苏教版代数式经典例题

第一篇：苏教版代数式经典例题

工程数学(线性代数与概率统计)第三章典型例题分析

第三章

例1 设A为n阶方阵，若存在正整数k和向量，使Ak0，且Ak10.证明：向量组,A,,Ak1线性无关. 证明：(利用线性无关定义证明) 假设有常数1,2,,k，使得

k1AA0 (1) 12k将(1)两边左乘Ak1，可得

1Ak12AkkA2k20

由已知条件A0，可知上式从第二项全等于零，所以1A又由条件Ak1kk10，0，所以10. 类似地，将(1)两边左乘Ak2，可得20;

k1类似地可证得34k0，所以向量组,A,,A线性无关.

例2 设向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关，问：

(1)1能否由2,3线性表示?证明你的结论; (2)4能否由1,2,3线性表示?证明你的结论. 解：(1)1能由2,3线性表示. 证明：由于向量组2,3,4线性无关，那么其部分组2,3也线性无关。又由已知条件有1,2,3线性相关，故1能由2,3线性表示. (2) 4不能由1,2,3线性表示. 证明:假设4能由1,2,3线性表示,即存在不全为零的常数1,2,3,使得

4112233

由(1)的结论,我们可以设1k22k33,代入上式,可得

4(21k2)2(31k3)3

即4可由2,3线性表示,从而2,3,4线性相关,与已知条件矛盾.因此假设不成立, 4不能由1,2,3线性表示.

例3 设两向量组

(1)11,2,3,23,0,1,39,6,7 (2)10,1,1,2a,2,1,3b,1,0 TTTTTT已知两向量组的秩相等,且3能由1,2,3线性表示,求a,b. 解:令A(1,2,3),B(1,2,3)

由于矩阵A已知，可以先对A进行初等变换求秩.

1391391392r1r250612A2060612rr3233rr3171301020000因此r(A)2,且1,2为(1)的一个极大无关组. 由已知条件两向量组的秩相等,所以r(B)2,从而B0,即

0B11所以aa21b1ab0 03b.又由条件能由,,线性表示而1,2为(1)的一

123个极大无关组.所以3能由1,2线性表示,则1230,即

13b2b100123201,解得 310b5,所以有ab5.

例4 求向量组11,1,1,3,21,3,5,1,

TTTT32,6,10,a,44,1,6,10, 53,2,1,c的秩和一个极大无关组. 解:对以1,2,3,4,5为列构成的矩阵A,做初等变换

T11A131102000012351240a2610a3112061010c04313107708c1104126412002412240432431a62a20314c9 31B1c3当a=2且c=3时, r(B)3,B中第

1、

2、4列线性无关，此时向量组的秩为3，1,2,4是一个极大无关组;

当a2时，r(B)4，B中第

1、

2、

3、4列线性无关，此时向量组的秩为4，1,2,3,4是一个极大无关组;

当c3，r(B)4，B中第

1、

2、

4、5列线性无关此时向量组的秩为4，1,2,4,5是一个极大无关组. 例5设向量组(1)1,2,3,4的秩为3;向量组(2)1,2,3,5的秩为4，证明:向量组1,2,3,54的秩为4. 证明：(要证明1,2,3,54的秩为4，可通过证明1,2,3,54线性无关来得到想要的结论)

由向量组(2)的秩为4，可知1,2,3线性无关，又由向量组(1)1,2,3,4的秩为

3，可知1,2,3,4线性相关，从而4可由1,2,3线性表示，即存在不全为零的常数l1,l2,l3，使得4l11l22l33，

不妨设k11k22k33k4(54)0，将4代入，可得

(k1k4l1)1(k2k4l2)2(k3k4l3)3k450

由于1,2,3,5线性无关，所以

k1k4l10kkl0242k1k2k3k40 k3k4l30k40故1,2,3,54线性无关，从而该向量组的秩为4.

