三角网格表面

三角网格表面（精选四篇）

三角网格表面 篇1

表面网格生成是壳体有限元分析、 体积离散

和三维表面流动有限元模拟的一个重要先决条件, 同时也是很困难的任务之一。特别是在地质分析中模拟地形表面时, 由于表面几何形状的复杂不规则性以及结构合成的多样性, 使这个问题更加突出。用解析几何模型模拟表面最常用的方法是先将一个真实的表面根据局部的特征分割成一系列的小块 (通常这些小块为三角形或四边形) , 然后用样条函数解析模型分别模拟这些被分割的各具特征的表面, 最后进行网格生成。

在本文中, 我们将传统的二维Delaunay 三角单元生成法 (triangulation algorithm) 与插值细分表面模拟方法相结合, 提出一种相对简单的生成表面单元的方案。二维Delaunay 三角单元生成法在有效处理由不同性质组分构成的表面时具有很大的优势, 它能有效保持不同性质组分在结合处的一致性 (interface conforming) 而无需更多的额外工作。在这一方案中, 网格生成 (mesh generation) 是从一系列已知测量点开始的。首先将这些已知点连结起来生成一个三角形的网格;然后在参数坐标内对初始网格中的每个三角形创建各自对应的三角形;随后采用传统的二维Delaunay 三角单元生成法对所有三角形在参数坐标内进行网格划分;最后将参数坐标内的网格投影到由插值细分法模拟的表面模型上生成表面网格。因为Delaunay 三角单元生成法是从被定义的区域边界开始进行网格生成的, 所以对于初始网格中具有共同边界的两个三角形, 这一方案能非常容易地满足结合处的一致性。但对该方案来说, 最关键的是如何控制好网格的大小。本文中采用一种非严格数学精度定义且较为简单的方法来控制网格的大小。

1 插值细分表面模拟技术

通过对一个粗糙的初始三角形网格进行一系列的局部细分, 我们可以在这初始网格上建立起一个足够光滑的表面, 如图1所示。在细分过程中, 一个新点的位置是由环绕它的所有点遵从一系列规则来定义的。由此可见, 细分法完全是局部的, 无需一个全域的控制方程, 同时任意点处表面模拟的质量都可以通过局部的进一步的细分来改善。有两种具体的细分方案, 它们分别是插值细分 (interpolating subdivision scheme, ISS) ) 和近似细分 (approximating subdivision scheme, ASS) ) [1,2,3]。

本文采用ISS方法。因为初始三角形网格可根据已知的测量数据来创建, 所以ISS方法可以使原测量点在细分过程中的位置保持不变。

2 参数坐标系的建立

首先人为地创建一个初始三角形网格, 如图2所示。然后建立其与参数坐标系的对应关系。这一对应关系可以被描述为

$\mathit{X}={\displaystyle \sum _{m=1}^3{\rm N}}{}_m(\xi ,\eta )\mathit{X}{}_m$ (1)

式中, X为一个初始三角形网格中一个点的物理坐标;m为该三角形三个顶点的序号;ξ和η为三角形顶点在参数平面中对应点的坐标值;Nm为三角形顶点的形函数。

(a) 测量 (b) 初始网格

式 (1) 描述了初始三角形网格中的点与参数平面中的点的一一对应关系 (初始网格中的三角形投影到参数平面后仍保证为三角形, 即面积不为零) 。事实上可以创建的参数坐标系不是唯一的, 通常, 参数坐标系可以按图3所示来选择, 投影在其上的三角形为一等边直角三角形。该直角三角形的三个顶点的形函数为[4]

但是, 采用这种参数坐标会在最后拼装网格时造成公共边上的网格不一致。如图3中的公共边CB, 它在初始三角形CBA所对应的参数直角三角形中是一条单位长度的直角边, 而在初始三角形CDB所对应的参数直角三角形中则是长度为$\sqrt{2}$的斜边。如果采用完全相同的有限元网格划分法, 而不对公共边上的划分作特殊的处理, 它会导致在两个不同参数平面生成的网格在公共边上的节点数和节点的坐标完全不同。图4展示了一个在将所有参数坐标系内的有限元网格投影到初始三角形网格后所产生的在公共边上不协调的结果。

