市场要求整合产业,通过提升滇中城市群的综合竞争实力谋求联动发展和共享发展。
摘要：新时期的经济竞争,转向了以中心城市为核心的城市群综合实力的竞争。在运用SWOT分析法定性分析的基础上,引用QSPM矩阵,对影响滇中城市群一体化进程的内外条件做量化评价。结果表明,滇中城市群尚处于城市群发育的初期阶段。在其影响因素中,优势与劣势都很明显,机遇胜过威胁。从总体作用效能来看,滇中城市群发育的内部动力需要得到进一步强化,外部动力是难得的发展机遇,正在或将会成为滇中城市群成长的助推剂。
关键词：滇中城市群,发育,SWOT分析,QSPM矩阵
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构造SWOT矩阵 篇2
关键词：压缩感知,测量矩阵,托普利兹结构,奇异值分解,信号重构
0 引言
压缩感知CS[1,2]理论突破了奈奎斯特采样定理对信号采集与处理的限制,实现了数据采集与数据压缩的同时进行。在很大程度上减少了数据采样所需要的时间和存储数据所需要的空间,为图像信号的采集和压缩的研究提供了一种新的理论依据。在压缩感知理论中,测量矩阵性能的优劣直接关系到信号重建精度的高低与重构速度的快慢。当前常用的测量矩阵大部分是随机的,然而,这类矩阵通常不易于硬件实现,由于将测量矩阵予以硬件实现是压缩感知理论应用到实际中的一个重要条件。因此,构造具有较高重构性能并且易于硬件实现的的测量矩阵具有重要意义。
根据矩阵元素的随机性和确定性可将测量矩阵分为两类,即随机测量矩阵和确定性测量矩阵[3]。随机测量矩阵包含高斯随机矩阵、稀疏投影矩阵以及贝努利矩阵等。其主要特点是矩阵的每个元素都服从独立同分布,因此随机测量矩阵的列向量具有较好的非相关性,所以只需较少的采样值就能完成原信号的精确重建。但是,随机测量矩阵占用存储空间较大、计算复杂度高且难以硬件实现。确定性矩阵包括Toeplitz结构测量矩阵、循环矩阵等,其主要特点是易于硬件实现,但相比较随机测量矩阵,其重构性能较低。在确定性测量矩阵中[4,5,6,7],Toeplitz结构测量矩阵是通过行向量的循环移位来构造整个矩阵。在实际应用过程中,这种循环移位非常易于硬件实现,并且Toeplitz矩阵是一种高度结构化的矩阵,矩阵的结构化可以提升计算速度及降低计算复杂度。然而同大多数确定性测量矩阵[8,9]一样,Toeplitz矩阵相比较高斯随机矩阵等随机测量矩阵也存在重建精度不高的问题[10,11,12]。为了确保原信号进行较高精度的重建,通常需要较多数目的测量值,而在实际应用中获得较多测量值需要付出很大的代价。
针对易于硬件实现的Toeplitz矩阵重构性能较低的问题,本文提出一种基于奇异值分解的Toeplitz结构测量矩阵构造方法。通过对该矩阵的奇异值进行优化来提高测量矩阵的列向量独立性,从而提高其重构性能。仿真结果表明:在相同的稀疏基和重构算法下,无论是重构图像的视觉效果还是重构图像的客观评价指标数值,当采用本文方法优化后的Toeplitz结构测量矩阵进行压缩感知时,总体上图像信号重构结果要好于采用未优化的Toeplitz测量矩阵和高斯随机矩阵时的情况,即本文构造的基于奇异值分解的Toeplitz结构测量矩阵具有较好的重构性能。
1 压缩感知理论框架
1.1 压缩感知理论的数学模型
设长度为N的一维离散时间信号x∈RN×1,将其在一组正交基{ψi}Ni=1上展开,可得:
