高三回归方程

高三回归方程（共9篇）

篇1：高三回归方程

直线的回归方程教学设计

一、课题引入

引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画．

问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？

设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．

师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础．

二、本节课的新知识

问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．

师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）．

设回归直线方程为为型：，（xi，yi）表示第i个样本点，将样本数据记，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模

模型3：

．

师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线

222较为方便． Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+„+（yn－bxn－a）=

问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？

设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想

师生活动：偏差最小从本质上来说是

2最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=（向学生说明的意义）．通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值．（1）在此基础上，视

为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：

（2）教师指出，称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点

上述方法求回归直线的方法，的中心，所以可得是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小二乘法．

问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？

设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．

师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照、n、、、、顺序来求，再代入公式．我们一般可以列如下表格进行分布计算：

三、知识深化：

问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？

表一：人体的脂肪百分比和年龄

设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．

师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、、、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．

由此可以得到回归直线方程为：

步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成．

问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：

设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为：=0.6541x-4.5659

回归直线为：=0.4767x+4.9476 回归直线为：= 0.5765x-0.4478 问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？

设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念． 案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：

（1）求回归方程；（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数．为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．

让学生完整经历求回归直线的过程．其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免．而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值．

通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系： 1．数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的．

2．回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系．

3．在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理．

四、小结：

问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？ 师生活动：

1.求样本数据的线性回归方程的方法(1)直接运用公式

(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案)2.样本数据与回归直线的关系

篇2：高三回归方程

环境科学研究中的反应动力学方程-对数回归方程

摘要：环境科学研究的一级反应动力学方程相对误差较大,改用对数回归方程则相对误差较小,方法又简易.围绕对数回归方程的.特点,对比一级反应动力学方程,展开了深入的讨论,有理论探讨和数据对比,对数回归方程可作为反应动力学方程.作 者：阮贤 孙福明 RUAN Xian SUN Fu-ming 作者单位：江苏省如皋市环境监测站,如皋,226500期 刊：环境科学与技术 ISTICPKU Journal：ENVIRONMENTAL SCIENCE & TECHNOLOGY年，卷(期)：,30(z1)分类号：X830.2关键词：反应动力学方程 一级反应动力学方程 对数回归方程 相对误差

篇3：“回归方程”理论基础初探

1.利用最小二乘法求线性回归方程的假定和前提

假定 目前在使用最小二乘法求回归方程的问题中, 一般假定随机误差ε集中在变量y上, 而认为变量x是无误差的.然而当变量x和变量y都有误差的情况下, 且不能将其中之一忽略时, 用最小二乘法求取得的回归方程精度较低.

前提 各个yi的随机误差为εi, 要使残差平方和最小的前提 (1) E (εi) =0, 即随机误差ε的数学期望为0; (2) D (εi) =σ2随机误差ε的方差为常数; (3) εi互不相关; (4) εi服从正态分布.虽然偏离正态分布这一前提并不影响正确求取回归方程中的截距和斜率, 但会对假设检验和置信区间的估计产生很大影响.如果不注意上述前提, 滥用最小二乘法, 在某些情况下不仅不能提高, 反而可能降低回归方程精度.

2.最小二乘法求线性回归方程的推导方法

(1) 选修2-3给出一种推导方法这里不再敖述.

(2) 利用导数求解.设残差平方和Q=${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$$(y{}_i-\widehat{y}{}_i){}^2=$

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$ (yi-bxi-a) 2, 要使Q最小, 上式两边分别对a, b求导, 得b=$\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{i}y{}_i-n\overline{x}\overline{y}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i^2-n\overline{x}{}^2}$, $a=\overline{y}-b\overline{x}$.

(3) 利用一元二次函数求解.设残差平方和Q=f (a, b) =

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$ (yI-bxi-a) 2, 即将残差平方和看作f (a, b) 的二元二次函数, 也可以将残差平方和看作f (a) 或f (b) 的一元二次函数, 当a为自变量时, 上式可整理为f (a) =na2+2 (b${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xi-${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$yi) a+ (${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$y${}_i^2$-2b${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xiyi+b2${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$x${}_i^2$) , 要使f (a) 最小, 即自变量a落在一元二次函数f (a) 的对称轴上, 故得a=-$\frac{2(b{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i-{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y}{}_i)}{2n}$, 即${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$yi=na+b${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xi①;当b为自变量时, 上式可整理f (b) =${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$b2+2 (a${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xi-${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xiyi) b+ (${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$y${}_i^2$-2a${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$yi+na2) , 要使f (b) 最小, 即自变量b落在一元二次函数f (b) 的对称轴上, 故得b=-$\frac{2(a{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i-{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{i}y{}_i)}{2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i^2}$, 即${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xiyi=a${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$xi+b${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$x${}_i^2$②.因此当①②同时成立时, f (a) 和f (b) 同时取得最小.即可整理得到b=$\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{i}y{}_i-n\overline{x}\overline{y}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i^2-n\overline{x}{}^2}$, $a=\overline{y}-b\overline{x}.$

3.其他线性回归方程求法简介

(1) 残差绝对值之和最小准则下线性回归方程的求法.