为了控制所生成单元的大小, 本文中我们提出在所创建的几何表面模型的基础上, 使参数平面内的三角形三条边的长度与它们各自所对应的几何表面模型上的曲线的长度完全相等。这样就可以避免公共边和单元尺寸预定值投影时的不一致了。

3 有限元网格生成

在参数坐标平面内划分参数三角形的有限元网格时, 参数三角形的三个顶点就是定义几何模型的节点。控制单元尺寸大小的预定值就定义在这三个顶点处。首先根据单元尺寸大小的预定值将参数三角形的三条边分段, 然后将新生成的节点一个接一个地插入参数三角形中, 并根据Delaunay运算法将插入的点与其他节点连接起来形成新的网格。当新网格中的所有单元尺寸满足了大小要求时, 网格生成就自动停止。而当地局部单元尺寸大小的要求是根据对三个顶点处的预定值进行距离插值来确定的[5,6], 这种方法又被称为边界控制方法。

当采用这种方法来生成三维表面的有限元网格时, 由于三维单元尺寸大小的预定值是定义在三维几何模型的接点处, 即图2中初始网格中的各个测量点处, 因此, 这些预定值需要被投影到参数平面内。但是, 由于真实表面的曲线长度刚开始是未知的, 所以我们首先要创建一个辅助几何表面模型。这里我们直接采用插值细分 (interpolating subdivision) 技术。在创建的插值细分表面模型的基础上, 表面模型上的曲线长度可以通过插值细分表面模型的网格计算出来, 当然, 结果的精度取决于模型的细分程度 (subdivision level) 。

图5展示了不同细分程度的插值细分表面模型的网格 (subdivision mesh) 和模拟的表面质量。

一旦计算出插值细分表面模型上与初始网格中三角形的边相对应的曲线长度 (图6中的L1、L2和L3) , 则可将这些曲线直接平铺到参数平面的方法来创建参数三角形, 如图6所示。这样所创建的参数三角形的三条边将具有与它们所对应的原曲线一样的长度。于是定义在初始网格节点上单元尺寸大小的预定值就可以直接被投影到相应参数三角形的顶点处, 然后直接用一个二维的Delaunay 方法在参数三角形上划分有限元网格。很明显, 采用这种方法在三角形内不同位置上单元大小的控制不是完全精确的, 因为在参数三角形内的线段长度与所对应的插值细分表面模型上对应的曲线长度是不同的。但是, 当把这个方法和以前提出的局部改善技术 (local refine technique[7]) 结合在一起, 我们就可以很灵活地控制有限元网格单元大小及分布。

4 网格投影

在参数平面内生成好有限元网格之后, 参数平面的有限元网格需要投影到辅助几何表面模型上。这里投影的方法是非常简单和直接的。在用插值细分法创建辅助几何表面模型的同时, 我们记录下细分过程中每个细分网格在相应参数坐标系内的位置。在细分过程中的每一步中, 新插入的点在参数坐标系也有一个相对应的点, 而该对应点在参数坐标系中的位置就假定是细分网格模型在参数坐标系中该点所要插入边的中点处 (图7中的对应点:1-1′、2-2′和3-3′) 。在此基础上, 只需要对每个有限元节点在参数平面内设置一个循环就可找出该节点位于哪个插值细分网格之中。一旦找到, 该有限元节点的空间物理坐标就可以通过对所在细分网格的三个顶点的插值来获得。

(a) 物理细分网格 (b) 参数细分网格

如图8所示, 在一参数平面内, 假设一个有限元节点p位于一个三角形的插值细分网格中, 该点的参数面积坐标ai、aj 和ak可以被定义为

这里A代表参数平面内的面积, 下标i、j和k代表插值细分网格中的三角形的三个顶点。很明显ai+aj+ak=1。

因为以上三个参数面积坐标具有零阶连续的形函数所要求的三个性质[8], 因此, 它们可以直接被用作为顶点i、j和k的形函数。于是p点的空间物理坐标就可以从如下的投影计算得到:

Xp=aiXi+ajXj+akXk (4)

我们把所有的有限元节点投影到辅助几何表面模型上之后, 就把所有的有限元网格拼装在一起, 去掉公共边上相重合的点, 并给拼装好的整个有限元网格进行重新编号。图9展现了用这一方法处理图5中的边坡例子所生成的一个有限元网格。

