五上数学报试卷的答案

第一篇：五上数学报试卷的答案

离散数学 期末考试试卷答案

离散数学试题(B卷答案1)

一、证明题(10分)

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 证明 ：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题(10分)

1) C∨D， (C∨D) E， E(A∧B)， (A∧B)(R∨S)R∨S 证明：(1) (C∨D)E (2) E(A∧B)

P P

P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2)，I (4) (A∧B)(R∨S) (5) (C∨D)(R∨S) (6) C∨D

T(3)(4)， I P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P

(2)P(a) T(1)，ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3)，US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I (6)Q(y) T(5)，I (7)R(a) T(5)，I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数(10分)。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2，∴|(A∩B)|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (10分)。

证明：∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C)

 x A∧(xB∧xC)

(x A∧xB)∧(x A∧xC)  x(A-B)∧x(A-C)  x(A-B)∩(A-C)

∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x，yN∧y=x}，S={| x，yN∧y=x+1}。求R、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}](10分)。

解：R={| x，yN∧y=x} R*S={| x，yN∧y=x+1} S*R={| x，yN∧y=(x+1)}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R) (15分)。

解：r(R)={，，，，，}

22-

12-1

2s(R)={，，，，，} R= R={，，} R={，，} R={，，} t(R)={，，，，，，，，，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(mod m)}是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。

证明：1)x∈I，因为(x-x)/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。

2)x，y∈I，若xRy，则xy(mod m)，即(x-y)/m=k∈I，所以(y - x)/m=-k∈I，所以yx(mod m)，即yRx。

3)x，y，z∈I，若xRy，yRz，则(x-y)/m=u∈I，(y-z)/m=v∈I，于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则(gf)=fg(10分)。

-

1-1-14325证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数(gf)：C→A。同理可推fg：C→A是双射。

因为∈fg存在z(∈g∈f)存在z(∈f∈g)∈gf∈(gf)，所以(gf)=fg。

-

1-1

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-1离散数学试题(B卷答案2)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T 证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入) 2) xy(P(x)Q(y)) (xP(x)yQ(y)) 证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q) (P∨Q)∨(P∨Q) (P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q) (P∨Q) M1 m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R (2)R∨P (3)P (4)P(QS) (5)QS (6)Q (7)S (8)RS 2) x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明：(1)x(A(x)yB(y)) P (2)A(a)yB(y) T(1)，ES (3)x(B(x)yC(y)) P (4)x(B(x)C(c)) T(3)，ES (5)B(b)C(c) T(4)，US (6)A(a)B(b) T(2)，US (7)A(a)C(c) T(5)(6)，I (8)xA(x)C(c) T(7)，UG (9)xA(x)yC(y) T(8)，EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好(15分)。

解 设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生

的集合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。

(1)PxA(x) P (2)PxA(x) T(1)，E (3)xA(x)P T(2)，E (4)xA(x)Q P (5)(xA(x)Q)∧(QxA(x)) T(4)，E (6)QxA(x) T(5)，I (7)QP T(6)(3)，I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)

证明：∵x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∨xC)( x A∧xB)∨(x A∧xC) x(A∩B)∨x A∩C x(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图(10分)。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图(15分)。

解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>, <3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R=R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}

八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠。关系R满足：<，>∈R∈R1且∈R2，证明R是A×B上的等价关系(10分)。

证明 对任意的∈A×B，由R1是A上的等价关系可得∈R1，由R2是B上的等价关系可得∈R2。再由R的定义，有<，>∈R，所以R是自反的。

对任意的、∈A×B，若R，则∈R1且∈R2。由R1对称得∈R1，由R2对称得∈R2。再由R的定义，有<，> 432

5∈R，即R，所以R是对称的。

对任意的、、∈A×B，若R且R，则∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。由∈R

1、∈R1及R1的传递性得∈R1，由∈R

2、∈R2及R2的传递性得∈R1。再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是传递的。

综上可得，R是A×B上的等价关系。

九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf=IA，fhg=IB，gfh=IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h(10分)。

解 因IA恒等函数，由hgf=IA可得f是单射，h是满射;因IB恒等函数，由fhg=IB可得g是单射，f是满射;因IC恒等函数，由gfh=IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。

由hgf=IA，得f=hg;由fhg=IB，得g=fh;由gfh=IC，得h=gf。 -

1-1

-1-1-1

-1离散数学试题(B卷答案3)

一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?(写过程) 1)P(P∨Q∨R) 2)((QP)∨P)∧(P∨R) 3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R) 解：1)重言式;2)矛盾式;3)可满足式

二、(10分)求命题公式(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式，并求成真赋值。

解：(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R P∧(Q∨R)∨P∨Q∨R (P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R ((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R 1∨((P∧R)∨R)1 m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。

三、(10分)证明 ((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C 证明：((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C)) ((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C ((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C (A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C (A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C (A∧((QP)∧(PQ)))C (A∧(PQ))C

四、(10分)个体域为{1，2}，求xy(x+y=4)的真值。

解：xy(x+y=4)x((x+1=4)∨(x+2=4))

((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4)) (0∨0)∧(0∨1)0∧10

五、(10分)对于任意集合A，B，试证明：P(A)∩P(B)=P(A∩B) 解：xP(A)∩P(B)，xP(A)且xP(B)，有xA且xB，从而xA∩B，xP(A∩B)，由于上述过程可逆，故P(A)∩P(B)=P(A∩B)

六、(10分)已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>} t(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}

七、(10分)设函数f：R×RR×R，R为实数集，f定义为：f()=。1)证明f是双射。

解：1)，∈R×R，若f()=f()，即=，则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2，y1=y2从而f是单射。

2)∈R×R，由f()=，通过计算可得x=(p+q)/2;y=(p-q)/2;从而的原象存在，f是满射。

八、(10分)是个群，u∈G，定义G中的运算“”为ab=a*u*b，对任意a，b∈G，求证：也是个群。

证明：1)a，b∈G，ab=a*u*b∈G，运算是封闭的。

2)a，b，c∈G，(ab)c=(a*u*b)*u*c=a*u*(b*u*c)=a(bc)，运算是可结合的。

3)a∈G，设E为的单位元，则aE=a*u*E=a，得E=u，存在单位元u。 4)a∈G，ax=a*u*x=E，x=u*a*u，则xa=u*a*u*u*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以也是个群。

九、(10分)已知：D=，V={1，2，3，4，5}，E={<1，2>，<1，4>，<2，3>，<3，4>，<3，5>，<5，1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：1)D的邻接距阵A和可达距阵P如下：

A= 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 0 1 -

1-1

-1

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-1

-1

-1

-1

-1

-1

P= 1 1 1 1

十、(10分)求叶的权分别为

2、

4、

6、

8、

10、

12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权=(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2=148

离散数学试题(B卷答案4)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入) 2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x)) 证明：x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R 附加前提 (2)R∨P P (3)P T(1)(2),I (4)P(QS) P (5)QS T(3)(4),I (6)Q P (7)S T(5)(6),I (8)RS CP 2) x(P(x)∨Q(x))，xP(x)x Q(x) 证明：(1)xP(x) P (2)P(c) T(1),US (3)x(P(x)∨Q(x)) P (4)P(c)∨Q(c) T(3),US (5)Q(c) T(2)(4),I (6)x Q(x) T(5),EG

四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过1/8(10分)。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半，即1/8。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)

证明：∵x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∨xC)( x A∧xB)∨(x A∧xC) x(A∩B)∨x A∩C x(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、={A1，A2，„，An}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈Ai，I=1，2，„，n}，则R是A上的等价关系(15分)。

证明：a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。 a,b∈A，若aRb ，则a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R对称。

a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈Ai及b,c∈Aj。因为i≠j时Ai∩Aj=，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f:B→A是双射(15分)。

证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f。所以,f是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f且∈f,则有∈f且∈f。因为f是函数，则y1=y2。所以，f是单射。

因此f是双射。

八、设是群，和是的子群，证明：若A∪B=G，则A=G或B=G(10分)。

证明 假设A≠G且B≠G，则存在aA，aB，且存在bB，bA(否则对任意的aA，aB，从而AB，即A∪B=B，得B=G，矛盾。)

对于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，aA，从而a * (a*b)=b A，所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB，综合有a*bA∪B=G。 综上所述，假设不成立，得证A=G或B=G。

九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的(10分)。

证明 设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G

1、G

2、„、Gk。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]

-

1-1-1

-1

-1

-1-1-1-1是图G的边;若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支Gi(1≤i≤k)中，在不同于Gi的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，，

因而[u，w]和[w，v]都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。

离散数学试题(B卷答案5)

一、(10分)求命题公式(P∧Q)(PR)的主合取范式。

解：(P∧Q)(PR)((P∧Q)(PR))∧((PR)(P∧Q)) ((P∧Q)∨(P∧R))∧((P∨R)∨(P∨Q)) (P∧Q)∨(P∧R) (P∨R)∧(Q∨P)∧(Q∨R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) M1∧M3∧M4∧M5

二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论

解：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 符号化：F(x)：x是一个人。G(x)：x要死的。A：苏格拉底。 命题符号化为x(F(x)G(x))，F(a)G(a) 证明：

(1)x(F(x)G(x)) P (2)F(a)G(a) T(1),US (3)F(a) P (4)G(a) T(2)(3),I

三、(8分)已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 证明：∵x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C)

 x A∧(xB∨xC)

( x A∧xB)∨(x A∧xC)  x(A∩B)∨x A∩C  x(A∩B)∪(A∩C)

∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，

故R∩S是自反的。

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2)因为x∈[a]R∩S∈R∩S

∈R∧∈S x∈[a]R∧x∈[a]S x∈[a]R∩[a]S 所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、(10分) 设A={a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R={，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)=R∪IA={，，，，，，，} s(R)=R∪R={，，，，，} R={，，，} R={，，，} R={，，，}=R

t(R)=R={，，，，，，，

4232-1d>，}

六、(15分) 设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：A×CB×D且∈A×C，h()=。证明h是双射。

证明：1)先证h是满射。

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()==，所以h是满射。

2)再证h是单射。

、∈A×C，若h()=h()，则= ，所以f(a1)=f(a2)，g(c1)=g(c2)，因为f是A到B的双射，g是C

到D的双射，所以a1=a2，c1=c2，所以=，所以h是单射。

综合1)和2)，h是双射。

七、(12分)设是群，H是G的非空子集，证明是的子群的充要条件是若a，bH，则有a*bH。

证明： a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。 a∈H，则e=a*a∈H a=e*a∈H ∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*(b)∈H ∵HG且H≠,∴*在H上满足结合律 ∴是的子群。

八、(10分)设G=是简单的无向平面图，证明G至少有一个结点的度数小于等于5。

解：设G的每个结点的度数都大于等于6，则2|E|=d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，与简单无向平面图的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一个结点的度数小于等于5。 九.G=,A={a,b,c},*的运算表为：(写过程，7分) -

1-1

-1-1-1-1-1

-1-1 (1)G是否为阿贝尔群?

(2)找出G的单位元;(3)找出G的幂等元(4)求b的逆元和c的逆元 解：(1)(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c) (a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b) (b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c) 所以G是阿贝尔群

(2)因为a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的单位元是a (3)因为a*a=a 所以G的幂等元是a (4)因为b*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b

十、(10分)求叶的权分别为

2、

4、

6、

8、

10、

12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权=148 离散数学试题(B卷答案6)

一、(20分)用公式法判断下列公式的类型： (1)(P∨Q)(PQ) (2)(PQ)(P∧(Q∨R)) 解：(1)因为(P∨Q)(PQ)(P∨Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) m1∨m2∨m3 M0

所以，公式(P∨Q)(PQ)为可满足式。

(2)因为(PQ)(P∧(Q∨R))(( P∨Q))∨(P∧Q∧R))

(P∨Q)∨(P∧Q∧R))

(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R) (P∨Q)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) M0∧M1

m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7

所以，公式(PQ)(P∧(Q∨R))为可满足式。

二、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个科学家都是勤奋的，每个勤奋

又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

解：论域：所有人的集合。Q(x)：x是勤奋的;H(x)：x是身体健康的;S(x)：x是科学家;C(x)：x是事业获得成功的人;F(x)：x是事业半途而废的人;则推理化形式为：

x(S(x)H(x))Q(x))，x(Q(x)∧H(x)C(x))，x(S(x)∧x(C(x)∨F(x)) 下面给出证明：

(1)x(S(x)∧H(x))

P (2)S(a)∧H(a)

T(1)，ES (3)x(S(x)Q(x))

P (4)S(a)Q(a)

T(1)，US (5)S(a)

T(2)，I (6)Q(a)

T(4)(5)，I (7)H(a)

T(2)，I (8)Q(a)∧H(a)

T(6)(7)，I (9)x(Q(x)∧H(x)C(x))

P (10)Q(a)∧H(a)C(a)

T(9)，Us (11)C(a)

T(8)(10)，I (12)xC(x)

T(11)，EG (13)x(C(x)∨F(x))

T(12)，I

三、(10分)设A={，1，{1}}，B={0，{0}}，求P(A)、P(B)-{0}、P(B)B。 解

P(A)={，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}}-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B={，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}={，0，{{0}}，{0，{0}}

四、(15分)设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立? (1)若R和S是自反的，则R*S也是自反的。 (2)若R和S是反自反的，则R*S也是反自反的。 (3)若R和S是对称的，则R*S也是对称的。

(4)若R和S是传递的，则R*S也是传递的。 (5)若R和S是自反的，则R∩S是自反的。 (6)若R和S是传递的，则R∪S是传递的。

解

(1)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R*S，故R*S也是自反的。

(2)不成立。例如，令A={1，2}，R={<1，2>}，S={<2，1>}，则R和S是反自反的，但R*S={<1，1>}不是反自反的。

(3)不成立。例如，令A={1，2，3}，R={<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S={<2，3>，<3，2>}，则R和S是对称的，但R*S={<1，3>，<3，2>}不是对称的。

(4)不成立。例如，令A={1，2，3}，R={<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S={<2，3>，<3，1>，<2，1>}，则R和S是传递的，但R*S={<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是传递的。

(5)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R∩S，所以R∩S是自反的。

五、(15分)令X={x1，x2，„，xm}，Y={y1，y2，„，yn}。问 (1)有多少个不同的由X到Y的函数?

