球面坐标（精选三篇）
球面坐标 篇1
高等数学是工科学生大学期间学习的一门重要基础课, 学习过程中存在着一定的难度, 特别是随着学习内容的不断增加和深入, 这种感觉会越来越强烈。在高等数学多元积分学部分, 利用球面坐标计算三重积分是较难掌握的章节。教材中是利用球面坐标把三重积分化为三次积分来计算的, 而在关键的确定单积分上下限时, 是根据积分区域的空间图形, 由观察法来确定的[1,2,3,4,5,6,7]。这种方法存在逻辑性不强、规律性差的缺点, 学生在学习过程中较难熟练掌握和灵活应用。为解决这一问题, 给出了根据三重积分积分区域的截面图形, 利用在极坐标下计算二重积分时, 三种具体的确定单积分上下限的方法, 来确定三重积分单积分上下限的一种规律性方法。此方法在解决利用球面坐标计算三重积分是否须对积分区域进行分割, 以及如何分割这一困难问题, 较通常采用的观察法更具逻辑性和规律性, 直观、明了、准确。并且, 在这一方法的建立过程中, 充分体现了创造性学习的教学理念。
二、球面坐标下计算三重积分的具体方法
在极坐标系中, 若暂且把极坐标变量之一的θ的取值范围限制在闭区间[0, π]上, 由球面坐标的建立可知, 球面坐标系中, 球面坐标之中的两个变量r, φ同极坐标系中的极坐标变量r, θ的定义是一致的。正因为如此, 我们就可以根据三重积分积分区域的截面图形, 利用在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分上下限的方法来确定三重积分单积分的上下限, 进而计算出三重积分。其做法概括如下:
(1) 在空间直角坐标系中画出三重积分的积分区域草图。
(2) 过空间直角坐标系的坐标原点作垂直于xoy面的任意一半平面, 在极坐标系中画出该半平面同三重积分积分区域截面的平面图形。此时, 空间直角坐标系的坐标原点O及z轴分别为极坐标系的极点O和极轴r。
(3) 由上述截面的平面图形, 利用在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分上下限的三种情形来确定出在球面坐标下计算三重积分时, 积分变量r, φ的上下限。如果所得截面的平面图形不具备在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分上下限的三种情形, 则对三重积分的积分区域进行分割。分割的原则为:分割后使得截面的平面图形划分成若干块具有在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分上下限的三种情形。在本步骤中, 任意半平面同三重积分积分区域边界的某一段截痕的曲线方程, 由给出。其中, F (r, φ, θ) =0是围成三重积分积分区域的某一曲面的曲面方程。
(4) 三重积分积分变量θ的上下限, 可以由直接观察三重积分积分区域的空间图形得出。或者用类似上述确定三重积分积分变量φ上下限的方法来得出。
这样就很规律性地确定出球面坐标下计算三重积分过程中, 单积分具体的上下限, 从而准确地计算出三重积分的值。
三、球面坐标下计算三重积分举例
计算三重积分, 其中Ω是由x2+y2+z2=4及x2+y2=2z围成的区域。
解:如图1、图2。
根据积分区域的截面图形可知, 不具备在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分的上下限的三种情形, 必须对三重积分积分区域Ω进行分割。即以原点为顶点且过交线L的圆锥面将区域Ω分割为两个区域Ω1和Ω2。
并且, 截面同球面截痕的曲线方程为:, 其在极坐标中的方程为:r=2, 截面同抛物面截痕的曲线方程为:, 其在极坐标中的方程为:r=3cscφcotφ。
进一步, 得出以上两截痕曲线交点处的极坐标变量φ的值, 由, 得。
对积分区域Ω1可知:
对积分区域Ω2可知:0r3cscφcotφ,
由三重积分积分区域Ω的空间图形可知, 对Ω1和Ω2都有0θ2π
四、结语
在高等学校教学改革中, 学生的学习方式要从单纯的接受学习转变为以学生为主体的创造性学习。创造性学习是探索、除旧布新的学习, 是创造性教育的一种形式, 能充分体现学生的主体性[8]。由以上球面坐标下计算三重积分的一种具体方法的建立可以得出, 在高等数学的教学和学习过程中, 需要不断提炼学过的知识、思想和方法, 学会归纳、总结;要善于发现研究新的问题, 并给出解决问题的新方法;提倡学生进行创造性学习, 努力培养学生创造性思维和运用数学的能力。只有这样才能使学生学好高等数学课程, 提高学生的创造性学习能力和实践能力, 培养出越来越多符合21世纪对人才需求的具有创新能力的高素质人才。
摘要：利用球面坐标计算三重积分过程中, 确定单积分上下限是根据积分区域的空间图形, 由观察法来直观确定的, 利用在极坐标下计算二重积分时, 确定单积分上下限的方法, 可以得出一种具体的规律性方法。由此, 在高等数学的教学和学习过程中提倡学生进行创造性学习。
关键词：球面坐标,三重积分,积分区域,单积分上下限,创造性学习
参考文献
[1]刘玉琏, 等.数学分析 (下册) [M].北京:高等教育出版社, 2008:367-380.
