不规则高层建筑结构偏心率对模态的影响分析

2023-01-08

引言:

随着现代社会多样化的需求, 越来越多的高层建筑外形和结构构件的布置呈现出明显的不规则性[1], 建筑结构的刚心和质心通常在不同的位置, 这使得不规则建筑的模态参数和规则建筑的模态参数有很多差异。由于模态参数是结构动力分析的基础, 因此, 研究不规则建筑的模态与结构偏心率的关系显得很有必要。

梁枢果等[2]采用多自由度层间结构模型建立了不对称高层建筑三维耦联振型的多自由度分析方法, 但是没有分析偏心率对频率与振型的影响。本文采用Euler–Bernoulli悬臂梁模型[3], 利用D’Alembert’s原理[4], 建立偏心截面三维自由振动微分方程[4], 求解得到建筑三维弯扭耦合[5]频率和振型的解析表达式。通过具体算例分析了偏心结构的频率和振型随偏心率的变化规律。

1 力学模型

对于高柔结构, 在侧向荷载作用下, 弯曲变形占主导, 剪切变形相对于弯曲变形对结构变形影响很小[5]。因此本文把高层建筑简化为Euler–Bernoulli悬臂梁模型, 建筑模型图如图1所示。设梁的横截面为矩形, 两个边长分别为a和b, 梁的长度为L。这里假设梁的任意一个横截面的质心与形心重合 (位于中轴Oz上) , 悬臂梁的刚心沿高不变 (在SS′轴上) , 其对质心的偏心距分别为ex, ey。

2 理论分析

本文选取质心为坐标原点, 建立悬臂梁截面三维自由振动微分方程, 由D’Alembert’s原理, 其振动微分方程可表示为:

在 (1) 式中, X代表位移, E0代表刚度矩阵, M0代表质量矩阵, 其具体表达式为

式中ex, ey分别为x和y方向上的偏心距, 如图1所示。EIx, EIy分别为x和y方向的抗弯刚度, GIw为扭转向的抗扭刚度。位移函数X (z, t) 是关于高度z和时间t的函数。利用分离变量法[8], 设, 并假设悬臂梁的长度为L, 令f=z/L, 则 (1) 式变为

将 (4) 式代入到 (3) 式, 得

将 (6) 式三个方程展开, 并联立求解, 整理可得

因此, 式 (4) 可写成如下形式:

3 模态求解

对于悬臂梁, 令f=z/L, 则固定端和自由端的边界条件分别为:

将边界条件 (10) 代入式 (8) , 得到特征方程:

在式 (11) 中把C视为未知数, 则由线性方程组解的理论, 要使C有唯一的非零解, 则其系数矩阵的行列式为零, 展开可得:

由及式 (6) 即可求得频率。将及p, q的值代入式可得系数C, 其中p, q的值可由式 (6) 确定, 将它们代入式 (9) 中即可求得x, y及扭转向º振型的解析表达式。

4 实例分析

某方形高层结构, 高L=300 m, 长宽均为50 m, 密度kg/m3, 抗弯刚度EIx=6.605×1014 Nm2, EIy=9.605×1014 Nm2, 抗扭刚度EIw×1017 Nm2。结构不偏心时的自振频率如表1所示。

考虑两个方向同时偏心 (偏心率ux=0.5, uy=0.5) 的情形

由表2及图2可以看出, x和y方向同时偏心时, 出现了三维耦合, 与不偏心情况相比, x和y方向频率变小, 扭转向频率增大。

4.3刚心偏移对结构自振频率及模态的影响

当x方向和y方向同时偏心时, x及y方向的自振频率都随偏心率的增大而减小, 而扭转向的自振频率随着偏心率的增大而增大。

表4中均为结构顶部振型, 从表中可以看出, 当x方向和y方向同时偏心时, 平动向和扭转向的耦合效应明显增强, 当偏心率很大时, 呈现出明显的三维耦合效应。

5 结论

本文在Euler–Bernoulli悬臂梁模型的基础上对高层建筑偏心结构模态提出了一种解析模型, 并通过实例分析, 研究了偏心结构的频率和振型随偏心率的变化情况, 并得到一些规律:当结构两个正交平动方向同时偏心, 且偏心率都为0.5时, 两个方向一阶平动自振频率相对于不偏心结构分别减小7.73%和6.33%, 一阶扭转自振频率相对于不偏心结构增大16.01%, 对于模态而言, 扭转方向耦合分量达到主模态分量的47.43%。

摘要：针对具有不规则结构的高层建筑, 采用Euler–Bernoulli悬臂梁模型, 以质心为坐标原点, 考虑刚心偏离质心的情况下, 利用D’Alembert’s原理, 建立偏心截面高层建筑连续模型三维自由振动微分方程, 求解得到偏心高层建筑弯扭耦合频率和振型的解析表达式, 并通过具体算例分析了建筑频率和振型随偏心率的变化规律。

关键词：高层建筑,悬臂梁,偏心结构,振型