技术成果应用证明

2022-07-06

第一篇：技术成果应用证明

柯西不等式的证明及应用

(河西学院数学系01(2)班甘肃张掖734000)

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式证明应用中图分类号：O178

Identification and application of Cauchy inequality

ChenBo

(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)

Abstract:Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples. Keyword：inequationproveapplication

柯西(Cauchy)不等式

12

222

a1b1a2b2anbna1a2an

b

2122b2bn

abR,i1,2n

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立(k为常数，i1,2n)现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x)a1xb1a2xb2anxbn

22n222n

=a1a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn



a12a2an0

fx0恒成立

2n4a1b1a2b2anbn4a12a2anb12b22bnn0

即a1b1a2b2anbna1a2an



b

2nb2bn

当且仅当aixbix0i1,2n即证明(2)数学归纳法

aa1a2

n时等号成立 b1b2bn

(1)当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

当

n2时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时不等式成立

(2)假设nkk,k2时，不等式成立即 a1b1a2b2akbka1a2ak



b

2b2bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

设a1b12b22bk2 a2ak

Ca1b1a2b2akbk

2则ak1

bb

2k1

2k122ak1bk1

C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b22

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1) 证明相关命题

例1. 用柯西不等式推导点到直线的距离公式

3

。

已知点x0,y0及直线l: xyC00



设点p是直线l上的任意一点，则

xxC0(1)

p1p2

(2)

点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求(2)式有最小值，有

x0x1y0y1

x0y0Cx1y1C

由(1)

(2)得：

p1p2x0y0C即

p1p2

(3)

当且仅当y0y1:x0x1



p1p2l (3)式取等号即点到直线的距离公式

即

p1p2

2) 证明不等式

例2

4

a2b2c2

已知正数a,b,c满足abc1证明abc

证明：利用柯西不等式

a

b2c



13131

3a2a2b2b2c2c2

323232

a2b2c2abc

a3b3c3abcabc1

 ca又因为abcabbc在此不等式两边同乘以2，再加上abc

222得：abc3abc

222222



a2b2c2a3b3c33a2b2c2

a2b2c2

故abc

3) 解三角形的相关问题

例3 设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的

证明：由柯西不等式得，



记S为ABC的面积，则

abcabc

axbycz2S2



4R2R

故不等式成立。 4) 求最值例4

5



2222

已知实数a,b,c,d满足abcd3， a2b3c6d5试求a的最值

解：由柯西不等式得，有

2b

2111

3c26d2bcd

236

222

即2b3c6dbcd 2

由条件可得， 5a3a

解得，1a

2时等号成立， 11

,d时，amax2 3621

b1,c,d时amin1

代入b1,c

5)利用柯西不等式解方程例5.在实数集内解方程

5

9222

xyz

4

8x6y24y39

解：由柯西不等式，得

x

222

y2z2862248x6y24y①



x2y2z286224



643641443924

又8x6y24y39

x

222

y2z2862248x6y24z



即不等式①中只有等号成立

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz 8624

它与8x6y24y39联立，可得

x

6918yz 132613

67

6)用柯西不等式解释样本线性相关系数

在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数

(x)y

并指出r1且r越接近于1，相关程度越大，r越接

近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记aixi，biyi

，则，

ab

r1

当r1时，

abab

i1

此时，

yibixiai

k，k为常数。点xi,yii1,2n均在直线

ykx上，r

当r1时，

ab

i1n

a

i12i

b

i1

即

abab

i1

0

而

aibia

i1

bi2

i1

1ijn



aibjajbi

1ijn



aibjajbi0aibjajbi0



k,k为常数。 ai

此时，此时，

yibixiai

k，k为常数

点xi,yi均在直线ykx附近，所以r越接近于1，相关程度越大当r0时，ai,bi不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点xi,yi都在直线ykx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。

参考文献：1柯西不等式的微小改动 J数学通报2002 第三期2柯西不等式与排序不等式M南山湖南教育出版社

3普通高中解析几何M高等教育出版社



41990-年全国统一考试数学试卷J

5李永新李德禄中学数学教材教法M东北师大出版社

6盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计M高等教育出版7用用柯西不等式解释样本线性相关系数J数学通讯 2004年第七期

2004年6月

第二篇：积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文(设计)

题目：积分不等式的证明及应用

所在系：数学与计算科学系

专业：数学与应用数学

学号： 08090233 作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系数学与应用数学专业学号:08090233 姓名:盛军宇指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用. 关键词积分不等式;中值定理;函数

0. 引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等. 1. 积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1) 若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b,

使得fxdxfba. ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数. 分析由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明. 证由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n. ,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.

i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续;iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论. 例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.

xa,b分析由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理. 证由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x. ,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.

ababfxMxa,xa,,fxMbx,x,b22,

故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M. 注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明. 1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.

