线代知识点总结

线代知识点总结（精选6篇）

篇1：线代知识点总结

《线性代数》复习知识点和考题分析

一． 行列式的计算

1.方阵的行列式；2.如何判断行列式是否等于0

二． 矩阵及其运算

1.判断方阵是否可逆，并会求逆矩阵；2.解矩阵方程或求矩阵中的参数；3.求矩阵的 n次幂；4.初等矩阵与初等变换的关系的判定；5.矩阵关系的判定 三． 向量组

1.向量组线性相关性的判定或证明；2.根据向量的线性相关性判断空间位置关

系或逆问题；3向量由向量组线性表示；4.向量组的秩和极大无关组 四． 方程组的解

1.一般方程组求解问题；2.向量组的线性表示、线性相关、线性无关问题；3.与方程组有关的问题

五． 特征值及对角化

1.求矩阵的特征值或特征向量；2.已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征

方程的情况，求参数；3.已知矩阵的特征值或特征向量，求矩阵、其他矩阵的特征值等问题；4.将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化；5.矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵

六． 二次型

1.化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换；2.已知一含参数的二次型化

为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵；3.已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式；4.矩阵关系合同的判定或证明；5.矩阵正定的证明

篇2：线代知识点总结

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间(或称线性空间)，线性变换和有限维的线性方程组。以下是“大学线代知识点总结”希望能够帮助的到您!

01、余子式与代数余子式 a11a12a13(1)设三阶行列式D=a21a22a23，则

a31a32a33①元素a11，a12，a13的余子式分别为：M11=

a22a23a32a33，M12=

a21a23a31a33，M13=

a22a23a32a33a21a22a31a32

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式行列式即元素a11的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素a11，a12，a13的代数余子式分别为：A11=(-1)1+1M11 ，A12=(-1)1+2M12 ， A13=(-1)1+3M13 . 对Aij的解释(i表示第i行，j表示第j列)：Aij=(-1)i+j M ij . (N阶行列式以此类推)

(2)填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31=

0403，A31=(-1)3+1

0403

(3)例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线 一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1, 2, 3? n，即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素aij与元素aji的位置对调(i表示第i行，j表示第j列)，比如说，a12与a21的位置对调、a35与a53的位置对调。

- 2 -

04、行列式的性质 详见课本P5-8(性质1.1.1~ 1.1.7) 其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

? A ，i=k，ai1Ak1+ai2Ak2+ ? +ainAkn= ? (i表示第i行，k表示第k列)

? 0 ，i?k熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题

05、计算行列式 (1)计算二阶行列式

a11a12a21a22a11a12a21a22：

①方法(首选)：

a11a12a21a22=a11a22-a12a21(即，左上角×右下角-右上角×左下角)

②方法：=a11A11+a12A12=a11a22-a12a21

例题：课本P14

a11a12a13(2)计算三阶行列式a21a22a23：

a31a32a33a11a12a13a21a22a23=a11A11+a12A12+a13A13=a11(-1)1+1M11 +a12(-1)1+2M12 +a13(-1)1+3M13 a31a32a33N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.(r是row，即行。c是column，即列)

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

(3)n阶上三角行列式(0元素全在左下角)与n阶下三角行列式(0元素全在右上角)：

D=a11a22?ann(主对角线上元素的乘积) 例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式 例题：课本P11

- 3 -

(4)范德蒙行列式：详见课本P12-13

(5)有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。 例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素 课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0

07、几类特殊的方阵 详见课本P30-32

(1)上(下)三角矩阵：类似上(下)三角行列式 (2)对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0 (3)数量矩阵：主对角线上的元素都相同 (4)零矩阵：所有元素都为0，记作O

(5)单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En (其行列式的值为1)

08、矩阵的运算规则 (1)矩阵的加法(同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同;

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同)： ①课本P32“A+B”、“A-B” ②加法交换律：A+B=B+A

③加法结合律：A+(B+C)=(A+B)+C (2)矩阵的乘法(基本规则详见课本P34阴影)：

①数与矩阵的乘法： I.课本P33“kA”

II.kA=knA(因为kA只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式) ②同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础)：

?a11a12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22???a21a22??×??b21b22??=??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?? ???????AB?描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为??CD??，则

??

- 4 -

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A=a11×b11+a12×b21

B的值为：①中第1行的`每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B=a11×b12+a12×b22

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C=a21×b11+a22×b21

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D=a21×b12+a22×b22.

?a11a12a13??b11b12b13??a11b11?a12b21?a13b31a11b12?a12b22?a13b32a11b13?a12b23?a13b33???????a21a22a23b21b22b23a21b11?a22b21?a23b31a21b12?a22b22?a23b32a21b13?a22b23?a23b33×=?????? ?a31a32a33??b31b32b33??a31b11?a32b21?a33b31a31b12?a32b22?a33b32a31b13?a32b23?a33b33????????A?描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为?D?G?BEHC??F?，则 I??A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A=a11×b11+a12×b21+a13×b31

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k(lA)=(kl)A ，(kA)B=A(kB)=k(AB) ④数乘分配律：(k+l)A=kA+lA ，k(A+B)=kA+kB ⑤乘法结合律：(AB)C=A(BC)

⑥乘法分配律：A(B+C)=AB+AC ，(A+B)C=AC+BC ⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，(AB)k ≠ A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2 ，(A+B)2不一定等于A2+2AB+B2，(A+B)(A-B)不一定等于A2-B2 . 当AB=BA时，以上三个等式均成立 (3)矩阵的转置运算规律：