其中,式(1)中Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]为N×N的正交基矩阵,θ=[θ1,θ2,…,θN]T为系数向量。若系数向量θ中只有个非零系数,那么称信号x在基矩阵Ψ下为K稀疏信号。将信号x投影到与稀疏基不相关的测量矩阵ΦM×N上,即对信号x执行压缩观测,可得:
信号的重建就是通过M维的测量值y来恢复N维的原始信号x,由于测量值维数,因此求解式(2)的过程是病态的,即无法直接求解。但是若原信号x是稀疏的或可压缩的,且测量矩阵满足有限等距性质RIP(Restricted Isometry Principle)[1,2],那么可通过求解下述最小l0范数问题来精确求解原始信号x,即:
由于对l0范数问题的求解是NP-hard的,且最小l0范数问题和最小l1范数问题在测量矩阵满足RIP的条件下是等价的[1],因此式(3)可转化为:
压缩感知过程如图1所示。
1.2 测量矩阵满足的约束条件
测量矩阵是压缩感知理论的重要组成部分,为了确保信号进行有效的压缩和精确的重构,测量矩阵应满足一定的条件。Candes等人提出了测量矩阵所满足的RIP准则[13],该准则的数学描述为:对于任意K稀疏信号x和常数δK∈(0,1),如果:
成立,则称测量矩阵满足有限等距性质。
在测量矩阵的构造过程中,几乎很难验证矩阵是否满足RIP条件。通常可以采用同RIP准则等价的性质,即矩阵非相干性[14,15]来作为测量矩阵构造的理论指导。研究表明:在正交稀疏基Ψ确定的情况下,可从测量矩阵的列向量相关性方面入手设计测量矩阵。为了指导构造测量矩阵,在文献[1]中Donoho给出了测量矩阵所要满足的三个基本特征:(1)由测量矩阵的列向量组成的子矩阵的最小奇异值必须大于一定的常数,即测量矩阵的列向量在一定程度上要具有较好的线性非相干性;(2)测量矩阵的列向量要满足一定程度上的随机性;(3)在一定稀疏度条件下的解则为满足1-范数最小的列向量。这三个特征为测量矩阵的构造提供了重要指导,同时也是本文测量矩阵优化算法的重要理论依据。
2 基于奇异值分解的Toeplitz结构测量矩阵构造方法
奇异值分解SVD(Singular Value Decomposition)广泛应用于信号与图像处理、最小二乘问题、酉不变范数理论、特征值问题以及优化问题等领域。它是矩阵论和线性代数中一种很重要的矩阵分解算法[16,17,18,19,20,21]。
2.1 矩阵奇异值分解
定义1设矩阵A∈Crm×n(r>0),若λi是AAH的特征值,并且假设λ1≥λ2≥…≥λr>λr+1=…=λm=0,那么则称(i=1,2,…,r)是A的正奇异值,简称奇异值。
定理1若A∈Crm×n,δ1≥δ2≥…≥δr是A的r个正奇异值,则有m阶酉矩阵U以及n阶酉矩阵V,满足:
其中,Σ=diag(δ1,δ2,…,δr),U满足UHAAHU是对角矩阵,V满足VHAHAV是对角矩阵。那么称式(6)为矩阵A的奇异值分解。矩阵奇异值分解具有以下主要性质:
性质1矩阵非零奇异值的个数与该矩阵的秩相等。设矩阵A∈Cm×n,且其秩rank(A)=r,则A的奇异值满足σ1≥σ2≥…≥σr>σr+1=…=σm=0。
性质2矩阵的奇异值拥有良好的稳定性。假设矩阵A、B∈Crm×n,并同时假设矩阵A和B的非零奇异值分别为δ1≥δ2≥…≥δr和σ1≥σ2≥…≥σr,那么则有δi-σi≤‖A-B‖2(i=1,2,…,r)。