假定 随机误差ε集中在变量y上, 而认为变量x是无误差的.

原理 使残差绝对值之和Q=∑$|y{}_i-\widehat{y}{}_i|$为最小.求法:作图或线性规划等方法.

与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法求回归方程时可求得唯一的a, b的显式表达式, 它们即为所求的回归系数;残差绝对值之和最小准则下回归方程时求解上比较困难, 有时会出现多个解, 并且缺乏显式表达式.

(2) 面积最小准则下线性回归方程的求法.

假定 当变量x和变量y都有误差.

原理 设Δy=y- (a+bx) 为y的实测值与理论值之差, $\text{Δ}x=x-\frac{y-a}{b}$为x的实测值与理论值之差, 使Q=∑ΔxΔy为最小.

与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法求回归方程时我们发现对x, y分别作为自变量, 所得到的回归直线不一致.面积最小准则下回归方程可以解决上述问题, 但其斜率的符号要由散点在直线的上下方位置决定.在实际操作上有一定的困难, 不够方便.

(3) 最小距离准则下线性回归方程的求法.

假定 当变量x和变量y都有误差.

原理 各观测点到直线垂直距离最小, 即使Q=∑$\frac{[y{}_i-(a+bx{}_i)]{}^2}{1+b{}^2}$最小.求法:戴明解法.

与最小二乘法求回归方程比较:最小二乘法由观测点到直线的纵坐标距离的平方和最小, 而最小距离准则下回归方程兼顾了两个方向的误差, 但在一些文献中已经证明了与最小二乘法比较最小距离准则下估计所确定的拟合值$\widehat{y}$与yi的偏差大, 且相对$\overline{y}$的离散程度也大.因此, 最小二乘法优于最小距离准则.也进一步说明了“从整体上看各散点与直线距离最小”往往只需考虑纵方向的距离.

二、非线性回归问题线性化探究

在选修1-2, 2-3中涉及非线性回归问题, 通常是先将其线性化, 再根据最小二乘法求解.目前计算器及计算机中的电子表格也都是利用此方法直接求得非线性回归方程的.但在直接运用变换求解时, 并没有考虑到曲线本身的特点.可线性化的非线性回归模型分为两种情况:一是变量替换不涉及回归系数, 即回归系数不发生变化.

摘要：普通高中课程标准《数学》必修3、选修1-2、选修2-3都涉及有关“回归方程”问题, 教师的感受是统计理论知识缺乏.本人在下面几个方面对教材做了进一步的挖掘.

篇4：回归方程面面观

相关关系

例1 在一组样本数据[（x1，y1），（x2，y2），]…，[（xn，yn）（n≥2），][（x1，x2，…，xn不全相等）]的散点图中，若所有样本点[（xi，yi）][（i=1，2，…，n）]都在直线[y=12x+1]上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）

A. -1 B. 0

C. [12] D. 1

解析 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.

所有样本点[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]都在直线[y=12x+1]上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.

答案 D

例2 下面的4个散点图中，两个变量具有相关关系的是（ ）

[④][③] [①] [②]

A. ①② B. ①③

C. ②④ D. ③④

解析 由图可知：①是一次函数关系，不是相关关系；②中所有点在一条直线附近波动，是线性相关关系；③不具有相关关系；④在某曲线附近波动是非线性相关关系，所以两个变量具有相关关系的是②④.

答案 C

点拨 相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系.

回归方程的意义

例3 根据如下样本数据：

得到的回归方程为[y=bx+a，]则（ ）

A. [a>0] ，[b<0]

B. [a>0] ，[b>0]

C. [a<0] ，[b<0]

D. [a<0] ，[b>0]

解析 根据已知样本数判断线性回归方程中的[b]与[a]的符号. 依题意画散点图知，两个变量负相关，所以[b<0，][a>0.]

答案 A

例4 设某大学的女生体重[y]（单位：kg）与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）][（i=1，2，…，n），]用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71，]则下列结论中不正确的是（ ）

A. [y]与[x]具有正的线性相关关系

B. 回归直线过样本点的中心[（x，y）]

C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

解析 由回归方程为[y=0.85x-85.71]知，[y]随[x]的增大而增大，所以[y]与[x]具有正的线性相关关系. 由最小二乘法建立的回归方程的过程知，[y=bx+a=bx+][y-bx（a=y-bx），]所以回归直线过样本点的中心[（x，y），]利用回归方程可以预测估计总体，所以D项不正确.

