Peano公理系统不完备性的再证明──费尔马猜想成立

2022-09-12

本文引进了F公理, 再次从数学上严格证明了Peano公理系统是不完备的[1]。在此基础上, 非常简单地证明了费尔马猜想成立。

任何一门数学都是公理化体系, 都是一个严密的逻辑系统。因此, 公理化系统是否完备, 就是这门学科是否成熟的一个重要标志。文中引进的F公理, 对于证明Peano公理系统的不完备性, 证明费尔马猜想成立, 实现数学家潘承洞、潘承彪的预言:“目前对Goldbach猜想乃至整个解析数论的研究, 正处于一个期待着新突破的相对停滞阶段”[2]的那种“突破”、完善Peano公理系统是很有必要的。

费尔马猜想[3~4]是:当n是大于2的正整数时, xn+yn=zn没有正整数解。它是法国数学家费尔马于1637年提出的。这个不定方程[5]形式简捷, 极富魅力。乍一看, 谁都会证。可是, 一旦你着手证明它, 就会发现它还有另一方面的魅力, 就是难。难到什么程度?难到全世界的一些顶尖数学家为证明它而奋斗370年了。正是由于它难的魅力, 才激发了历代数学泰斗和数学爱好者的极大兴趣, 三百多年来, 全世界上百名最优秀的数学家为证明它而呕心沥血, 如高斯、欧拉等。大型计算机的问世, 为最终证明Fermat猜想提供了先进的工具和可能。1976年, 德国数学家瓦格斯塔夫借助于计算机证明了当2

1994年, 美国普林斯顿大学教授、英国数学家Andrew Wiles宣布他证明了费尔马猜想[6]。然而, 他的证明太复杂, 太繁了。我国著名年青数学家 (数论专家) 、浙江大学博士生导师蔡天新教授指出:“当消息从剑桥传开时, 仍有一些失望的叹息声……如同一位学者指出的, ‘我们中的许多人一方面为怀尔斯的成就欢呼, 另一方面也期待着出现一个真正美妙的、直接的证明。’” (1993年9月19日《中国青年报》) 。阎新华 (曾任科技日报社副总编) 在2001年10月25日《科技日报》发表文章指出, 美国《代数群几何》杂志出版社社长甘地“对威尔斯的证明表示了如下质疑:‘普林斯顿有关费马大定理的证明 (即威尔斯的证明──编者注) 不可能是费马的证明。它太复杂, 只有极少数人能够理解;所采用的数学知识和方法, 如现代数学知识和成熟的计算机应用, 也是费马当时所不具备的。因此, 有关费马大定理的证明并没有结束’。这说明, 数学工作者有责任、有义务、应该也有必要给出费尔马所说的“美妙的、直接的证明”。本文把非常简单的费尔马猜想的证明呈现给读者, 特色是: (1) 用PRC方法二正确处理了费尔马猜想中有限与无限的辩证关系, 实现了把数学上证明费尔马猜想纯逻辑推理有相当难度的问题, 转化成了非常简单的科学计算和逻辑推理相结合的问题, 因而很快找到了费尔马猜想成立的规律。 (2) 费尔马猜想成立的规律有很强的可操作性, 即这个规律是可操作的、可见的、可重复的、可证实的。在人类社会已步入信息时代的今天, 作者为读者提供了验证这个规律的计算机程序[7~8]。任何一位读者, 都可以用这个程序在Visual C++6.0中运行, 看到这个规律的确是存在的, 从而使读者对本文证明的正确性确信无疑, 这已为实践所证实。 (3) 引进了F公理, 再次严格证明了Peano公理系统是不完备的。 (4) 用费尔马猜想成立的规律证明费尔马猜想。 (5) 所用工具很普通, 计算机、数列和极限。 (6) 证明简单通俗易懂。

本文是计算机科学、数学科学、宇宙学、哲学等多学科高难度的大交叉, 因而产生了强大的优势互补的集成效应。它也是对我国著名科学家钱学森、周光召和路甬祥预见科技重大创新成果产生规律的实践证实[9~11]。根据数学家华罗庚和闵嗣鹤教授的深刻见解[12~13], 对费尔马猜想的证明, 很明显是一类极限问题。在本文中, 计算机运行所需空间都假定是足够的。

1 Peano公理系统不完备性的再证明──费尔马猜想成立

定义1在用计算机验证费尔马猜想时, 对n=m (m为大于3的的自然数) ;x=1~m, y=1~m, z=1~m, 这样的计算方法:求出下列每一个比较的值, 若不相等就大减小。