推论1奇异值对矩阵扰动具有良好的稳定性。设矩阵A∈Crm×n,=A+δ,其中δ是矩阵A的一个扰动矩阵,A与的非零奇异值分别为τ1≥τ2≥…≥τr和ε1≥ε2≥…≥εr,λ1是δ的最大奇异值,则有τi-εi≤‖A-‖2=‖δ‖2=λ1。
2.2 基于奇异值分解的Toeplitz结构测量矩阵优化算法
测量矩阵要满足的第一个特征指出:测量矩阵的列向量要具有比较好的线性非相关性,然而矩阵的线性非相关性与矩阵的最小奇异值密切相关。若矩阵的最小奇异值越小,那么矩阵的线性相关性越大,即其独立性越弱。当测量矩阵最小的奇异值近似为0时,则矩阵列向量的线性独立性趋于最小。因此,本文提出了一种基于奇异值分解的Toeplitz结构测量矩阵设计方法,目的是通过增大矩阵的奇异值来提高矩阵列向量的线性独立性。
通常情况下,理论上常用的测量矩阵在实际应用中具有局限性,难以硬件实现,满足一定条件的测量矩阵才能更好地予以硬件实现。文献[3]给出了能在实际中应用的测量矩阵应满足以下性质:(1)测量矩阵和稀疏基矩阵要具有较强的不相干性,以确保信号进行较高精度的重建;(2)测量值的数目要尽量与理论值相接近,以降低获取测量值的成本;(3)矩阵要具有较强的结构性,以减小采样与重建的复杂度;(4)占用存储空间小,构造元素简单,并且易于硬件实现。因此,为了使构造的Toeplitz结构测量矩阵结构简单,并且能够更好地通过实际硬件予以实现,那么该矩阵的元素可由0、1来组成。
综上,该方法首先生成一个元素由0、1随机组成的行向量u=(u1,u2,…,uN,uN+1,…,uN+M-1)。然后根据向量u来构造Toeplitz结构测量矩阵Φ,接下来对测量矩阵Φ进行奇异值分解,并对奇异值进行优化处理,得到新的测量矩阵Φ'。并且该优化过程并没有改变矩阵非零奇异值的个数,因此,由性质1可知,该优化过程并没有改变矩阵的秩。然后再根据性质2和推论1,对新构造的测量矩阵Φ'作负元素置0,非负元素置1的近似处理,得到最终由0、1元素组成的Toeplitz结构测量矩阵Φ″。具体步骤如下:
步骤1
生成一个随机向量u,其元素由满足随机分布的0、1组成,即u=(u1,u2,…,uN,uN+1,…,uN+M-1);
步骤2
利用步骤1生成的向量u构造Toeplitz结构测量矩阵Φ∈RM×N(M<N),即:
步骤3
对矩阵Φ∈RM×N(M<N)进行奇异值分解,可得:
其中矩阵U、V分别为M×M维和N×N维的酉矩阵,Σ=diag(σ1,σ2,…,σM),σ1≥σ2≥…≥σM为矩阵Φ的非零奇异值;
步骤4
对测量矩阵Φ的非零奇异值进行优化处理,根据步骤3可求得测量矩阵Φ非零奇异值中的最大值σmax,其值可表示为σmax=max(σ1,σ2,…,σM)=σ1。令对角矩阵Σ'=diag(σ'1,σ'2,…,σ'M),并且σi(i=1,2,…,M)满足σ'1=σ'2=…=σ'M=σmax;
步骤5
构造新的测量矩阵Φ'。
步骤6
将矩阵Φ'的元素进行近似处理,即将测量矩阵Φ'中非负元素置1,负元素置0,得到最终所求测量矩阵Φ″。
对Toeplitz结构测量矩阵进行优化的流程如图2所示。
3 仿真结果与分析
为了验证本文提出的基于奇异值分解算法构造的Toeplitz结构测量矩阵的性能,采用两幅标准灰度测试图像Lena和Peppers进行仿真,且这两幅图像的分辨率均为256×256。各个测量矩阵在图像的压缩感知过程中采用相同的稀疏变换基和重构算法,即首先对这两幅图像采用小波变换进行稀疏表示。然后再分别利用高斯随机矩阵、元素由0、1组成的Toeplitz结构测量矩阵以及采用本文算法优化后的由0、1元素组成的Toeplitz结构测量矩阵对稀疏变换后的图像信号进行压缩投影。最后选用OMP重构算法来重构原始图像。