(2)当n、m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射? (3)当n、m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射?

解

(1)由于对X中每个元素可以取Y中任一元素与其对应，每个元素有n种取法，所以不同的函数共nm个。

(2)显然当|m|≤|n|时，存在单射。由于在Y中任选m个元素的任一全排列都形成X到

mY的不同的单射，故不同的单射有Cnm!=n(n-1)(n―m―1)个。

(3)显然当|m|=|n|时，才存在双射。此时Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的双射，故不同的双射有m!个。

六、(5分)集合X上有m个元素，集合Y上有n个元素，问X到Y的二元关系总共有多少个?

解

X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个2mn，所以X到Y的二元关系总共有2mn个。

七、(10分)若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x=

b。

证明 设e是群的幺元。令x=a1*b，则a*x=a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b。

-

-

-所以，x=a1*b是a*x=b的解。 -若x∈G也是a*x=b的解，则x=e*x=(a1*a)*x=a1*(a*x)=a1*b=x。所以，x

-

-

-=a1*b是a*x=b的惟一解。 -

八、(10分)给定连通简单平面图G=，且|V|=6，|E|=12。证明：对任意f∈F，d(f)=3。

证明

由偶拉公式得|V|-|E|+|F|=2，所以|F|=2-|V|+|E|=8，于是d(f)=2|E|=

fF24。若存在f∈F，使得d(f)>3，则3|F|<2|E|=24，于是|F|<8，与|F|=8矛盾。故对任意f∈F，d(f)=3。

离散数学试题(B卷答案7)

一、(15分)设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A和C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。设F表示灯亮。

(1)写出F在全功能联结词组{}中的命题公式。 (2)写出F的主析取范式与主合取范式。

解

(1)设A：开关A关闭;B：开关B关闭;C：开关C关闭;F=(A∧C)∨(B∧C)。 在全功能联结词组{}中：

A(A∧A)AA A∧C( A∧C)( AC)(AC)(AC)

A∨B(A∧B)(( AA)∧(BB))( AA)(BB) 所以

F((AC)(AC))∨((BC)(BC)) (((AC)(AC))((AC)(AC)))(((BC)(BC))((BC)(BC))) (2)F(A∧C)∨(B∧C)

(A∧(B∨B)∧C)∨((A∨A)∧B∧C) (A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C) m3∨m5∨m7

主析取范式 M0∧M1∧M2∧M4∧M6

主合取范式

二、(10分)判断下列公式是否是永真式? (1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))。 (2)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)))。 解

(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)) (xA(x)∨xB(x))x(A(x)B(x)) (xA(x)∨xB(x))∨x(A(x)∨B(x)) (xA(x)∧xB(x))∨xA(x)∨xB(x) (xA(x)∨xA(x)∨xB(x))∧(xB(x)∨xA(x)∨xB(x)) x(A(x)∨A(x))∨xB(x) T

所以，(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为永真式。

(2)设论域为{1，2}，令A(1)=T;A(2)=F;B(1)=F;B(2)=T。

则xA(x)为假，xB(x)也为假，从而xA(x)xB(x)为真;而由于A(1)B(1)为假，所以x(A(x)B(x))也为假，因此公式(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为假。该公式不是永真式。

三、(15分)设X为集合，A=P(X)-{}-{X}且A≠，若|X|=n，问 (1)偏序集是否有最大元? (2)偏序集是否有最小元?

(3)偏序集中极大元和极小元的一般形式是什么?并说明理由。 解

偏序集不存在最大元和最小元，因为n>2。

考察P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层，由底向上，第一层是单元集，第二层是二元集，…，由|X|=n，则第n-1层是X的n-1元子集，第n层是X。偏序集与偏序集相比，恰好缺少第0层和第n层。因此的极小元就是X的所有单元集，即{x}，x∈X;而极大元恰好是比X少一个元素，即X-{x}，x∈X。

四、(10分)设A={1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

r(R)=R∪IA={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)=R∪R1={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，-

<4，2>，<4，3>} R2={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}=R2 t(R)=Ri={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。

五、(10分)设函数g：A→B，f：B→C，

(1)若fg是满射，则f是满射。 (2)若fg是单射，则g是单射。

证明

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。

(1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)=z，即f(g(x))=z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y=g(x)∈B，使得f(y)=z。因此，f是满射。

(2)对任意的x

1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。

六、(10分)有幺元且满足消去律的有限半群一定是群。

证明

设是一个有幺元且满足消去律的有限半群，要证是群，只需证明G的任一元素a可逆。

考虑a，a2，„，ak，„。因为G只有有限个元素，所以存在k>l，使得ak=al。令m=k-l，有al*e=al*am，其中e是幺元。由消去率得am=e。

于是，当m=1时，a=e，而e是可逆的;当m>1时，a*am-1=am-1*a=e。从而a是可逆的，其逆元是am-1。总之，a是可逆的。

七、(20分)有向图G如图所示，试求： (1)求G的邻接矩阵A。

(2)求出A

2、A3和A4，v1到v4长度为

1、

2、3和4的路有多少?

(3)求出ATA和AAT，说明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意义。 (4)求出可达矩阵P。 (5)求出强分图。

解

(1)求G的邻接矩阵为：

00A00101011

101100(2)由于

002A001110220130

1 A0211102011120322044A

031201012313 2322所以v1到v4长度为

1、

2、3和4的路的个数分别为

1、

1、

2、3。 (3)由于

00ATA000002131212TAA

21011102132110 2121再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素为3，表明那些边以v2为终结点且具有不同始结点的数目为3，其第(2，3)元素为0，表明那些边既以v2为终结点又以v3为终结点，并且具有相同始结点的数目为0。AAT中的第(2，2)元素为2，表明那些边以v2为始结点且具有不同终结点的数目为2，其第(2，3)元素为1，表明那些边既以v2为始结点又以v3为始结点，并且具有相同终结点的数目为1。

(4)00B4AA2A3A40000所以求可达矩阵为P0000(5)因为PPT0010100110+10101000111111。

11111111101111∧1111111100001110=01110111000111，所以{v1}，{v2，v3，v4}

111111因

1110



2010

+

1110

0110

2120312204+

2120320101231323220

000

为

741



747

，

747



434构成G的强分图。

离散数学试题(B卷答案8)

一、(10分)证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R

证明

因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。 (1)R

附加前提 (2)PR

P (3)P

T(1)(2)，I (4)P∨Q

P (5)Q

T(3)(4)，I (6)QS

P (7)S

T(5)(6)，I (8)RS

CP (9)S∨R

T(8)，E

二、(15分)根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。

设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)x(P(x)Q(x))

P (2)x(P(x)∨Q(x))

T(1)，E (3)x(P(x)∧Q(x))

T(2)，E (4)P(a)∧Q(a)

T(3)，ES (5)P(a)

T(4)，I (6)Q(a)

T(4)，I (7)x(P(x)(A(x)∨B(x))

P (8)P(a)(A(a)∨B(a))

T(7)，US (9)A(a)∨B(a)

T(8)(5)，I (10)x(A(x)Q(x))

P

(11)A(a)Q(a)

T(10)，US (12)A(a)

T(11)(6)，I

(13)B(a)

T(12)(9)，I (14)P(a)∧B(a)

T(5)(13)，I (15)x(P(x)∧B(x))

T(14)，EG

三、(10分)某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。

解

设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：

|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2，|(A∪C)∩B|=6。 因为|(A∪C)∩B|=(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2=6，所以|(A∩B)|=3。于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20，|ABC|=25-20=5。故，不会打这三种球的共5人。

四、(10分)设A

1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai(Ai为Ai或Ai)的集合称

i13为由A

1、A2和A3产生的小项。试证由A

1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

证明

小项共8个，设有r个非空小项s

1、s

2、…、sr(r≤8)。

对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈Ai，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或Ai，则a∈Ai，即有a∈si，于是Usi。又显然有siU，所以U=si。

i1i1i1i1i13rrrr任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和Ai分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq=。

综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。

五、(15分)设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。

证明

(5)若R是传递的，则∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有∈R，所以R*RR。

反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。

六、(15分)若G为连通平面图，则n-m+r=2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。

证明

对G的边数m作归纳法。

当m=0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n=1，r=1，结论自然成立。 假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。

设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：

若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1+n2=n=n，m1+m2=m=m-1，r1+r2=r+1=r+1。由归纳假设有n1-m1+r1=2，n2-m2+r2=2，从而(n1+n2)-(m1+m2)+(r1+r2)=4，n-(m-1)+(r+1)=4，即n-m+r=2。

若e不为割边，则n=n，m=m-1，r=r-1，由归纳假设有n-m+r=2，从而n-(m-1)+r-1=2，即n-m+r=2。

由数学归纳法知，结论成立。

七、(10分)设函数g：A→B，f：B→C，则： (1)fg是A到C的函数;

(2)对任意的x∈A，有fg(x)=f(g(x))。

证明

(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使∈f。根据复合关系的定义，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fg。所以Dfg=A。

对任意的x∈A，若存在y

1、y2∈C，使得、∈fg=g*f，则存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因为g：A→B是函数，则t1=t2。又因f：B→C是函数，则y1=y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。

综上可知，fg是A到C的函数。

(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得∈f，于是∈g*f=fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)=f(g(x))。

八、(15分)设是的子群，定义R={|a、b∈G且a1*b∈H}，

-则R是G中的一个等价关系，且[a]R=aH。

证明

对于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a=e∈H，所以∈R。

-

-

若∈R，则a1*b∈H。因为H是G的子群，故(a1*b)1=b1*a∈H。所以

-

-

-a>∈R。

若∈R，∈R，则a1*b∈H，b1*c∈H。因为H是G的子群，所以(a

-

-

-1*b)*(b1*c)=a1*c∈H，故∈R。 --综上可得，R是G中的一个等价关系。

对于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，则存在h∈H使得a1*b=h，b=a*h，

-

-于是b∈aH，[a]RaH。对任意的b∈aH，存在h∈H使得b=a*h，a1*b=h∈H，

-b>∈R，故aH[a]R。所以，[a]R=aH。

离散数学试题(B卷答案9)

一、(10分)证明(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(A∧(PQ))C。 证明：(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)

(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C ( A∧(PQ))∨C (A∧(PQ))C。

二、(10分)举例说明下面推理不正确：xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))。

解：设论域为{1，2}，令P(1)=P(2)=T;Q(1)=Q(2)=T;R(1)=R(2)=F。则： xy(P(x)Q(y))x((P(x)Q(1))∨(P(x)Q(2)))

((P(1)Q(1))∨(P(1)Q(2)))∧((P(2)Q(1))∨(P(2)Q(2))) ((TT)∨(TT))∧((TT)∨(TT)) T yz(R(y)Q(z))y((R(y)Q(1))∨(R(y)Q(2)))

((R(1)Q(1))∨(R(1)Q(2)))∧((R(2)Q(1))∨(R(2)Q(2)))

((FT)∨(FT))∧((FT)∨(FT))

T

但

xz(P(x)R(z))x((P(x)R(1))∧(P(x)R(2))) ((P(1)R(1))∧(P(1)R(2)))∨((P(2)R(1))∧(P(2)R(2))) ((TF)∧(TF))∨((TF)∧(TF)) F 所以，xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))不正确。

三、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明：所有牛都有角，有些动物是牛，所以，有些动物有角。

解：令P(x)：x是牛;Q(x)：x有角;R(x)：x是动物;则推理化形式为：

x(P(x)Q(x))，x(P(x)∧R(x))x(Q(x)∧R(x)) 下面给出证明：

(1)x(P(x)∧R(x))

P (2)P(a)∧R(a)

T(1)，ES (3)x(P(x)Q(x))

P (4)P(a)Q(a)

T(3)，US (5)P(a)

T(2)，I (6)Q(a)