① (AT )T=A ② (A±B)T=A T±B T ③ (kA)T=kAT ④ (AB)T=B TAT

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篇3：谈课堂教学中的知识总结

数学教学的经验告诉我们, 课堂教学之主体——学生的学习离不开对知识经常性的归纳和总结。其目的是使学生把握知识的形成过程, 理解知识的内在联系, 从根本上认识知识并合理有序地进行知识的顺应和同化。再者, 不断总结解决问题的基本方法, 形成思维的各种特性, 由于这种铺垫, 才能使学习过的知识有效地发散、合理迁移、对思维广泛性及深刻性的培养从而进行创造性思维提供潜在可能。

本文试图通过教学实例从几个方面来谈谈教学中的知识总结。

1. 知识总结的基本途径

1.1 总结知识的形成过程。

教材中的知识是由若干知识点组成。每一个或几个知识点串连成线, 然后通过系列知识构成知识系统。其中的定义、概念的生成, 公式、定理的推证, 都将成为能力形成的知识源。通过对知识源的感知理解, 原原本本的加工和模仿重新构建, 使得知识的掌握更具原创性, 学习和归纳总结的知识也才掌握得更牢固。

知识形成过程可在每一课时单元结束时进行。这时, 本课时的主要知识点和重难点学生已基本把握, 回味一下知识的发生脉络对感知和理解知识相当必要, 这其实就是课堂小结。课堂小结也是对知识的再次感知, 可达到新层次的飞跃, 突破零碎不连续的知觉。当然, 每节课的课堂小结并不是简单的列出几个知识要点, 或重复知识的多寡。更主要的是小结知识的发生、发展及形成过程, 强调为什么是这样。如运算中的乘方与指数、对数的运算法则, 立体几何中的各种角或距离的定义等。课堂小结的形式在小结知识, 其精髓在展现知识发生的过程。

根据教材的编写体系, 在一个或几个单元或某章结束后进行知识总结更不能缺少。方法较多, 一般都是针对某一线索。如:以概念为主线, 将本章的所有知识点以线性方式排列, 逐个逐个小结它们的发生发展及形成过程;也可以以问题特别是典型问题为背景小结阐释知识的应用过程, 并将这些问题归类拓宽加深并尽可能形成多组变式题例, 用以培养思维的深刻性;还可通过本章所用的数学方法、思想进行小结, 提炼并体验数学概念高度的抽象性和严密性, 进而生成数学知识之间的逻辑性和系统性。所有的小结都应该与学生一同参与, 促使学生主动探索自主构建知识网络养成良好习惯。

1.2 总结知识的内在联系。

知识之间是相互联系的。上、下位概念、前后章节知识、公式法则, 无一不体现知识的点与点之间紧致有序的联系。寻求这种联系, 收集、编码、储存已学习过的知识信息, 对揭示知识的本质、理解把握知识是大有裨益的。

内在联系的寻求, 往往从知识的生长点出发, 在知识的交叉点建立联系。

总结知识的内在联系, 不仅体现在源概念上, 更多的是总结和发现各自的本质特征, 在个性之中概括共性。

总结知识的内在联系, 还应表现在总结知识的整体把握上。显然, 教材的编写考虑了认知者的认知与思维水平, 不得不把整体知识分割成若干片段或不同层次放在不同年级的教材中。如方程:从简单的一次、整式、分式、无理 (根式) 绝对值、指对及函数方程等均割裂在不同年级, 知识总结时, 应当把每一前件和后续知识纳入学生的整体认识水平中去, 即把当前知识归位于“方程”这根链条上来。

1.3 总结解题中的思维过程。

问题是数学的心脏, 解决问题是学习数学的重要手段。心智的发展离不开思维的发展, 解题中的思维及教学中的思维训练, 是成功解决问题的核心, 其中思维策略及其选择是培养解决问题能力的途径。问题解决必须通过思维, 也可训练思维, 发展思维, 而思维的发展是一个由低向高逐次递进螺旋上升的过程。皮亚杰认为, 青少年的思维发展有:感知运演、前运演、具体运演、形式运演四个阶段, 即使人们进行高级的形式运演思维时, 也离不开低级别的前运演阶段。

解决问题从认识论角度讲, 必须通过抽象问题具体化, 一般问题特殊化等多次思维总结, 反复暴露思维中的不足和弱点。经验告诉我们, 在思维的低级阶段, 应主要训练思维的方向性和多样性 (广阔性) , 随着知识面的增大, 就应注意思维的灵活性、深刻性与批判性的培养, 从而孕育思维的创新性。

事实上, 作为每节课的例题, 无论是基础知识还是综合运用, 都有其深刻的思维背景, 也是解决问题的核心。

1.4 总结学习或解题中的经验性结论。

思考问题或解决问题总是在头脑中要积累一定的解题经验。构成这些经验的对象一般包括知识点、解题过程、解题步骤、解题方法、习惯性思维模式等“过程元”, 对“过程元”的连结, 按逻辑顺序的发生发展最终表现为一个完整的解答过程, 串联这一过程的每一“过程元”我们就称为经验性结论。通常, 它包括知识性与方法性的两个方面。

1.5. 以问题形式或编制问题进行总结。

课堂教学即将结束前, 教师给出一组与教学内容相关联的问题 (习题) , 让学生迅即解决, 这也是一种好的小结方式。问题的呈现应该体现知识的提高与思维的锤炼, 如可以以正向、逆向;特殊、一般;开放、探究等问题方式。有很多老师把让学生编制问题作为课堂小结也不失为一种好的小结方式。

