无失效数据可靠性进展

2024-04-20

无失效数据可靠性进展（精选4篇）

篇1：无失效数据可靠性进展

无失效数据可靠性进展

在定时截尾可靠性试验中,有时会遇到无失效数据,特别是在高可靠性、小样本问题中更容易产生无失效数据.本文综述了无失效数据可靠性研究的的进展情况,并指出了无失效数据研究中几个需要解决的问题.

作者：韩明作者单位：中国人民大学统计系,北京,100872,中国,浙江海洋学院数学系,舟山,浙江,310004,中国刊名：数学进展 ISTIC PKU英文刊名：ADVANCES IN MATHEMATICS 年，卷(期)：2002 31(1) 分类号：O1 关键词：可靠性无失效数据参数估计抽样检验

篇2：无失效数据可靠性进展

本文讨论了指数分布的无失效数据(ti,ni),利用指数分布的凸性和其特性一无记忆性,给出了可靠度的多层Bayes估计,进而得到参数θ的`加权最小二乘估计.

作者：纪志荣黄可明 JI ZHIRONG HUANG KEMING 作者单位：纪志荣,JI ZHIRONG(福建农林大学林学院,福州,350002)

黄可明,HUANG KEMING(福州大学数学与计算机科学学院,福州,350002)

篇3：无失效数据可靠性进展

随着科学技术的快速发展,在工程学、医学、生物学和航天领域中,出现了一类特殊的非单调失效率分布,较为常见的是浴盆型失效率和单峰形状的失效率。浴盆型失效率表现为产品在使用初期有着较高的失效率;随着使用时间的增加,失效率趋于稳定,最后由于产品的损耗,失效率又逐渐增加。1999年Chen[1,2]提出了一种新分布,可以很好地解决上述问题。该分布的分布函数为

F(x)=1-exp{λ(1-exp(tβ))}, t>0,λ>0, β>0 (1)

本文讨论该分布在无失效数据下的可靠度估计。失效数据下可靠度的估计方法一般为配分布曲线-最小二乘法,其基本思想是:先确定失效概率的估计,然后用线性回归最小二乘法给出寿命分布的参数估计,进而得到可靠度估计。文献[3,4,5]就是应用的这种方法。但是,该分布不可以转化为线性模型,所以线性回归最小二乘法不适合拟合该分布得到的无失效数据。为了得到该分布的可靠度估计,本文应用Virene算法和非线性回归最小二乘法来拟合无失效数据,进而得到可靠度的估计。

1 失效概率pi的Bayes估计

对服从分布式(1)的产品进行了n次定时截尾试验,结果所有样品无一失效。所得无失效数据为(ti,ni),i=1,2,…,n。其中ti,i=1,2,…,n(t1<t2<…<tn)表示截尾时间,ni(i=1,2,…,n)表示第i次的试验样品数。则在ti时刻共有si=ni+…+nn个样品没有发生失效。

选取pi的减函数(1-pi)2作为pi的先验密度的核,得到pi的先验密度应为:

$π (p_{i}) = \frac{3 (1 - p_{i})^{2}}{[(1 - \hat{p}_{i - 1})^{3} - (1 - λ_{i})^{3}]}$ 。

其中 $\hat{p}_{i - 1} < p_{i} < λ_{i}$ , $λ_{i} = \frac{(\hat{p}_{i - 1} t_{i})}{t_{i - 1}} (i = 2, 3, \dots, n)$ 。在平方损失下,pi的Bayes估计(i=2,3,…,n)可由文献[6]的定理3.2给出:

$\hat{p}_{i} = 1 - (s_{i} + 3) \frac{[(1 - \hat{p}_{i - 1})^{s_{i} + 4} - (1 - λ_{i})^{s_{i} + 4}]}{{(s_{i} + 4) [(1 - \hat{p}_{i - 1})^{s_{i} + 3} - (1 - λ_{i})^{s_{i} + 3}]}}$ 。

当i=1时, $\hat{p}_{1} = \frac{0.5}{(s_{1} + 1)}$ ,即为经典估计中的情况。

2 拟合无失效数据的方法

2.1 Virene算法

假设已知n个无失效数据值(ti,Ri),i=1,2,…,n,(其中 $R_{i} = 1 - \hat{p}_{i})$ 且0<t1<t2<…<tn, 1>R1>R2>…>Rn>0需要求解式(1)中的参数λ,β。因Ri=exp{λ(1-exp(t $_{i}^{β}$ ))},有lnRi=λ(1-exp(t $_{i}^{β}$ )),i=1,2,…,n。将n个观测值从中分为数量一致的两组数据(如果观测值的数量不为2的倍数,舍弃中间值)。设每组包括m个数据。记