T(4)(5)，I (7)R(a)

T(2)，I (8)Q(a)∧R(a)

T(6)(7)，I (9)x(Q(x)∧R(x))

T(8)，EG

四、(10分)证明(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)。

证明：因为∈(A∩B)×(C∩D)x∈(A∩B)∧y∈(C∩D)x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)∈A×C∧∈B×D∈(A×C)∩(B×D)，所以(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)。

五、(15分)设A={1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

r(R)=R∪IA={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)=R∪R1={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，-

<4，2>，<4，3>} R2={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}=R2 t(R)=Ri={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。

六、(10分)若函数f：A→B是双射，则对任意x∈A，有f1(f(x))=x。

-证明

对任意的x∈A，因为f：A→B是函数，则∈f，于是

-由f-1是B到A的函数，于是可写为f1(f(x))=x。

-

七、(10分)若G为有限群，则|G|=|H|·[G:H]。

证明

设[G:H]=k，a

1、a

2、…、ak分别为H的k个左陪集的代表元，由定理8.38得

G[ai]RaiH

i1i1kk又因为对H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|=…=|akH|=|H|。因此

|G||aiH|i1k|aH|k|H|=|H|·[G:H]。

ii1k

八、(20分)(1)画出3阶2条边的所有非同构有向简单图。

解：由握手定理可知，所画的有向简单图各结点度数之和为4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度数列与入度列、出度列为：

1、

2、1：入度列为0、

1、1或0、

2、0或

1、0、1;出度列为

1、

1、0或

1、0、1或0、

2、0

2、

2、0：入度列为

1、

1、0;出度列为

1、

1、0 四个所求有向简单图如图所示。

(2)设G是n(n≥4)阶极大平面图，则G的最小度≥3。

证明

设v是极大平面图G的任一结点，则v在平面图G-{v}的某个面f内。由于G-{v}是一个平面简单图且其结点数大于等于3，所以d(f)≥3。由G的极大平面性，v与f上的结点之间都有边，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度≥3。

离散数学试题(B卷答案10)

一、(10分)使用将命题公式化为主范式的方法，证明(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

证明：因为(PQ)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q) (QP)∧(P∨Q)(Q∨P)∧(P∨Q) (P∧Q)∨(Q∧Q)∨(P∧P) ∨(P∧Q) (P∧Q)∨P

(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q)) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q) 所以，(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

二、(10分)证明下述推理： 如果A努力工作，那么B或C感到愉快;如果B愉快，那么A不努力工作;如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，则D不愉快。

解 设A：A努力工作;B、C、D分别表示B、C、D愉快;则推理化形式为： AB∨C，BA，DCAD

(1)A 附加前提 (2)AB∨C P (3)B∨C T(1)(2)，I (4)BA P (5)AB

T(4)，E (6)B T(1)(5)，I (7)C T(3)(6)，I

(8)DC P (9)D T(7)(8)，I (10)AD CP

三、(10分)证明xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))。 xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y))

四、(10分)设A={，1，{1}}，B={0，{0}}，求P(A)、P(B)-{0}、P(B)B。 解 P(A)={，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}}-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B={，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}={，0，{{0}}，{0，{0}}

五、(15分)设X={1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R={<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R的关系图。 (2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。 解 (1)R的关系图如图所示： (2) R的关系矩阵为：

10M(R)111011101100 00(3)对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的;由于对角线上存在非0元，R不是反自反的;由于矩阵不对称，R不是对称的;

经过计算可得

10M(R2)111011101100M(R)，所以R是传递的。 00

六、(15分)设函数f：R×RR×R，f定义为：f()=。 (1)证明f是单射。 (2)证明f是满射。 (3)求逆函数f。

(4)求复合函数ff和ff。

证明 (1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f()=f()，则=，x+y=x1+y1，x-y=x1-y1，从而x=x1，y=y1，故f是单射。

(2)对任意的∈R×R，令x=-1-

1uwuwuwuw

，y=，则f()=<+，2222uwuw->=，所以f是满射。 22(3)f()=<-1-1uwuw，>。 22-1(4)ff()=f(f())=f

-1

()=<

xyxy，

2xy(xy)>= 2ff()=f(f())=f()==<2x，2y>。

七、(15分)给定群，若对G中任意元a和b，有a*b=(a*b)，a*b=(a*b)，a*b=(a*b)，试证是Abel群。

证明 对G中任意元a和b。

因为a*b=(a*b)，所以a*a*b*b=a*(a*b)*b，即得a*b=(b*a)。同33

333

3

2

2255

53

3

3

4

44

13

111理，由a*b=(a*b)可得，a*b=(b*a)。由a*b=(a*b)可得，a*b=(b*a)。

于是(a*b)*(b*a)=(b*a)=a*b，即b*a=a*b。同理可得，(a*b)*(b*a)=(b*a)=a*b，即b*a=a*b。

3333334

4

4

4

4

2

2

344433555444

由于(a*b)*b=a*b=b*a=b*(b*a)=b*(a*b)=(b*a)*b，故a*b=b*a。

八、(15分)(1)证明在n个结点的连通图G中，至少有n-1条边。

证明 不妨设G是无向连通图(若G为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图)。 设G中结点为v

1、v

2、„、vn。由连通性，必存在与v1相邻的结点，不妨设它为v2(否则可重新编号)，连接v1和v2，得边e1，还是由连通性，在v

3、v

4、„、vn中必存在与v1或v2相邻的结点，不妨设为v3，将其连接得边e2，续行此法，vn必与v

1、v

2、„、vn1中的某个结点相邻，得新边en1，由此可见G中至少有n-1条边。

(2)试给出|V|=n，|E|=(n-1)(n-2)的简单无向图G=是不连通的例子。

解 下图满足条件但不连通。

12344333

第二篇：五上数学课件

1、

小数的意义和读写方法

主备人：谭惠华

教学内容：p.28~30的例

1、例2及相应的“试一试”“练一练”， 练习五第1~5题

教学目标：

1、使学生在现实的情境中，初步理解小数的意义，学会读、写小数，体会小数与分数的联系。

2、使学生在用小数进行表达的过程中，感受小数与生活的联系，增强数学学习的信心。

教学重点：理解小数的意义。

教学准备：米尺

教学过程：

一、谈话导入：这节课开始我们要学习新的单元“认识小数”。

说说你可以在哪些地方看见小数。

二、学习以“元”为单位的小数：

1、学生说，老师板书。(学生在说的时候一开始可能会说超过1元的小数，引导他们说几个表示不满1元的小数。分两列板书。)

看板书交流：

(1)不满1元的小数。如0.1元，就是1角，它是1元的十分之一;0.2元，是2角，它是1元的十分之二„„明确：几角就是1元的十分之几，可以用一位小数来表示。

1 (2)超过1元的小数。分别看板书让学生说说它表示几元几角。

重点明确：整数部分的数表示几元;一位小数，表示几角。

2、我们现在买东西的商品价钱最小单位通常是“角”，老师小时候很多东西的都是用分来作单位的。

比如：一支棒冰的单价是4分。

你能用小数来表示吗? 说说是怎么想的?

引导学生发现：1分是1元的百分之一。就是0.01元。4分是1元的百分之四，是0.04元。

继续提问：一支雪糕8分钱，怎么用小数表示?„„

说说你的发现：几分就是1元的百分之几，可以用两位小数来表示。

3、提高练习：分别说出几类情况，

让学生用小数表示：(1)几分的;(2)几角的;(3)几角几分的;(4)几元几角的;(5)几元几角几分的„„遇到有困难的再说说思考的方法。

4、读数对比：45.45元这个数怎么读?

为什么要这样读?(突出整数部分和小数部分不同的读法)

三、学习以“米”为单位的小数：

1、举米尺，板书：1米比“米”小的长度单位是“分米”，1米等于10分米;

比分米更小的长度单位是厘米，1米等于100厘米;

比厘米更小的长度单位是毫米，1米等于1000毫米板书成：

1米=10分米=100厘米=1000毫米

读一读，记一记。

2、练习：1分米=( )米，

2 你能用分数表示吗?你能用小数表示吗?2分米?3分米?„„ 一句话：几分米就是零点几米 1厘米=( )米，

你能用分数表示吗?

你能用小数表示吗?2厘米?3厘米?„„

一句话：厘米可以用两位小数来表示。说一说：4厘米、9分米„„ 写成分数和小数各是多少?

3、1毫米呢?你是怎么想的?

指出：1毫米是1米的千分之一，用三位小数“0.001米”表示7毫米呢?

15毫米呢?„„重点解释“15毫米”：用三位小数，不够的位数用“0”补，补在前面。

举例：如果补在后面，那就变成了“0.150”米，它表示多少?一样么?

四、巩固练习：

1、下面每个图形都表示整数“1”，把图中涂色的部分分别用分数和小数表示出来。

学生独立 完成后交流：每个图形是把整数“1”平均分成了多少份?

涂色部分是这样的几份?写出的小数和分数有什么关系?

可能有的学生不熟悉这样的“整数1”，

强化认识：直条的是平均分成10份，格子的是平均分成100份，

立体的是平均分成1000份。立体图在看的时候，只要数正面的。

2、练一练：(题略)

(1)学生独立完成再交流。“6角5分”要先想成“65分”。说说每个小数的含义。

(2)继续完成第2题。指名读一读。

3、完成练习五第1~5题

(1)下面每个图形都表示整数“1”，涂色表示它下面的分数，并在括号里写出小数。学生完成后，再指名联系图中的涂色部分说说每个小数的具体含义。

(2)读出下面各数，并把它表示的几分之几写在边上。

(3)写出下面各数，并说说各是几位小数

(4)在括号里填上合适的小数。(可选择第

2、3个重点交流。突出一个“补0”问题。)

(5)把下面各数改写成用“元”(“米”)作单位的小数指名说一说。

有困难的再给予指导。

五、全课总结：这节课我们认识了小数，你懂得了哪些知识?

六、作业：补充习题

小数的意义和读写是在学生认识了分数和一位小数的基础上安排的，学习了谭老师的设计，有以下几点借鉴之处：

例1从已有经验切入，先教学两位小数的读法，再感受两位小数的含义。呈现三种物品的单价，都是以“元”为单位的小数，其中0.3元在三年级(下册)教材中已经认识，0.05元和0.48元都是两位小数，它们的读法与意义都是新知识。谭老师在例题里设计了三项教学活动。

第一项是把0.3元、0.05元、0.48元这三个以元为单位的小数，用“角”或“分”作单位说出来。这是联系学生的已有经验，以旧引新，既消除对两位小数的陌生感，又为下面体会小数的意义埋下伏笔。

第二项活动是以0.05和0.48为例，教学两位小数的读法。在正文里写出“0.05读作零点零五，0.48读作零点四八”，让学生感受小数的 4 读法是从左往右依次读出各位上的数。要注意的是，关于小数的读法是陆续教学的，这里先读整数部分是0的两位小数，在后面的教学中还会继续读整数部分不是0的两位小数以及三位小数。

第三项活动是通过“1分是1元的1/100，可以写成0.01元;5分是1元的5/100，可以写成0.05元;4角8分是1元的48/100，可以写成0.48元”感受两位小数的含义，这是例题的教学重点，也是难点。

不足之处：

例2的教学稍稍有异于谭老师的教学设计，我打算把米尺贴在黑板上，让学生直观感受1米的长度，然后引导学生将它平均分成10份、100份、1000份，每份是1米的十分之一米、百分之一米、千分之一米，也可以用小数0.1米、0.01米、0.001米表示，接着由学生自己列举几个例子，说说它用分数、小数怎样表示。

在归纳小数意义时，渗透抽象化方法，在学生多层面、多角度丰富感知的基础上，再加以抽象去掉数量、单位名称，最后抽象出十分之几、百分之几、千分之几、„„可以写成一位小数、二位小数、三位小数„„，使学生顺利地从直观思维过渡到抽象思维。

借鉴之处：本课是学生在初步认识一位小数的基础上，继续认识小数的意义和读写方法，学生在相隔一年多之后再学小数，原来的知识可能遗忘，安排复习是必要的，而复习的内容紧扣一位小数的意义和读写，能够很好地发挥这些知识对后续学习的正迁移作用。潭老师在教学例题1时，没有完全按照书本教材中的例题，而是选择角和分做单位从学生已有经验切入，以旧引新，通过“说”激发学生已经积累的有关小数的知识经验，引起学生进一步探索的心理需求。虽然学生在现实生活中见到过一些两位小数，但并不了解这些小数的意义。要了解小数的意义，既 5 要结合一些具体数量之间的关系去感悟，又要进行抽象的数学思考。潭老师的教学设计比较突出，她是以复习为引线，得出两位小数的意义及读写方法，而且层次清晰，比较顺畅，在教学上先扶后放，扶中有放，放中有扶，逐步引领学生进行深入思考，从具体到抽象形成对小数意义的认识。