答案 D

点拨 本题型考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念.

线形回归方程

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，求出[y]关于[x]的线性回归方程[y=bx+a]；

（3）已知该厂技术改造前[100]吨甲产品能耗为[90]吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产[100]吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

解析 （1）散点图如下：

（2）由系数公式可知，

（3）当[x=100]时，[y=0.7x+0.35=70.35]，所以预测生产[100]吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低[19.65]吨标准煤.

点拨 考查散点图与回归方程以及运算能力，属于常规题.

例6 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.

分析 本题主要考查线性回归分析的知识，考查运用线性回归方程解决实际问题的能力.

错解 第一组数据为1，2，3，4，第二组数据为173，170，176，182.

这样拟合求出的回归方程为[y=x+3，]当这个数学老师儿子的身高[x=182]cm时，他孙子的身高[y=185]cm.

点拨 此题错误率较高，大家对线性回归方程的概念理解不够透彻，主要是不确定哪两个变量具有相关关系. 以前学习时对回归直线方程只要求会运用公式进行具体计算[a，b，]求出回归直线方程即可，不要求掌握回归直线方程的推导过程. 所做的题大都已经告诉同学们题中具有相关关系的两个变量，只需依葫芦画瓢地按公式去算线性回归方程和相关问题. 因此，同学们要认真审题，理解本质.

非线性回归方程

例7 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费[x]（单位：千元）对年销售量[y]（单位：t）和年利润[z]（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费[xi]和年销售量[yi（i=1，2，…，8）]数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，[y=a+bx]与[y=c+dx]哪一个适宜作为年销售量[y]关于年宣传费[x]的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立[y]关于[x]的回归方程；

（3）已知这种产品的年利率[z]与[x，y]的关系为[z=0.2y-x.]根据（2）的结果回答下列问题：

①年宣传费[x=49]时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费[x]为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据[（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），]其回归线[v=α+βu]的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

[β=i=1n（ui-u）（vi-v）i=1n（ui-u）2，α=v-βu.]

解析 （1）由散点图可以判断，[y=c+dx]适合作为年销售[y]关于年宣传费用[x]的回归方程类型.

（2）令[w=x，]先建立[y]关于[w]的线性回归方程，

由于[d=i=18（wi-w）（yi-y）i=18（wi-w）2=108.816=68，]

[∴c=y-dw=563-68×6.8=100.6.]

[∴y]关于[w]的线性回归方程为[y=100.6+68w，]

[∴y]关于[x]的回归方程为[y=100.6+68x.]

（3）①由（2）知，当[x=49]时，年销售量[y]的预报值：

[y=100.6+6849=576.6，]

[z=576.6×0.2-49=66.32.]

②根据（2）的结果知，年利润[z]的预报值：

[z=0.2（100.6+68x）-x=-x+13.6x+20.12，]

∴当[x=13.62=6.8，]即[x=46.24]时，[z]取得最大值.

故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.

点拨 本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型. 解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测.

篇5：让高三回归正常

汤莉

（清华大学附属中学，100084）

高考之后，我郑重地告诉我的学生：把高三这一年奋斗的意识、抗压的能力、共度的友情留下，别的统统忘掉，尽快！

回顾这一年，我觉得自己在所谓的“理直气壮抓应试”的高三大旗下，根本做了很多南辕北辙的事情，既让学生虚度了成长中宝贵的一年，同时也并没有能够真正有效地提高他们的应试成绩。

高中教育说是三年，其实不过两年，因为第三年没有新课，只是一遍一遍地复习。复习课上起来完全没有欣喜，因为它没有了对充满诗意或是深意的阅读材料的深入探究、讨论和个性化的解读，有的只是权威的标准答案，和向标准答案靠拢的思维过程的塑造。这种短时间、高强度的规范，其实是语文教学的大忌。模式化思考能带来创造性思维和诗意的生活感受吗？如果不能，那么，就高考北京卷而言，占语文试卷总分五分之二比重的作文（如果再算上两道200字小作文，比重过半）又怎么可能获得高分呢？若算得再精细一点，文言阅读、诗歌鉴赏、文学类阅读固然需要标准化的答题范式，但没有诗意的感受、想象能力，学生根本不可能读懂文本，遑论答好理解题。那么，我敢讲，语文试卷150分当中，至少有108分，单靠知识或是逻辑，是不可能答得好的。