[2]欧阳光中, 等.数学分析 (下册) [M].上海:复旦大学出版社, 2003:132-142.
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[7]吴孟达, 等.数学分析 (下册) [M].长沙:国防科技大学出版社, 2003:147-150.
球面坐标 篇2
球面坐标系非连续变形分析的数学模型
从球面坐标系的弹性力学基本方程出发，推导出球面上块体的位移与6个位移不变量之间的`数学关系，进一步建立了联立方程式的球面坐标形式，为大范围现代地壳运动的非连续变形分析打下了数学基础。
作 者：王泽民 刘经南 WANG Zemin LIU Jingnan 作者单位：王泽民,WANG Zemin(武汉大学测绘科学与技术学院,)刘经南,LIU Jingnan(武汉大学校长办公室,)
刊 名：武汉大学学报(信息科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：GEOMATICS AND INFORMATION SCIENCE OF WUHAN UNIVERSITY 年，卷(期)： 26(3) 分类号：P227 关键词：非连续变形分析(DDA) 球面坐标系 地壳运动球面坐标 篇3
关键词：工业机器人,非球面,坐标变换,抛光加工
离轴非球面的光学元器件有着非常广泛的应用需求, 因此对于它的加工技术一直是最近光学加工方面研究的重点和难点[1,2]。研究采用工业机器人模拟人手抛光的方式对离轴非球面光学元件进行抛光。工业机器人具有稳定性和高效性, 六轴联动的机器人能实现空间全自由度, 并且工作范围大, 在越来越多的领域中得到广泛应用[3]。
试验设备采用ABB公司型号为IRB 2400L型机器人, 工作区域最大平面可以达到3米范围。整个加工过程中, 采用沥青抛光盘作为研磨工具, 避免硬铣磨过程中对工件的切削和高应力带来的损伤。为了实现加工过程中加工工具时刻垂直于反射镜镜面, 必须完成机器人基座标、工件坐标和工具坐标之间的坐标空间转换, 现提出转换算法, 并导入机器人运行程序代码中实现。
1工业机器人抛光优势分析
近年来高精度铣磨技术对于非球面光学元件的加工水平越来越高, 但是该技术只适用于尺寸不大的同轴光学元件, 或者对离轴量不大的非球面进行子孔径的研抛。目前精度高的铣磨系统存在加工口径受限、设备昂贵、对加工环境要求高等问题, 所以其应用范围还得不到普及[4]。另一方面, 传统的手工抛光方式也能实现高精度抛光, 并且对于反射镜的离轴量和形状要求低, 但是缺点也很明显:耗时长, 效率低, 对操作人员的经验技术要求比较高, 可重复性差, 现场粉尘噪音影响操作人员健康等。
相对于高精度铣磨技术, 工业机器人价格成本低很多, 而且对于加工环境要求并不苛刻。在结构方面, 工业机器人具有一些铣磨设备所不具备的六轴联动模式, 实现三维空间全自由度, 在活动空间内可以从任意角度对任意位置的工件进行加工另一方面, 工业机器人操作起来也没有铣磨机复杂, 因此也就降低了对操作人员的培训成本。并且, 工业机器人的维护比较方便, 只需要定期添加润滑油和进行电机校准即可。
相对于传统手修抛光, 工业机器人保证了高精度定位, 能实现抛光过程中对去除量的可重复性可测量性的研究。它具有稳定性, 避免了操作人员工作过程中的疲劳状态造成的影响。同时, 利用机器人代替人手抛光具有高效性, 大大节约劳动力, 缩短作业时间。
在机械结构上, 工业机器人也能很好地模拟人工手修抛光的运行动作, 提供通用接口, 由用户根据自己的需要设计或采购夹具来完成工作。
2抛光加工中的坐标选择和转换算法
试验采用的ABB工业机器人加工过程中, 一般要用到三个坐标系:基座标、工件坐标和工具坐标。
基座标是指以机器人底座为XOY面, 底面中心为原点, 正前方为X轴, Z轴竖直向上。在实际加工过程中, 如果以基座标为标准会很不方便, 所以一般都以被加工工件作为基准坐标参考系。
选取反射镜底面为XOY面, 底面中心为原点, 正前方为X轴, Z轴竖直向下。根据工件的摆放位置设定好工件坐标变量wobject, 这样只要工件位置不变, 加工过程中所有的坐标都是以工件坐标为基准。