5 平滑处理

利用现有的二维的Delaunay有限元网格生成程序[3], 每个参数平面内的有限元网格都会被附加两个平滑后处理:①一个是松弛处理 (relaxation) , 即通过交换单元边界来限制在一个节点周围的单元数量以改进单元形状[2];②另一个是Laplacian平滑处理, 即根据相邻节点位置来移动节点以进一步改进单元形状, 避免过小的锐角。

当有限元网格投影到目标几何表面模型上之后, 我们还可以对拼装好的整个有限元网格再进行一次Laplacian平滑处理。在具体的实施中应该避免移动原始初始网格中的各个接点, 主要考虑到它们都是初始输入的测量值。

6 示例

本文通过两个例子来检验所提出的设计方案。图10展示了一个假想的不规则的坡面, 其中图10a是在假设的输入点上建立的原始初始网格;图10b是在原始初始网格基础上采用插值细分法创建的细分级数为第4级的辅助几何表面模型;图10c是生成的一个要求均匀分布的有限元网格。从图10可以看出, 所生成的有限元网格的大小及分布均匀合理。计算出的所有生成的三角形单元的内接圆半径和外接圆半径比值的最小值为0.218, 这表明所有单元有较好的形状 (理想的等边三角形的这一比值是0.5[7]) 。

(a) 初始三角形补丁 (b) 模拟坡面 (c) 网格生成

图11给出了另一个例子, 假设有一条公路建在坡面的半腰处。图11a是原始初始网格。在这个例子中, 因为公路而导致表面不连续, 因此, 我们采用参考文献[1,9]中所提出的加标记的方法来处理。如图11a所示, 所有代表公路表面的原始初始网格中的三角形都被标记出来。在后续的插值细分法过程中, 所有代表公路边缘的边都按插值细分法中处理边界的插值规则来进行处理, 而对于那些位于公路表面上的边, 所插入点的坐标则取该边两端点坐标的平均值。图11b是在原始初始网格基础上创建的细分级数为第4级的辅助几何表面模型;图11c是一个按均匀分布要求生成的有限元网格。由于原始初始网格中代表公路表面的三角形和它们在参数平面内对应的三角形的形状和尺寸完全一样, 所以, 该处的单元与其他地方的单元相比可以检验所有网格的质量。事实证明两处网格的大小非常相近, 单元形状良好。这证明了上文提到的忽略辅助几何表面模型上不同位置的曲线在参数平面内有不同的变形度是可以接受的。总体有限元网格模拟的表面形状与插值细分辅助几何表面模型吻合得很好。图11d、图11e展现了采用以前开发的局部网格加密技术[7]得到的结果。结果显示, 采用该技术能够很好地控制有限元网格的大小分布, 生成的网格有良好形状。另外还可以看到表面的突变和尖角, 如公路的边界、网格的单元也有良好的质量。

7 结论

本文提出了一个简单易行的表面有限元网格生成方案。该方案既利用在表面模拟方向上发展起来的新技术, 又结合了已有的成熟的二维Delaunay有限元网格生成方法。使用该方案可以避免在非连续表面模拟中传统解析模型的缺点, 并能非常容易地在离散测量值的基础上建立起辅助几何表面模型, 这一技术在复杂地形表面模拟中有很重要意义。另外, 因为采用了广泛运用的二维Delaunay有限元网格生成方案, 因此, 保证了该方法的可靠性和高效性, 而且在处理多组分问题时也有很强的灵活性。另外, 我们还提出了一个简单的, 但不严格地控制网格大小的方法。应用结果表明, 该方案工作良好, 能很好地控制网格的尺寸及分布, 生成的单元具有较好形状, 同时能够很好地处理表面上的突变和尖角。该方案在环境科学和工程领域的有限元计算中拥有非常大的应用潜力。

参考文献

[1]Lee C K.Automatic Metric 3D Surface Mesh Gen-eration Using Subdivision Surface Geometrical Mod-el:Part 1:Construction of Underlying GeometricalModel[J].Int.J.Numer.Meth.Eng., 2003, 56:1593-1614.