$S_{1} ≜ \sum_{i = 1}^{m} \ln R_{i} = λ (m - \sum_{i = 1}^{m} \exp (t_{i}^{β}))$ ,

$S_{2} ≜ \sum_{i = n - m + 1}^{n} \ln R_{i} = λ (m - \sum_{i = n - m + 1}^{n} \exp (t_{i}^{β}))$ 。

由上述两式可得: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{(m - \sum_{i = 1}^{m} e x p (t_{i}^{β}))}{(m - \sum_{i = n - m + 1}^{n} e x p (t_{i}^{β}))}$ ,式中β的解可看成方程 $f (β) = \frac{S_{1}}{S_{2}} \sum_{i = n - m + 1}^{n} \exp (t_{i}^{β}) - \sum_{i = 1}^{m} \exp (t_{i}^{β}) + m (1 - \frac{S_{1}}{S_{2}})$ 的正数根。因 $0 < \frac{S_{1}}{S_{2}} < 1$ ,故 $f (0) = m (\frac{S_{1}}{S_{2}} - 1) (e - 1) < 0$ 。不失一般性,设tn>0,则存在β*,使得exp(t $_{n}^{β^{*}}$ -t $_{m}^{β^{*}}$ )>m/k,即f(β*)>0。因此,可以用二分法来求f(β)的根 $\hat{β}$ 。求出 $\hat{β}$ ,可得 $\hat{λ} = \frac{S_{1}}{(m - \sum_{i = 1}^{m} e x p (t_{i}^{\hat{β}}))}$ 。

2.2 非线性回归最小二乘法

非线性回归最小二乘法拟合数据,拟合曲线与数据点之间的水平距离、垂直距离的平方和应达到最小。用高斯-牛顿法,将f(ti,g)按照泰勒级数展开,然后用线性项近似非线性模型,用最小二乘法估计参数的校正量,从而得到参数的首次估计。重复这个迭代过程,最终导出问题解。设Ri=f(ti,g)=exp(λ(1-e-tβi)),(i=1,2,…,n),式中g=(g1,g2)T=(λ,β)T。

已知n组样本观测值(ti,Ri),i=1,2,…,n,(其中 $R_{i} = 1 - \hat{p}_{i})$ ,选取Virene算法得到的参数估计 $\hat{λ}$ , $\hat{β}$ 作为初始点,用g $_{1}^{(0)}$ 和g $_{2}^{(0)}$ 表示,在点(g $_{1}^{(0)}$ ,g $_{2}^{(0)}$ )的领域内将f(ti,g)按照泰勒级数展开,对第i个数据,有

$\begin{array}{l} f (t_{i}, g) \approx f (t_{i}, g^{(0)}) + \sum_{j = 1}^{2} [\frac{\partial f (t_{i}, g)}{\partial g_{k}}]_{g = g^{(0)}} \times \\ (g_{k} - g_{k}^{(0)}) \end{array}$

,式中g(0)=(g $_{1}^{(0)}$ ,g $_{2}^{(0)}$ )。

设 $f_{i}^{(0)} = f (t_{i}, g^{(0)}), Δ g_{j}^{(0)} = g_{j} - g_{j}^{(0)}, D_{i, j}^{(0)} = [\frac{\partial f (t_{i}, g)}{\partial g_{j}}]_{g = g^{(0)}}$ 。因此,有 $R_{i} \approx f_{i}^{(0)} + \sum_{j = 1}^{2} D_{i, j}^{(0)} Δ g_{j}^{(0)}$ ,将f $_{i}^{(0)}$ 移到式子的左边,有 $Δ R_{i}^{(0)} \approx \sum_{j = 1}^{2} D_{i, j}^{(0)} Δ g_{j}^{(0)}$ 。用矩阵形式表示为ΔR(0)≈D(0)Δg(0),

式中:

$Δ g^{(0)} = [\begin{matrix} g_{1} - g_{1}^{(0)} \\ g_{2} - g_{2}^{(0)} \end{matrix}]$

