化工热力学总结例题

总结是在项目、工作、时期后，对整个过程进行反思，以分析出有参考作用的报告，用于为以后工作的实施，提供明确的参考。所以，编写一份总结十分重要，以下是小编整理的关于《化工热力学总结例题》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

第一篇：化工热力学总结例题

甘肃省化工工程师《基础知识》：热力学第二定律考试题

一、单项选择题(共 25题，每题2分，每题的备选项中，只有1个事最符合题意)

1、2mol的单原子理想气体，某过程的△(pV)=26kJ，则此过程的焙变△H=()。 A.26kJ B.39kJ C.65kJ D.32.5kJ

2、一定量的H2(g)，在绝热、恒容下发生下列反应：

H2(g)+O.5O2(g)→H2O(g) 则此过程的△U__;△H__;△S__;△A__;△G__。 A.(>0 B.(=0 C.(<0 D.(无法确定

3、可行性研究是基本建设前期工作的重要内容，其主要任务是__。 A.(A) 对项目的必要性和可行性作分析预测

B.(B) 对项目技术的先进性、经济的合理性作出论证和比较 C.(C) 应该包括A、B两项

D.(D) 对项目的必要性和先进性进行论证

4、某液体混合物用一种高效萃取剂萃取，经一次接触即能达到要求的分离任务，宜选用__。

A.(填料萃取塔 B.(筛板萃取塔 C.(单级式萃取器 D.(转盘萃取塔

5、在一连续精馏塔中分离苯-甲苯混合物。已知原料液的流量为10kmol/h，其中含苯0.56(摩尔分数)。若要求苯的回收率为96.5%，塔釜残液中含苯0.026(摩尔分数)，则塔顶产品的流量为__。 A.(193.33kg/h B.(2.46kg/h C.(207.28kg/h D.(225.36kg/h

6、对称三相四线制供电电路，若端线(相线)上的一根保险丝熔断，则保险丝两端的电压为____ A：线电压; B：相电压; C：相电压+线电压; D：线电压的一半。

7、通常在换热器的设计中规定甲山值不应小于__，否则△tm经济上不合理。 A.(0.3 B.(0.4 C.(0.8 D.(1.0

8、体系的能量变化等于__。 A.(A) 体系内能的变化

B.(B) 体系吸收的热量减去体系对环境所做的功 C.(C) 体系动能和势能的变化之和

D.(D) 分子间势能和动能、原子间键能等之和

9、对于反应。2NO2→2NO+O2，选用不同的反应物和产物来表示反应速率时，其相互关系为()。 A.A B.B C.C D.D

10、在选择化工过程是否采用连续操作时，下述几个理由不正确的是__。 A.(A) 操作稳定安全

B.(B) 一般年产量大于4500吨的产品 C.(C) 反应速度极慢的化学反应过程 D.(D) 工艺成熟

11、离心泵抽空、无流量，其发生的原因可能有①启动时泵内未灌满液体;②吸入管路堵塞或仪表漏气;③吸入容器内液面过低;④泵轴反向转动;⑤泵内漏进气体;⑥底阀漏液。你认为可能的是____ A：①、③、⑤; B：②、④、⑥; C：全都不是; D：全都是

12、有一套管换热器，环隙中有119.6℃的蒸气冷凝，管内的空气从20℃被加热到50℃，管壁温度应接近____ A：20℃; B：50℃; C：77.3℃; D：119.6℃

13、停止差压变送器时应____ A：先开平衡阀，后开正负室压阀; B：先开平衡阀，后关正负室压阀; C：先关平衡阀，后开正负室压阀; D：先关平衡阀，后关正负室压阀

14、某对象特性可用微分方程表示，则该对象的放大系数为()。 A.10 B.4 C.4/10 D.2.5

15、某液体的比体积为0.001m3/kg，则其密度为____kg/m3。 A：1000; B：1200; C：810; D：900

16、化工设备常用材料的性能可分为工艺性能和____ 。 A：物理性能; B：使用性能; C：化学性能; D：力学性能

17、与液体相比，输送相同质量流量的气体，气体输送机械的____ A：体积较小; B：压头相应也更高; C：结构设计更简单; D：效率更高

18、从解吸塔出来的半贫液一般进入吸收塔的____，以便循环使用。 A：中部; B：上部; C：底部; D：上述均可

19、常被用来吸附净化尾气中的有机蒸气、恶臭物质和某些有毒有害气体的吸附剂是__。 A.(A) 硅胶

B.(B) 活性氧化铝 C.(C) 活性炭 D.(D) 分子筛

20、设有一热机在环境温度为300 K时其热效率为20%，则该热机的高温热源的温度至少为__。 A.(A) 375K B.(B) 350K C.(C) 325K D.(D) 取决于工质