总之, 课堂小结应突出教学目标, 突出基础知识、基本技能、主要数学思想, 语言简明, 要点明确。小结可以以口述、表格、文字、图式、问 (试) 题等形式呈现。

2. 知识总结的基本特性

虽然知识学习过程中应提高知识总结的力度, 但应注意下述特性:

2.1 层次性。

教材演绎体系反映了知识展现的不同层次, 学生的不同年龄阶段也决定了接受知识的不同层次。同样, 从人类认识论来看, 也经历从感性认识到理性认识这种螺旋上升循环往复的认识过程。为此, 知识总结应体现层次性, 并表现在学习的各个阶段和知识的不同方面。

如对称问题:在初中阶段, 学习了简单的对称及其对称图形, 基本了解了对称的概念, 从感性上能够认识现实生活中的一些对称并从理性上能够通过对称证明平面几何中的一些简单问题就达到了要求。在高中, 高一学习反函数、三角函数再次引入对称, 不仅要求学生理解对称的概念, 而且还要求学生借助图形能够从理性的代数角度给以证明和应用。解析几何把对称作为一类重要问题要求学生掌握, 就不仅仅是感性和理解的层次, 作为概念和知识, 必须要求学生掌握甚至熟练掌握。事实上, 较低层次的几何对称已经历不同阶段和不同层次, 更高层次的对称问题反映在极为抽象的背景中。如对称式 (等式或不等式) 、对称关系、对称函数、对称运算等, 由它们建立并抽象出来的对称思想、方法在中学的知识体系中比比皆是, 如果通过问题时时加以总结归纳, 那么学生的理解和认识水平就不会停留在简单与低层次上。

2.2 系统性。

系统化、条理化是把握知识的关键。系统性这里主要指知识系统, 其实就是一种知识网络, 就知识小结而言, 主要对知识点的系统归纳、问题解决的方法技巧、问题的不同发散模式。

2.3 渐进性。

渐进, 即循序渐进。学习活动是一个特殊的认知过程, 循序渐进地学习、接受、理解, 在大脑中合理有序的编码、存储, 人的认知规律充分体现了这一渐进性, 知识总结也应不例外。最明显的范例莫过于对复数的认识, 此不赘述。

2.4 主体性。

先教会学生模仿进行模仿性总结, 然后引导学生分析、归纳、综合, 主动进行总结。教师在给学生示范性总结时, 应该以多种形式示范, 以免学生造成死记硬背和机械模仿从而导致对不同知识的不同侧面有“千人一面”的形式上的小结。示范时, 重点在于示范小结方法。

篇4：自然地理知识点总结

一、宇宙中的地球

1.地球在宇宙中的位置

（1）天体：是宇宙中物质的存在形式。如，闪烁的恒星、轮廓模糊的星云、行星、卫星、一闪即逝的流星、拖着长尾巴的徽行等。

（2）天体系统：运动中的天体与天体之间相互吸引、相互绕转就形成了不同级别的天体系统。

（3）天体系统的级别：

由上图可知，目前人类所知道的最高一级天体系统为总星系；最低一级天体系统为地月系。宇宙包括总星系和人类未探测区域。

（4）光年：计算天体间距离的单位。1光年即光在一年中传播的距离，约为94605亿千米。

2.太阳系中的一颗普通行星

（1）行星绕日公转的运动特征：方向具有同向性、轨道面具有共面性、轨道形状具有近圆性。

（2）结构特征：可从质量、体积、距日远近来描述行星的结构特征。

（3）距日由近到远歌诀：水金地火木土天海；小行星带位于火星和木星之间。

（4）行星分类：类地行星：水星、金星、地球、火星；巨行星：木星、土星；远日行星：天王星、海王星。

3.存在生命的行星

在太阳系的八颗行星中，地球是唯一一颗适合生物生存和繁衍的行星。为什么地球上会出现生命？

（1）有适宜的温度——地球与太阳的距离适中，因而有适宜的温度。

（2）有液态水。

（3）有适合生物呼吸的大气——地球的体积和质量适中，其引力可以使大量的气体聚集在地球的周围，因而有适合生物呼吸的大气。

二、太阳对地球的影响

1.太阳辐射对地球的影响——为地球提供能量

（1）太阳辐射：太阳以电磁波的形式向四周放射能量，这种现象称为太阳辐射。

（2）太阳能量的来源：太阳内部的核聚变反应。

（3）太阳辐射对地球的影响：

①太阳直接为地球提供了光、热资源，地球上生物的生长发育离不开太阳。

②太阳辐射能维持着地表温度，是促进地球上的水、大气运动和生物活动的主要动力。

③提供矿物燃料：煤、石油。

④太阳辐射是我们日常生活和生产所用的太阳灶、太阳能热水器、太阳能电站的主要能量来源。

2.太阳活动影响地球

（1）太阳活动的主要类型：黑子、耀斑。

①黑子：发生在光球层，黑子的温度比其他地方低。

②耀斑：发生在色球层，色球的某些区域突然出现的大而亮的斑块。

③黑子、耀斑周期：11年，同步起落，体现太阳活动的整体性。

（2）太阳活动对地球的影响：引起电离层扰动，干扰无线电短波通信；干扰地球磁场；等等。

三、地球的运动

1.地球运动的一般特点

（1）地球运动的两种形式：自转和公转运动。

（2）地轴的方向：它的北端始终指向北极星附近。

（3）自转的方向、公转的方向：自西向东。

（4）自转的周期：1日：恒星日——23时56分4秒，太阳日——24小时。

（5）自转角速度：除两极点外，任何地点的角速度相同，都约为15°/时。

（6）自转线速度：由赤道向两极递减。

（7）公转的轨道（近日点和远日点、快慢）：地球公转轨道是近似正圆的椭圆形轨道，太阳位于椭圆的一个焦点上，使地球绕日公转中出现近日和远日现象。地球位于近日点附近时，公转速度较快；地球位于远日点附近时，公转速度较慢。