本文通过重构图像的峰值信噪比PSNR和图像匹配度match两项指标来对图像的重构质量进行衡量。峰值信噪比和匹配度的定义如下:
设X表示原始图像信号,表示重构图像信号,图像的大小为M×N,则峰值信噪比PSNR表示为:
其中为信号的均方误差。
同样地,重构图像匹配度match可表示为:
表1和表2分别表示当测量矩阵为未优化的Toeplitz测量矩阵、高斯随机矩阵以及本文算法优化后的Toeplitz测量矩阵时,重构图像的峰值信噪比及图像匹配度随采样率变化的仿真结果比较。
由表1和表2可知,重构图像的峰值信噪比和图像匹配度均随着采样率的增大而增加。从表1可以明显看出,当信号采样率一定的情况下,采用优化后的Toeplitz结构矩阵作为测量矩阵时,重构图像的PSNR值要高于采用高斯随机矩阵和未优化的Toeplitz矩阵作为测量矩阵时的情况。同样地,从表2可以得到,当测量矩阵为优化后的Toeplitz矩阵时,在采样率相同的条件下,重构图像的匹配度要高于采用其他两种测量矩阵时的情况。表1和表2的仿真结果说明采用本文算法优化后的Toeplitz结构测量矩阵的重构性能得到显著提高。
为了直观验证优化后的Toeplitz结构测量矩阵的重构性能,图3与图4分别给出了不同采样率下Lena图像与Peppers图像采用高斯随机矩阵、Toeplitz结构测量矩阵及优化后的Toeplitz结构测量矩阵进行观测时的峰值信噪比对比图;同样地,图5与图6分别给出了不同采样率下这两幅图像采用高斯随机矩阵、Toeplitz结构测量矩阵及优化后的Toeplitz结构测量矩阵进行观测时的匹配度对比图。
从图3和图4可以看出,随着采样率的增大,图像的峰值信噪比逐渐增加,表明这几种测量矩阵的重构效果随着采样率的增大逐渐增强。此外,在相同的采样率下,当测量矩阵为高斯随机矩阵时,重构图像的PSNR值大于测量矩阵为未优化的Toeplitz矩阵时的情况。而本文对Toeplitz矩阵进行优化处理后,其重构图像的PSNR值又大于采用高斯随机矩阵时的情况。并且在采样率大于0.5时,重构图像PSNR值趋于近似线性增加。
同样由图5和图6可得,采用优化后的Toeplitz矩阵作为测量矩阵时,在同样的采样率下,重构图像的匹配度值大于采用高斯随机矩阵和未优化的Toeplitz矩阵时的情况,表明优化后的Toeplitz矩阵具有较高的重构精度。因此,本文对Toeplitz矩阵优化后,可显著提高重建图像的PSNR值及匹配度值。
为了进一步对比高斯随机矩阵、Toeplitz结构测量矩阵、优化后的Toeplitz结构测量矩阵的重构性能,图7和图8分别给出了Lena与Peppers图像在相同的稀疏基和重构算法下,当采样率为0.5时重构图像的视觉效果比较。
从图7和图8可以看出,当采样率取值0.5时,测量矩阵为高斯随机矩阵时重构图像的视觉效果要优于测量矩阵为未优化的Toeplitz矩阵的情况。并且当测量矩阵为优化后的Toeplitz结构测量矩阵时,重构图像的视觉效果又好于采用高斯随机矩阵的情况。尤其是采用优化后的Toeplitz结构测量矩阵对图像进行压缩观测时,重构图像的边缘及轮廓更加清晰,块效应较弱,即显著提高了图像重建质量。
4 结语