21、某真实气体节流膨胀过程的△(pV)=250J，则此过程的△U=__。 A.(250J B.(-250J C.(0 D.(无法确定

22、对于往复泵，下列说法错误的是____ A：有自吸作用，安装高度没有限制; B：实际流量只与单位时间内活塞扫过的面积有关; C：理论上扬程与流量无关，可以达到无限大; D：启动前必须先用液体灌满泵体，并将出口阀门关闭

23、有一复合反应为A+B→D，其反应机理为

用平衡近似法导得复合反应以D的生成速率表示的速率方程为()。 A.A B.B C.C D.D

24、下列说法中，正确的是__。

A.(A) 一定压力下，混合物的泡点温度比露点温度高 B.(B) 一定温度下，混合物的泡点压力低于露点压力

C.(C) 一定压力下，纯物质的泡点温度和露点温度是相同的，且等于沸点 D.(D) 纯物质的泡点线符合拉乌尔定律的直线

25、高放射性废物一般采用__固化剂固化。 A.(A) 水泥 B.(B) 沥青 C.(C) 塑料 D.(D) 玻璃

二、多项选择题(共25题，每题2分，每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项。错选，本题不得分;少选，所选的每个选项得 0.5 分)

1、环保监测中的COD表示____ A：生化需氧量; B：化学耗氧量; C：空气净化度; D：噪音强度

2、在利用热电阻传感器检测温度时，热电阻与仪表之间采用____连接。 A：二线制; B：三线制; C：四线制; D：五线制

3、对流传热的热阻主要集中在__。 A.(A) 湍流主体 B.(B) 缓冲层 C.(C) 滞流内层

D.(D) 以上三层均接近

4、生产过程中产生的静电电压的最高值能达到____以上。 A：数十伏; B：数百伏; C：数千伏; D：数万伏

5、PG 1310—300 A1A 为某一管道的标注，其中300是指____ A：主项编号; B：管道顺序号; C：管径; D：管道等级

6、正弦交流电的三要素是____ A：电压、电流、频率; B：周期、频率、角频率; C：最大值、初相角、角频率; D：瞬时值、最大值、有效值

7、在简单蒸馏过程中，蒸馏釜内易挥发组分的组成逐渐__，釜残液的泡点逐渐__。

A.(A) 升高，降低 B.(B) 升高，升高 C.(C) 降低，降低 D.(D) 降低，升高

8、设备内的真空度愈高，即说明设备内的绝对压强____ A：愈大; B：愈小; C：愈接近大气压; D：无法确定

9、关于评标组织，下列说法错误的是__。 A.(评标是审查、确定中标人的必经程序 B.(评标委员会应依法设置

C.(评标委员会人数一般应为5人以上偶数 D.(评标委员会由招标人负责组织

10、项目经理的主要职责有__。 A.(是公司法定代表人在工程项目上的全权委托代理人，代表公司行使承担工程项目承包合同中承包方的权利和义务，对公司法定代表人负责 B.(按照公司的制度和授权，全面领导并主持项目的各项工作

C.(负责按合同规定的承包工作范围、内容和约定的建设工期、质量标准、投资限额全面完成合同规定的项目任务和目标 D.(协调公共关系

11、用饱和水蒸汽加热空气时，传热管的壁温接近____ A：蒸汽的温度; B：空气的出口温度; C：空气进、出口平均温度; D：无法确定

12、298 K时，C(石墨)与Cl2(g)的标准生成热____ A：前者为0，后者不为0; B：均小于0; C：均等于0; D：均大于0

13、化学反应热不仅与化学反应有关，而且与____ A：反应温度和压力有关; B：参加反应物质的量有关; C：物质的状态有关; D：以上三种情况有关

14、除去废水中的漂浮物，最简单的装置是__。 A.(A) 格栅

B.(B) 板框压滤机 C.(C) 袋式过滤器 D.(D) 离心分离器

15、关于爆炸，下列不正确的说法是____ A：爆炸的特点是具有破坏力，产生爆炸声和冲击波; B：爆炸是一种极为迅速的物理和化学变化; C：爆炸可分为物理爆炸和化学爆炸; D：爆炸在瞬间放出大量的能量，同时产生巨大声响