[2]Cirak F, Ortiz M, Schroder P.Subdivision Sur-faces:a New Paradigmfor Thin-shell Finite Ele-ment Analysis[J].Int.J.Numer.Meth.Eng., 2000, 47:2039-2072.

[3]Zorin D, Schroder P, Sweldens W.InterpolatingSubdivision for Meshes with Arbitrary Topology[C]//Proceedings of Computer Graphic, ACMSIG-GRAPH’96.1996:189-192.

[4]Zheng Y, Lewis R W, Gethin D T.Three-di men-sional Unstructured Mesh Generation:Part 2.Sur-face Meshes[J].Comput.Methods Appl.Mech.Eng., 1996, 134:269-284.

[5]李志鑫, 李小清, 陈学东.有限元分析中边界条件对模态影响的研究[J].中国机械工程, 2008, 19 (9) :1083-1086.

[6]邓华, 段建辉, 黄平.非稳态轧制过程的热力耦合刚塑性有限元模拟[J].中国机械工程, 2008, 19 (15) :1875-1878.

[7]Wang Y, Renaud J P, Anderson M G, et al.ABoundary and Soil Interface Conforming Unstruc-tured Local Mesh Refinement for Geological Struc-tures[J].Finite Elem.Anal., 2004, 40:1429-1443.

[8]Stasa F L.Applied Finite Element Analysis for En-gineers[M].New York:CBS International Editions, 1985.

三角网格表面 篇2

为有效维护群众切身利益，银三角网格全体工作人员在县委县政府的正确领导下，在县网格办的具体指导下，不断强化责任意识，加大问题化解力度，通过开展“六方会谈”工作模式，及时为群众答疑解惑，诸多遗留老大难等疑难杂症问题得到了有效解决。

一、含义由来

“六方会谈”工作模式，又被称为“5+1”工作模式，“5”即银三角管委会、社区居委会、网格点、小区物业公司、业主委员会这5方，为固定方；“1”指问题涉及部门这1方，为不固定方。针对群众诉求，6方集中在网格点场所就问题诉求进行分析讨论、落实责任分解、拿出解决方案、明确时间节点、保证见到成效。

“六方会谈”工作模式始于银三角050101网格。该网格自2015年5月27日开展网格化管理工作以来，连续十几个驻点工作日都是业主群集，问题堆砌，先后邀请县城建局、房管局、城管委、林业局、水务局、公安部门等单位现场办理，明确意见，有效解决了业主委员会改选、物业整改、游步道兴建、乱搭乱建、乱吊乱挂、种菜养鸡以及河堤维修等诸多问题。这一工作模式最后提炼总结为“六方会谈”，并在整个银三角区域36个网格中推广，取得了一些成效，“5+1”具体指哪几方也最终确定下来。

二、主要做法

1、甄别会谈事项。对于收集到的问题，仔细分清一般问题、重大问题和疑难问题。一般问题不作为会谈事项，重大问题、疑难问题分清性质，有选择性地开展“六方会谈”。开展会谈的事项，务必合法有效，可以商谈经济社会发展中涉及群众切身利益的公共事务、公共环境、公益事业，可以商谈群众反映强烈、迫切要求解决的实际困难问题和矛盾纠纷，可以商谈行政政策条款、重点工作部署在地方的落实，可以商谈物业服务、文明行为规范养成等事项。

2、明确牵头人员。牵头人员可以是网格长，可以是指导员，需要领导调度的，也可以请点长、副点长作为牵头人员。牵头人员必须着眼于实现最广泛的会谈，会谈内容要深入，保障相关方的说话权利，并合理界定会谈事项的边界范围，最大限度保证会谈的成果。会谈现场可邀请威望高、办事公道的老党员老干部，清楚实际情况的群众以及法律顾问和律师列席，对于出现的带有歧视性、无秩序性的情况，坚决予以制止。

3、规范协商程序。进行会谈前，会谈各方要充分调研，准备好第一手资料，并先拟定会谈提纲，做到有的放矢，有章可循。诉求人可列席会议，并要针对诉求人补充提出的问题，做好解释。对于涉及面广、关注程度高的会谈事项，注意开展民主协商，多方面听取意见。会谈过程中，做好会议记录，保存相关影像。形成的会谈成果，包括责任人员、时间节点等通过宣传栏、LED显示屏等进行公示，接受群众监督。