不足之处：在例2的教学中，潘老师的想法可能在教学过程中比较直观，便于学生的理解。我们在实际教学过程中可以这样：第一段继续教学两位小数，先是1厘米还可以写成0.01米，在直观的刻度尺图上，从米与厘米间的进率想到1米平均分成100份，每份是1厘米，从而理解1厘米是1/100米，1/100米还可以写成0.01米，突出这里的“1”必须写在小数点右边第二位上。然后要求学生把4厘米和9厘米分别先写成以“米”为单位的分数，再写成以“米”为单位的小数，从中体会不仅是“元”为单位的百分之几可以写成两位小数，其他百分之几的分数都可以写成两位小数。第二段教学三位小数，与前一段的教学相似，先示范了1毫米写成0.001米，并展开了改写时的思考：1米是1000毫米→1毫米是1/1000米→1/1000米写成0.001米。再要求学生把7毫米、15毫米分别写成以“米”为单位的分数和小数，感受三位小数的含义。首次教学三位小数，教材未出现读法，让学生把读两位小数的经验迁移到三位小数上，感受读小数的方法与要领。

第二课时 小数的计数单位和数位顺序

主备人：谭惠华

6 教学内容：第30--31页例

3、例4及相应的“试一试”和“练一练”，练习五6—10题。 教材简析：

整数和小数都使用十进制记数法。学生在四年级已经知道整数是十进制记数法，例3使学生知道小数也使用十进制记数法，明确十进制记数法的本质特征：“相邻两个单位间的进率是10”，然后学习小数部分的数位顺序和记数单位，整理出数位顺序表。 教学目标：

1、进一步理解、巩固小数的意义。

2、使学生认真掌握小数数位顺序表，知道数位、记数单位和相邻两个单位之间的关系。

3、培养学生知识过程的能力。

4、训练学生思维灵活性，培养学生热爱数学的品质。 教学重点：

数位顺序表、记数单位及之间关系。 教学难点： 记数单位的理解 教学准备： 教具：多媒体课件

学具：卡片0、0、

1、2和小数点?。

教学过程：

一、复习引入。

7 提问：小数分为哪几部分?整数部分从右边起第一位是什么位?第二位„„?记数单位是什么? 再括号里填上合适的数：

1厘米=( )米 1角=( )元 1厘米=( )分米 1分=( )角

二、教学例3： 出示例3

1、先告诉学生下面每个图形都表示整数“1”，学生说出每一条和每一小格分别表示多少.

2、学生涂色表示0.6和0.06

3、探讨1和0.1的关系吗?学生可能有两种方法：

(1)把1和0.1都看成相同单位的数量。如：1米和0.1米，0.1米是1分米，1米=10分米，也就是1米是个0.1米，或者说10个0.1米是1米。1元和0.1元、1分米和0.1分米等。 (2)从例3的图中直接发现

4、你能用类似的方法探索0.1和0.01有什么关系?0.01和0.001呢?

学生思考，然后在小组内交流，汇报交流结果。

5、小结：每相邻两个记数单位之间的关系都是10。整数部分的1和小数部分的0.1之间的进率也是10，同整数一样，小数的记数单位也按一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做小数的数位。

6、教学小数部分的数位顺序和记数单位，整理出数位顺序表。

教师：小数点右边第一位是十分位，记数单位是十分之一(0.1);

8 小数点右边第二位是百分位，记数单位是百分之一(0.01);

小数点右边第三位是千分位，记数单位是千分之一(0.001)。

„„

每相邻两个记数单位间的进率都是10。

7、提问：

(1)小数部分有一个数位，叫几位小数?(让学生举例)

(2)小数部分有4个数位，叫几位小数?(让学生举例) 小结：小数部分有几个数位，叫做几位小数。

三、教学例4 出示例4，

1、学生写出横线上的小数

2、同桌互相说说每一位上的数各是几，各表示什么

3、全班交流 小结：

一位小数的小数点右边有一位，这一位是十分位;十分位的记数单位是十分之一(0.1)，十分位上的数是几表示几个十分之一。两位小数的小数点右边有两位，右边第二位是百分位;百分位的记数单位是百分之一(0.01)，百分位上的数是几表示几个百分之一，„„

4、把书上的数位顺序表填写完整。 填完后交流。提问：

(1)顺序表里整数部分的数位从各位起往什么方向排列，小数部分呢?

9 (2)小数点左边第一位是什么，右边第一位呢? (3)百位和百分位分别是小数点哪边的第几位? (4)1个千是几个百?10个10是几个百? (5)0.1是几个0.01?10个0.001是几个0.01? (6)1里面有几个0.1，10个0.1是多少?

类似的问题多提问，加强学生对整数和小数数位顺序表以及记数单位之间关系的理解。

四、试一试和练一练。

这部分内容是为了巩固学生对于数位顺序和记数单位的知识的理解，从而进一步理解小数的意义。由于有了前面的铺垫，所以这两部分可以放手让学生独立完成后进行交流。

五、巩固练习：

1、练习五第6题。

学生独立完成后订正，并阐明自己的观点。

2、练习五第7题。

独立完成，订正时注意十二秒九一，联系上下文应该写作12.91秒，不要忘记写单位名称。

3、练习五第9题。

独立完成，指名板演。集体订正时，板演的同学阐明观点。

4、练习五第10题。

学生拿出准备的卡片，老师读要求，同学们在课桌上拼摆。

让摆的又快又对的同学说说自己的小窍门。

六、作业：补充习题

第三课时 小数的性质 主备人：谭惠华

教学内容：

第34-35页例5和例6及相应的“试一试”和“练一练”，练习六1---5题。 教材简析：

小数的性质是小数概念的重要内容之一。教学小数的性质，能使学生进一步理解小数的意义，又为教学小数四则计算作必要的知识准备。教材分两段教学小数的性质，第一段是理解性质的内容，第二段是应用性质改写小数。 教学目标：

1、通过教学、实践使学生自己发现并掌握小数的性质。

2、培养学生的抽象概括能力，动手能力。

3、培养学生善于探索的精神。 教学重点与难点：

发现小数的性质并对小数的性质作出抽象概括。 教学准备：

多媒体课件。 教学过程：

一、复习引入：

1、准备题(1)1元 =( )角=( )分 (2)在下面( )里填适当的小数。 3角 =( )元

11 30分=( )元 100毫米=( )米

(3)0.4里面有( )个0.1 0.40里面有( )个0.01

2、引入：今天继续研究小数。

二、体验发现，理解性质。

1、课件出示例5： (1)读题

(2)分组准备，讨论。

(3)说出结果。 0.3元=0.30元 (4)为什么?

学生阐明自己的观点。

A、0.3元和0.30元都是3角，所以0.3元=0.30元。 B、画图理解。

C、从小数的意义解释。0.3是3个0.1，也就是30个0.01，0.30也是30个0.01，所以0.3=0.30。

(5)这两个相等的小数，小数部分有什么不同?

提问：小数部分末尾的0添上或去掉，什么变了，什么没变? (小数的计算单位变了，小数的大小没有变)。

2、课本试一试：先看图填一填，再比较0.100米、0.10米和0.1米的大小。

(1) 学生自主填空。

(2) 交流自己的看法，并阐明观点。

12 (3) 汇报自己的结果。

由1分米=10厘米=100毫米，得到0.1=0.10=0.100。 (4)观察板书：

你得到什么结论?学生自由发言。

总结：小数的末尾填上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。这是小数的性质。

三、理解内涵，学会应用。

1、教学例6 学生自主填空。

提问：这些小数中，哪些0可以去掉?指名回答。 (着力于对小数“末尾”的理解。)

结论：根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。 学生尝试做“练一练”第1题。独立完成，集体订正。

2、试一试。

不改变数的大小，把下面各数改写成三位小数。 0.4=( ) 3.16=( ) 10=( ) 学生自主改写。

交流：(1)改写这三个数时应用了什么知识?

(2)为什么给三个数添上的“0”的个数不同?

(3)“10”是整数，怎样在小数的末尾添上“0”? 给学生充分的交流时间，进一步体验小数性质的应用。

3、练一练第2题。

13 学生自主比较，得到结果，并运用学过的小数的意义和性质进行阐明。

四、巩固练习 练习六的1—5题。

第1、2两题巩固并深化对小数性质的理解，突出去掉或添上“0”必须是小数末尾的0。

第3、

4、5题都是应用小数的性质改写小数，其中有去掉末尾“0”化简小数，也有在末尾添“0”增加小数部分的位数;有改写小数，还有改写商品的单价。

这些练习题使学生在应用中掌握小数的性质。

五、作业：补充习题

第四课时：比较小数的大小

主备人：谭惠华

教学内容：

第36页例7及相应的“试一试”和“练一练”，练习六的6-11题。 教材简析：

学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认识上作必要的调整。以前教学比较小数的大小，重点是比较的法则，教材里列出若干点方法与规则，要求学生理解和应用。本单元把比较小数的大小作为小数概念教学的一部分，比较时的思考是根据小数意义展开的，并通过比较大小进一步充实小数的概念。 教学目标：

14 1.使学生掌握比较小数大小的方法。

2.培养学生迁移类推的能力。

3.培养学生初步的数学意识和数学思想，使学生感悟到数学知识的内在联系。 教学重点：

使学生掌握比较小数大小的方法。 教学难点：

能熟练比较小数的大小 教学准备：

多媒体课件 教学过程：

一、设疑激趣：

1.演示动画“小数大小的比较”.

教师提问：三角尺和练习簿，那个贵一些?你是怎么想的?

小数如何比较大小呢?(板书课题) 2.大胆猜测：

举例说明整数是如何比较大小的?(当整数的位数相同的时候，从高位比起;位数不同的时候，位数越多，数越大) 3.比较下面整数的大小：

教师提问：根据你已有的知识经验，和你对小数的了解，能试着说一说小数怎样比大小吗?

二、尝试探索：

15 1.教师提问：根据你的猜测，用你的方法比较下面两组小数的大小，并说说你是怎样想的?

(1) 9.7元 和5.9元(2)6.79 米和6.85米

2.学生汇报：

(1)9.7元是9元7角，而5.9元是5元9角， 9元7角大于5元9角，所以9.7元 〉5.9元;

(2)6.79 米是6米7分米9厘米，而6.85米是6米8分米5厘米，

因为6米7分米9厘米<6米8分米5厘米，所以6.79米<6.85米. 3.教师提问：这两组小数是怎样比较它们的大小的?

(比较时是从整数部分开始比较，整数部分大，这个小数就大，整数部分相同，就比较十分位，十分位大，这个数就大.) 4.比较下面各小数的大小，你又有什么发现? 出示例7

你是怎样想的?在小组说说你自已的想法。

学生汇报：

(1)0.6元是6角，0.48元是4角8分，所以0.6>0.48。

(2)0.6是60个0.01，0.48时48个0.01，所以0.6>0.48。

5.教师归纳怎样比较小数的大小：

先看整数部分，整数部分大的数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的小数就大;十分位上的数相同的，再比较百分位上的数，以此类推.

16 6.教师：我们归纳出来的比较小数大小的方法与你最初的猜测相比，有什么不同?

三、试一试.

1、完成“试一试”的练习，在小组里说说比较小数大小的方法。

2.两个同学一组，一人任意说出两个小数，另一人比较小数的大小.要求小数的位数不超过四位.

四、巩固练习：

1、完成“练一练”的题目。

让学生填一填再说说比较的方法。

引导学生从联系具体数量多少了比较逐步过渡到直接观察小数有关数位上的数来进行比较。

2、练习六6——11

第6题 在书上独立填一填，说说思考过程。

第7题

先指导学生完成0.1和0.08，说说怎么找0.08的位置的。

其余让学生独立完成，集体交流。师将每个数的位置标出，让学生校对。

* 明确：一个数在直线上的点的位置越往右，这个数就越大，反之就越小。

第8题 直接填在书上，集体交流，说说怎么比的。

第9题 出示表格，让学生观察后回答问题，并鼓励学生大胆提出不同的问题。

第10题 出示题目，先让学生独立思考，再交流。

第11题

17 先让学生用

1、

2、3和小数点任意组成一些两位小数，再引导学生思考：用

1、

2、3和小数点一共可以组成多少个不同的两位小数?怎样排列才能做到不重复、不遗漏?

五、课堂小结：

通过这节课的学习，同学们已经掌握了小数的大小比较的方法，希望能用我们所学的知识去解决生活中的一些实际问题.

六、作业：补充习题

第五课时 用“万”或“亿”改写数

主备人：谭惠华

教学内容：第39页的例8和相应的“试一试”、“练一练”完成练习七1—3题 教学目标：

1、掌握把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的小数方法，能正确进行改写。

2、使学生经历用小数描述生活现象，解决简单实际问题的过程，真切感受小数与现实生活的密切联系。 教学重点：

把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的小数的方法 教学难点：

理解把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的小数的方法 教学准备：

小黑板

一、复习导入：

1、口答：

3840000=( )万 34900000000=( )亿 说说你是怎样想的?