这样看来，要想高三学生答出一份漂亮的语文试卷，还得让他们能自由地呼吸、思考、想象、飞翔。

当然，这很不容易。高考本身就给学生造成了巨大的心理压力，父母过度紧张、过分关切又加重了这一负荷，再加上学校各科教师在对本科教学认真负责的前提下通过大量的作业、测验、辅导占满了学生的时间和精力（任务量往往是超负荷的），如此重重重压之下，那些未经世事的学生哪里能扛得住？于是他们生出更多的焦虑、恐慌，在向各类课外辅导班投以盲目的希望之时，他们已经完全进入了恶性循环。这时，语文教师对学生说：嘿，窗外那只小鸟唱得真好；昨天的那则新闻很有思考价值；那本书大可以一读……他们会关心吗？反正，我常常看到很多学生脸上的漠然，他们的眼睛正偷偷盯着某道题呢。

高三的很多事情就是这么颠倒。一遍一遍复习的课上起来很没意思，可是在我所教的班级，高三一年是他们最认真上课的时期。唯一“不合纪律”的事情，就是会有一些人趴在桌上——有些是真睡着了，有些只是趴着、眯缝着眼省些力气，一讲到“关键处”，仍会勉强支起身来在纸上记些东西——他们是真累了。一想到这样的场景，我就伤心。但“哀其不幸”，也“怒其不争”。这样的认真，他们为什么不早点拿出来？我很不能理解，作为北京一所名校的学生，多年来，为什么他们的字写得这么潦草？为什么他们的卷面涂满了墨团还揉得皱皱巴巴？为什么给他们作业本上圈出的别字他们从不肯订正？为什么要他们读点书，很有一些人就会从网上搜点材料，再东拼西凑打印出来，作为自己的读书笔记？他们怎么就可以这么随意！唠叨三年，有些学生就是坚持不改。是真的很难吗？我问过很多学生，他们说觉得这些习惯性的东西并不重要，所以不想改。于是，就有了“报应”。比如，字音字形题，确实有些模拟题出得过偏，但北京高考试卷出的几乎都是常见词，如果学生从小养成严谨的语文习惯，有不读错音、不写别字的自我要求，常用工具书，有错即改，不说这道题的正确率能提高多少，至少不用在高三阶段做那么多习题来备考。其实，由于字音字形题被设为选择题，题目做得太多，错误项看得太多，反而还会形成对记忆的不当干扰。甚至，一些从不重视语文的学生到了临考前两个月才来问我该怎么练字、可以读些什么书，这时，我还能有什么办法？

我没有办法的，有些辅导机构就有“办法”！于是，我眼睁睁看着班里几个作文基础较差的学生痴迷于那些辅导机构发的作文材料，欲罢不能。它们用的是文化散文的语言，平行式三段的议论文结构，讲求的是无论题目怎么变，材料不变。于是，那几个连语文课本里的课文都没怎么读熟的学生，开始大规模地、貌似熟练地运用起沈从文、卡夫卡、老舍的故事和作品了。抛开题目和前后串联，单看每一段，那真是妙笔生花，像足了书虫式的文科班学生，但那都是背的，三个事例，每一个的每一句话都是辅导班教师写好了给他们背的。这样的文章，读到衔接段落会“断气”，而最要命的是，除了个别几次能扣上题，大部分生拉硬拽也拽不上。而这时候，想要学生自主创造绝对比让他们背书难一万倍。他们怎么也舍不得放弃那些“华美的句子”。之后，他们就在考场上遇到了“老计”。

2012年北京高考作文中的这个铁路巡视员老计的故事让很多人大感意外。从对考题类型的预测，到对阅卷风向标的把握，现在看来只能说一句：高考复习“炒消息股”实在是一件不那么靠谱的事情。复习还是要回到“大路”上来——不只是指全面覆盖知识点，还指在风格方向的把握上。套用徐志摩的一句诗：“我不知道风是在往哪一个方向吹。”去年涌现出一批刻意彰显“书卷气”的文化散文，今年推出的可能就是强调丰富性的生活气息浓郁的文章，明年又是一批文艺气十足的文章成为新宠，之后发觉学生的文字都“拗”得不行，于是又需要一些“清粥小菜”来养养胃……与其跟这让人无从把握的风，让学生最后都成了紧跟“过时”文风的牺牲品，还不如回到最简单、最本质的方向上来，让高考作文训练回到正常作文训练的轨道上来。

正常的作文训练不就是要让学生把话说清楚，让人能看懂吗？记叙文要准确完整，具体生动，有些起伏；议论文要论点明确，论证有力，有较高的思维品质。作文训练中可以有所借鉴，甚至也可以模仿，但要及早确立作文求新的意识，通过博览群书的方式，求其“化”而不求其“搬”。人人都说的道理我不说；人人都用的材料，除非我用的角度或深度有所不同，否则我不用。戒绝一切的作文套路，不断挑战自我。只有这样从初

一、高一训练起，并且一直坚持到高考前的最后一刻，学生才有可能真正学会写作文，也才有可能真正在高考的考场上“以不变应万变”。

教师都知道不要小看你的学生，但是就像父母一样总是舍不得放手。要敢于让他们试一试，不要从刚开始就照着所谓的“高考范文”的模式来框自己的学生，也不要试了一段时间后因为心里没底又把那些“框框”丢给已经颇有灵气的学生。要知道，学生还很弱小，习惯服