最后根据设计的夹具和磨头设定工具坐标。试验使用Preston假设作为材料的去除量数学模型[5], 在工具的选择方面, 有研究表明采用磨头的平转动方式使得磨头上各点与工件的相对线速度相同, 综合考虑各种因素, 这种方式有着良好的数学去除函数, 磨头磨损情况较好, 磨头与加工表面吻合程度也良好[6]。试验设计圆形抛光盘, 工具坐标Z轴垂直抛光盘竖直向下。在加工过程中, 要保持工具Z轴与镜面垂直, 所以要对工具坐标进行旋转转换。
在ABB机器人系统中, 使用内部的RAPID语言进行编程, 对一个加工点的描述主要有两个变量:pos (x, y, z) 表示工具在工件坐标下此时的空间位置三坐标, orient (q1, q2, q3, q4) 表示工具此时的方向与工件坐标的旋转变换关系。
假设旋转后的坐标系[x′y′z′]在原坐标系下的坐标可以表示成图1形式。
则变量orient (q1, q2, q3, q4) 的表示形式为
因此在确定了旋转方式使得工具指向镜面法线向量之后, 根据x1, ……, z3可以计算出机器人程序语言中的变量orient, 设工件面形在机器人工件坐标系下的曲面方程是:z=f (x, y) 在加工点 (x0, y0, z0) 处曲面的法线方向是
undefined;
经过归一化, 并保持z分量为正, 法向变量可以写成
初始状态下, 工具坐标系方向与工件坐标系方向相同, 在 (x0, y0, z0) 点处进行加工的时候工具需要进行旋转, 使得工具坐标的z轴方向是undefined, 此时工具磨头垂直于被加工镜面。考虑到磨头的旋转对称性, 工具的x轴和y轴方向可以任意。因此只需要选取一种工具的旋转方式, 旋转后的z轴方向是undefined, 就可以计算出最后的变量orient (q1, q2, q3, q4) 。
本文选取的方式如下:假设向量和工件坐标z轴的夹角为θ, undefined在工件坐标系oxy平面上的投影和工件坐标x轴的夹角为α。工具坐标绕z轴旋转α角, 然后再绕y轴旋转θ角, 实现旋转之后, z轴的方向为。
球面坐标的转换方程为
x=sinθcosα, y=sinθsinα, z=cosθ。
对应向量undefined的表达形式, 得到α和θ的表达形式
在三维空间, 坐标系的旋转对应的旋转矩阵表示成如下形式
根据确定的旋转方式, 可以求出这种旋转方式对应的转换矩阵:
因此可以对应求出转换矩阵的对应元素x1, …, z3:
x1=cosθcosα, x2=cosθsinα, x3=-sinθ,
y1=-sinα, y2=cosα, y3=0,
z1=sinθcosα, z2=sinθsinα, z3=cosθ。
代入式, 可以得到变量orient的计算结果:
根据 (2) 式给出的形式, 得到根据镜面面型方程z=f (x, y) 计算出工业机器人在加工时使得工具和工件法线方向一致时对方向变量orient编程的计算方法。
3 结论
提出了利用工业机器人替代人手进行离轴非球面光学抛光的新技术, 针对自身设计的夹具和磨头, 提出了对自由曲面加工时根据曲面方程来计算方向变量的算法, 保证加工过程总工具与工件保持垂直。试验结果证明采用该算法加工效果良好, 图2是机器人加工实物图。在设定的加工轨迹上, 对于每一个离散点, 抛光磨头都能始终与镜面保持垂直。
实现了加工中的坐标转换, 对于今后的精确研磨抛光提供了基础, 在此基础上, 可以加入后续的高精度压力控制系统和传感系统, 可以同时实现抛光过程中的压力控制和驻留时间控制。
参考文献
[1]李锐钢, 郑立功, 张峰, 等.大口径高陡度离轴非球面精磨阶段的数控加工.光学精密工程, 2007;15 (5) :633—639
[2]邓伟杰, 郑立功, 史亚莉, 等.离轴非球面数控抛光路径的自适应规划.光学精密工程, 2009;17 (1) :65—71
[3]夏锟, 徐涛, 李静锋, 等.工业机器人的发展与应用研究.广西轻工业, 2008;8:63—64
[4]许金凯, 张学军, 于化东.非球面元件精密铣磨加工技术研究.光学技术, 2009;35 (5) :761—765
[5] Preston F W.The theory and design of plate glass polishing machines.J Soc Glass Technology, 1927;11:214—256