4、加强督导检查。按照“谁负责、谁执行”的原则，对于会谈事项的办理进展，强化督导检查。在县督查组进行督查的前提下，主动作为，采取“督查—通报—追究”的方式，由书记、主任、2位副书记再各配1名网格工作经验丰富的工作人员，即“1+1”方式组成4个小组，督导检查会谈事项，做到每日有进展，每周有调度，确保不出现敷衍塞责、推诿扯皮的现象。对于出现的问题，查漏补缺，落实专人整改。

三、主要成效

1、进一步纾解了民愤民怨。“六方会谈”解决的是涉及面广、解决难度大、遗留时间长等疑难杂症问题。网格工作人员牢记为民服务宗旨，把诉求人看作“自家人”，问题能及时办理的及时办理，不能及时办理的，也及时告知办理进展，进一步纾解了民愤民怨，赢得了民心。如：银星社区贵都小区本是一个问题小区，脏乱差，偷盗现象时有发生。通过约谈物业经理，物业当即对小区环境进行了拉网式维修检查，设立门禁系统，新修便道和减速带，清理陈年垃圾，更换破损设施。银北社区星港小区3栋旁边垃圾存放点臭气熏天，通过将物业方、业主方邀请到一起，面对面磋商，决定将垃圾存放点封闭，购置流动垃圾车。如今，由物业方先行垫资购置的流动垃圾车已经“光荣上岗”，解决了困扰星港小区3栋业主11年的烦心事。辖区风鸣路破损严重，系迎富大道建设，车辆行人绕道所致。凤鸣路坑坑洼洼，维修多次已致无法维修。党工委、管委会主要领导经多次协调、汇报，争取了迎富大道施工单位支持，对凤鸣路快速抢修，方便了群众出行。

2、进一步解答了疑问疑难。“六方会谈”模式的开展，让群众尝到了民主协商的甜头，大多数网格点已经成立民主协商理事会并运行良好，理事会成员定期或不定期确定协商议题，并根据议题明确协商主体，只有协商解决不了的问题他们才会反映到网格上来。如：银莲社区路通城邦小区居民反映土地证多年一直未办理，几百名居民对此非常气愤激动，经网格人员了解系政府作资性质的大土地证需要分割到户。对此，通过分别与不动产局、房管局、开发商协商沟通，明确了30个工作日办理期限。银恒社区恒大小区通过约谈，敦促物业新建电动车棚、补齐缺损座椅、排查电梯故障等，解决了群众普遍关心的热点难点问题，群众先后3次送来锦旗以示感谢。

3、进一步融洽了党群干群。“六方会谈”推动了党员干部作风转变，问题解决了，群众看在眼里、明在心里。这就好比一块“试金石”，群众长期得到实惠，就自然而然亲近干部，所思所为也愿意与干部交流，其积极性和创造性就会竞相迸发，最终让辖区经济和社会发展受益。如：银北社区清水园小区因为南外环高速建设，有居民反映施工严重影响到正常生活，并不断上访。通过约谈，业主情绪得到疏导和引导，同时对重点人员做好了稳控工作。银星社区贵都小区有业主私自侵占绿地，占用破坏休闲游步道的现象。通过约谈，确定了游步道红线和房屋外墙边距，并规定在一定期限内对违章占用部分进行拆除。银苑社区村民对于安置房分配程序要求极高。经取得县委县政府领导的大力支持下，银三角管委会与县安置办、县城投公司、县房管局、县纪工委监察分局、县公证处、银三角派出所及参与分房的群众代表齐聚一堂，共商操作办法，吃透相关政策，采取有效措施，接受全程监督，分配工作圆满顺利，党群干群关系进一步融洽。与此同时，辖区党风廉政“六项联创”工作获得全县第二名的好成绩。