从权威，会自己往那个框子里挤。教师要旗帜鲜明地坚持正确的东西，也鼓励学生坚持。

教师也不要小看你的同行。当我们在深夜里一盏昏黄的台灯下自觉悟到了一些“门道”、“套路”之后，不要沾沾自喜，因为别人也会悟到。于是，问答题的答题范式越来越标准，但需要发挥个性的作文等也同时被训练得越来越刻板、雷同，而这些文章就集中在高考时“撞车”，根本不可能拿到想象中的高分。

由此，我相信一点，让学生真正学会写作文，写平常的作文，而不是所谓的“应试文”，是唯一的复习应考之路。让学生真正提高语文素养，而不是割裂地看待高三的应试复习，也必须是高中语文三年一贯的培养思路。高三要有一定的应试训练，但没有必要那么多、那么死，要让学生保持学科学习的灵动状态。几次模拟考试，我们班学生作文写得最好、也是语文考得最好的一次，是放了四天假之后再回来考的三模——那几天，我给他们布置的任务是让头脑“放空”。

对于未来，我期待有一天，高三的学生会很轻松地问我：“老师，你注意到学校里的那株腊梅开花了吗？”“老师，昨天报纸上的那则新闻，我有些不同的想法，能和你讨论讨论吗？”“老师，我昨天读了一首诗，特别棒，我念给你听好吗？”……我想，到时，他们中的大部分人，语文考试分数都不会低。

篇6：高三回归方程

当今世界，物欲横流。人们将心中填满成见、财富、权势、欲望，生命之舟愈加不堪重负。走在钢筋混凝土编织的巨大森林里，我们渐渐迷失自己，物欲渐欲迷人眼，轻装才能纵马蹄，给心灵留一方净土，生命留一片空白，回归自我吧！

回归自我，不被名利羁绊，内心得以悠然。庄子逍遥于世外，参透自然，懂河鱼之乐、蝶舞之愉，拒当一人之下万人之上的国相，飘然一往无所欲，俯仰尘沙宁为翁，留守心中的净土；陶潜于恬静清溪旁，繁花幽菊间，执一壶花酒，“诵明月之诗，歌窈窕之章”，琴声悠悠荡涤胸中纷繁淡泊心中坚守一份净土；苏轼仕途多蹇，但他倒乐得回归自我，鬓微霜，又何妨，怀着心中净念，叹“人生恰似飞鸿踏雪泥”，终咏“一蓑烟雨任平生”。上述之人，皆给心灵留一片净土，懂得回归自我，持淡泊之心，拥本真之美。

念天地之悠悠，前有古人，后亦有来者。

回归自我，不顾他人眼光，内心得以纯净。学坛泰斗季羡林独守一片清荷，留净土于心中，展清姿于人世，闲适如空中云鹤，恬淡似皓月清风；徐本禹大学毕业后，未如同学般追求花前月下，香车宝马，而是回归自我，毅然前往山区支教，让内心在大山深处得以净化，留一寸净土；钱学森在“无论放在哪里都成一位大师”的`光环下毅然回到一贫如洗的祖国，心无私欲。上述之人，皆尊重心灵的选择，回归自我，怀瑾握瑜，不受世俗影响，不被世俗玷污心中净土，内心得以纯净。