2、解读“改写”，(板书：改写)举例我们学过的改写情况：

(1)把5.2改写成三位小数?(5.200)

(2)把4厘米改写成以米为单位的小数?(0.04米)

说说上面的改写有什么特点?(写法有不同，但大小是不变的。)

3、这节课我们继续学习“改写”。板书：改写

二、学习新知

1、提问：通过预习你知道要改写什么吗?(较大的数)

复习整数的数位顺序：

( 依次板书)„„亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个

亿级 万级 个级

2、教学例8

学生看书上的例8，在书上画好分级线，指名读出两个大数目。师板书：384400 149600000

(1)384400指名读、齐读后问：这个整数它没有小数点，其实是藏起来了，你知道藏在哪里了么?

结合数位顺序表指出：小数点就在个位的右下角，当没有小数部分的时候它就不用写出来。

明确要求：把它改写成用“万”作单位的数，是多少?

学生回答后板书成：38.44万。

说说怎么想的?为什么要这么想?

19 注意运用小数的性质，做好化简。

(2)149600000，指名读、齐读。

这个数更大了，现在请你把它改写成用“亿”作单位的数，

试一试。板书：1.496亿指名说说自己是怎么做的?为什么?

(3)比较、小结：观察黑板上的4个数，它们之间有什么联系?

(两个数之间大小不变，后面的数更简洁。)

3、小结：说说你在改写时有什么心得?

(1)改写成万的时候，小数点向左移动4位;改写成亿的时候，小数点向左移动8位。

(2)改写成的小数如果末尾是0的，要化简。

(3)最后不能漏写单位名称。

三、巩固练习：

1、试一试。读出数，并改写。指名交流

2、练一练。把横线上的数改写成用万作单位的数。

指名读，再改写。

交流。注意409千米在改写的时候，小数点向左移动4位，位数不够，要用“0”补足。

第2小题方法基本同上。

3、完成练习七第1~3题

(1)读出四个城市的人口数量，再改写。也可简单地让学生说说自己的感想。

(2)三种作物的总产量。先读，再改写交流。

20 (3)简单介绍地球上的五大洲四大洋。中国属于亚洲，是人口最多的一个洲。也可请学生简单说说自己所知道的国家属于哪个洲。读出各洲人数，依次改写。交流。总结说说改写成万和亿之间的联系。

四、课堂总结 学生质疑

五、布置作业 补充习题

第六课时 求小数的近似数

主备人：谭惠华

教学内容：第40—43页的例9和相应的“试一试”、“练一练” 教学目的：

1、使学生在现实的情景中，进一步理解小数的意义，会根据要求用“四舍五入”的方法求一个小数的近似数。

2、使学生经历从日常生活现象中提出问题并解决问题的过程，通过自主探索、合作交流等方式，积累数学活动的经验，发展数学思考的能力。 教学重点：会根据要求用“四舍五入”的方法求一个小数的近似数。 教学难点：体会小数近似数与日常生活的密切联系。 教具准备：多媒体课件辅助教学。 教学过程

一、复习

1、把下面各数改写成用“万”作单位的数。 98600 608700 54597200

2、把下面各数改写成用“亿”作单位的数

6130000000 2008000000 13030000000

21 指出在改写中主要的2个问题：(1)漏写单位名称;(2)改写好后，小数末尾的0要化简

3、指出：在生活中近似数的的应用非常广泛，也经常需要求一个数的近似数，今天我们就共同学习求一个小数的近似数。板书课题

二、 新课教学.

1、例8教学：

(1)教学例8第(1)题

通过讨论，使学生明确把1.496精确到十分位，就是要保留一位小数，而保留一位小数就要看这个小数百分位上的数，因为1.496百分位上是“9“，所以应该向十分位进1，结果是1.5 (2)教学例8第(2)题

可尝试让学生自己完成，然后提出：“近似数1.50末尾的“0”能去掉吗?为什么 ?”

再结合学生的讨论作必要的说明。

2、教学“试一试” 学生独立解决后组织交流

3、总结求一个小数近似数的方法， 要使学生明确：

先要弄清保留几位小数;根据要求确定看哪一位上的数;用“四舍五入”的方法求得结果。

4、补充：0.9946

分别请学生思考并回答：保留整数?一位小数?两位小数?三位小数?

注意进位问题

22 三.巩固练习

1、练一练：

第1题，把2.962精确到十分位时，要提醒学生不能去掉结果末尾的0。 第2题，(1)学生按要求做练习

(2)比较两个概念：改写、精确

你能说说它们的区别在那里?达成共识：改写时大小不改变，用“=”，精确时得到的是近似数，用“≈” ，另外，两者方法也不同。

2、指导完成第练习七第

4、5题

完成后交流。要注意学生把9.9674分别保留整数、一位小数、两位小数的结果，并根据情况适当指导。

3、指导完成第练习七第6题

师问：324000 ○ 32.4万怎样比较?说说你的想法?

4、指导完成第练习七第7题

四、全课小结

提问：这节课学习了什么内容?你今天有什么收获?还有什么疑问?你能说说怎样求一个数的近似数吗?

五、作业：补充习题

第七课时 整理与复习

(一)

主备人：谭惠华

教学内容：第44—45页“回顾与整理”及“练习与应用”第1—5题。 教学目标：通过回顾和整理，使学生进一步加深对小数意义和性质的理解，建立合理的认知结构，发展

数学思考和实践能力，培养学习的自信心，激发热爱数学的情 23 感。 教学过程：

一、 回顾与整理.

1、 师;这一单元，我们认识了小数，你能说说通过本单元的学习，你学习了哪些数学知识了吗?

在小组中说说，自已是怎样获得这些知识的? 教师指导学生回顾。

2、 出示三个讨论题，组织学生讨论。 (1)举例说说小数和分数的联系。

(2)小数的性质是什么?你能联系实际说一说吗? (3) 小数和整数有什么相同点?

根据学生回答，指导归纳：

二、 练习与应用

1、指导完成第1题。

(1)教师指出：下面每个大正方形都表示整数“1”。 (2)学生在书上完成， (3)交流：说说是怎样想的?

(4)比较：右边的小数和左边的小数有什么不同

2、指导完成第2题。

(1) 师问：每一大格平均分成了几份?每一大格是0.1，每一小格呢?第二个□在几和几之间呢?应该是多少

(2)学生独立完成

(3)学生读一读。

24

3、指导完成第3题。

师问：鸡蛋的重量在几和几之间?是几千克?

温度计显示的温度在多少度和多少度之间?是多少度? 学生在书上完成填写。

4、指导完成第4题。

读一读，说一说各是几位小数。

问：每个小数中的“5”分别表示多少呢? 它们表示的意义一样吗?这说明什么? (1)同桌两人先交流一下 (2)指名交流 教师小结

5、指导完成第5题

学生在书上独立填写并交流。

三、课堂总结：

同学们，这节课我们复习了什么内容?你能说说你进一步掌握了什么知识吗?

四、作业。 补充习题相关练习

第8课时 整理与复习

(二)

主备人：谭惠华

教学内容：第45页“联系与应用”第6—8题，开展“探索与实践”“评价与反思”活动，第9—13页

25 教学目标：

1、通过练习，使学生进一步掌握小数大小的比较方法及小数的改写，对所学知识加以梳理。

2、在探索和实践中，培养学生解决实际问题的能力和反思自已的学习过程，培养实事求是的态度，

树立学好数学的自信心。 教学过程：

一、练习与应用

1、先说说怎样比较小数的大小，再完成第6题。 完成后选择10.49○9.52 8.16○8.160 0.09○0.8说说比较的方法。

2、指导完成第7题。

师问：怎样找出最小数?怎样排列比较快?

指出：要看清是从小到大而不是从大到小。 0.056﹤0.065﹤0.506﹤0.56﹤0.6

3、指导完成第8题。

先读一读题中的数，在改写。

师问：怎样改写用“亿“作单位?如要改写用“万”作单位呢?

用“亿”作单位保留两位小数求近似数要看哪一位?

二、探索与实践。

1、指导完成第9题。

学生汇报测量结果。

师问：用什么工具?怎样测量自己身高的?结果是多少厘米?用 26 “米”作单位是多少?

立定跳远跳了几次?最高成绩是多少?怎样测量的?

2、指导完成第10题。 学生汇报

师：生活中你还了解到那些地方常常用到小数，说给大家听听。

3、学生汇报课前查找的11—13题的资料。

交流汇报，教师指导。

地球赤道的长度是40075.696千米。

第五次人口普查时，汉族人口有115940万人;少数人口有10643万人。

三、评价与反思。

1、读一读评价指标，说一说含义。

2、学生自我评价，教师适当鼓励。

四、作业：补充习题相关习题

1、小数的加、减法

(一)

主备人：罗斌

教学内容：第47—48页的例

1、“试一试”和“练一练”。练习八第1—3题。 教学目标:

1、通过“逛超市”，让学生发现生活中的数学问题，并以自己的亲身经历，寻求解决问题的办法和途径。

27

2、通过感受生活，让学生明确数学就在自己身边，培养学生学习数学的兴趣。

3、在解决问题的活动中，培养学生与他人合作的意识和能力。 教学重点、难点:

探求科学、合理的解决问题的方法。 教学准备: 多媒体课件 教学设计:

一、教学例1

1、创设情境：超市购物 出示几件物品的标价

钢笔、笔记本、讲义夹、记号笔、书包、铅笔盒、美工刀、„„„;

2、根据自己的需要挑其中两件商品然后想想自己要付多少元。 先列出算式。4.75+3.4=

你会用竖式计算吗?先把竖式写下来，列举部分同学的竖式 你们觉得计算时要注意些什么?(把学生的想法板演出来) 让学生试着计算一下

还是刚才的几位同学上去板演。 逐个点评，纠正计算中的一些问题。

3、小结加法的计算法则。

4、请大家试算 4.75-3.4=

5、通过刚才的计算，你知道了什么?

6、小结减法的计算法则。

二、教学“试一试”

28 总结：比较整数加减法与整数加减法的相同点和比整数加减法更需注意的地方：

都要数位对齐，都要从低位算起;

计算小数加减法需要把小数点对齐后再算，最后在得数里还要点上并对齐小数点。

三、巩固练习

1、完成”练一练”的第1题

让学生先说计算方法，需要注意些什么? 几位学生上去板演，集体订正。

2、完成”练一练”的第2题

先找出错在哪里，把错误的地方改正过来 你能把正确的结果算出来吗? 学生练习，集体订正。

3、完成练习八第1题

学生在书上完成，集体口答。

4、完成练习八的第2题

独立完成，教师指导。

5、完成练习八的第3题

学生独立完成(1)(2)(3)题，教师讲评。

四、全课小结

通过今天的学习，你知道什么?有哪些收获?你认为自己学得怎么样?

2、小数的加、减法

(二)

29

主备人：罗斌

教学内容：第48—49页的例2及相应的“试一试”、“练一练”，练习八第4—6题。 教学目标

1、使学生在练习的过程中进一步理解和掌握小数加减法的计算方法以及和整数加减法的关系，能熟练地进行计算;

2、进一步提高自己的计算能力;

3、在解决问题的活动中，培养学生与他人合作的意识和能力。 教学重点难点：计算方法的正确运用 教学准备：多媒体课件 教学过程：

一、 回忆复习

1、口算下列各题：

0.7+0.3 0.65-0.25 6+0.34 1.6-0.4 4.5+0.5 0.82-0.42 0.83-0.5 9.2-6 2+2.8 3.4-3.1 17.6+3.9 3.6+2.4 0.45+2.85 0.73-0.23 14-3.9

2、完成49页”“练一练””的第3题

让学生根据题中的信息说说能想到些什么，可以求哪些问题，再让学生根据问题合理选择信息并列式计算。

30

3、用竖式计算

7.5-3.18 0.51-0.37 4-0.82 5.26-4.75 13-3.9 8.04-7.4

每个同学选做两题，比速度更要比一比正确率，做得全对的同学予以鼓励。

二、新课教学：

1、例2教学 出示情境图

问：有哪些文具?每一种各是什么价格?

要求一本笔记本比一支水彩笔贵多少元?你会算吗?

学生尝试练习，独立计算，指名板演。

归纳小结：在计算一位数减两位数时，可以把被减数小数部分的末尾看作0在计算。

2、教学“试一试”

独立完成后，在小组交流。

3、完成“练一练”

1、

2、3题

分组练习，教师讲评。

三、基本练习

1、“小小诊所”：练习八的第4题 先找出错在哪里，把错误的地方改正过来 你能把正确的结果算出来吗? 学生练习，集体订正。

2、练习八的第5题。

31 师问：加法可以怎样验算，减法呢?

3、练习八的第6题。

让学生从问题出发去思考该用什么方法去做。

独立完成，说说计算中要注意什么?

四、课堂总结：

通过今天学习，你有什么收获?

你能说说一位小数减两位小数时，小数部分应怎样减呢?

如果被减数是整数，减数是小数，小数部分应怎样减呢?