4、进一步优化了管理治理。“六方会谈”作为有效解决群众诉求的重要渠道，既能引导群众理性思考问题、表达述求、对待分歧，又能及时发现和化解一些苗头性、倾向性矛盾和问题，避免问题扩大化，促进社会和谐稳定，有效优化了基层社会管理治理水平。如：银河社区银河城小区以网格点牵头，将群众代表作为第六方，以“美化社区环境、提升社区品位”为切入点，组建群众志愿者服务队，督促和参与文明创建，促使物业和开发商更换路灯、安装摄像头、改造破损路面、清理垃圾死角、整修草坪……多年废弃的游泳池也重新启用，居民拍手称快。银恒社区恒大小区因交界处围墙封堵一事与地处兄弟乡镇（管理处）的江铃地产纠纷不断。近日，江铃地产趁夜把恒大新建岗亭铲倒，双方有发生群殴的扬言和苗头。银三角及时启动“六方会谈”，稳控与兄弟乡镇楼盘的矛盾，最后定调在服从道路规划的前提下，征求大多数业主意见决定是否封堵通道，在业主意见未统一之前，保持原貌，也引导依法依规解决问题。

四、几点体会

１、开展“六方会谈”必须切实改进党员干部作风。作风决定作为，事关成败。会谈能否面上开花，落地见效，离不开党员干部求真务实的作风。实践证明，工作中不搞“挂个名”、“亮个相”的形式主义、官僚主义，不存在抓工作只重点不重面、只求过得去不求过得硬的不严不实作风，会谈就能取得较好的成果。

2、开展“六方会谈”必须切实保障群众的民主权利。会谈如果缺乏广泛的群众基础，就会成为“空中楼阁”。会谈中，让基层群众畅所欲言，能有效调动他们的参与积极性。实践证明，事关群众切实利益的会谈事项，群众都能积极献言献策，若是对此不理不睬，往往是搬起石头砸了自己的脚。

3、开展“六方会谈”必须做到法理情的有机结合。会谈过程中，根据不同的事项、不同的对象、不同的内容、不同的诉求，坚持从大局出发，遵循公众利益、多数意见，做到以理服人、以情动人，让群众满意、总体和谐。实践证明，只有始终坚持法、理、情的有机结合，才能更好地实现以人为本、为民服务。

4、开展“六方会谈”必须有较真碰硬的工作精神。会谈成果得不到有效落实，会谈的权威性、可信性势必被削弱。要充分认识到抓好会谈成果落实的重要性和必要性，针对不同会谈成果，严格履职尽责。建立健全会谈成果督办反馈机制，倒逼成果落实。实践证明，只有敢于较真碰硬，以严的要求、严的标准推动成果落实，才能使“六方会谈”获得持久的生命力。

网格线中的三角函数问题 篇3

一、补形的策略

例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）.

A.2 B.[255] C.[55] D.[12]

【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解.

【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D.

例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 .

【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解决问题的关键.

【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°，

AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32].

二、转化的思想

例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 .

【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.

【过程展示】如图6，取小正方形的顶点E，连接AE、BE，由图可知CD∥BE，∴∠APD=∠ABE，在Rt△ABE中，tan∠ABE=2，∴tan∠APD=2.

例4 （2016·山东淄博）图7是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）.

A.[12] B.1 C.[3] D.2

【方法探究】如果直接求tan∠QMB可考虑连接AP、BQ，运用△APM∽△BQM求出AM或BM，然后在Rt△APM或Rt△BQM中求解；如果间接求解，应考虑对∠QMB进行转化，最好的思路是考虑线段的平移.①如图8，平移AB至A′Q，在Rt△A′PQ中求tan∠Q；②如图9，平移AB至PB′，在Rt△B′PQ中求tan∠P；③如图10，平移PQ使其经过线段AB中点D，然后在Rt△ACD中求tan∠ADC.

【过程展示】以第①种平移为例，如图8，平移AB至A′Q后，∠Q=∠QMB，在Rt△A′PQ中，tan∠Q=[A′PA′Q]=2，所以tan∠QMB=2.故选D.

三、等积法

例5 （2015·四川乐山）如图11，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）.

A.[33] B.[55] C.[233] D.[255]

【方法探究】通过作三角形的高构造直角三角形，先利用等积法（或勾股定理）求出高，然后运用余弦的定义解答.

【过程展示】如图11，设小正方形的边长为1，过点B作AC边上的高BD.

由勾股定理得：AC=[32]，AB=[10]，

由等积法可得：[12]BC?h=[12]?AC?BD，

即[12]×2×3=[12]×[32]?BD，解得BD=[2]，由勾股定理，得AD=[AB2-BD2]=[22]，

∴cosA=[ADAB]=[2210]=[255].故选D.