（8）公转周期：1年：恒星年——365日6时9分10秒。

2.太阳直射点的移动

（1）赤道平面：过地心并与地轴垂直的平面。

（2）黄道平面：地球公转的轨道平面。

（3）黄赤交角：23°26′。

（4）回归年：365日5时48分46秒。

3.昼夜交替与时差

（1）晨昏线（圈）：昼半球和也半球的分界线。

（2）地方时：经度相差1度，地方时相差4分钟。正午时，太阳高度角为一天中的最大值，地方时为12点。

（3）区时：全球分为24个时区，每个时区跨经度15°。各时区都以本时区中央经线的地方时，作为本区的区时。相邻两个时区的区时相差1小时。

（4）国际日界线：原则上以180°经线作为地球上“今天”和“明天”的分界线。

（5）北京时间：东八区区时，120°E的地方时。

（6）地球自转的地理意义：产生了昼夜交替、地方时。

3.地球的公转与季节

（1）正午太阳高度：地方时12点时，太阳光线与地面的夹角。

（2）太阳直射：正午太阳高度为90度，太阳光线延长线经过地心。（图中红线为太阳直射线）

（3）正午太阳高度变化规律：由太阳直射点向南、北两侧递减。

（4）某地正午太阳高度=900-∣某地纬度-太阳直射点纬度∣。

（5）太阳直射点的移动：

（6）春分（秋分）：

①侧视图：

②日期：春分在3月21日前后，秋分在9月23日前后。

③该日太阳直射赤道。

④晨昏线和太阳光线垂直。

⑤地轴和晨昏线重合。

⑥全球昼夜等长。

⑦正午太阳高度从赤道向南、北两侧递减。

（7）夏至：

①侧视图：

②日期：6月22日前后。

③太阳直射北回归线。

④晨昏线和太阳光线垂直。

⑤北半球昼长夜短，北极圈及以内出现极昼；南半球夜长昼短，南极圈及以内出现极夜。赤道昼夜等长。

⑥正午太阳高度从北回归线向南、北两侧递减。

（8）冬至：

①日期：12月22日前后。

②太阳直射南回归线。

③晨昏线和太阳光线垂直。

④北半球昼短夜长，北极圈及以内出现极夜；南半球夜短昼长，南极圈及以内出现极昼。赤道昼夜等长。

⑤正午太阳高度角从南回归线向南、北两侧递减。

（9）夏半年与冬半年：夏半年昼长大于夜长；冬半年夜长大于昼长。

（10）四季划分：夏季：白昼最长、太阳高度最高、获得太阳辐射最多；冬季：白昼最短、太阳高度最低、获得太阳辐射最少；春秋季：冬、夏两季的过渡季节。北温带许多国家一般把3、4、5三个月划分为春季，6、7、8三个月划分为夏季，9、10、11三个月划分为秋季，12、1、2三个月划分为冬季。

（11）地球公转的地理意义：正午太阳高度的变化、昼夜长短的变化、四季的更替、五带的划分。

四、地球的圈层结构

1.地球的内部圈层

（1）地震波：当地震发生时，地下岩层受到强烈冲击，产生弹性震动，并以波的形式向四周传播。这种弹性波叫地震波。

地震波的特性：纵波：传播速度快，可通过固体、液体、气体传播。横波：传播速度慢，只能通过固体传播。

（2）地震波在地下传播速度会发生变化，而某些地区一定深度处，地震波有明显的突变，这种波速发生突变的面叫做不连续面。

①莫霍界面：在地面下平均33千米处（指大陆部分），在这个不连续面上，纵波和横波的传播速度都明显增加。

②古登堡界面：在地面下2900千米处，在这里纵波的传播速度突然下降，横波完全消失。

（3）地壳：地面以下，莫霍界面以上的部分，由岩石组成。

（4）地幔：莫霍界面以下，古登堡界面以上的部分。在上地幔的上部，有一个物质呈融熔状态的软流层，一般认为软流层是岩浆的主要发源地。

（5）岩石圈：软流层以上部分，包含地壳。

（6）地核：以古登堡界面与地幔分界，分为外核和内核两层。

2.地球的外部圈层

（1）大气圈：由气体和悬浮物组成的复杂系统。

（2）水圈：地球表层水体构成的连续但不规则的圈层。它包括地表水、地下水、大气水、生物水等。

（3）生物圈：地球表层生物及生存环境的总称。它占有大气圈的底部、水圈的全部和岩石圈的上部。【知识梳理】

第二章 地球上的大气

一、大气的受热过程

1.太阳辐射能是大气最重要的能量来源。部分太阳辐射能被大气吸收或反射，大部分到达地面，地面又以长波辐射的形式将热量传递给大气。

2.从大气的受热过程看，地球大气对太阳短波辐射吸收得较少，而对地面长波辐射吸收得却比较多。

3.地面是近地面大气的主要、直接的热源。

二、热力环流

1.大气运动的能量来源于太阳辐射，太阳辐射能的纬度分布不均，造成高低纬度间温度差异是引起大气运动的根本原因。大气中热量和水汽的输送，以及各种天气变化都是通过大气运动实现的。