把你知道的在小组说一说。

3、小数的加、减法练习

主备人：罗斌

教学内容：第51页练习八第7—10题。

教学目标：

1、使学生进一步掌握小数加、减法的计算方法，熟练、正确地进行小数加、减法的计算。

2、通过练习，进一步提高学生运用知识解决实际问题的能力。

教学过程：

一、口算练习。

完成练习八第7题，集体口答核对。

二、计算练习。

1、学生独立完成练习八第8题。

独立完成后讲评。

2、补充练习，算一算，比一比。

32 (1)582+437 5.82+4.37 58.2+4.37 (2) 4620-437 462-4.37 4.62-4.37

师问：在计算重要注意什么? 学生独立完成计算。

三、应用练习。

1、指导完成练习八第9题。

师：从图中你得到哪些信息?

在小组中说说书上的三个问题。

师：你还能提出什么问题?

你能看出这一天病人体温那段时间上升与下降最快?说明什么?

2、指导完成练习八第10题。

先说说每种生活用品得单价。

在独立解答(1)、(2)两个问题。

师：你还能提出什么问题?怎样解答呢?

3、完成思考题。

四、课堂总结。

4、加法运算律的推广

主备人：罗斌

教学内容：第52页例

3、“练一练”，练习九第1—5题。 教学目标：

1、使学生在解决现实问题的过程中，认识到整数加法的运算定律对于小数加法同样适用，能正确运用加法运算定律进行一些小数加法的简便运算

33

2、使学生在探索与交流的活动中，体会解决问题策略的多样性，增强优化意识;逐步形成积极的自我评价 我反思的意识，体验学习数学的成就感。 教学重点难点 知识的迁移 教学准备 多媒体课件 教学过程：

一、复习引入：

1、口算

用卡片出示练习九的第1题，指名口答。

2、出示例3中的四种文具。

如果让你任意购买其中的两种文具，你想买哪两种?你会计算出所需要的钱数吗?

二、新课教学

1、出示例3

这四种文具，小华各买了一件，他一共用了多少元?解答这个问题可以怎样列式?

根据学生的回答，教师板书：

2、引导学生探索算法

你会计算这道题吗?先算一算再把你的计算方法在小组内交流。 学生独立计算，注意选择学生采用的不同的方法，并指名板演。

3、比较：刚才同学们用不同的方法算出了小华一共用的钱数，请同学们比较这些算法，你认为哪种算法更简便些? 进一步追问用简便算法的学生：你这样算的依据是什么?

34

4、小结：

整数加法的运算定律，对于小数加法也同样适用。应用加法运算定律可以使一些小数加法的运算简便。这就是我们今天研究的内容。 我们以前学习过哪些加法的运算定律?

根据学生的回答板书：加法交换律：加法结合律： 这里的字母 a、b、c可以表示怎样的数?

指出:因为整数加法运算定律对于小数加法同样适用，所以这些字母公式里字母所表示的数的范围既包括整数，也包括小数。

三、巩固练习：

1、完成““练一练””的第

1、2两题

先让学生独立完成，再让学生说说怎样算简便、

2、完成练习九的第2题 学生练习

比较每组算式的计算过程和结果，你有什么发现?

指出：整数减法的一些规律小数减法里同样适用，也能使一些计算简便。

3、完成练习九的3～5题

先让学生独立完成，再交流第

4、5题的思考过程，说出每一步计算结果的实际意义。

四、总结

这节课你有哪些收获?对自己的学习表现怎样评价?

例3的教学还可以处理的细腻一些，比如：

二、学习新知：

1、课前板书：水彩笔8.9元，笔记本3.6元，钢笔6.4元，三角尺1.1元

35 问：现在我要每件商品买一份，需要准备多少钱? 指名列式：8.9+3.6+6.4+1.1

(可能会有学生列式的时候就考虑了简便的问题，指出：列式的时候，我们一般要按照题中的顺序，这样可以不遗漏不重复。) 观察这些加数有什么特点?你准备怎样算?

(由于学生的知识层次不尽相同，所以一些奥数队的学生都会考虑简便的问题。)

板书简便的过程：=(8.9+1.1)+(3.6+6.4) =10+10 =20(元)

问：为什么这里要用“( )”? 说说这样算的依据是什么?

复习加法运算律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c) 找找例题中哪里运用了加法交换律?那里运用了加法结合律? 指出：运用加法运算律，也可以使我们的小数加法变得更简便。

整数简便计算一般是要把加数凑成整百整千数，而小数加法一般只要凑成整数就可以了。

2、凑整练习：

板书3.3，问：你能说一个小数和它凑成整数吗? (2.7，0.7，8.7„„)

问：这些小数有什么共同的地方?说得完么?指出：我们只要看小数部分，和0.3凑成整数的是0.7。为了统一，我们就用整数部分是0的小数来继续凑整。 7.2，1.76，2.37，3.34，0.237，2.178

36 (老师依次板书上面的数，学生依次说出另一个小数，老师继续板书) 观察完整的板书问： 要凑整，你发现了什么?

(看位数，位数一样多的才能凑整;看末尾，末尾加起来是10，如果小数部分有多位的，最后一位加起来是10，前几位加起来是9。„„) 问：1.76和3.34，7.2和2.178能不能凑成整数?为什么?

5、用计算器计算

主备人：罗斌

教学内容：第53页例4和“试一试”、“练一练”及练习九第6—9题。 教学目标：

1、让学生简单了解数的产生过程，对人类发展进程中所出现的计算工具有一个初步的了解，简单了解一些计算工具计数的方法，接受数学事实的教育。

2、认识计算器面板上的按键名称和功能，学会用计算器进行整数、小数的四则运算，探索简单的规律。

3、通过对计算器的运用，体验它的有用性，培养学生的辨证思维能力。 教学重点难点：

认识计算器面板上的按键名称和功能，学会用计算器进行整数、小数的四则运算，探索一些简单的规律。 教学准备：自制课件 教学内容：

一、谈话导入，揭示课题

37 同学们，大家都去过家润多吧?它每天都有很多顾客，特别是到了节假日，那更是人山人海。当顾客推着满满一车物品去付款时，营业员总是能在很短的时间内告诉他应该付多少钱，为什么营业员会算得那么快呢，知道吗?

今天这节课我们就来一起学习用“计算器计算”。

二、学习用计算器计算

1、认识计算器

你知道在我们日常生活中还有哪些地方用到了计算器吗?

你了解计算器吗?今天假如你是一位计算器的推销员，你打算怎样向大家介绍你手中的这款计算器的构造?(同桌之间相互说一说后再全班交流)

让学生了解计算器的最常用的一些键，熟悉加减乘除等运算和运算顺序。

2、用计算器计算

大家已经认识了计算器，你会操作他吗?现在咱们就用计算器来算一些题目，请把计算器准备好。

3、教学例4

要求李芸一共用了多少元应怎样做，先把算式列出来。 你会在计算器上按出买铅笔的钱数吗?同桌交流按键的方法。 你会用计算器算出结果吗?核对结果。 同桌之间说说是怎样用计算器计算的。

4、完成“试一试” 你怎样求应找回多少元?

可不可以把刚才的计算结果用起来?

38 试着求出结果。

用计算器计算方便了我们的计算，当然也方便我们检验了，你会检验吗?怎样判断你的计算是正确的呢?

5、巩固练习

通过计算，我们发现，用计算器计算时只要从左往右依次按键就可以了。现在我们要来比一比谁算的最快，请准备好。 完成“练一练”的第

1、2题

提醒学生看清数目和运算符号，认真按键进行计算，对正确率较高的同学给予鼓励。

6、完成练习九的第

6、8题

先示范计算出“小明开学缴费”后的余额，使学生明确计算每次收支后余额的方法。再让学生分别算出其余各栏的余额。

合计支出数怎样算，合计结余数呢?最终余额是多少?与刚才的计算结果一样吗?

三、用计算器探索规律

1、我们已经能用计算器进行计算了，那么计算器还有没有其他的作用呢，下面我们就来一起探索。

学生用计算器计算在计算器位数不够的情况下学生小组讨论发现计算的规律，再集体交流。

2、自主探索：

指导完成练习九第9题

我们来一次比赛，分两组：一组用计算器，一组用笔算，愿意用计算器的请举手。

39

四、课堂总结：

今天这节课我们学习了用计算器计算，你有什么体会?你觉得今天的学习对你有用吗，能不能说说?

五、布置作业： 完成练习九的第7题

6、整理与练习

(一)

主备人：罗斌

教学内容：第56页“回顾与整理”及“练习与应用”1—4题。 教学目标：

1、使学生进一步理解和掌握小数加减法的计算方法，进一步沟通小数加减法的计算方法与整数加减法的联系，建立合理的认知结构;

2、提高计算能力，发展数学思考，进一步激发学生的学习兴趣。 教学重点难点：

重点：沟通小数加减法的计算方法与整数加减法的联系 难点：建立合理的认知结构 教学内容：

一、回顾与整理

1、说说本单元我们共同研究了哪些内容。

通过学习有哪些收获与感受?

2、怎样计算小数加减法?

用竖式计算时，为什么要把小数点对齐?

小数加减法与整数加减法有哪些相同点?

比整数加减法有哪些注意的地方?

40

3、整数加减法的运算定律对于小数加减法也同样适用吗?

二、练习与应用

1、完成练习与应用的第1题：

口算时也要让学生说一说部分题的注意点和计算方法，特别是进位加与退位减，以及被减数的数位不够的情况与结果末尾是0的情况。让学生在解决问题的过程中更形象的复习了小数加减法的计算方法。

2、完成练习与应用的第2题：

由于题目较多，可让学生任意选择其中的一些，然后集体订正，学生也要说出列竖式的注意点，并列举计算中一些典型的错误，让学生在改错中更深刻的体会计算的方法。

3、完成练习与应用的第3题：

提醒学生认真分析每道题目的数据特征，并合理地选择相应的运算定律进行简便计算，把整数的运算定律通过合理的迁移，最终能熟练地应用在小数加减法，培养学生思维的灵活性。

4、完成练习与应用的第4题： 结合示意图理解题意：

竹竿的高度分成几个部分的和? 现在已知几个部分?

第三部分的高度就是什么的高度? 怎样求池水的深度?

用什么方法?列出算式并解答。 集体订正

5、完成练习与应用的思考题：

41 先介绍自由落体运动的有关知识和基本规律;

引导学生利用列表的策略进行解答。

集体订正。

三、全课小结

这节课你收获了什么?增长了哪些知识?

指出：这些知识就是小数加减法的运用啊，小数加减法的运用还远远不止这些呢，你还能在我们的身边找到小数加减法的运用吗?课后去找，比一比谁找得最多。

让学生分组讨论，并在全班进行交流。

四、课堂总结。

7、整理与练习

(二)

主备人：罗斌

教学内容：第57页“练习与应用”第

5、6题，58页“探索与实践”、“评价与反思”。 教学目标：

1、通过对家庭生活中日常支出项目的调查和了解，使学生感受数学和生活的密切联系;

让学生通过计算有关项目的合计数，使学生进一步体会本单元所学知识的应用价值，并产生热爱生活的积极情感;

2、通过此次教学，使学生能积极关注家庭收入情况，体贴父母工作的艰辛，培养学生勤俭节约的精神。

教学重点难点：支出和收入在计算时采取的方法

42 教学准备：让学生提前收集：上月的电话缴费单，水电燃气三个月的缴费数据 教学过程：

一、练习与应用。

1、完成练习与应用的第5题：

先简要介绍钙在人的生长发育过程中的作用，

再让学生看着统计表说说各种食品每1000克中的钙含量，帮助学生理解题意;

分别解答相关的问题，并提出问题。

2、完成练习与应用的第6题：

教师首先讲解，让学生弄清当日水位、警戒水位的含义以及水位上升下降的表示方法;其中 “水位变化”栏中的数字是与前一天比较的差值。

引导学生综合运用有关正负数和小数加减法的知识解决简单的实际问题，在这里，比前一天多就是正数，比前一天少则是负数。

二、探索与实践

1、完成练习与应用的第

7、8题

拿出你家上个月的电话缴费单，看看每个月的电话费包含哪几个部分。 小组交流，分组汇报;

上月余额、本月消费、本月余额之间有什么样的关联，你能写出他们之间的数量关系式吗?

本月消费有很多，你怎样算本月消费的合计数。 计算一下是不是存在这样的关系呢?

43 上月余额—本月消费=本月余额

小组交流一下谁家的电话费最多，各自的余额又是多少呢?

××的爸爸中途又充了100元话费，那么又有什么样的数量关系呢，我们一起来帮他算算。

把你收集到的你家近三个月的水电气消费的数据填在书上，然后自己算一下合计数，看看谁家的哪项费用最少? 通过这次的记帐你有什么样的体会?

2、完成练习与应用的第9题 统计一下自己家上周的收入、支出和结余情况 你的收入是从哪儿来? 你的支出合理吗?必要吗?

你结余多少?你准备怎样处置你结余的钱? 我们应当如何合理安排收入与支出?