例6 设向量组1,2,,m(m1)的秩为1,2,,m的秩为r

r，123m，213m，，m12m1，证明向量组

证明:(由推论等价的向量组有相同的秩，此题只需证明两个向量组等价即可) 由已知1,2,,m可由1,2,,m线性表示，且有下式成立

12m(m1)(12m)

从而ii12m于是有i1(12m)， m11(12m)i，即1,2,,m也可由m11,2,,m，故向量组1,2,,m与向量组1,2,,m等价，从而他们的秩相等，从而向量组1,2,,m的秩为r.

第二篇：2018年苏教版六年级上册数学第一单元经典试题 (1)

六年级数学上册第一单元练习

1、一辆运煤车的车厢是长方体。从里面量底面积是4.5平方米，装的煤高0.6米。如果每立方米煤重1.32吨，这辆运煤车大约装煤多少吨?(得数保留一位小数)

2、把一个棱长是8厘米的正方体钢坯，锻造成一个长是16厘米，宽是8厘米的长方体，长方体的高是多少厘米?(用方程解。)

3、华侨小学修筑一条长60米，宽12米的直跑道。先铺上0.3米厚的三合土，再铺上0.03米厚的塑胶。需要三合土，塑胶各多少立方米?

4、一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高2分米。

(1)做这个水槽至少需要铁皮多少平方分米?

(2)这个水槽最多可以盛水多少升?

5、一个花坛，高0.9米，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成。

(1)做这个花坛占地多少平方米?

(2)用泥土盛满这个花坛，大约需要泥土多少立方米?(木条的厚度忽略不计)

(3)做这个花坛，四周大约需要木条多少平方米?

6、一台冰柜从外面量，长1米，宽0.6米，高1.1米，从里面量，长9分米，宽4.5分米，深6分米。 (1)这台冰柜所占空间有多大?

(2)这台冰柜的容积是多少?

7、一个长方体，如果高增加3分米，长和宽不变，它的表面积就增加48平方分米，正好变成一个正方体。原来这个长方体的体积是多少立方分米

8、有一个花坛高50厘米，底面是边长1.3米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是30厘米，中间填满泥土。 (1)花坛所占空间有多大?

(2)花坛里大约有泥土多少立方米?

9、一个石子浸入一个长50厘米，宽20厘米的玻璃缸内，玻璃缸里的水面上升了1厘米，若将这个石子放入另一个底面长24厘米，宽15厘米的玻璃缸内，水面会上升多少厘米?

10、一件雕塑的底座是用混凝土浇筑成的棱长2。6米的正方体。

(1)这件雕塑的底座占地多少平方米?

(2)浇筑这件雕塑的底座需多少立方米混凝土?

(3)给底座四面贴上花岗石，贴花岗石的面积是多少平方米?

11、一个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，

1、棱长总和是多少厘米?

2、占地面积是多少平方厘米?

3、表面积是多少平方厘米?

3、体积是多少立方厘米?

第三篇：〖经典例题分析〗

例1：(2005年，台州)下列句子中加点字注音错误的一项是()

A、这是虽在北方风雪的压迫下却保持着倔强(ji ng)挺立的一种树。

B、“这布是华丽的精致的!无双的!”每人都随声附和(h )着。

C、现在是昏暗的傍晚，一辆福特轿车孤独地驶向一幢小别墅(y )。

D、那边还有飞倦了的几对，闲散地憩息于纤(xi n)细的电线上。

例2：(2005年，兰州)根据拼音写出汉字。

⑴月亮西斜了，一副意兴l nsh n的样子。

⑵桥在河上，位置较低，ku 情du 理，不可能使人产生月亮从那个方向落下去的印象。 ⑶它是那么小;你呢，却长得这么ku w !