第一组比较:x=1, y=1~m, z=1~m的计算

比较13+13与13, 比较13+13与23, …, 比较13+13与m3

比较13+23与13, 比较13+23与23, …, 比较13+23与m3

比较13+m3与13, 比较13+m3与23, …, 比较13+m3与m 3

第二组比较, 第三组比较, …, 第m组比较:只需把第一组比较中相应的x=1改为x=2, x=3, …, x=m即可。

n=4, n=5, …, n=m各组的比较, 只需把n=3相应各组的比较中的3改为4, 5, …, m即可。称为F算法。

定义2在F算法中, 对应于n=3~m的每一n, 所有组数之和 (m-2) m称为f组数。

组数是按自然数序排列的。例如, n=4按F算法计算时, 先要计算n=3.时x=1, 2, 3, 4的4个组, 再计算n=4时x=1, 2, 3, 4的4个组, 共8个组。这8个组的序号是这样按自然数序排的:n=3时的4个组的序号在总共8个组中的序号排序还是1, 2, 3, 4。而n=4时的4个组的序号在总共8个组中的序号排序分别是5, 6, 7, 8。余类推。

定义3用F算法计算n=3, n=4, …, n=m, …时得到的f组数构成的一个按自然数序排列的实数集合

称为f组数数列, 记为{fn1}。

n和n1的关系显然是n=n1+2。

定义4在用F算法验证F C时, 求出每一个比较的值, 每一组所有比较的值的最小者, 称为该组的最小差。

与f组数数列{fn1}中的3, 8, 15, …

对应的每一组的最小差分别是

因为组数是按自然数序排列的, 因此, 最小差也是按对应于组数的自然数序排列的。我们把最小差数列中的第n1 (n1+2) 项记为fn2。

为什么用F算法计算的每一组的最小差都是1?这是因为在具体计算中用F算法进行比较时, 在每一组中至少有一个是an+1n与an的比较 (或是1n+an与an比较, a是某一自然数) 。例如, 在用F算法算出n=3各组的比较时有13+13与13的比较, 13+23与2 3的比较等等。但这只是对用F算法计算有限个比较的说明而不是证明。

定义5由最小差构成的一个按自然数序排列的实数集合称为最小差数列, 记作{fn2}

定义6公理是不能证明的客观规律。

定义7公理A1、A2、…、An相互间是相容的, 是指它们可以同时存在。

定义8公理A1、A2、…、An相互间是独立的, 是指从它们中的任意i (1≤i

定理1数列{fn2}=1, 1, 1, …, fn2, …, 每项都是1不能证明。

证明:因为用F算法求得每一组的最小差的值是多少, 必须根据给出的具体的n, x, y, z的值是多少, 先算出这一组每一个“比较”的值, 再通过比较 (算) 这些“比较”的值, 才能求得该组的最小差的值是多少。因此, 每一组的最小差的值是多少只能通过计算求得。但不能计算出无穷多组的最小差都是1, 因此, {fn2}每项是1不能证明。证毕。

数列{fn2}的每项都是1数学上是不能证明的, 要从数学上表示{fn2}的每项都是1这一规律只能用公理。根据定义6可得

F公理最小差数列{fn2}的每项都是1。

定理2 Peano公理系统是不完备的。

证明:因为数列{fn2}的每个元素都是1, 都属于自然数集N, 即{fn2}是自然数数集N的真子集[14]。因此, 数列{fn2}与N可以同时存在, 根据定义7, 它们相互间是相容的。由定理1可知, 从Peano公理推不出F公理。又F公理不含加、减、乘、除等运算, 因此, 从F公理也推不出Peano公理。根据定义8, F公理与Peano公理相互间是独立的。Peano公理与F公理既是相容的, 又是相互独立的。因此, Peano公理系统是不完备的。证毕。

本文对Peano公理不完备性的证明与G del的“初等数论的真命题中至少有一个不可能从Peano系统中得到证明”[15]是不同的。Gdel的证明是一个一般性的证明。而本文的F公理给出的是自然数的一个具体性质。

定理3费尔马猜想成立。

证明:因为n=n1+2, 因此, 当n→+∞时, 必有n1→+∞, 因而对应于最小差数列的项数n1 (n1+2) →+∞。根据F公理我们有lim fn2=1

此即费尔马猜想成立。证毕。

定理4 F公理与费尔马猜想成立不等价。

证明:由定理3可知, 从F公理可以推出费尔马猜想成立。又从定理1可知, {fn2}每项都是1不能证明, 当然它也不能从费尔马猜想成立推出。因此, F公理与费尔马猜想成立不等价。证毕。

2 PRC方法二

(1) 首先用数学机械化方法, 用F算法算出与费尔马猜想成立密切相关的n=3, 4, 5, 6, 7时所得到的3组, 8组, 15组, 24组, 35组的最小差都是1。任何无限都是通过有限来认识和把握的, 这样做就把要找到的n=3, 4, 5, …, 时所对应的3组, 8组, 15组, …, n1 (n1+2) 组, …, 无限多组的最小差都是1的问题, 转化成了用F算法得到相应于n=3、4、5、6, 7时的3组, 8组, 15组, 24组, 35组最小差都是1的问题。这就是无限→有限。

(2) 由于费尔马猜想的成立, n=3, 4, 5, …时, x, y, z都没有正整数解, 而计算机

只能算到有限大。因此, 要最终证明费尔马猜想, 就要把计算机的全部工作数学化。这就要: (1) 把3个1, 8个1, 15个1, …, 有限 (n1 (n1+2) ) 个1再增加项, 写成一个数列的形式。因为与f组数数列{fn1}中