篇7：高三回归方程

学生作文内容不够充实，原因之一是材料贫乏。就应试的议论文而言，就是论据缺乏。

为解决这个问题，我相信各位各有高招。而我想的是何不回归教材，积累作文材料。或曰积累论据。

高中作文六册书，论据非常丰富。可是自己感觉用得还不够。其实还有六本读本，个人能力有限，未作思考。有待能者的努力。

先谈一个狭隘的观点：鉴于某些论据材料被学生在应试作文中滥用，个人建议学生禁用以下论据人物：屈原、项羽、刘邦、韩信、司马迁、嵇康、李白、杜甫、居里夫人、海伦等。

这些论据人物使用频率过分的高了。

下面就如何回归课本为应试作文准备材料谈一些粗浅的看法。

一、高中六册课本，作文教材其实很丰富。

（一）人物：论据数量多，许多人物还没有被挖掘或挖掘得不够深，理解得不够全面。

（二）作品：六册书，每册书粗算24篇文章，144篇，其实不止，比如某些单元诗歌量大。

（三）思想：因为人物多，时空跨度大，历史纵深宽广，思想如百花纷呈，美不胜收。

（四）感情。作家作品都是人物与时代、人物与人物、人物与自己冲突的结果，所以感情也如山阴道上的风景，让人应接不暇。

二、人物--作家一百多位作者皆名人名家，都是时代的精英，经历过历史淘洗，留下的人中极品，价值巨大。

包含古今中外，历史学家、哲学家、文学家、科学家，他们各具个性，各有所长，生活在不同的时代，有鲜明的社会、历史的烙印。就于我们积累材料而言，确实是足够的多。

三、对待这样的宝藏，自然要调兵遣将为我所用。

（一）知人善用

这个知首先是教师知。学生老用司马迁，有一个原因，就是老师总是提司马迁。所以从某个角度来讲，学生的贫乏映射出老师的贫乏。

因此，首先要教师深知、熟知咱们课本中的这些作家。当然，这也需要一个研究理解过程，但我们不妨一年选几个来作深入探究，先在自己脑子里把这几个人物磨熟、磨透。这样积累下来，每届学生都知道属于这届学生的论据人物，如此，每年作文，自然论据人物就不同了。

各个学校的各个老师个性不同，研究兴趣不一样，那么反射到咱们贵阳学生那里，作文材料也就个性纷呈了。虽然这个个性是为应试而准备。

至于知什么，我相信各位老师都有见识，我就不必多罗嗦，大体上，人物的时代特征、思想感情特征、冲突特征，了解研究到一定程度，应该可以满足学生的作文要求了。

（二）用旧换新

课本中的作家，几乎就是旧人，或许仍活在新时代，但也几乎是老人。笼而统之的讲都是旧人。

但要在作文中用旧如新。要用别人不用，或用得不多，或用得少创造性，这样能用出新意。

比如用项羽。刚才讲禁用，如果出新，则例如大家都批评项羽的妇人之仁，我为什么不能赞扬他的“仁”呢？他不杀刘邦，不是他还头脑清醒，知道那个时候还不是搞个人主义，搞分离的时候的表现吗？

大家看他杀宋义是何等果断。说明项羽也知道什么时候该杀谁，还是有战略眼光的。

相反，那种赞成杀刘邦的人，或许心理还有些残暴的阴影在吧！

比如用普希金就比总去用李白好。他们同是诗人。用李白多用他的自信、狂放、不合时俗等。但就境界而言，普希金远比李白有革命性。李白是想入围城而不得，只能纵情于诗。普希金是要破坏一个旧世界建立一个新世界而以诗为武器。李白以关怀自我而惠及他人，普希金直接以人民的自由为追求的`目标。李白为个人的痛苦而高歌，进而感染境遇相似之人，普希金为天下人被贬谪流放，流放回乡，流放南俄。所以，用普希金自然高过用李白。更何况中学生又有几个人熟知、深知普希金的人，普希金的诗呢？

这个工作要咱们老师多辛苦一点。其实对自己也多有益处。

四、课本内容有名言警句，包含深刻博大的思想，悲欢离合复杂的感情

熟悉这些内容，学生能熟练运用，不是很能增添作文的诗意、深度和广度吗？再者，学生用好名严警句，也能教益人生，学习做人。小可以修身养性，大可治国。

五、六册课本多为文学作品，作品中又多个性鲜明的文学人物形象

古今中外、三教九流、男男女女，无所不包。这些人物莫不闪耀着作家关注他们的人性关怀的光辉。他们身上有悲欢离合的感情，有鲜明独特的个性，具有无穷无尽的审美意味。

学生本身学习课本，基本是精读，如果对这些作者人物作深刻而有创造性的理解运用，自然比总用那些历史人物有新意。这些人物虽然散见于不同作家作品，但他们本质又彼此联系，颇有笔断意连的审美意味。

比如这一组人物形象：

崔莺莺、杜丽娘、杜十娘、琵琶歌女、刘兰芝、静女，她们的爱情，个性鲜明，各有经历， 却又悲苦相连，可以整合成一卷爱的画卷。

她们有浪漫的恋爱，痛苦的婚姻，不安的期待，深谋远虑的追求，沦落天涯的伤怀，生离死别的抉择与无奈。

她们是个体，是独特的，但她们的爱情却是封建社会专制下的顽强生长的爱情。

她们有不同的结局，但是她们的爱都是以柔弱之躯与坚硬的社会斗争的结果，有泪，也有鲜血。

她们苦心经营，精酿爱情的甜蜜，她们又倍受各种力量的打击压迫，尽情演绎的是愁，是千古的惊叹，是历史的灰砖沉甸甸地铺垫在发展的道路上。

最后作一个小结。要在课本中做好积累材料的事，就是要对课文及人物进行深度阅读，读出深意，读出新意，读出感悟，这样才能驾驭自如，用到作品中去。

以上是个人一些粗浅的见解。以此见笑于大方之家，还望各位批评。我在这里向大家学习了。

篇8：高三回归方程

例1:我们为了研究家庭消费支出与家庭收入的关系, 设家庭消费支出为y (元) 为因变量, 家庭收入x (元) 为自变量.我们通过调查得到数据如下:

解:假设回归方程其中依据最小二乘法得到回归方程系数公式如下:

在本题的计算过程中, 如果直接计算就会有很大的数值产生, 但仔细观察就会发现每个量几乎都可以提出一个102.