⑶这些顾客，多是短衣帮，大抵没有这样ku chu 。

〖分析〗这是识字写字方面的题目，在《教学大纲》“教学内容和要求”里这一项没有作为单独一项内容与“阅读”“写作”相并列，这方面的要求只有一条“认识 3500个常用字”。而《课程标准》把褒字与写字能力提高到与读写、交际能力同等重要的位置，并对识字写字的能力、过程、方法、情感态度和价值观等方面均提出了要求。

例1答案：C。例2答案：⑴阑珊⑵揆、度⑶魁梧⑷阔绰

〖过关演练〗

1.(2005年，徐州)下列加点字注音全都正确的一项是()

A.纠葛(g )债券(ju n)亲昵(n )侃侃(k n)而谈

B.静谧(m )饶恕(sh )蹉(cu 跎良莠(xi )不齐

C.炽(zh )热栖(q )息摩挲(su )拈(zh n轻怕重

D.匀称(ch n)造诣(y )湮(y n)没危言耸(s ng)听

2.(2005年，盐城)下列各组词语中加点字的读音，与所给读音全部相同的一项是()

A.zh n：玷污粘贴拈轻怕重B.qi n：迁就忏悔合成纤维

C.x ng：归省反省不省人事D.qi ng：翔实倔强风行绿墙

3.(2005年，临沂)加点字读音全都相同的一组是()

A.门楣倒霉媒体春光明媚

B.咫尺旗帜滞留无可置疑

C.滑稽畸型羁绊汲取经验

D.伫立铸造贮蓄青春永驻

4.(2005年，资阳)下列加点字的读音有误的一项是()

A.当它戛(g )然而止的时候，世界出奇的寂静，以至使人感到对她十分陌生了。

B.如果希巴女皇住在气窗对面的公寓里，德拉总会有一天把头发悬在窗外去晾干，只是为了使那位皇后的珠宝和首饰相形见绌(ch )。

C.不少的人对工作不负责任，拈(ni n)轻怕重，把重担子推给人家，自己挑轻的。

D.食(s )马者不知其能千里而食也。

5.(2005年，广东)下列加点字读音不相同的一项是()

A.欣慰馨香薪水辛苦B.娴熟和弦头衔嫌疑

C.起哄洪水拱桥烘托D.阴谋殷切音讯原因

6.(2005年，四川)下面语段中加点字注音错误的一项是()

不久，布谷鸟来了。于是转入炎热的夏季，这是植物孕育果实的时期。到了秋天，果实成熟，植物的叶子渐渐变黄，在秋风中簌簌地落下来。北雁南飞，活跃在田间草际的昆虫也都销声匿迹。到处呈现一片衰草连天的景象，准备迎接风雪载途的严冬。

A.孕育(r n)B.销声匿迹(n )C.衰草(shu i)D.风雪载途(z i)

7.(2005年，临沂)加点字读音全都不相同的一组是()

A.伦理经纶囫囵论辩

B.孺子嗫嚅怯懦蠕动

C.踉跄创伤悲怆疮痍

D.揣摩惴惴湍急喘气

8.(2005年，黄冈)阅读文段，根据拼音写汉字，给加点的字注音。

每一穗花都是上面的盛开、下面的待放。颜色便上浅下深，好像那紫色沉di n()下来了„„每一朵盛开的花像是一个张满了的小小的帆，帆下带着尖底的舱，船舱鼓鼓的;又像一个忍俊不禁()的笑容，就要zh n()开似的。那里装的是什么仙露琼()浆?我凑上去，想摘一朵。

9.(2005年，荆州)根据文意与拼音在括号中填写常用字词。

①如果要ji nsh ng()我国的园林，苏州园林就不该错过。

②先前的紫色的圆脸，已经变作灰黄，而且加上了很深的zh uw n()。

③仰面在灯光中瞥见他黑瘦的面貌，似乎正要说出y y ngd ncu ()的话来。 ④商店和饭馆的门w j ngd c i()地敞着，面对着上帝创造的这个世界„„

10.(2005年，扬州)给加点的字注音，并根据拼音写汉字。

2005年春节晚会上，精美绝(l n)()的舞蹈《千手观音》给观众留下了非常深刻的印象。邰丽华与20位同伴结为一体，以“千手观音”的形象立于莲花台上。她们在镶嵌()着一千多只手的金(b )()辉煌的拱()门下，用翩跹()的舞姿和斑(l n)()的色彩，“诉说”她们内心世界的美丽话语。

11.(2005年，武汉)抄写下面一段文字，并根据拼音写出相应的汉字。

人的一生应当这样度过：当他回首往事的时候，不会因为碌碌无为、虚度年华而hu ()恨，也不会因为为人卑劣、生活庸s ()而愧疚。

12.(2005年，随州)下列加点字的字音都正确的一项是()