2.由于地面冷热不均而形成的空气环流，称为热力环流。它是大气运动的最简单形式。

3.热力环流的形成过程：冷热不均→大气垂直运动→同一水平面上产生气压差异→大气水平运动。

三、大气的水平运动

1.单位距离的气压差叫做气压梯度。只要它存在于水平面上，就会产生促使大气由高压流向低压的力，这个力称为水平气压梯度力。

2.大气的水平运动叫做风，水平气压梯度力是其形成的直接原因。

3.促使物体水平运动方向发生偏离的力，叫做地转偏向力。

4.理想状态下：在水平气压梯度力的作用下，风向与水平气压梯度力方向一致，垂直等压线。高空：在水平气压梯度力和地转偏向力的作用下，风向平行等压线。近地面：在水平气压梯度力、地转偏向力和摩擦力共同作用下，风向与等压线之间成一夹角。

四、气压带和风带的形成

1.大气环流是指全球性的有规律的大气运动。其形成的原因是不同纬度地区得到的太阳辐射不同。

2.赤道地区得到的太阳辐射多，近地面空气受热膨胀上升，气压降低。在这一地区就形成了低气压带——赤道低气压带。

3.上升气流在赤道地区上空聚集，气压升高，大气向南、北运动。在北半球，由于受地转偏向力的影响，南风在北纬30°附近上空偏转成西风，这样气流不断堆积下沉，近地面气压升高，形成副热带高气压带。在南半球同样也形成了一个副热带高气压带。

4.在北半球，从副热带高气压带流出的气流向南、北运动，在地转偏向力的影响下，向南流动的气流偏转成东北风，向北流动的气流偏转成西南风。

5.北极及附近地区，由于得到的太阳辐射最少，终年寒冷，空气下沉，近地面形成极地高气压带。北极大气向南流出，偏转形成东北风。它与较暖的盛行西风在北纬60°附近相遇，暖而轻的气流爬升到冷而重的气流之上，形成副极地上升气流，致使北纬60°附近的近地面气压降低，形成副极地低气压带。

五、北半球冬、夏季气压中心

1.夏季，陆地升温快，气温高，气压低，形成低气压中心；海洋相反，形成高气压中心。冬季，陆地降温快，气温低，气压高，形成高压中心；海洋相反，形成低压中心。

2.北半球的陆地面积比南半球的陆地面积大，而且海陆相间分布，使呈带状分布的气压带被分裂成一个个高、低气压中心。

3.东亚位于亚洲东部，面临太平洋，海陆的气温差异比其他地区显著，所以海陆的气温差异和季节变化比较明显。

六、气压带和风带对气候的影响

1.气压带和风带是气候形成的一个重要因素，但不是唯一因素。一个地方气候的形成是太阳辐射、大气环流、海陆分布、地形、洋流等因素综合影响的结果。

2.热带雨林气候是在赤道低气压带控制下形成的；温带海洋气候形成与西风带有很大关系；在副热带高气压带和西风带交替控制下形成了地中海气候。

七、锋与天气

1.气团：水平方向上温度、湿度等物理性质分布比较均一的大范围空气。

2.锋面：当冷暖两个性质不同的气团在移动过程中相遇时，它们之间就会出现一个倾斜的交界面。

3.锋面与地面相交的线叫锋线，锋面自地面向高空向冷气团一侧倾斜。

4.冷锋是冷气团主动向暖气团方向移动的锋。冷锋过境前，天气温暖晴朗；过境时，常有阴天、下雨、刮风、降温等天气现象；过境后，气温和湿度骤降，天气晴朗。

5.暖锋是暖气团主动向冷气团方向移动的锋。暖锋过境前，天气低温晴朗；过境时，出现连续性降水；过境后，气温上升，气压下降，天气转晴。

八、低压（气旋）、高压（反气旋）和天气

1.低气压：中心气压低于四周。高气压：中心气压高于四周。气旋：中心气压低、四周气压高的大气水平涡旋。反气旋：中心气压高、四周气压低的大气水平涡旋。低压槽：从低气压延伸出来的狭长区域。高压脊：从高气压延伸出来的狭长区域。

2.在北半球，气旋区域内空气作逆时针方向流动，南半球相反。反气旋区域内空气作顺时针方向流动，南半球相反。气旋存在和发展的前提是一个由气流垂直运动连接而成的低空辐合、高空辐散的环流系统。反气旋存在和发展的前提是一个由气流垂直运动连接而成的低空辐散、高空辐合的环流系统。