三、评价与反思

1、围绕书上的三个方面的指标回忆相关的学习过程，举例说说自己在学习本单元中学得好的地方和学得不理想的地方，然后在小组内向组长汇报，自己给自己评几颗星。

2、古人云：“一屋不扫，何以扫天下?”一个连自己小家都管理不好的人，更谈不上管理好国家这个“大家”。具备了治理小家庭的能力，才能管理好国家这个“大家”，小家治好了，才能治理好国家。同学们，今天，我们通过整理家庭收入与支出情况，已具备了初步料理家务的能力，掌握了一定的理财技巧，相信经过一定时间的努力，我们也一定能治理好国家，为国家作出更大的贡献。同学们，让我们共同努力吧!

44

四、总结与教育

回去收集你家一周内生活费用的支出情况，并用计算器算出合计数。并对家庭支出的各种数据作出相应的判断，给父母提出一些合理的建议，初步学会理财。

找规律

(一)

教学内容：教科书第59～60页例1及相应的“试一试”、“练一练”、练习十第1题。 教材分析：

“找规律”这一单元主要研究常见的、有固定周期规律的现象，引导学生经历发现具体现象里的周期规律、对现象的后续发展情况作出判断、解决简单的实际问题等教学活动，发展数感和符号感，获得应用技能，激发学习兴趣，培养探索精神。例1是本单元的起始课，主要让学生感悟生活中的周期现象，并能根据所发现的规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形，帮助学生通过眼前预料以后，通过部分把握整体，通过有限想象无限，在研究周期问题的过程中体会它的确定性，从而发现规律，应用规律。 教学目标：

1、结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。

2、主动经历探索发现、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。

3、在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得运用所学知识解决问题的成功体验，建立自信心。

45 教学重点：探索并发现简单周期现象中的排列规律(找规律)，选择合适的策略解决这类问题。

教学难点：确定几个物体为一组，如何根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。

教具准备：一幅棋子、投影仪、课件。 学具准备：每组准备一幅棋子。 教学过程：

一、游戏激趣，导入新课

1、师：我们先来玩一个猜数游戏，好吗?规则：男生快速记忆黄色卡片上的数，女生快速记忆红色卡片上的数，比比谁的记忆力更强! (出示两张卡片：162536496481，123412341234) 师：时间到。谁能复述刚才所看卡片上的数字? (男、女生分别汇报。)

师：好，我宣布女生获胜!(观察男生表情) 师：男生有什么意见吗?

生：不公平，女生记的数字有规律，只要记住1234，然后重复3次就行了。 师：你们也这样认为吗?其实，这是一次不公平的比赛，女生之所以获胜，是因为她们记的数字有规律，记起来非常容易。像这样有规律的现象在我们身边还有很多。

2、(在投影仪上出示一些围棋子)

师：我们再来做一个摆棋子的游戏，老师这里有一些围棋子。师在投影仪上摆棋子：○●○●○●○●)

师：接下来，怎么摆呢?(让学生上台摆棋子)

师：他摆得对吗?你为什么这样摆?这里把几个棋子看成1组?(2个棋子1组)

46 师：我们再换一种摆法。(师再在投影仪上摆棋子：○●●○●●) 师：现在又该怎么摆呢?(让学生上台摆棋子，并要求学生说出原因。) 师：她摆对了吗?这时又把几个棋子看成1组?(3个棋子1组)

3、大家说得很好!下面，请同桌两人1人摆棋子，另1人按照一定的规律接下去摆一摆，现在开始!

(学生摆棋子。)上课铃声响起

4、师：同学们，生活中按规律排列的现象无处不在，里面还包含着许多有趣的数学问题。今天这节课，我们就来找一找其中的规律。(出示课题：找规律)

二、观察场景，寻找规律

1、(出示课件)师：今年是祖国60岁的生日，让我们一起去公园看看吧。大家瞧，公园里彩旗招展，花团锦簇，一排五颜六色的灯笼更为节日增添了不少喜庆的气氛。 师：看看这些鲜花、彩灯、彩旗排列有什么特点，仔细观察一下，然后说给同桌听听。

2、师：哪位同学来指着图说一说你发现了怎样的排列规律?

(全班交流：鲜花2个1组，彩灯3个1组，彩旗4个1组。)(课件闪烁) 师：通过观察，我们发现这三种物体的排列都有规律，它们都是一组一组重复出现，并且每组都按一定的顺序排列。

三、自主探究，探索策略

1、师：我们先来看看美丽的鲜花吧。(出示题目)照这样摆下去，左起第15盆花是什么颜色?大家猜猜看。(学生动脑各自猜测。)

2、学生猜测汇报。

3、师：你们的猜想对不对呢?我们得想办法来——验证。下面以小组为单位，想一想、画一画、算一算，验证一下自己的猜测是否正确，比一比哪一个小组的方法多?

47 (学生分小组验证自己的猜想。教师注意每一小组交流的情况，引导学生采取不同的策略，帮助有困难的学生。)

4、交流验证的方法。

师：哪一个小组上台来说说你们是怎样验证的? [学生小组可能提出如下想法 (1)画图

○●○●○●○●○●○●○●○ ○表示蓝花 ●表示红花 第15盆是蓝花 (2)列举

可让学生结合图说明：左起，第

1、

3、5„„盆都是蓝花，第

2、

4、6„„盆都是红花，也就是单数是蓝花，双数是红花。第15盆是单数，所以是蓝花。 (3)计算

15÷2=7(组)„„1(盆)——蓝花] (多鼓励学生!)

师结合算式追问：在这个算式中“15”是什么意思?“2”什么意思?(把2盆花看成1组)“7”呢?(有这样的规律排列的7组)余下的1盆花是第几盆花?(第15盆)为什么根据余数1就可以确定第15盆花是蓝花?(因为第15盆花就是下一组的第一个花，它的的颜色和每组的第1盆花的颜色相同。)

(可让学生结合屏幕上的盆花图解释，也可以结合前面学生画的图解释：(画圈分组)(多指名学生回答，让学生明晰如何根据余数来判断这盆花的颜色。) ○●○●○●○●○●○●○●○

48 师小结：我们可以把2盆花看做1组，正好有这样的7组，还余1盆。这个余数1就是下一组的第一盆，从而判断出这盆花的颜色和每组中第1盆花的颜色相同，就是蓝色。

四、独立尝试，优化策略

1、解决彩灯问题和彩旗问题

师：刚才同学们用画图、列举、计算三种方法解决了盆花问题，下面我们再来看看彩灯和彩旗吧。照这样的规律排列下去，你们能提出哪些问题呢? (学生提问，各板书2个问题。)

师：下面就请你们每组4人各选择1个问题，用自己喜欢的方法解答在练习本上，解答完后小组交流。

(学生练习，教师巡视，引导帮助，分别选择4名学生上台板演解题过程。) (集体评讲，着重让学生说出解题思路，教师点评。)

2、对列式计算的方法进行总结。

(1)师：根据刚才找出的规律，怎样用计算的方法来解决这类问题呢?小组讨论一下。(学生交流汇报。)

(2) 师：根据刚才同学的回答。老师概括了这样几点，我们一起来读一读：①看清事物排列的规律，弄清几个物体是一组，从而确定除数。②再列式计算。③然后看余数，余数是几，这个物体的颜色就和每组中的第几个颜色相同，依此类推。没有余数，这个物体的颜色就和每组中最后一个的颜色相同。

五、巩固练习，加深理解

1、完成“练一练”第2题

(1)师：还想跟着老师到公园的其他地方玩一玩吗?(出示挂图)

49 师：手工坊里一位女同学正在跟着阿姨学编手链呢。她正在按绿、黄、蓝、红的顺序穿一串珠。你能帮她算一算第18颗珠子是什么颜色吗?第24颗呢? (学生独立列式解答。教师巡视，了解学生的解答情况。) (2)集体订正，指名说说解法。

2、完成“练一练”第3题

(1)师：画苑里也有同学在画画呢!把书本打开到第60页，练一练第3题。你能按照规律在括号里画出每组的第32个图形吗?(学生尝试解答，教师巡视。) (2)集体订正

师：谁来说说你是怎么想的?又是怎么画的? (学生汇报。)

(3)组织比较：观察一下这3个小题中图形排列的规律有什么不同?(每组的数量不同，第1题是3个一组，第2题是4个一组，第3题是5个一组。)

师：对了，因为每组的数量不同，所以我们的除数就不同，第一个是除以3，第二个是除以4，第三个是除以5.

3、完成练习十第1题

(1)师：过节除了要张灯结彩，还有一个传统活动——猜灯谜。今天老师带来了一条谜语，猜出来的同学请迅速举手告诉大家。

(出示：外国没有中国有，全国只有十二个。公民人人有一个，一家能有三四个。)

找规律

(二)

教学内容：P61页例2和相应的“试一试”“练一练”，练习十第2——4题。 教学目标：

1、使学生结合具体情境，能正确计算按周期规律排列的某类物体或图形共有多少个。

2、使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会计算方法解决问题的最优策略。

50

第三篇：五上数学教学反思

江都市塘头小学 刘向华

《认识负数》教学反思

《生活中的负数》是小学数学苏教版第九册的教学内容，目的是让学生了解负数产生的背景，初步认识生活中的负数，感知负数在生活中的广泛应用，并让学生借助数轴，学会比较负数的大小。负数在生活中比较常见，但这个概念对学生来说是陌生的，有的学生虽然对负数有一点儿了解，但印象是模糊的，因此我在教学时紧密联系生活，把生活中的负数引入课堂，使学生既感到熟悉，又感到亲切。

一、从生活实际出发，引出课题。

二、交流信息，使学生感到负数在生活中的广泛应用在学生已经认识负数之后，利用温度计，使学生进一步理解0与正负数之间的关系，紧接着我列举了生活中的一些实例：坐电梯到地下的楼层应按哪个数字键?家里的收支情况如何记录?反映出什么问题?海平面是怎么回事?高山和地面的高度如何测量?从存折中可以看出那些内容?数轴是怎么回事?这部分内容的安排通过借助生活实例让学生对负数有了更深一层的了解，并在解决这些问题的同时，使学生感知负数在生活中的广泛应用，为学生解决生活中的问题奠定了基础。但是在处理数轴，找规律这一环节，教师处理不到位，应该分两部分走：(1)以0位分界，观察数轴两边数的变化(右

大，左

小)(2)从整个数轴来看，数字的变化规律(右

大)。

三、利用负数的知识，解决生活中的实际问题为拓展学生的思维，在学生进一步了解负数之后，我又提出了如何表示相

熟悉的天气预报声音响起，学生仿佛回到了家中，记录城市的天气情况，学生感到新鲜，随着不同城市气温的变化，负数也逐渐出现，自然而然引入到课堂，使学习的难度降低，而学生的问题也随之浮出水面：零下的温度如何记录?我根据学生的反馈，及时讲解，学生有种豁然贯通的感觉，写法、读法的问题也迎刃而解。

反方向路程的问题，让学生通过观看生动形象的动画，使问题得到了解决。接着我又创设情景说明和此例类似的事情也可以用这种方法记录。并给出了中超联赛的积分表，供学生练习，学生从表中看出的问题非常多，教学效果明显。

《三角形的面积》教学反思

本节课是在学生已掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算的基础上进行教学的。教学这部分内容对于培养学生识别图形，解决日常生活中的简单实际问题，发展学生空间观念和初步的逻辑思维能力都有重要意义，也是进一步学习几何知识的基础。 在教学中我力求突破传统教学的模式，充分体现以“学生发展为本”的教学理念，在获取新知的过程中大胆放手，引导学生自主探索，培养学生的创新意识和实践能力。通过创设情境，激发学生探索的欲望。数方格的方法是求三角形面积的一种方法，但不是最普通适用的方法，为了引起学生对探索三角形面积产生强烈的欲望，在学生用数方格的方法求平行四边形、三角形面积的基础上，我有意出示一块很大很大的草地，问学生还能用数方格的方法求它的面积吗?从而激发学生初步探究。引导学生结合复习环节中的平行四边形面积的推导过程，想到把三角形转变成已学过图形的面积进行计算。组织学生在操作中探索三角形面积的计算方法。课前我请学生准备了一些三角形，课中让学生自由选择一种三角形(锐角，直角，钝角三角形)，用剪一剪，拼一拼，摆一摆，移一移等方法进行操作、探索，在学生展示出各种转化图形后，引导学生主动探索、观察、发现、讨论、交流研究图形与已学图形之间的内在联系，大胆推导三角形的面积计算公式，培养了学生的自主创新精神。经历探索之后的获得的成功，是另人快乐的，学生对数学的感受是美好的，这正是我们教师的期待，放手让学生去做、去发现、去探索，让学生体会到成功的快乐。

《梯形的面积》教学反思

新的数学课程标准指出：教师不只做教材忠实的实施者，而应该做教材的开发者和建设者，教材的教育价值和智力价值能否得到充分发挥，关键在与教师对教材的把握。《梯形的面积》一课，是在学生掌握了平行四边形和三角形面积计算的基础上进行教学的。学生已掌握了一定的学习方法，形成了一定的推理能力。为了充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他们成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力。