A.无垠(y n)坦荡如砥(d )心旷神怡(t i)

B.绽(d ng)出打折(zh )了腿怪癖(p )

C.嗟(ji )偃(y n)旗息鼓揆(ku )情度理

D.阴晦(hu )惘(w n)然一蹶(ju )不振

13.(2005年，襄樊)下列加点字注音错误的一项是()

A.做人应有责任心，因此无论干什么事，都不能敷衍塞(s )责。

B.只有全心全意为人民着想的干部，才是称(ch n)职的人民公仆。

C.襄樊市公安局对全市治安实行纵横(h ng)交错的网络化管理。

D.我拿着入场券(ju n)兴高采烈地向科技馆跑去。

经典试题：

例1：下列词语中加点字的读音，与所给注音全部相同的一项是()

A、鲜(xi n)鲜艳新鲜寡廉鲜耻

B、解(ji )解散押解解甲归田

C、强(qi ng)强求牵强强词夺理

D、宁(n ng)宁静宁愿息事宁人(广州市)

思维启迪：这道题考查了语音的基本知识及其灵活运用。四个选的词语中字音均选自课文，是阅读过程中常见的多音多义字，这些字容易读错。A项中“寡廉鲜耻”的“鲜”应读xi n，与其他三个不同，B项中“押解”的“解”应读ji ，D项中“宁愿”的“宁”应读n ng，C为正确答案。此题好在将字音放在词语环境中灵活考查。

例2：下列句子中有两个错别字的一项是()

A、春风和熙，阳光灿烂，山谷里回落着鸟儿们缭亮的歌声。

B、突然，蝉声夏然而止，树林里顿时一片寂静。

C、这小生灵虽然是缈小的，但是我们绝不能忽视它。

D、叶欣以身恂职的事迹见报后，人们无不为之感动。

思维启迪：本题考查学生对常用词语中容易混淆的同音字的熟悉程度。A项中“和熙”的“熙”，“缭亮”的“缭”都是错误的，B项中“夏然而止”的“夏”，C项中“缈小”的“缈”，D项中“以身恂职”的“恂”都是常见的错别字。考生在判断用字是否准确时，应根据所在词语的词义来判断，否则易造成别字。还要特别注意，题目要求是“有两个错别字的一项”，所以，A为正确答案。

实战演练：

1.(2004盐城市)下列词语中加点字的注音有误的一项是()

A、裨益(b )沁园春(x n)脍炙人口(ku i)

B、瞻仰(zh n)八卦阵(gu )万籁俱寂(l i)

C、谦逊(x n)一霎时(shi)玉树琼枝(qi ng)

D、跌宕(d ng)淳朴(ch n)坦荡如砥(d )

2.(2004安徽省)下列加点字的注音完全正确的一项是()

A、反省(sh ng)剽悍(pi o)义愤填膺(y ng)

B、粗糙(c o)恬静(ti n)妄自菲薄(b )

C、抖擞(s u)纤维(qi n)安然无恙(y ng)

D、酝酿(ni ng)肖像(xi o)面面相觑(x )

3.(2004年宾州市)给下列词语中加点的字注音，或根据注音写出汉字。

①不屑()置辩②杳()无消息

③锲()而不舍④中流d ()柱

⑤s ()夜忧叹⑥气势磅b ()

4.(2004年株州)下列词语中没有错别字的一组是()

A、修茸抖擞错手不及B.开拓抑制持之以衡

C.哀悼缀学惟妙惟消D、玄虚衰落辨伪去妄

5.(2004年四川省)下列词语中书写完全正确的一项是()

A.曲径通幽不计其数热枕恬静

B.小心翼翼行云流水敬佩魅力

C.抑扬顿错精益求精淘汰祈祷

D.锐不可当可歌可泣侧隐辍学

6.(2004年苏州)下边的词语中有四个错别字，把它们找出来填入表中，然后改正。 忍俊不禁耐人寻味销声匿迹稍纵既逝

寻根究底同舟共际杳无消息海枯石烂

嘎然而止锐不可当根深底固岿然不动

8.下列句子中加点字的读音相同的一组是()