$\begin{array}{l} Δ R^{(0)} = \\ [\begin{matrix} R_{1} - f_{1}^{(0)} \\ R_{2} - f_{2}^{(0)} \\ ⋮ \\ R_{n} - f_{n}^{(0)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{1} - \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{1}^{g_{2}^{(0)}}})) \\ R_{2} - \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{2}^{g_{2}^{(0)}}})) \\ ⋮ \\ R_{n} - \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{n}^{g_{2}^{(0)}}})) \end{matrix}] ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} D^{(0)} = [\begin{matrix} D_{1, 1}^{(0)} & D_{1, 2}^{(0)} \\ D_{2, 1}^{(0)} & D_{2, 2}^{(0)} \\ ⋮ & ⋮ \\ D_{n, 1}^{(0)} & D_{n, 2}^{(0)} \end{matrix}] = \\ [\begin{matrix} (1 - e^{- t_{i}^{g_{2}^{(0)}}}) \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{1}^{g_{2}^{(0)}}})) \\ A \\ (1 - e^{- t_{2}^{g_{2}^{(0)}}}) \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{2}^{g_{2}^{(0)}}})) \\ B \\ ⋮ \\ (1 - e^{- t_{n}^{g_{2}^{(0)}}}) \exp (g_{1}^{(0)} (1 - e^{- t_{n}^{g_{2}^{(0)}}})) \\ C \end{matrix}] 。 \end{array}$

A=-g $_{1}^{(0)}$ ln(t1)t $_{1}^{g_{2}^{(0)}}$ e-tg(0)21exp(g $_{1}^{(0)}$ (1-e-tg(0)21));

B=-g $_{1}^{(0)}$ ln(t2)t $_{2}^{g_{2}^{(0)}}$ e-tg(0)22exp(g $_{1}^{(0)}$ (1-e-tg(0)22));

C=-g $_{1}^{(0)}$ ln(tn)t $_{n}^{g_{2}^{(0)}}$ e-tg(0)2nexp(g $_{1}^{(0)}$ (1-e-tg(0)2n))。

注意,ΔR(0)≈D(0)Δg(0)是一般线性回归模型的形式,根据线性回归最小二乘法估计,参数g的校正量Δg(0)的估计为 $Δ \hat{g}^{(0)} = (D^{(0)^{Τ}} D^{(0)})^{- 1} D^{(0)^{Τ}} Δ R^{(0)}$ 。因此,校正后的回归系数g为 $g^{(1)} = g^{(0)} + Δ \hat{g}^{(0)}$ 。

通过计算最小二乘法的判决测度Q,可以检查回归系数能否导出合理的结果。根据最小二乘法原理,各参数值的解会使Q值最小。对于参数初始点g(0)和校正后的回归系数g(1),测度Q分别为 $Q^{(0)} = \sum_{i = 1}^{m} [R_{i} - f (t_{i}, g^{(0)})]^{2}$ , $Q^{(1)} = \sum_{i = 1}^{m} [R_{i} - f (t_{i}, g^{(1)})]^{2}$ 。

如果高斯-牛顿法使用正确,满足最小二乘法原理,则关系式Q(i+1)<Q(i)对于所有i值均应成立。也就是说,g(i+1)是一个比g(i)更好的估计。

将g(1)作为初始点,通过运算产生一个新的结果g(2),这一迭代过程反复进行,直到满足关系式Q(s-1)-Q(s)≈0才停止。此时, $\hat{λ} = g_{1}^{(s)}$ , $\hat{β} = g_{2}^{(s)}$ ,s迭代结束时的迭代次数(下文不再说明)。

进一步,可以得到任意t>0时刻该分布的可靠度估计 $\hat{R} (t) = \exp (\hat{λ} (1 - e^{- t^{\hat{β}}}))$ 。

3 随机模拟例子

选取λ=0.000 1,β=0.25,则t=1 200 s时分布的可靠度为R(1 200)=exp(0.000 1×(1-e1 200×0.25)) =0.964 8。用λ=0.000 1,β=0.25, 产生一组随机数(随机数的个数要远大于试验总台数,这里随机数的个数为600),对其按从小到大的顺序进行排序,然后将每5个数据分为一组,前10组数据如表1所示。

对于每一组数据,选取该组中最小的数据。然后取一个略小于最小值的数据作为该组的一个无失效时间ti,则可认为在该时间点试验必定不发生失效。假设共试验了55件服从该分布的产品,每个时间点进行试验的件数为ni,且依次递减,试验到每个时间点尚未失效的产品数记为si,得到一组无失效数据如表2所示。

根据表2中的数据,首先求得失效概率pi的Bayes估计,然后运用Virene算法和非线性回归最小二乘法计算 $\hat{R}$ (1 200)。运用公式 $Κ = \frac{| \hat{R} (1 200) - R (1 200) |}{R (1 200)} \times 100 %$ 和 $Q = \sum_{i = 1}^{n} [R_{i} - R (\hat{λ}, \hat{β})]^{2}$ 计算可靠性的相对误差和拟合曲线与数据点之间的拟合度。计算结果如表3所示。