1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.

x分析此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进. 证由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0,

0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0,

1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx. 例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.

2131证问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x,

x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx. 通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性. 1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.

例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式. 分析只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分. 证因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy,

aapxgxdxpygydy.

aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知,

D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号,

于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0. 即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.

aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200证由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题. 1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式. 例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.

2分析可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.

证由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.

2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定(大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零)的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,

ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变. 这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.

2证因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用. 1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx. aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.

babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.

a2a证假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是,

bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a. 2. 一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用. 例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.

11分析从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.

证令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,

gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx. 1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx. 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效. 例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2

2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式. 此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.

定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数(指下凸函数),则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向. 定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向. 例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx. 证令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立. 例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx. 证令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young不等式的应用

Young不等式设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab. 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.

例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立. 证设fxex1,则fx单调并连续,f等式有,

a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb. 2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.

a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 证对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式;以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决. 参考文献

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[5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89. [7]刘玉记.再谈Young’s不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38. [10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993. The proof and application of integral inequality Department of Mathematics and Computational Science

Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.

Key word: integral inequality; theorem of mean; function

第三篇：Jensen不等式的证明和应用

1.设x在a,b内二阶可导，且x0，则

p1x1p2x2pnxnp1x1p2x2pnxn



pppppp12n12n

其中p1,p2,L,pn均为正数，x1,x2,L,xnÎ2.证明不等式abc

abc

(a,b)。

aabbcc其中a,b,c均为正数。

3.应用Jensen不等式证明： 1)设aj0j1,2,,n有

++L+a1a2an

#a1+a2+L+an

。

2)设aj0,bj0j1,2,,n有

骣np鼢骣nq

ajbj£珑aj鼢bj珑邋鼢珑鼢珑桫桫j=1j=1j=1

p1q

,q>1,其中p>1

+=1。 pq

积分不等式的证明

1.设函数fx在闭区间0,1上具有连续的导数，f01，且



f2xdx1。

1)求xfxfxdx;2)证明：xf



xdxfx

dx。

2.设fx在a,b上可导，且fxM,fa0，证明：



fxdx

ba 2

3.设fx0,x0,1，则



fx2dx。

4.设函数fx在闭区间0,1上连续，在0,1内有二阶导数，且fx0，证明：



1

fxndxf。

n1

5.设函数fxC0,1，且x,y0,1，有fxfyMxy，

证明



fxdxf

nk1

kM

。 

n2n

6. 估计



x2dx的符号。

7. 设fx在0,1上连续且单调减少，f10，求证：

xfxdxfxdx



xfxdx

fxdx

8. 设fx在a,b上连续，且fx0，则



fxdx

ba。fx9. 设f1x,f2x,,fnx均为a,b上正值可积函数0ab，证明：



f1xdxf2xdxfnxdxf1xf2xfnxdx。

aaaab

10. 设fx在a,b上可导，且fx在a,b上可积，fafb0，试证：

fxfxdx

axb。

11. 设fx在,有界，且导数连续，又对任意的实数x有fxfx1，试证：fx1。

1

12. 设fx在,aa0上非负可积，且xfxdx0，

a1



求证：

xfxdxfxdx。

21a

1a

13. 设fx在0,1上有二阶连续的导数，则对任意的0,,

132

,1，有 3

fx3fffx。

14. 设fx在a,b上连续，则maxfxfxdxfx。 xa,bbaa

15. 设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明：



fxdx

maxfx。 40x1

16. 设fx在a,b上连续，且严格单增，证明：ab

fxdx2xfxdx。

17. 设fx在0,1上有连续的导数，满足0fx1且f00求证：

113

fxdxfxdx。 00

18. 设fx在0,1上连续且递减，证明：当01时，19. 设fx在0.上连续，且单调增加，证明：

1

xfxdxbfxdxafxdx。 20a0b

fxdxfxdx。

1

20. 设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明：



fxdxfxdx。 402

21. 设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明：

f

bab2xdxfxdx。 2

22. 设fx在0,1上有连续的导数，证明：对于x0,1，有fx

fxfxdx。

23. 设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明：



2ba

fxfxdxfxdx。

2a

24. 设fx在a,b上有连续的导数，且fafb0，证明：



2ba

fxfxdxfxdx。 4a

25. 设fx在a,b上不恒为零，且其导数fx连续，并且有fafb0，证明：

a,b，使f

fxdx 。 ba

26. 设fx在a,b上单调增加，且fx0，证明：

bafafxdxba

fafb

。

27. 设fx在0,1上连续，且单调减少，fx0,证明：对于满足01的任何

,，有fxdxfxdx。





28. 设fx在a,b上具有连续的二阶导数，fx，且f0f10,fx0，

证明：



fx

4。 fx29. 设fx在a,b上连续，且fx0，证明：

1b1lnfxdxlnfxdx。 babaaa



30. 设Intannxdx，n为大于1的正整数，证明：



。 In

2n12n11

31. 设fx在0,1上有一阶连续导数，且f1f01，证明：fxdx1。



32. 设fx在0,2上连续，且

fxdx0,xfxdxa0，证明：

0,2，使fa。

33. 设fx在0,1上连续，且

fxdx0,xfxdx1.，证明：

1)x00,1，使得fx04;2)x10,1使得fx14。

34.设fx在0,1上连续，且



fxdx0,xfxdx0,,x

n1

fxdx0,xnfxdx1，证明：c0,1，

使fc2n1。

35. 设正值函数fx在闭区间a,b上连续，

fxdxA，证明：



fxe

fx

dx

babaA。 fx36.设函数fx在闭区间a,b上连续，不恒为零。满足0fxM，

bbMbab

fxdx。则fxcosxdxfxsinxdx

12aaa

第四篇：信息技术成果应用

信息技术应用成果

通过本轮“国培计划(2014)”——安徽省中小学幼儿园教师信息技术应用能力提升培训，我深深地认识到，现代信息技术完全符合以“学生学为中心”教学理念，它的引入，向传统教育提出了挑战，具有其它媒体无法比拟的直观性、综合性、广泛性、及时性、趣味性。现代信息技术的应用，使教育教学手段更加丰富，对教育教学效果的提高起到促进作用。

一、信息技术是教育改革和发展的需要新课程标准明确提出，为适应教育发展的要求，在对学科定位、教学目的的要求、教学内容、教学手段和教学评估作出相应调整的同时，还增加了“教学设备”这个亮点。这对教学的现代化将起到极大的促进作用。新课程强调改变学生的学习方式，倡导建立具有“主动参与，乐于探究，交流与合作”特征的学习方式。而我们应用现代技术所编制的多媒体课件就能够很好地来体现新课程的很多理念，在教学中，教师把讲授的内容与信息技术的形象化处理相结合，使教师的讲授与信息技术的演示融为一体，将教学中抽象的问题具体化、枯燥的问题趣味化、静止的问题动态化、复杂的问题简单化，以达到优化教学的目的。为教育教学提供了便利。

二、信息技术教学能全方位地调动学生的学习激情

众所周知，兴趣是最好的老师，在教育教学活动中，老师们都极力引导学生对学习的向往，唤起学生学习的兴趣和动机，然而兴趣和动机并不是挥之即来的，而是通过外界事物的新颖性、独特性来满足

学生的好奇心和探究心理的需要而引发的。在课堂教学中，多媒体是教学信息的载体，是传输信息的工具和手段，它的作用不仅仅是用来传递教学内容的，最重要的是它会改变传统的教学模式和学习方法，调节课堂气氛，创设学习情境，激发学习兴趣。调动了学生的积极性，吸引长期的注意力，以轻松愉快的心情参与到课堂教学中来，达到了从“要我学”转变为“我要学”的目的。

三、信息技术教学推广和普及促进了城乡之间的均衡发展现在，我们县从幼儿园到高中每个教室都配备了“班班通”项目设备，经过此次培训后，大部分教师都能熟练地使用“班班通”项目设备进行教学，实现了“校校通、班班通、人人通”的目标。这样缩短了城乡之间的差别，大大地促进了农村义务教育的均衡发展。

四、正确处理好信息技术教学与传统教学的关系。

在信息技术给我们带来极大方便的同时，我们也不能摒弃传统的教学手段。在设计信息技术教程时，要把握好使用时机，正确处理和粉笔、黑板、普通教具、语言表达之间的关系，特别要考虑时间因素，正确处理好信息技术教学时间与适时的课堂讲解、板书、交流、反思之间的关系。

总之,运用信息技术教学不仅能提高学生学习的兴趣，而且降低学习的难度，从而达到理想的教学效果，信息技术已经成为了老师教学的好帮手,为教师的教和学生的学都带来了难得的机遇，我们应该创造条件，克服困难，缩短城乡差距，让学生充分享受现代教育资源，接受优质的教育服务。