16、下列四种阀门，通常情况下最适合流量调节的阀门是____ A：截止阀; B：闸阀; C：考克阀; D：蝶阀

17、根据《中华人民共和国海洋环境保护法》规定，禁止向海域排放含__的废水。 A.(A) 油类、重金属、酸液、碱液 B.(B) 油类、铅废水、酸液、碱液

C.(C) 油类、酸液、碱液、剧毒废液、高(中)水平放射性物料 D.(D) 有机染料、酸液、碱液

18、旋风分离器主要是利用____的作用使颗粒沉降而达到分离。 A：重力; B：惯性离心力; C：静电场; D：重力和惯性离心力

19、____有知觉且呼吸和心脏跳动还正常，瞳孔不放大，对光反应存在，血压无明显变化。 A：轻型触电者; B：中型触电者; C：重型触电者; D：假死现象者

20、质量控制点可划分为A、B、C三级，其中C级为__。 A.(一般质量控制点

B.(由施工单位质量检验人员检查确认

C.(由施工单位、工程公司双方质量检验人员共同检查确认 D.(由业主确认

21、由克拉佩龙方程可知：当压力升高时，冰的熔点必然会__。 A.(升高 B.(保持不变 C.(降低

D.(无一定变化规律

22、A、B两组分组成一液态完全互溶的真实液态棍合物的气、液平衡系统，已知在温度T下，纯A(1)液体和纯B(1)液体的饱和蒸气压分别为。实验测得在温度T下，A、B两组分的压力一组成(p一x)图上，山现系统的总压力既大于，说明该系统()。 A.产生最大正偏差 B.产生最大负偏差 C.不产生偏差 D.无法确定

23、切断阀主要用于停启物流的流动，()通常用作切断阀。 A.闸阀 B.截止阀 C.止回阀

D.自控调节阀

24、泵将液体由低处送到高处的高度差叫做泵的____ A：安装高度; B：扬程; C：吸上高度; D：升扬高度

25、在非金属液体中，____的导热系数最高。 A：水; B：乙醇; C：甘油; D：甲醇

第二篇：热力学总结及学习感想

热

力 学 总 结 及 学 习 感 想

姓名：刘超

学号：11081020107

专业班级：自动化113班

学习感想

“自1887年，奥斯特瓦尔德(Ostwald)和范特霍夫(van’t Hoff)创办了世界上第一份《物理化学杂志》便标志着物理化学学科的诞生，而经过一个多世纪的发展它亦形成了一门内容十分丰富的学科。(刘国杰 《物理化学导读》 科学出版社)”。虽然这学期对物理化学的学习仅限于第一章的气体、第二章的热力学第一定律、第三章的热力学第二定律，但对于我来说已经足够了，已经有了充足的时间能让我对这门学科进行系统性的认识，掌握对其的学习方法。刚接触物理化学这个名词时对于这门即将学习的学科产生了些许疑问。高中的课程也有过物理、化学，但他们两者之间能有什么联系吗?当时我还真的没有找出答案，感觉这完全是两个不着边的学科。随着学习的深入才发现原来他们两个是紧密相连的，“物理化学是利用物理学的原理和实验方法研究化学理论问题的学科。(刘国杰 《物理化学导读》 科学出版社)”。而数学作为物理学的基础也穿插其中并扮演了十分重要的角色，特别是那一大堆的偏微分公式。这真是一件让人见着就头痛的事，因为前期没有好好学习高数所以要理解这些公式对我来说便显得特别的吃力。为了能跟上老师的节奏只有自己利用课后时间复习高数，但光复习高数是远远不够的。比如对于高中学习过的气体状态方程：pV=nRT，热力学温度与摄氏温度的转换关系：T=(t/℃+273.15)K，两分子间总的作用势能：EE吸引E排斥=-AB +早已忘记其中各个字母所代表的的物理量和含义了。由于其616rr是一个交叉的，覆盖面广的学科，在复习以前知识的同时也要自己去了解课外的知识，并将它们融会贯通。这些也让我逐渐接受了一个观念，夸大了教师在学习上的作用。“关于教与学，向来就有猎枪与干粮，鱼与渔之争，干粮与鱼总有吃尽的时候，而唯有成为渔翁和猎人才有取之不尽的食物，那种把一切都在课堂上讲懂的是不负责任的大学教师，一个孩子总要断奶，教师的作用是释疑，使学生在学习上少走弯路、事半功倍。丢掉幻想，一切靠自己专研、思考和领悟。这犹如没有包治百病的灵丹妙药，根本不可能存在适合任何人的学习方法。(百度文库《物理化学的学习方法》)”。而我们缺乏的正是那种自学、自我思考、领悟的精神，不懂得将所学的知识彼此串联起来。

如今通过对物理化学这门课程的学习，我知道了自学与思考的重要性并开始有意识的培养自己这方面的能力。明白了以前那套死记公式的方法是行不通的，公式并不重要重要的是公式的推导和使用条件及意义。以下就是我对第二章热力学第一定律与第三章热力学第二定律的一些总结。