下面对模拟结果进行分析。表3中结果表明,Virene算法和非线性回归最小二乘法在估计可靠度和拟合数据点的时候,效果都是很好的。从理论上来说,在失效概率pi一定的情况下,从反映试验信息看,非线性回归最小二乘法应当比Virene算法更全面。计算结果也表明,不论是可靠度的估计还是曲线和数据点的拟合度,非线性回归最小二乘法得到的计算结果都比Virene算法理想。

参考文献

[1]Chen Z.Statistical inference about the shape parameter of the expo-nential power distribution.Statistical Papers,1999;40:459—468

[2]Chen Z.Anewtwo-parameter lifetime distribution with bathtub shape or increasing failure rate function.Statistics&Probability Letters,2000;49:155—161

[3]蒋同斌.基于威布尔分布的无失效数据的可靠性分析.金陵科技学院学报,2005;21(3):9—13

[4]王伟,夏新涛.配分布曲线法在无失效数据可靠性分析中的应用.2006;(3):20—22,30

[5]张志华,姜礼平.正态分布场合下无失效数据的统计分析.工程数学学报,2005;22(4):741—744

篇4：无失效数据可靠性进展

工业机器人的应用已经渗透到了工业自动化各个领域。鉴于工业安全问题的重要性,世界上许多国家从1980年代就开始对工业机器人进行完整的事故数据记录和统计分析。根据国外相关统计数据,机器人控制器的故障率大约占整个系统故障数的70%。可见,研究工业机器人控制系统的工作可靠性对减少工业机器人系统故障、减少安全事故的发生、提高劳动生产率等有非常重大的意义。

目前国内外已有许多学者对无失效数据可靠性分析这类问题进行了较深入的研究。本文将以威布尔模型推出的两参数Weibull分布可靠度R的置信度为γ的单侧置信下限公式,对工业机器人控制系统可靠度寿命置信下限进行预测,并介绍如何采用无失效数据可靠性分析的经典方法对工业机器人系统进行可靠性评估。

2 无失效数据可靠性分析最小置信限法2.1可靠性分析最小置信限法概述

在可靠性分析工作中威布尔分布非常有用,因为它是通用分布,通过调整分布参数就可以构成这种分布。其失效密度函数的一种形式是:

α,β>0,α是形状参数,其取值范围通常为0.1~6之间;β为尺度参数[1]。其分布函数为:

工业机器人控制系统的故障可能是渐变故障也可能是偶然性故障,或者是这两种故障的组合,采用Weibull模型对其控制系统进行可靠性分析是很合适的。

设工业机器人控制系统分别进行r次定时截尾试验,截尾时间设定为ti(单位设为天)(t1

设(ni,ti),i=1,2,…,r是来自威布尔分布式(2)的一组机器人控制系统故障的无失效数据,其中ti表示r个给定观测时间中的第i个观测时间,ni表示在ti处试验的样品数,s表示该组定时截尾试验机器人系统故障发生的数目。

设Xi表示机器人控制系统寿命的随机变量,ti表示第i个给定观测的结尾时间,于是可从上述截尾试验中得到如下表达式:

因为每个控制系统是独立工作的,故其寿命变量可看作独立同分布的随机变量,利用Xi的概率密度函数f(t)和可靠度函数R(t)可以得到当((ni,ti),i=1,2,…,r是来自Weibull分布式(1)的一组工业机器人控制系统的无失效数据时,则当α≥α0且在寿命时间t满足

时,可推出两参数Weibull分布可靠度R的置信度为γ的单侧置信下限为[4]:

根据国外大量的Weibull分布试验统计数据进行分析,对于不同材料α0的取值是不同的,对于铝合金结构α0取4,对于钢结构α0取2.2。本文利用文献[9]中关于威布尔分布无失效寿命形状参数置信下限的求解公式,其中Fα是与样本大小有关的因子,具体数值可由文献[9]中关于威布尔分布无失效寿命可靠性分析本文提供的样本数Fα取1.5;是形状参数,的求解可由文献[10]中改进后的中位秩计算公式

以及文献[11]中威布尔分布参数最小二乘法估计公式:

得到形状函数的估计值为:

2.2 仿真实例

下面以某国产工业机器人无失效实验数据来对工业机器人控制系统作可靠性分析,通过给定的观测结尾时间点以及给定的置信度得出相应的可靠度置信下限。实验数据如表1。

从表1计算结果得出:在相同观测时间点,置信度越大,所得出的系统可靠度数值越小;在相同置信度下,随着系统工作时间的延长,系统可靠度有所降低。前一个结论与概率论相关理论是一致的,后一理论与系统可靠度随工作时间增加而降低是一致的。由此说明该方法在系统无失效数据可靠性分析中是值得信赖的。

