试析高中数列问题解题技巧

1 引言

高中数列问题看似较难, 实际上存在一定的解题技巧, 只要我们掌握了足够的基础知识与解题技巧, 就可以提高解题准确率。

2 高中数列的常规知识

在高中学习数列知识的时候, 我们最常接触的主要是等差与等比数列, 因此, 在学习中要想确保解题准确性, 就必数量使用相关的公式、判定方法等知识。

2.1 等差数列基本知识

an=a1+ (n-1) d是他的通项公式, 其中d是常数公差。而是等差数列{an}的求和公式。

在判定过程中, 只要存在an+1-an=d或an=kn+b (k、b属于常数) 或Sn=An2+Bn (A、B属于常数) 或任何一种形式, 就可被判定为等差数列。

等差数列的性质明确指出, d是an的公差, Sn是an的前n项之和, 所以an=am+ (n-m) d

若果m、n、l、k是正整数, m+n=l+k, 那么am+an=al+ak, 且ak, ak+m, ak+2m, ……是以md为公差的新等差数列。

2.2 等比数列基本知识

要想掌握并发挥解题技巧, 作为学生, 就必掌握数列的基本知识。而an=a1qn-1 (q是公比、≠0的常数, 下同) 。

等比数列的性质主要是以q做数列an的公比, Sn是前n项的总和, 所以an=amqn-m (m属于正整数) , 如果m、n、l、k都是正整数, 则m+n=l+k等价于aman=alak, 那么数列ak, ak+m, ak+2m, ……是等比数列要求, 其公差为qm。

3 高中数列问题的解题技巧分析

掌握了基本知识后, 我们就可以灵活的使用解题技巧解答数列问题, 常用的方法如下所示。

3.1 数列消元方法

受到新课改影响, 很多高中数列习题中都会有an与Sn共存的现象, 这两类元素在解题中必须进行统一转换, 使其变成项式或者和式才有助于解题。

例1:知道a1是某数列的第一项, Sn=man+1 (m≠0) 成立, 问Sn。

若题中明确指出要求an, 此时, 应让原式被Sn+1=man+2减, 得出Sn+1-Sn=m (an+2-an+1) , 并以an+1=Sn+1-Sn为基础, 推出由此可知[an]是在n≥2后的等比数列, 是他的第一项, 是公比q, 因此, an=a1 (n=1) 或

3.2 数列换元方法

在数列问题解答中, 我们还要合理运用换元方法, 将某数列{an}变成具备等差或等比数列性质的{bn}, 然后求bn与Tn公式后, 反推an与Sn的通项同时。

例2:求数列an+1=qan+d (q、d均为常数, q≠0, ≠1) 的通项公式。

解:首先, 将上述公式整理变形为:

然后设:则将bn带入原式后可得bn+1=qbn;

由此可见{bn}是一个以q为公比的等比数列;最后, 可以依次将an与Sn通项公式求出。

3.3 数列累加与累乘解法

如果数列an是等差数列, 则可以利用累加的方法推导通项公式, 获得数列答案。

例3:现存在an=an-1+f (n) , 问an的通项公式是什么?

解:此时可设n≥2, 然后代入原式逐一相加, 得到an= (an-an-1) + (an-1-an-2) +…+ (a3-a2) + (a2-a1) +a1=f (n) +f (n-1) +…+f (3) +f (2) +a1

由此, 得到最终答案。

若数列bn是等比数列, 则可以利用累乘法求解。

例4:现存bn=bn-1·g (n) , 问bn的通项公式。

3.4 错位相减方法

形如An=Bn Cn, 其中{Bn}为等差数列, {Cn}为等比数列;分别列出Sn, 再把所有式子同时乘以等比数列的公比q, 即q·Sn;然后错开一位, 两个式子相减。这种数列求和方法叫作错位相减法。

在解题中, 若遇到已知数列{an}是等差数列、{bn}是等比数列, 问{anbn}的前n项总和是多少?一类的问题, 应使错位相减法求解。

例5:已知an=2n+1、bn=5×7n-1, 求{anbn}。

解:根据题意推得, {an}是第一项是3、d=2的等差数列;{bn}是第一项是5、q=7的等比数列。因此可以使用错位相减法:

用一式减二式:, 从而得到最终答案。

4 结语

身为高中学生, 在数学学科的学习中, 只有不断地积累知识、学习解题技巧, 才能够提高自身对数学知识的利用水平与解题能力。因此, 要想提高自身学习成绩, 就必须掌握数列问题基础知识及解题技巧。

摘要：作为学生, 在高中学习的过程中, 数学作为主要学科之一, 我们必须给予高度重视。其中数列问题知识涉猎较广, 所以有必要就数列问题解题技巧进行深钻。

关键词：数列问题,解题技巧,解题方法

参考文献

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