一、动手操作，培养探索能力

在推导梯形面积计算公式时，安排学生合作学习，放手让学生自己利用前面的学习经验，动手把梯形转化成已经学过的图形，并让学生通过找图形之间的联系，自主从不同的途径探索出梯形的面积计算方法。首先让学生说说可以把梯形转化成已经学过的什么图形?用两个完全一样的梯形拼一拼，看一看能拼成什么图形，然后学生思考讨论：想想转化的图形与原梯形有什么关系?通过学生自主探索实践活动，学生亲自参与了面积公式的推导过程，真正做到“知其然，必知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高。让学生主动操作、讨论，在充分感知、理解的基础上总结出梯形面积的计算方法，达成了教学目的。

二、发散验证 培养解决问题的能力

在学生验证自己的想法是否正确时，鼓励学生大胆地表达自己的想法，以说促思，开启学生思维的“闸门”，引导学生说一说，议一议，互相交流，达成共识。在此基础上让学生归纳出梯形面积的计算方法。通过“拼、剪、说”的活动过程，让学生在活动中发散，在活动中发展，学得主动、扎实，更重要的是培养了学生求异思维、创造能力和解决实际问题的能力。在本课教学中，我比较注重培养学生的推理、操作探究及自主学习的能力。学生在拼一拼、剪一剪以及推理归纳的学习过程中，多种感观参与学习，既理解、掌握了梯形的有关知识，同时又培养了学生获取知识的能力。

《小数的意义和读写》教学反思

《小数的意义和读写》是五年级上册数学教材第3单元的内容。这课时，安排了2个例题，例1先让学生用“角”和“分”作单位说出小数表示的物价，然后教学两位小数的读法，进而分析0.3元，0.05元，0.48元所表示的意义。例2则借助米，厘米，毫米之间的关系，引导学生认识到以“元”作单位的两位小数，三位小数的意义。

尽管例2仅仅出现了2位小数、3位小数，但在实际教学中，我把一位小数也安排进去了。先出现把1米平均分成10份，提问1分米，3分米写成用“米”作单位的分数和小数各是多少?;其次出示把1米平均分成100份，提问1厘米，4厘米，9厘米写成用“米”作单位的分数和小数各是多少?;最后出示把1米平均分成1000份，提问1毫米，7毫米，15毫米写成用“米”作单位的分数和小数各是多少?这样的安排，一来，将知识表述得更完整，为概括小数的意义作好铺垫;二来，发挥原有知识的正迁移作用，利用新旧知识间的联系，使学生更轻松掌握新的知识。同时也有利于学生知识的系统化。

《小数的数位顺序和计数单位》教学反思

在小学阶段，数位顺序表对于小学生正确认识整数和小数的数位、计数单位，以及整数和小数之间的联系、数的构成等方面知识至关重要。例如整数中的读写就需要依据数位顺序表对大数先进行分级，以确保大数读写的准确无误;再如，在大数改写成“万”或“亿”作单位的小数时，也需要首先依据数位顺序表正确地分级，以便确定改写时小数点的位置;还有计数单位之间的进率，尤其是小数计数单位之间的进率，学生常常觉得有问题。如1)12.046是由()个十，()个一，()个百分之一，()个千分之一组成的;由3个万、5个百8个前分之一组成的数是()等，都可以引导学生从数位顺序表来理解这些数的构成，从而帮助学生对整数和小数的认识更加“有序”、“有理”。

第四篇：初一上册数学期末试题试卷及答案

进入到初一，刚开始要如何去学好数学这门功课呢?平时要怎样做练习呢?以下是小编为大家搜集整理提供到的初一上册数学期末试题试卷及答案，希望对您有所帮助。欢迎阅读参考学习!

一.填空题(每空2分，共24分)

1.我市某天最高气温是9°，最低气温是零下2°C，那么当天的最大温差是C.2.若a、b互为相反数，且都不为零，则a的值为 . b

3.写出一个系数为负数，含字母x.y的五次单项式，这个单项式可以为 .4.如果3718，则的补角的度数为.

5.若4x4yn1与5xmy2的和仍为单项式，则mn

6.如图，若∠AOC = 90°， ∠AOB=∠COD，则∠BOD的度数为_________.

7.已知有理数a在数轴上的位置如图:则aa (第6题) (第11题)

8.小明的家在车站O的东偏北18°方向300米A处，学校B在车站O的南偏西10°方向200米处，小明上学经车站所走的角∠AOB=.

9.已知点B在线段AC上,AB=6cm,BC=12cm , P、Q分别是AB、AC中点,则PQ

10.当x=_________时，代数式x-1与2x+10的值互为相反数.11.如图，ABCD于点B,BE是ABD的平分线，则CBE °.

12.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要19 s的时间.隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是9 s.则火车的长度是 m.

二.选择题(每小题3分，共18分. 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内)

13.-2012的倒数是( )A.11 B. C.2012 D.2012 2012201

214.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，用科学计数法表示为( )

A.95010 km B.9510 km C.9.510 km D.0.9510 km

15.如下图是一块带有圆形空洞和正方形空洞(圆面直径与正方形边长相等)的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的可能是 ( ) 1011121

3A B C D 第15题

16.下列关系一定成立的是()

A.若ab，则ab B.若ab，则ab C.若ab，则ab D.若ab，则ab

17.某项工作,甲单独做4天完成,乙单独做6天完成.若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作.若设甲一共做了x天,则所列方程为 ( )

x1xxx

11 B.1 4646xx1x1x1

1 D.1 C.46446

A.

18.下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点;②在线段AM的延长线上取一点B，如果AB=2AM，那么M是AB的中点;③因为M是AB的中点，所以AM=MB=所以M是AB中点，其中正确的是( )

A. ②③④ B. ④ 三.解答题(共58分)

19.计算(每小题5分，共10分)

(1)48()(48)(8) (2)(35)(2)25(2)

320.解下列方程：(每小题5分，共10分)

(1)25x(x5)29 (2)

21.(6分)随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭.小明家中买了一辆小轿车，他连续记

录了7天中每天行驶的路程(如下表)，以50km为标准，多于50km的记为“”，不足50km的记为“”，刚好

AB;④因为A、M、B在同一条直线上，且AM=BM，

2D. ③④

C.①③④

2

33x+13x2

2 210

(1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米?

(2)若每行驶100km需用汽油6升，汽油价7.22元/升，请估计小明家一个月(按30天计)的汽油费用是多少元?

22.(7分)已知：A5a3，B3a2ab，Ca6ab2，求a1,b2时，A2BC的值.23.(7分)请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

①11;②132;③1353;… ⑴分别写出④.⑤相应的等式;

⑵通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式.

24.(9分)如图所示，∠AOB是平角，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线. (1)已知∠AOC=30°，∠BOD=60°，求∠MON的度数;

(2)如果只已知“∠COD=90°”，你能求出∠MON的度数吗?如果能，请求出;如果不能，请说明理由.25.(9分)某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示.

(1)(2)若A型台灯按标价的9折出售，

B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元?

初一上册数学期末试题参考答案

14242 5.一.1.11 2.-1 3.3x2y3(答案不唯一) 4.5 6.90° 7.0 8.118° 9.6cm 10.-

311.135° 12.270二.13.B 14.C 15.B 16.D 17.C 18.A三.19.(1) 解：原式=(32)6=-38 (2)解：原式=(2)45(8)=2208=14 20.(1)解： x1(2)x=

13

21.解：(1)方法一：总路程为：(50-8)+(50-11)+(50-14)+50+1

2(50-16)+(50+41)+(50+8)=350km平均每天路程为：350÷7=50 km 方法二：平均每天路程为：50+

81114016418

=50 千米

75030

67.22649.8元 100

(2)估计小明家一个月的汽油费用是

2222222222

22ABC(5a3)2(3a2ab)(a6ab2) 5a36a4aba6ab2

(5a26a2a2)(4a2b6a2b)(32)

10a2b110(1)2212

110a2b1

当

a1,b2

时，

23.解：⑴ ④：13574;⑤135795⑵ 1357(2n1)n 24.解：(1)因为∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60° 所以∠COD=∠A0B-∠AOC-∠BOD=180°-30°-60°=90° 因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线. 所以∠MOC=

22

21

1∠AOC=15°，∠NOD=∠BOD=30° 22

所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD= 15°+90°+30°=135°

(2)能.因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线. 所以∠MOC+∠NOD =

1111

∠AOC+∠BOD=(∠AOC+∠BOD)=(180°-90°)=45° 2222

所以∠MON=∠MOC +∠NOD+∠COD =90°+45°=135°

25.解：(1)设购进A型节能台灯x盏，则购进B型节能台灯(50-x)盏，根据题意列方程得：

40x65(50x)2500 解之得：x30

503020(盏)

答：购进A.B两种新型节能台灯分别为30盏.20盏. (2)(30600.9201000.8)2500720(元) 答：这批台灯全部售出后，商场共获利720元.

第五篇：五年级上册数学竞赛试卷及答案

八小五年级数学竞赛试卷及答案 班级： 姓名：

一、填空 (共28分，每空2分)

1. 两个数的和是61.6，其中一个数的小数点向右移动一位，就与另一个数相同。两个数分别是( )、( )。

2. 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需要3分钟，全部锯完需要( )分钟。

3. 笑笑同学的家住在5楼，每层楼梯有16级，她从1楼走到5楼，共要走(

)级楼梯。

4. 把一张边长24厘米的正方形纸对折4次后得到一个小正方形，这个小正方形的面积是(

)平方厘米。

5. 李师傅3小时生产96个零件，照这样计算生产288个零件要(

)小时。

6. 一个长方形的长为9厘米，把它的长的一边减少3厘米，另一边不变，面积就减少9平方厘米，这时变成的梯形面积是( )平方厘米。 7. 小明和小英两人同时从甲、乙两地相向而行，小明每分钟行a米，小英每分钟行b米，行了4分钟两人相遇。甲、乙两地的路程是( )米。

8.哥哥7年前的年龄和妹妹5年后的年龄相等，当哥哥(

)岁时，

正好是妹妹年龄的3倍。

9.按规律在括号里填数。

(1)

1、

3、

7、

15、

31、(

)、(

)。

(2)

2、

8、

5、20、

7、

28、

11、

44、(

)、12。

(3)1，1，2，3，5，8，( )，21。

10. 五(1)班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人;如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有( )名同学。

二、判断 (正确的在括号里画“√”，错误的画“×”。共15分，每小题3分)

11. 用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米。( ) 12. 用三个长3厘米、宽2厘米，高1厘米的长方体，拼成一个大长方体，有3种拼法。 ( )

13. 把一批圆木自上而下按

1、

2、3„„

14、15根放在一起，这批圆木共有240

根。 ( ) 14. 在a÷b=5……3中，把a、b同时扩大3倍，商是5，余数是3。(

) 15.

右图中长方形的面积与

( )阴影部分的面积相等。

三、选择 (把正确答案的序号填在括号里。共12分，每小题3分)

16. “IMO”是国际数学奥林匹克竞赛的缩写，如果要把这三个字母写成三种不同的颜色，现有五种不同的颜色，按上述要求可以写出( )种不同颜色搭配的“IMO”。

A . 15 B. 20 C. 45 D. 60、 17. 五(2)班有56个学生，在一次测验中，答对第一题的34人，答对第二题的29人，两题都答对的15人。那么，两题都不对的有( )人。

A. 7 B. 8 C.12 D. 20

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 19. 小刘、小张和小徐在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士。现在只知道：(1)小徐比战士年龄大; (2)小刘和农民不同岁; (3)农民比小张年龄小; 那么,( )工人。 A. 小刘 B. 小张 C. 小徐 D. 说不准

四、简算与计算 (要写出简算过程，共15分，每小题5分)

20. 3600000÷125÷32÷25

21. 1.25×3.28+12.5×0.241+125×0.0431

22. 999×27-333×51+666×35

六、解决问题 (共30分，每小题6分)

23、合唱队中女生比男生多25人，如果再调走5名男生，那么女生人数正好是男生的4倍，合唱队中女生有多少人?

24、甲、乙、丙三人参加数学竞赛，甲、乙的总分是153分，乙、丙的总分是173分，甲、丙的总分是160分，甲、乙、丙三人各得多少分?

25. 修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米?

26. 甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出3000册，乙书店购入2000册，这时乙书店存书的册数是甲的2倍，甲、乙两书店原来共存书多少册?

27. 甲乙丙丁四个人共买了10个面包平均分着吃，甲拿出了6个面包的钱，乙和丙都只拿出了2个面包的钱，丁没带钱。吃完后一算，丁应该拿出1.25元，甲应收回多少元?

参考答案

一、填空。

1. 5.6 、56 2. 18 3. 64

4、36 5. 9 6. 45 7. 4(a+b) 8. 18 9. 63.127.3.13. 10. 36

二、判断。

11.× 12.√ 13.× 14. × 15. ×

三、选择。

16.D 17.B 18.C 19.B

四、简算与计算。

20. 36 21. 12.5 22.3330

六、解决问题。

23、40 24.甲、70 乙、83丙、90

25、1200 26. 16000(册) 27. 1.75元