3 无失效数据可靠性分析经典方法

无失效数据可靠性分析经典方法是由经典数理统计学伸出来的。它的办法是首先分析有失效数据的情况,然后将无失效数据问题看作是有失效数据问题的特殊情况加以解决,从而得到其计算公式。假设在有n个样品参加的定时截尾试验中,有r个样品在截尾时刻t之前失效,其余的n-c个样品在时刻t之前未失效,则对tr≤t≤tr+1,有F(tr)≤F(t)≤F(tr+1),此时F(tr)和F(tr+1)。可看作是来自[0,1]均匀分布样本的第r个和第r+1个次序统计量,它们的数学期望可计算如下:

从以上公式可知,用r/(n+1)去估计F(t),用F(tr+1)去估计(r+1)/(n+1)是合适的。而对于F(t)的估计,它应该介于F(t)和F(tr+1)之间。取(r+0.5)/(n+1)作为它的估计值。将这个结论引伸到无失效数据问题,此时r=0,因此用0.5/(n+1)作为F(t)的估计值。设(ti,ni),i=1,2,…,k,是一组无失效数据。并设Si=ni+…+nk。它表示在时刻t之前无失效数据的总个数。因此,失效概率Pi=P(T刍ti)的估计值为[6]:

显然,当试验样品个数Si较大时,P∑i与Pi相差很小,用作为Pi的估计是合理的。

以上得到了各个无失效数据处的失效概率的估计,下面通过样本值推导求解出威布尔分布参数的估计值,最终通过估计值求出系统的可靠度函数表达式。在产品可靠性寿命分析中威布尔分布是应用最广泛的一种分布,在此将用威布尔母体来作样本的寿命分析。其它分布的情况处理方法是一样的。设产品寿命服从威布尔分布,三参数威布尔分布函数为

其中m,η>0;t>γ≥0,m为形状参数,η为尺度参数,γ为位置参数,通过调整各个参数可使威布尔分布成为其它概率分布。

把威布尔分布函数三个参数均看作未知数。其失效概率可表示为:

其中εi为用代替Pi所引起的误差。令误差和为Q,

由多元函数极值求法,要使误差Q的最小值,必有下式:

由以上方程组解出:ti为已知离散时间点,m、γ、η为未知数,利用计算机编程解算即可得到产品寿命分布参数m、γ、η的估计值,利用该估计值得到产品的可靠度为:

4 结语

基于无失效数据的元件或系统的可靠性评定,无论从理论上还是应用上都是非常重要的,由于从无失效试验数据中得到的信息很少,因此,对基于这类数据的系统作可靠性评估,是一个困难的工作。本文介绍了在随机变量服从威布尔分布的情形下,根据无失效数据情形下最优置信下限的普遍公式,给出了工业机器人控制系统在r次定时结尾试验中无失效数据情形下工业机器人系统可靠度R的置信度为γ的单侧置信下限计算结果;同时介绍了由经典数理统计学引申出来的无失效数据可靠性分析经典方法,通过仿真实验数据得出的计算结果与相关数学理论与可靠性理论是一致的,这两种方法在许多实际工程应用也证明了这两种系统可靠度分析方法是值得信赖的。

参考文献

[1]韩明.无失效数据可靠性进展[J].数学进展,2002,31(1):7-19.

[2]黄伟,黄大明,韦志康.产品寿命试验中无失效数据的应用方法研究[J].材料工程,2003(zl):286-288.

[3]崔卫民,等.试验数据服从Weibull分布时可靠性试验最少试件数的确定[J].机械工程学报,2008(1):51-55.

[4]郭金龙.基于无失效数据船体可靠性的研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2009.

[5]张忠占,杨振海.无失效数据处理[J].数理统计与应用概率,2002(4):25-28.

[6]蒋同斌.基于威布尔分布的无失效数据的可靠性分析[J].金陵科技学院学报,2005,21(3):9-13.

[7]茆诗松,王玲玲.可靠性统计[M].上海:华东师范大学出版社,1984.

[8]茆诗松,罗朝斌.无失效数据的可靠性分析[J].数理统计与应用概率,1989,4(4):489-506.

[9][英]PATRICK D T,et al.Practical Reliability Engineering Fourth Edition[M].北京:电子工业出版社,2004.

[10]麻小敏,刘萍,等.可靠性数据威布尔分析中秩评定算法改进研究[J].核科学与工程,2007(2):152-155.

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