A、⑴鸟儿唱出宛转的曲子，跟轻风流水应和着。

⑵她洗完手，就舀水和面，做起窝窝头来。

B、⑴我军歼灭了抵抗之敌，控制了南下要塞。

⑵环卫工人及时疏通了堵塞的下水道。

C、⑴凡是不称职的人就看不见它，这个说法让他心里发慌。

⑵这座大桥结构匀称，和四周景色配合得十分和谐。

D、⑴大家得小心提防，千万不要让这些小东西溜出来撒欢。

⑵他从剩余的资金中提留了一部分，作为今后的活动基金。

9.根据拼音写出相应的汉字或给加点字注音：

坚r n()j ng旗()ji o健()分外妖娆()惟妙惟肖()

10.读下面的句子，给加点的字注音，根据拼音填汉字。

⑴另一种的味儿在你心头潜()滋暗长了——“单调”。

⑵两人见面，非常亲热，拉着手寒喧()了好一阵子。

⑶我们决定把小茅屋修(q )()一下，给屋顶加点草。

⑷设计者和匠师们因地制宜，自出心(c i)()，修建成功的园林当然各各不同。

11.根据拼音写汉字。

刚刚闭(m )()的我市第十次党代会提出了我市今后五年“跨越发展实现率先(ju )()起，团结实干建设强市名城”的总体目标。

12.你知道哪一句的注音是全对的?请选出来。()

A、老爷爷告诫我：“摘(z i)桃容易栽(zh i)桃难。”

B、院长说：“一个国家落(lu )后的原因之一，是科研落(l )在别人后面。”

C、我提着这灵(l ng)巧的小橘(j )灯，慢慢地走。

D、刘老师书法造诣(zh )高，大家都佩(p i)服他。

13.许多广告词借用了成语、熟语，取谐音换新义，朗朗上口，但却给我们的学习带来了许多陷阱，请识别下面广告词中的陷阱，并将其还原，写在后面的括号内。

例：空调机——完美无夏(瑕)

⑴淋浴器——随心所浴()

⑵咳嗽药——咳不容缓()

⑶洗衣机——爱不湿手()

⑷蚊香——默默无蚊()

14.下面加点的字读音和字义有错的一项是()

A、更多(g ng)(越发，愈加)更衣(g ng)(换)

B、附和(h )(声音相应)书和笔(h )(连词，同)

C、自称(ch ng)(叫，叫做)相称(ch ng)(相连)

D、圈定(qu n)(画环形)猪圈(ju n)(养家畜等的栅栏)

15.下列句子中有错别字的一项是()

A、听了她的深情倾诉，老李也禁不住动了恻隐之心。

B、既使你有出众的才华，也不能这样张狂的炫耀自己。

C、这首诗饱含着真情实感，让那些苍白的口号诗相形见绌。

D、快意同舒适像是一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。

16.下列各句错别字最多的一项是()

A、但在那风雨如诲的时刻，各地的建设依旧屹立人间，光辉夺目。

B、孔乙己看着问他的人，显出不屑置辨的神气。

C、我简至弄的神精错乱，不知所错。

D、他们的品质是那样的纯杰和高尚，他们的意志是那样的坚忍和刚强。

17.找出并改正下面语段中的三个错别字，书写在方格内。

有些人总是把自己的现状归咎于运气，他们怨天由人，则备父母没有给自己创造好条件，感慨生不逢时，这样的人除了报怨，只会消极等待。要想成就一番事业，积极的心态则是他成功的起点。

18.他小心地揭开一个木头蜂箱，箱里隔着一排板，板上满是密蜂，蠕蠕地爬动。蜂王是黑

蝎色的，身量特别长，每只工蜂都愿意用彩来的花粉供养它。

上文中共有个错别字?