由公式可求得

所以回归方程可以写为

从以上例题可以看出, 通过适当对数据进行处理就可以取得事半功倍的效果.同理, 我们在平时教学中提到的中心化的回归模型用到的就是这个思想, 我们通过对数据进行平移, 将回归直线处理成通过坐标原点的直线, 这样可以在减小数据的同时, 将我们的回归直线方程中的未知量缩减一个, 即截距.以下就是一个利用该思想解题的很好例子, 希望对大家有所启发.

例2: (2011年高考安徽地区文科试题) 某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:

(1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;

(2) 利用 (Ⅰ) 中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

解: (1) 令可以将上表数据处理成如下表格:

相应的回归方程为

由以上数据可得

所以对应回归方程为y-260.2=6.5 (x-2006)

即:y=260.2+6.5 (x-2006)

(2) 将2012作为自变量代入方程有y=299.2.

从以上两个例题我们得出一条规律, 就是在解题过程中可以通过适当选取中间值减少计算量, 其实这种思想不仅在线性回归计算中可以使用, 而且在许多类型的统计问题中都会用到, 只要注意观察题目就可以找出相应的中间值, 这种方法也是手动求解统计问题的一个基本方法.

参考文献

[1]何晓群, 刘文卿, 编.应用回归分析第四版[M].中国人民大学出版社, 2015.

篇9：回归直线方程的简单推导

一、确定回归直线的位置

平均数反映一组数据的集中趋势.能够利用所有数据的特征是它的优点之一.除此之外，平均数能使得误差平方和达到最小.如果利用平均数代表数据，则可以使二次损失最小.对所给的样本数据的横坐标与纵坐标分别取平均值x-、，则坐标点（x-，）称为样本中心.依据平均数的意义，样本中心（x-，）反映了样本数据的集中趋势，所以回归直线一定通过样本中心（x-，）.

二、求回归直线的参数

设回归直线的方程为y=bx+a.由于点（x-，）在回归直线上，所以有=bx-+a.如果确定了回归直线的斜率b，便可以通过=bx-+a得参数a=-bx-.

如何确实斜率b呢？依据数学必修3“从整体上看，各点与此直线的距离最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q为关于b的二次函数，因为样本数据各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函数Q（b）开口向上，有最小值Q，当且仅当b为对称轴.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回归直线恒过样本中心的特点以及二次函数求最值的方法而得到回归直线的两个参数公式.该方法思路清楚，推理简单，并且还能加深学生对回归直线的理解——回归直线恒过样本中心.本人认为教材应该使用本文方法介绍回归直线方程.

参考文献

[1]刘坦.回归直线方程的另一推导[J].数学通讯，2003（23）：10.

[2]史雄.关于回归直线方程的另一种简单推导方法[J].新课程学习（基础教育），2010（2）：104.

（责任编辑黄桂坚）endprint

回归直线方程是新课改新增的内容之一，在必修3中直接给出了求回归方程的有关公式，让学生学会利用公式.在选修数学2-3的第42页中，利用配方法给出了回归直线的推导.但是由于推导过程比较麻烦，而且不是在必修3中出现，很多教师都只是按照课程要求指导学生利用回归方程的公式求回归方程.由于不知道公式的来源，这样做只会给学生一种应试教育的感觉.让学生觉得学习只是为了考试，学数学很乏味.刘坦老师的文章《回归直线方程的另一种推导》[1]中的方法简洁明快，但超出了高中学生的学习要求，史雄老师的文章《关于回归直线方程的另一种简单推导方法》[2]中都是利用导数以及求二元一次方程的思想求出回归方程的两个参数.如果学生在必修3之前学习了导数，这是一个简易的方法.然而导数是选修2-2中的内容，一般我们都是把必修学完，才学习选修的内容.基于此，本文先利用样本中心确定回归直线的位置，再利用“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的思想获得一元二次函数，依据一元二次函数的特征求得斜率.该方法可以让学生轻而易举地了解回归方程的来源.

一、确定回归直线的位置

平均数反映一组数据的集中趋势.能够利用所有数据的特征是它的优点之一.除此之外，平均数能使得误差平方和达到最小.如果利用平均数代表数据，则可以使二次损失最小.对所给的样本数据的横坐标与纵坐标分别取平均值x-、，则坐标点（x-，）称为样本中心.依据平均数的意义，样本中心（x-，）反映了样本数据的集中趋势，所以回归直线一定通过样本中心（x-，）.