九、全球气候在不断变化之中

1.气候变化主要表现为不同时间尺度的冷暖或干湿变化。

2.近百年全球变化的显著特点是气温升高。

十、全球气候变化的可能影响

1.气候变化的影响是长远而巨大的，对于有些地区来说，许多影响是负面的或不利的。

2.全球变暖的后果有：

（1）海平面上升。

（2）位于低纬度的大部分国家，农作物的产量将减少，而位于高纬度的国家，农作物的产量有可能增加。

（3）加剧水资源的不稳定性与供需矛盾。

十一、气候变化的原因及对策

1.全球变暖的主要原因是大气中的二氧化碳、甲烷等温室气体的增加。

2.全球气候变化的对策：控制温室气体排放。

十二、东亚季风和南亚季风的比较

十三、世界气候类型的成因、特点和分布

第三章 地球上的水知识小结

一、相互联系的水体

1.水圈（连续但不规则的圈层）。在水的三态中，气态水数量最少但分布最广；液态水数量最大，分布次之；固态水仅在高纬、高山或特殊条件下才能存在。

地球上的水体包括海洋水、陆地水和大气水三种类型，其中海洋水是最主要的，占全球水储量的96.53%。在地球淡水中，冰川是主体。

2.陆地水的相互关系：是指陆地上的各种水体之间的运动转化及其水源补给关系。

二、水循环的过程和意义

1.水循环：是指自然界的水在水圈、大气圈、岩石圈、生物圈四大圈层中通过各环节连续运动的过程。

水循环的环节主要有：地表径流、地下径流、大气降水、蒸发和蒸腾、水汽输送和下渗。

2.水循环的类型：（1）海陆间循环（大循环）最为重要——它使陆地上淡水资源得以更新。

（2）海上内循环（水量最大）。

（3）陆地内循环

3.水循环的地理意义：（1）维持全球水的动态平衡，促进水体的更新。

（2）促进高低纬之间的热交换。

（3）通过径流促进物质的迁移。

（4）水的侵蚀和堆积作用又不断塑造着地表形态。

三、世界海洋表层洋流的分布

1.海水运动的形式：波浪、潮汐和洋流。

2.洋流的定义：海洋中的海水常年比较稳定地沿着一定方向做大规模的流动。盛行风是洋流形成的主要动力。

3.洋流的分类：（1）按成因分：风海流、密度流和补偿流。

（2）按性质分为暖流和寒流两种类型。

4.世界表层洋流分布规律：

四、洋流对地理环境的影响

1.调节全球热量平衡：

2.对气候的影响：①北大西洋暖流对西欧海洋性气候的影响；②南北半球热带沙漠气候的形成与寒流的关系，如秘鲁寒流与南美大陆西岸狭长的热带沙漠。③俄罗斯北冰洋沿岸的摩尔曼斯克港位于北极圈以内，却终年不冻；而其太平洋沿岸的符拉迪沃斯托克港位于43°N附近，却有长达近半年的结冰期，这主要是由于它们分别受到北大西洋暖流和千岛寒流的影响所致。

3.对海洋生物资源和渔场的分布有显著的影响：寒暖流交汇处可形成渔场，如北海道渔场（日本暖流和千岛寒流交汇）、北海渔场（北大西洋暖流和东格凌兰寒流交汇）、纽芬兰渔场（墨西哥弯暖流和拉布拉多寒流交汇）、秘鲁渔场是由于离岸风引起上升流补偿流形成的。

4.影响航海：顺流快，逆流慢；寒暖流相遇，往往形成海雾，对海上航行不利。

5.对海洋污染物的影响：有利于污染物的扩散，但使污染范围扩大。

五、水资源的含义及分布

1.水资源的含义。广义：地球上水圈内的水量总体（包括大气水、海洋水和陆地水）。狭义：陆地上的淡水资源。比较容易利用的淡水资源（包括河流水、淡水湖泊水、浅层地下水）。

2.水资源的分布。（1）世界水资源分布不均。影响因素：降水量的时间与空间分布不均。衡量水资源丰歉程度的主要指标——多年平均径流总量（径流量=降水量—蒸发量）。

（2）水资源的分布规律。① 从水循环角度看：降水量大、水循环活跃的地区，水资源丰富；反之，水资源贫乏。② 从世界范围看：按大洲说，亚洲最多，南美洲次之，大洋州最少；按国家说，巴西最多，俄罗斯次之，我国居世界第六。（分析径流量时，不仅要看总量多少，还要看人均径流量）③从我国看：数量上：总量丰富，人均不足。空间分布上：东多西少，南多北少。时间分布上：夏秋多，冬春少；年际变化大。

六、水资源与人类社会

1.水资源的数量会影响经济活动规模的大小（如我国商品粮生产基地主要分布在东部，西部很少）。

2.水资源的质量会影响一个地区的经济活动的效益（如酒厂、饮料厂的分布）。

3.在不同社会历史时期，水资源的数量和质量对人类社会的影响程度是不同的。

七、合理利用水资源

1.水资源利用现状。（1） 需水量增长速度超过可供求量增长速度

（2） 浪费与水污染严重

2.合理利用水资源措施。（1）开源：合理开发和提取地下水；修筑水库，把大气降水以及洪水期多余的河水蓄积起来；开渠引水，把水资源相对丰富地区的水调入水资源相对贫乏的地区，加强对水资源在时间和空间分布上的调节；海水淡化、人工增雨；等等。

（2）节流：加强宣传教育，提高公民节水意识；重视改进农业灌溉技术；提高工业用水的重复利用率，从农业和工业这两个用水大户中挖掘水资源的潜力等。

2.外力作用。外力作用的表现形式：风化、侵蚀、搬运、堆积和固结成岩

（1）风化作用：在水、温度及生物等的影响下，地表或接近地表的岩石经常发生崩解或破碎，形成许多大小不等的岩石碎块或砂粒。为其他外力作用创造条件。

（2）侵蚀作用：流水侵蚀：使谷底、河床加宽加深，使坡面趋于破碎。

风力侵蚀：形成风蚀洼地、风蚀柱、风蚀蘑菇等。

冰川侵蚀：形成冰斗、角峰、“U”形谷。

海浪侵蚀：形成海蚀陡崖等。

（3）搬运作用：为堆积地貌的发育输送大量物质。

（4）堆积作用：在流水和风力搬运的过程中，由于流速或风速的降低，导致物质逐渐沉积，在沉积过程中颗粒大、比重大的物质先沉积，颗粒小、比重小的物质后沉积，所以沿着水流方向我们先看到颗粒比较大的沙子，越往后沙粒越小。流水堆积：形成冲击扇、三角洲、河漫滩平原。风力堆积：形成新月形沙丘。冰川堆积：形成冰碛地貌、冰蚀湖等。海浪堆积：形成沙滩。