例6 （2014·广西贺州）如图12，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= .

【方法探究】在替换与∠A相等的角比较困难的情况下，可以考虑通过作高进行构造，把∠A放在某个直角三角形中进行求解.

【过程展示】如图12，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AD，则AD⊥BC，从不同的角度把△ABC的面积计算两次得：

S△ABC=[12]AB?CE=[12]BC?AD，

所以[12]×[25]×CE=[12]×[22]×[32]，

所以CE=[655]，在Rt△ACE中，

sin∠CAE=[CEAC]=[65525]=[35].

由此可见，遇到网格中的锐角三角函数求值问题，我们通常有两种思路：一是原地不动，想办法构造直角三角形求解；二是转移该角，如利用平行线进行转化.一般情况下，遇到求三角函数问题优先考虑转化，在没有好的转化思路的情况下再考虑如何构造.

三角网格表面 篇4

本文着重谈三角形网格与四边形网格两种典型细分模式的具体算法。

1 Loop细分模式

是一种基于三角网格的面分裂逼近细分模式,在规则网格上生成的极限细分曲面为连续。对于任意三角网格,极限曲面除了奇异点处连续,其他为连续。下面介绍该种细分模式。

(1)细分规则。如图1所示,首先在每个三角形的边上插入新点,如图2右图的实心顶点所示,然后这些新点连接在一起,如图1右图的虚线连接的小三角形,将原来的三角形分裂成为四个小的三角形。

它的几何规则就是插入新点(奇点)和原来的顶点(偶点)的计算方式的模板,如图2所示。

对于内部奇点V的计算方式

V1,V2为边的两个顶点,共享此边的两个三角形为(V1,V2,V3)和(V1,V2,V4)。

对于内部偶点V的计算方式为

式中,V的邻接点为V0,V1,…Vn-1,其中n为顶点V的价,v为顶点V对应的旧顶点,而β的定义如下

对于边界上的奇点和偶点,Loop的处理方式与Clark模式一致。相应的模板可以从图2得到,为了使曲面在边界处光滑,可以对其边界进行适当修改,如图2e所示,其中

另外,β满足

时,Loop曲面是一阶光滑的。通过修改内部奇点的模板使得生成曲面C2是连续的,但在奇异点处的曲率为零。为了塑造折痕、角点等尖锐特征,可扩展Loop的几何规则,使得生成曲面C1连续。也可改进细分规则,使得生成的极限曲面可具有指定的法向,从而能更好地控制曲面的形状。

(2)极限位置和法向计算。由于细分曲面没有明显的解析式,因此为计算细分曲面的相关几何属性,通常的做法是对局部细分矩阵进行分析。结合图1和2以及Loop模式的细分规则,并将式(1)和式(2)写成矩阵形式

式中,(n+1)×(n+1)方阵称为顶点Vk的局部细分矩阵Mn+1。尽管可以对此矩阵作傅立叶分析,但它不是循环矩阵,所以不能直接利用循环矩阵的傅立叶分析结果。因此把该局部细分矩阵Mn+1写成下式

式中,a=8-8nβ,b=8β,显然Cn是n维数组(3,1,0,…,0,1)的循环矩阵,那么利用循环矩阵的特性,可求得Cn的特征值为

因此,1/8总是Cn的主特征值(j=1)。当n为偶数时,,其他特征的重复度为2。因为,又因为式(7)的特征多项式为

所以,除了5/8,Cn的特征值都是Mn+1的特征值,同时1和(a-3)/8也是Mn+1特征值。由a的表达式可以得出(a-3)/8是特征值的平方。又因为r2<1,所以(a-3)/8的值比r2小,因此顶点VK的局部细分矩阵Mn+1的最大和次最大特征分别为λ0=1,λ1=λ2=r2,。而且特征值对应的左特征向量l0为

式中,。对于重复度为2的特征值r2,从循环矩阵的性质可以得到它具有正交的特征矢量(c1,c2,c3,…,cn),ci=cos(2π(i-1)/n)和(s1,s2,…,sn),si=sin(2π(i-1)/n),所以Mn=1的特征值r2对应的左特征矢量为