二、求回归直线的参数

设回归直线的方程为y=bx+a.由于点（x-，）在回归直线上，所以有=bx-+a.如果确定了回归直线的斜率b，便可以通过=bx-+a得参数a=-bx-.

如何确实斜率b呢？依据数学必修3“从整体上看，各点与此直线的距离最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q为关于b的二次函数，因为样本数据各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函数Q（b）开口向上，有最小值Q，当且仅当b为对称轴.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回归直线恒过样本中心的特点以及二次函数求最值的方法而得到回归直线的两个参数公式.该方法思路清楚，推理简单，并且还能加深学生对回归直线的理解——回归直线恒过样本中心.本人认为教材应该使用本文方法介绍回归直线方程.

参考文献

[1]刘坦.回归直线方程的另一推导[J].数学通讯，2003（23）：10.

[2]史雄.关于回归直线方程的另一种简单推导方法[J].新课程学习（基础教育），2010（2）：104.

（责任编辑黄桂坚）endprint

回归直线方程是新课改新增的内容之一，在必修3中直接给出了求回归方程的有关公式，让学生学会利用公式.在选修数学2-3的第42页中，利用配方法给出了回归直线的推导.但是由于推导过程比较麻烦，而且不是在必修3中出现，很多教师都只是按照课程要求指导学生利用回归方程的公式求回归方程.由于不知道公式的来源，这样做只会给学生一种应试教育的感觉.让学生觉得学习只是为了考试，学数学很乏味.刘坦老师的文章《回归直线方程的另一种推导》[1]中的方法简洁明快，但超出了高中学生的学习要求，史雄老师的文章《关于回归直线方程的另一种简单推导方法》[2]中都是利用导数以及求二元一次方程的思想求出回归方程的两个参数.如果学生在必修3之前学习了导数，这是一个简易的方法.然而导数是选修2-2中的内容，一般我们都是把必修学完，才学习选修的内容.基于此，本文先利用样本中心确定回归直线的位置，再利用“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的思想获得一元二次函数，依据一元二次函数的特征求得斜率.该方法可以让学生轻而易举地了解回归方程的来源.

一、确定回归直线的位置

平均数反映一组数据的集中趋势.能够利用所有数据的特征是它的优点之一.除此之外，平均数能使得误差平方和达到最小.如果利用平均数代表数据，则可以使二次损失最小.对所给的样本数据的横坐标与纵坐标分别取平均值x-、，则坐标点（x-，）称为样本中心.依据平均数的意义，样本中心（x-，）反映了样本数据的集中趋势，所以回归直线一定通过样本中心（x-，）.

二、求回归直线的参数

设回归直线的方程为y=bx+a.由于点（x-，）在回归直线上，所以有=bx-+a.如果确定了回归直线的斜率b，便可以通过=bx-+a得参数a=-bx-.

如何确实斜率b呢？依据数学必修3“从整体上看，各点与此直线的距离最小”得Q=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，使得Q最小.把a=-bx-代入Q中

Q=（y1-bx1-+bx-）2+（y2-bx2-+bx-）2+…+（yn-bxn-+bx-）2

=（y1--bx1+bx-）2+（y2--bx2+bx-）2+…+（yn--bxn+bx-）2

=[（y1-）-b（x1-x-）]2+[（y2-）-b（x2-x-）]2+…+[（yn-）-b（xn-x-）]2

=（y1-）2-2×b（x1-x-）×（y1-）+[b（x1-x-）]2+（y2-）2-2×b（x2-x-）×（y2-）+[b（x2-x-）]2+…+（yn-）2-2×b（xn-x-）×（yn-）+[b（xn-x-）]2

=∑n1i=1（yi-）2-2b×∑n1i=1（xi-x-）（yi-）+b2×∑n1i=1（xi-x-）2.

=∑n1i=1（xi-x-）2×b2-2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）×b+∑n1i=1（yi-）2.

Q为关于b的二次函数，因为样本数据各不相同，所以∑n1i=1（xi-x-）2恒大于0，即二次函数Q（b）开口向上，有最小值Q，当且仅当b为对称轴.因此，

b=--2∑n1i=1（xi-x-）（yi-）12×∑n1i=1（xi-x-）2

=∑n1i=1（xi-x-）（yi-）1∑n1i=1（xi-x-）2.

本文利用回归直线恒过样本中心的特点以及二次函数求最值的方法而得到回归直线的两个参数公式.该方法思路清楚，推理简单，并且还能加深学生对回归直线的理解——回归直线恒过样本中心.本人认为教材应该使用本文方法介绍回归直线方程.

参考文献

[1]刘坦.回归直线方程的另一推导[J].数学通讯，2003（23）：10.

[2]史雄.关于回归直线方程的另一种简单推导方法[J].新课程学习（基础教育），2010（2）：104.