19.下列短语中有三个错别字的一组是()

A、直接了当不拘一格眼急手快忘自菲薄

B、群策群力沉默寡言百无聊懒截长补短

C、事倍功半不修边副金城汤池大名鼎鼎

D、百步穿杨不甘示弱初出矛庐力举千钧

20.句中没有错别字的一项是()

A、怀疑不仅是从消极方面辩伪去妄的必要步骤，也是积极方面建设新学说、启迪新发明的基本条件。

B、独立党党员们，请看你们这位侯选人，请看这位声名狼藉的伪证犯!

C、他偏要放下经卷，横来招是搬非，大约是怀着嫉妒罢，——那简直是一定的。

D、她用小手在面前画一个园圈，最后按到我的手上：“我们大家都好了!”

21.用正楷字将下列诗句的后半句写在方格内，要求准确、美观。

沉舟侧畔千帆过

拼音与汉字答案

1.A 2.B 3.①xi ②y o③q ④砥⑤夙⑥礴 4.D 5.B 6.既——即;际——济;嘎——戛;底——蒂

7、第一个图中“那里”改为“哪里”，第二个图中“五州”改为“五洲” 8.C 9.韧、旌、矫、r o、xi o 10.⑴qi n⑵xu n⑶葺⑷裁 11.幕、崛 12.B

13.浴——欲;咳——刻;湿——释;蚊——闻 14.C 15.B 16.C 17.怨天由人——怨天尤人;则备——责备;报怨——抱怨 18.三个 19.A 20.C 21.书写内容：病树前头万木春

第四篇：数学归纳法经典例题详解

例1.用数学归纳法证明：

1111n. 2n12n12n1133557证明：①n=1时，左边等式成立.

1111，，右边左边=右边，133213②假设n=k时，等式成立，即：

1111k.

2k12k12k1133557当n=k+1时.

11111

2k12k12k12k3133557k1 2k12k12k32k1k1 2k23k12k12k32k12k3k1k1 2k32k11这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 综合上述，等式成立. 例2.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论.

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组.

a16， a12a224a2a3a60231解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3.

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立. 因为起始值已证，可证第二步骤.

假设n=k时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当n=k+1时， a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说，当n=k+1时，也存在.

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.

例3.证明不等式112131n2n (n∈N).

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边，不等式成立.

②假设n=k时，不等式成立，即1那么当n=k+1时，112131k121k1131k2k.

2k1k12kk11k12k1k1kk11k12k1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立.

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立.

例4. 解析：(1)当(2)假设当

时，左边时命题成立，即

，右边

。

，命题成立。

，

那么当时，

左边

。

上式表明当

时命题也成立。

由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立。

例5. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式

成立。

解析：①当②假设时，左=

，右

，左>右，∴不等式成立。

时，不等式成立，即

，

那么当时，

，

∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

例6. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。 解析：取令所以取，

，而

。 ， ，得

，下面用数学归纳法证明，

，

(1)时，已证结论正确

时， (2)假设

则当时，有

，

因为，

所以，

所以即时，结论也成立，

， ，

，

由(1)(2)可知，对一切都有故a的最大值为25。

*例7.已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an. 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除. 证明：①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除.

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时， a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除.

第五篇：数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：

1111n． 2n12n12n1133557请读者分析下面的证法： 证明：①n=1时，左边1111，右边，左边=右边，等式成立． 133213②假设n=k时，等式成立，即：

1111k．

2k12k12k1133557那么当n=k+1时，有：

11111

2k12k12k12k313355711111111111 2335572k12k12k12k31112k2 122k322k3k1k1

2k32k11这就是说，当n=k+1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

11111

2k12k12k12k3133557k1

2k12k12k32k1k1 2k23k12k12k32k12k3

k1k1 2k32k11这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2) 都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

a16， a12a224a2a3a60231解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n=k时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2) 那么当n=k+1时，

a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．证明不等式112131n2n (n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即112131k2k．

那么当n=k+1时，

112131k1k1

2k1k12kk11k12k1k1

kk11k12k1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1121311k1k12k1，当代入归纳假设后，就是要证明：

2kk12k1．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an． 求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时， a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．

例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22． 当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32． 由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42． 由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2． 用数学归纳法证明如下： ①当n=2时，上面已证．

②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．

∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)

=k2+2k+1=(k+1)2 ∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧． 由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．

说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．