所以就可以得顶点V的极限位置V∞

从式(12)可知,顶点的极限位置与其1-邻域初始控制顶点相关,并且可以写成其1-邻域点的线性组合。同时,可知顶点V处的两个切矢量分别为

如果顶点V位于边界,则

式中,V0和Vn-1为边界上的相邻顶点,顶点V处沿边界曲线的切矢量ξ=V0-Vn-1,跨界导矢为

图3所示为一球模型实行Loop细分操作结果图。其中:图3a为初始模型;图3b和3c分别是Loop细分一次和两次的结果;图3d是细分六次的结果。从图中可以清晰的看出随着对模型细分次数的增加,模型的曲面越来越光滑,同时模型的数据量每细分一次将增加四倍。这是由Loop模式的细分规则决定的,因为它每次将每个三角面片分裂成四个小三角面片。

2 Cla rk细分模式

Clark细分模式是一种基于四边形网格的面分裂的逼近模式,当作用于规则四边形网格时,生成的极限细分曲面是双三次B样条曲面。

细分模式由几何规则和拓扑规则组成。

2.1 计算新顶点的几何规则

(1)面顶点。定义面的所有控制顶点的均值。如图4所示,实线多边形为初始控制网格,虚线所示为细分一次后得到的控制网格,则面顶点Q00的位置为

(2)边顶点。对应边的两端点和与该边相邻的两个面的新面点的平均。如图4中的边顶点Q01的位置为

(3)新顶点。对应顶点和新产生的边点和面点的平均。

式中,V是新顶点对应于细分前的旧顶点;E是所有与顶点V共边的顶点的平均;F是所有绕顶点V的面的新面点的平均,n为顶点V的价数。比如,图4中的新顶点Q11的位置为

2.2 细分模式的拓扑规则

(1)连接每个新面点与其周围的新边点。

(2)连接每个新顶点与其周围的新边点。如图4中的虚线连接方式所示。

该种细分的特点是,网格的所有面均为四边形,而且在细分的过程中,网格上奇数点的个数一直保持不变,仍为初始控制网格上奇异点的个数。

对于带边界的开网格,边界上采用的细分规则通常是使其最终收敛于三次B样条曲线。处理边界上顶点的模板如图5所示。但这种规则生成的极限曲面不是C1连续。为达到C1连续,对对此规则进行修改,改后的模板如图6所示,其中

当初始控制网格为规则网格时,此种细分模式生成的极限曲面是双三次B样条曲面,因此生成的曲面除了在奇异点处C1连续外,其余处处C2连续。

图7所示为球模型进行Clark细分的结果。其中图7a为初模型;图7b为Clark一次细分的结果;图7c是细分两次的结果;图7d是细分的六次的结果。可以看出Clark细分一次,模型的数据量增长四倍,这是因为Clark细分将每个面片分裂成四个小面片,它是一种1~4面分裂的细分模式。

3 Cla rk和Loop细分模式的比较

图8所示是采用两种不同的细分模式对一立方体细分的结果。其中图8a为Loop模式细分的结果,图8b为Clark模式细分的结果,很显然,Loop模式生成的曲面没有Clark模式的对称。这是因为Loop细分之前需要将每个面三角化,而三角化将意味着可能发生这样三点:(1)使原来顶点的价数变高,从而可能成为奇异点;(2)插入新点将会是奇异点,除非插入面是六边形;(3)三角化得到的三角形可能会出现一个内角为锐角而另一角为钝角,所以Loop模式生成的曲面不够对称。

4 小结

若采用三角形网格细分模式,则在细分过程中会产生大量的三角形网格,三角形网格模型没有固定的拓扑结构,对顶点数量巨大、结构复杂的三角网格模型要进行整体的光滑样条曲面拟合十分困难。而采用四边形网格细分则具有固定的拓扑结构,从而在细分过程中得到可预知的结果,构造参数域、规范化映射与基函数的基本方法,可以在优化后得到规则的四边形分割。

基于四边形网格的数值模拟过程比三角形网格速度快、精度高,因此一般有限元分析列倾向于使用四边形网格。三角形曲面网格的算法已经比较成熟,相对而言,四边形网格生成方法在时间效率和健状性方面都还有待改进。

参考文献

[1]王国瑾,汪国昭,郑健民计算机辅助几何设计高等教育出版社

[2]施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条高等教育出版社