对应的每一组的最小差分别是

对应于n1 (n1+2) 有n1 (n1+2) 项最小差1。因为n1是有限的, 用F算法计算时, 从理论上来说, 第n1 (n1+2) 项最小差是存在的。这就为把{fn2}在有限范围内每项都是1, 推广到无限项都是1的整个数列{fn 2}打下了基础。从实践 (3个1, 8个1, 15个1, …, 有限 (n1 (n1+2) ) 个1上升到了理论 (数列{fn2}的每项都是1) 。 (2) 用数学方法严格证明{fn2}的每项都是1数学是不能证明的。 (3) 用公理化方法, 把{fn2}的有限项n1 (n1+2) 个最小差都是1推广到整个数列{fn2}。这就是文中的F公理。从而实现了从有限到无限的转化, 即实现了有限→无限。 (4) 再通过计算机的计算 (实践) 来检验F公理的正确性, 算出与n=8, 9时对应的48组、63组最小差都是1, 证实了F公理的正确性。实践是检验真理的唯一标准, F公理的正确性确信无疑。

这样, 经过无限→有限→无限的转化, 就找到了F公理这个费尔马猜想为什么成立的规律, 在严格证明Peano公理组不完备性的基础上, 就可以最终证明费尔马猜想了。

(3) 最终证明费尔马猜想。

PRC方法二的核心是通过无限→有限→无限的辩证转化, 找到F公理 (费尔马猜想成立的规律) 这个证明Peano公理系统不完备性的关键。它是综合使用以吴文俊大师为代表的数学机械化方法和以赫尔伯特为代表的公理化方法的结果, 这种方法同时兼有数学机械化方法和公理化方法的特征。

3程序

4结语

为什么在Andrew Wiles宣布他证明了费尔马猜想、并获得了国际大奖后还要证明费尔马猜想?这是因为Andrew Wiles的证明所用工具太复杂、证明太繁锁, A4纸用了108页[6]。因此, 数学工作者有必要给出费尔马猜想的简单证明。

数学家高斯说过:“数学是科学中的皇后, 数论是数学中的皇后。”[14]而数论也是在不断地汲取其它数学分支成果的基础上来不断充实和发展自己的。各位读者可以看出, 以计算机、数列和极限为工具, 把难了数学界几百年的哥德巴赫猜想和费尔马猜想这两个世纪性的世界数学难题非常简单地证明了。用这种方法还可以解决数论中一类服从强小数规律的问题。这种方法不是用现有的《初等数论》、《代数数论》和《解析数论》中的纯数学推理方法所能取代的。正像《计算数学》的出现是数学发展的必然一样, 《计算数论》 (以计算机为工具, 用计算数学方法解决数论问题) 这样一个全新的数论分支的出现是数论发展的必然。它很明显是数论中一门新兴的交叉学科, 是数论发展的一个新的生长点。从370年研究费尔马猜想的历程中可以发现, 正是由于它的难, 才创造了许多新的数论方法。这些方法的产生与发展, 不仅对于数论, 而且对于数学的其它许多分支都是很有用的。例如, 库末尔“在处理这个问题时, 提出了‘理想数’的概念与研究。这一概念已经渗透到分析、代数、几何与泛函分析等领域, 可以说是近代一切数学领域所不可少的。我国数学家华罗庚说得好:“理想数之创造乃研究费马问题之产物, 对数学之发展而言, 此一概念之获得实远重于解决一个难题。”所以虽然哥德巴赫猜想与费马猜想至今都没有解决 (1) ( (1) 1996年, 瓦依斯证明了费马猜想) , 但在研究这些问题时所获得的方法与概念, 对数学的推动却是巨大的[16]。”数学的发展将会一再证实, 本文及“哥德巴赫猜想的证明”所用方法和对于Peano公理系统不完备性的证明, 其意义远重于证明这两个猜想本身。

26年前, 数学家潘承洞、潘承彪对数论的发展所做的深刻预言[2], 作者在“哥德巴赫猜想的证明”[1]和本文对于Peano公理系统不完备性的再证明, 都说明突破Peano公理系统这个数论发展的瓶颈, 已经到了非解决不可的时候了。“哥德巴赫猜想的证明”和本文所用工具很普通很浅显, 证明也通俗易懂, 但却把全世界的一些顶尖数学家难了几百年, 其根本原因就是因为Peano公理系统是很不完备的。数论界应该齐心协力使Peano公理系统完善起来, 这是数论界, 也是数学界的一个重要任务。

摘要：本文再次严格证明了Peano公理系统的不完备性。用PRC方法二, 找到了费尔马猜想成立的规律 (F公理) , 因而能够用这一规律非常简单地证明了费尔马猜想成立。

关键词：Peano公理系统,不完备性,费尔马猜想,PRC方法二,数学证明