二、岩石圈的物质循环

1.岩石按成因分为岩浆岩、变质岩和沉积岩。（1）岩浆岩：是岩浆活动的产物。是在地球内部压力作用下，岩浆沿着岩石圈的薄弱地带侵入岩石圈上部或喷出地表，冷却凝固形成。分为喷出岩和侵入岩，如花岗岩、玄武岩等

（2）沉积岩：是裸露地表的岩浆岩在风吹、雨打、日晒以及生物作用下，逐渐成为砾石、沙子和泥土。这些碎屑物质被风、流水等搬运后沉积下来，经过固结成岩作用形成。如砾岩、砂岩、页岩、石灰岩等。沉积岩的特点：具有层理构造，含有化石。

（3）变质岩：各种已经生成的岩石，在一定的温度和压力下发生变质作用形成。如大理岩、板岩等

2.三大类岩石的相互转化。如下图所示。

4.褶皱山。在地壳运动产生的强大的挤压作用下，岩层会发生塑性变形，产生一系列的波状弯曲，叫做褶皱。褶皱的基本形态是背斜和向斜。

5.断块山。当地壳运动产生的强大压力和张力，超过了岩石的承受能力时，岩体就会破裂。岩体发生破裂后，如果两侧的岩体沿断裂面发生明显的位移，就形成了断层。

断层在山区是经常可以看到的，常常表现为悬崖、陡壁、峡谷等。在断层构造地带，由于岩石破碎，易受风化侵蚀，常常发育成沟谷、河流。

6.火山。火山由火山口和火山锥两部分组成。

五、山岳对交通运输的影响

1.对交通运输方式选择的影响。在山岳地区修建交通运输干线，不仅成本高，难度也比较大。为了降低修建成本和难度，在山岳地区，人们通常优先建造成本较低、难度较小的公路，其次才是铁路。

2.对交通运输线路分布的影响。由于山岳地区相对高度大，地表崎岖，因此线路选择时应避开陡坡和沼泽地，而是选择在地势相对和缓的山间盆地和河谷地带。

3.对交通线路延伸方向的影响。为了达到线路的技术要求，在山岳地区修建公路和铁路往往需要迂回前进。如在陡坡上往往是“之”字形弯曲。

六、河流侵蚀地貌

河流在流动过程中，会破坏并掀起地表的物质，形成侵蚀地貌。河流侵蚀地貌是由溯源侵蚀、下蚀和侧蚀共同作用形成的。

1.河流侵蚀的三种类型。

七、河流堆积地貌

被河流搬运的物质，在河流搬运能力减弱的情况下，会沉积下来，形成堆积地貌。在河流堆积地貌中，冲积平原是比较典型的地貌类型。

1.洪积—冲积平原—发育于山前。季节性的洪水或河流在山区流动时，由于山区内地势陡峭，水流速度快，携带了大量砾石和泥沙。可是，当水流流出谷口时，由于地势突然趋于平缓、水道变得开阔，水流速度放慢，河流搬运的物质逐渐堆积下来，形成洪积扇或冲积扇。颗粒由扇顶到扇缘越来越小。

2.河漫滩平原发育于河流的中下游。在中下游地区，河流下蚀作用较弱，侧蚀作用较强。河流往往在凹岸侵蚀，在凸岸堆积形成水下堆积体。堆积体的面积逐步扩大，在枯水季节露出水面，形成河漫滩。

3.三角洲平原形成于河流入海口。河流人海处水下坡度平缓，河水流速减慢，河流所携带的泥沙便会堆积在河口前方，形成三角洲。

八、河流地貌对聚落分布的影响

第五章 自然地理环境的整体性和差异性

第一节 自然地理环境的整体性

一、地理要素间进行着物质与能量的交换

1.自然地理环境的组成要素：大气、水、岩石、生物、土壤、地形等地理要素组成。自然地理环境各要素通过水循环、大气循环、生物循环和岩石圈物质循环等过程，进行着物质迁移和能量交换，形成了一个相互制约和相互联系的整体。

2.生物循环：生物通过光合作用将二氧化碳和水及无机盐合成为贮藏能量的有机物（主要是糖类），并且释放出氧，同时光合作用合成的有机物又成为动物的食物。植物和动物的有机残体被微生物分解后，又以无机物的形式归还到周围环境中。这种有机质的合成与分解过程，称为生物循环。

