电路分析中的“合,分”等效

在教学工作中发现其实电路这门课就是按照基尔霍夫定律和等效电路这两根主线进行学习的。而等效电路中最关键的等效就是“合”等效和“分”等效, 本文在于论述这两种等效在基电课程中的妙用。

在线性非时变电路中, 我们高中即学过的电阻的串联并联是最最基本的“合”等效和“分”等效思想的运用, 一些看上去十分复杂的电阻网络, 通过适当的等效为一个电阻进行计算。

正是由于这条思路的存在, 即产生了串联电压源的合并, 并联电流源的合并, 无伴电流源转移, 求解对称网络中分解合并各类线性元件一系列等种种等效变换, 可以说“合”等效和“分”等效可以大大减少我们解题所需的时间。

而在学习了叠加定理以后, 我了解到不仅电路元件可以“合, 分”。即使在求解复杂的电路中也可以使用将电路分解的方法将一个复杂的电路问题转化为多个简单的电路问题的分析。叠加定理在线性电路中将电路的“合, 分”等效发挥到了极致。

下面一题充分体现了叠加定理得妙用。

如图1所示。

图示电路中当电流源Is1和电压源Us1同时反向时, 电压Uab是原来的0.5倍;当Is1和Us2同时反向时, 电压Uab是原来的0.3倍, 问仅Is1反向时, Uab应该是原来的几倍?

分析:由于图中是三个独立电源, 响应Uab与这三个激励之间有线性比例关系, 即K1, K2, K3利用叠加性有

由已知条件代入即可得:IS1反向时, Uab是原来的1.8倍。

推广:如题设中给n个电流源或电压源都可以列出式 (1-1) 的推广Ua b=K1IS 1+K2IS2+K3IS3++KnISn进行计算。

叠加定理十分有用, 然而它只适用于线性电路, 只能是电流和电压的叠加, 不能是功率。对受控源亦不适用。

然而真的在计算任何功率时真的无法使用叠加定理吗?未必如此, 只需加上部分条件问题迎刃而解。

如果在一个网络中既含电流源又含电压源, 某支路的功率等于电流组单独作用时功率和电压组单独作用功率之和。

以下我们用一道小题目验证。

如图2所示。

容易算得中间一个电阻的功率为P=0.5W, 当电流源单独计算时P1=0.25W, 当电压源单独工作时P2=0.25W。P=P1+P2。

如果将图示中电流源换成电压源却并不成立。因为此时

使用叠加定理只计算了前面两项而忽略了后面两个互相作用项。而上图电路中功率可以直接叠加的原因是由于其互相作用项和为0正好抵消的缘故。使用特勒根定理可以很方便的验证这个结论, 限于篇幅在这里不给出证明了。

所以功率也可使用一种特殊的叠加方式:在任意的线性电阻网络中所有电源提供等于所有电压源共同提供的功率加上所有电流源共同提供的功率之和。

不仅仅是叠加定理, 戴维宁定理和诺顿定理等效电路也是利用了将多个复杂元件经过合并等效成为电压源与电阻的串联, 电流源与电阻的并联, 这难道不是电路中“合”和“分”的又一重要体现么。

学习了动态网络之后, 电路中不再仅仅是单一的电阻, 元件变得多元, 然而电路分析中“合”等效和“分”等效同样得到了淋漓尽致的使用。

(1) 具有初始电压的电容元件可用无初始电压的电容元件和电压源的串联也可用无初始电压的电容元件和电流源的并联等效。

如图3所示。

下面我会论证可以这样替换的原因。先看一道例题

如图4所示。

C=1F, 求解在零输入条件下。根据公式直接得:, 如果看作如下等效电路

等效的uC即为电阻两端的电压根据零状态响应可算得

两者一致。可见这两种电路是等效的。同理也容易验证在看成电流源与电阻并联时同样适用。

可能有人认为u (0) 是瞬时值, 为什么可以在T的时间段内抵消一直适用呢?

这是由于当t∞时, 电容电压uC0, 在图中的电容会自动产生一个-u (0) , 与长期存在的正u (0) 抵消。

同样的思路可以证明, 电容和电流源并联的等效同样正确。另外, 根据对偶原理电感类似的性质, 在此限于篇幅和时间不再详述。

(2) 在去耦合电感电路中, 我们常常用T型电路和Π型电路进行等效, 或者在一些题目中用串并联, 这也体现了电路解题过程中可以用“分”等效的优势。

如图4所示。

(3) 在学习拉氏变换中, 我发现:拉氏变换的妙用正是在于其很好的利用了电路中带初值电容, 电感, 运用“合, 分”等效为不带初值的电容, 电感并串并联电压源, 电流源得解。如下图5所示。

(4) 在RLC电路中电路叠加原理表现为全响应等于零状态响应+零输入响应。同样在S域分析中, 对于选定的某响应, 设初始电压为t=0, 则

L[全响应]=L[零状态响应]+L[零输入响应]

式中:

为施加于电路的第m个外施独立电压或电流源激励的拉氏变换, 为s的函数, 表明第m个外施激励及其响应的关系, 即网络函数;为电路内部第n个状态变量在t=0时之值, 即

的值, 为s的函

数, 表明第n个内部初始状态等效电源与其响应的关系。上述两式统称为线性时不变电路的叠加公式。

可以说在求解电路问题中, “合, 分”等效无处不在, 如果在学习基电过程中可以熟练地掌握电路中各类叠加, 拆分等效关系, 将能极大地节约我们解题的时间, 并且更清晰的了解各类电路之间的关系。

摘要：全文分两个篇章, 第一篇章着重于线性电路而第二篇章着重于时变电路。

关键词：合并,分解,叠加定理,电容电感的等效,拉氏变换,去耦

参考文献

[1] 王蔼.苏中义, 陈洪亮, 李丹[改编].基本电路理论[M].上海科学技术文献出版社.

[2] 李瀚荪.简明电路分析基础[M].高等教育出版社.

[3] 邱关源.电路 (第四版) [M].高等教育出版社.