生物循环促使自然界物质和化学元素不断地迁移运动，能量不断地流动、转化，从而把自然地理环境中的有机界和无机界联系起来。

3.生物在地理环境中的作用

生物既是自然地理环境的产物，又是自然地理环境的创造者。

（1）现今地球大气组成，是生物生命活动参与的结果。大气中的氧主要来源于植物的光合作用，大气中的氮也有一部分来自生物的作用。

（2）生物生命活动在一定程度上制约陆地水的化学成分。

（3）加快了岩石的风化，促成了土壤的形成。

（4）生物多次对自然地理环境中的物质进行加工。使地球面貌发生了根本的变化，从而形成了适宜人类生存的自然地理环境。

二、地理要素间相互作用产生新功能

1.生产功能

指自然地理环境具有合成有机物的能力——生产功能主要依赖于光合作用。

2.平衡功能

各自然地理要素通过物质和能量交换，使自然地理要素的性质保持稳定的能力。（大气本身不具备减缓co2 增加的功能，但是在自然地理环境中通过各要素的相互作用，却能消除部分新增的co2）

三、自然地理环境具有统一的演化过程

1、自然地理环境各要素时刻在演化（气候变化、地貌变化）

2、地理环境各要素并不是孤立存在和发展的，而是作为整体的一部分发展变化着。一个要素的演化伴随着其他要素的演化。

四、地理要素的变化会“牵一发而动全身”

某一地理要素的变化，会导致其他要素甚至整个环境状态的改变。（破坏森林与植树种草引发不同的环境效应）

在大气、水、岩石、生物、土壤等地理要素中，人类活动比较容易导致生物发生变化。

第二节 自然地理环境的差异性

一、空间尺度划分：

全球性的地域分异：温度带分异和海陆分异

区域性的地域分异： 陆地环境的地域分异

二、自然带

1.概念

陆地上不同的地区，由于所处的纬度位置、海陆位置互不相同，水热组合不同，形成不同的气候类型。不同的气候类型，又对应了与之统一的植被类型和土壤类型。相应的气候、植被和土壤共同形成了具有一定宽度、呈带状分布的陆地自然带。

2.自然带的划分（北半球为例）利用气候图对照分析自然带的分布。

热带雨林气候（南北纬10°之间）

热带草原带（萨瓦纳带）（南北纬10°—南北回归线之间的大陆中西部）

热带荒漠带（南北回归线—南北纬30°之间的大陆中西部）

热带季雨林带（北纬10°—25°之间的亚洲大陆东部）

亚热带常绿阔叶林带（南北纬25°—35之间的大陆东部）

亚热带常绿硬叶林带（南北纬30°—40°之间的大陆西部）

温带落叶阔叶林带（35°—50°之间的大陆东部和40°—60°之间的大陆西部）

亚寒带针叶林带（北纬50°—70°之间）

温带草原带、温带荒漠带、苔原带、冰原带

三、地理环境的地域分异规律

1.由赤道到两极的地域分异规律（纬度地带性）

这种地域分异规律是以热量为基础的。纬度方向上的地域分异，包括低纬和高纬地区横穿整个大陆的地带，以及中纬度在一定范围内东西向延伸南北向更替的地带。

2.由沿海向内陆的地域分异规律（经度地带性）

这种地域分异规律是以水分为基础的，在中纬度地区表现较为明显。由于受海洋水汽的影响，从沿海到内陆，自然景观呈现出森林带、草原带、荒漠带的有规律变化。

3.山地的垂直地域分异规律

篇5：考研线代公式总结

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2.代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

4.设n行列式D：

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)

D； n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)2

D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

2；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； n(n1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOACAB、CAOA

(1)mnCBOBBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6.对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSnkk，其中Sk为k阶主子式；k

12、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解； bRn，Axb总有唯一解； A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0； ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立； 3.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT

(AB)*B*A*

(AB)1B1A1

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若A



A2



，则： 

As

Ⅰ、AA1A2As； A11

Ⅱ、A1



1

1A2

； 

As1

O

；（主对角分块）B1

A1AO

②、

OBO

OOA③、1

BOA

A1AC④、

OBO

11

1

B1

；（副对角分块）O

A1CB1

；（拉普拉斯）B1

O

；（拉普拉斯）B1

A1AO

⑤、11

CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：Fr

O

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b； 4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、



r

r

E

O

； Omn

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

c

2





，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

ii



n

1

111

1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)E(i,j)，例如：1；

11

11

1

11

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：k

k1



1

1k



(k0)； 1

kk11



⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11(k0)；

11

5.矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如1ac01b

的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)n

C0an

C1an1b1

Cmanm

m

nn

n

n

bC

n11n1n

ab

Cbn

n

mmnm

n

Cnab；m0

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

Ⅱ、Cmn(n1)(nm1)n!

n123m

m!(nm)!

C0nnCn1

Ⅲ、组合的性质：Cm

Cnmn

n

C

m

m1n

rn1

CC

mnn

C

n

2n

rCrnCr1

nn1

； r0

③、利用特征值和相似对角化： 7.伴随矩阵：

r(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A*)

n

1

r(A)n1； 

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值：A

1

(AXX,A*AAA*X

A



X)；

③、A*AA

1、A*A

n

18.关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10.线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

1.m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)； 1TTTT

构成mn矩阵B2； ,,mm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2

Tm

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出（线性方程组）Axb是否有解；③、向量组的相互线性表示（矩阵方程）AXB是否有解；

3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14)4.5.r(ATA)r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关0；

②、,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9.对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10.若AmsBsnCmn，则：

cr

8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTiaij

j

1

0

ij

(i,j1,2,n)； ②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2]

[bb1 1,b1]



b[b1,ar]rar

[bb[b2,ar]b[b1,ar]

12rbr1;1,b1][b2,b2][br1,br1]

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5.相似一定合同、合同未必相似；

篇6：线代diag是什么意思

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似(A∽B)，则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵;

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|;