总结

一、热力学第一定律

定义：“能量有各种各样形式，并能从一种形式转变为另一种形式，但在转变过程中能量的总数量不变，将能量守恒原理应用在以热与功进行能量交换的热力学过程，就称为热力学第一定律。(肖衍繁 《物理化学(环境类)》 天津大学出版社)”。

UQW

若系统变化为无限小量时，上式写成

dUδQδW

规定系统吸热为正，放热为负。系统得功为正，对环境作功为负。

关于系统状态函数的一个重要结论：“系统的状态函数只取决于系统状态，当系统的状态确定后，系统的状态函数就有确定的值;当系统由某一状态变化到另一状态时，系统的状态函数的变化值只取决于始、终两状态，而与系统变化的具体路径无关。(肖衍繁 《物理化学(环境类)》 天津大学出版社)”。

1.焓的定义式

HUpV

焓是状态函数，具有广度性质，并具有能量的量纲，但没有确切的物理意义。

def焓变

(1) HU(pV)

式中(pV)为pV乘积的增量，只有在恒压下(pV)p(V2V1)在数值上等于体积功。

1(2)

UnCv,mdT2

此式适用于理想气体单纯pVT变化的一切过程，或真实气体的恒压变温过程，或纯的液体、固体物质压力变化不大的变温过程。

2.热容

定义：在不发生相变化和化学变化的前提下，系统与环境所交换的热与由此引起的温度变化之比称为系统的热容。

Clim(T0defQQ)TdT

由某一温度变化范围内测得的热交换值计算出的热容值，只能是一个平均值，称为平均热容。即 (1)定压热容和定容热容

CPCv(2)摩尔定压热容和摩尔定容热容

C—QT

QPdTdT(H(UTT)P )V

QPCp,mCp,mCPCvnn((HmTT)p)v

Um上式分别适用于无相变变化、无化学变化、非体积功为零的恒压和恒容过程。

3标准摩尔燃烧焓

定义：在温度为T，参与反应各物质均处在标准下，1mol相的化合物B在纯氧气中氧化反应至指定的稳定产物时，将该反应的标准摩尔反应焓称为化合物B()在温度T时的标准摩尔燃烧焓，用符号cHm表示。

4.标准摩尔反应焓

rHmVBfHm(B,)VBCHm(B,)

式中fHm(B,)及cHm(B,)分别为相态为的物质B的标准摩尔生成焓和标准摩尔燃烧焓。上式适用于=1 mol，在标准状态下的反应。 

二、热力学第二定律

关于定义的两种代表性的说法：

克劳修斯说法:“不可能把热从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。” 开尔文说法：“不可能从单一热源取出热并使之全部变为功而不引起其他变化。”

1.卡洛循环

定义：热机热机的效率定义为

(恒温膨胀)，向低温热源T2放热Q2，同时对外做功(-W)。T1吸收Q1defW Q1即对外做功(-W)占从高温热源吸热Q1的比例。

2熵函数

定义：表示体系中微观粒子混乱度的一个热力学函数。

dSQrT

3.热力学第二定律的数学表达式

SBAABQT

4.亥姆霍兹函数

AUTS

A称为亥姆赫兹函数，它和H一样由状态函数组合得来，显然也是系统的状态函数，也和U、H一样是广度性质。

def5.吉布斯函数

GHTS

在等温等压条件下，一个封闭系统所能做的最大非体积功等于其吉布斯函数的减少。若过程不可逆，则所能做的最大非体积功小于其吉布斯函数的减少;反过来则是环境对系统所做的非体积大于其吉布斯函数的增加。

def6.四个基本公式

dHTdSVdp dASdTpdV

dUTdSpdV dGSdTVdp

其中

UHUA)V()p p()S()T SSVVHGAG v()S()T S()V()P

PPTT T(主要参考文献: 《物理化学导读》 刘国杰 黑恩成编著 科学出版社

《多媒体CAI物理化学》(第四版) 傅玉普编著 大连理工大学出版社 《物理化学(环境类)》 肖衍繁编著 天津大学出版社 《物理化学》 刘彬 卢荣主编 华中科技大学出版社

第三篇：研究生材料热力学重点总结

热力学第一定律：能量守恒与转化定律：自然界的一切物质具有能量，能量有各种不同形式，能够从一种形式转化为另一种形式，在转化中，能的形式可以转化，但能量的总值不变。 将能量守恒定律应用到热力学上，就是热力学第一定律。热力学第一定律反映了系统对外作功必须从外界吸收热量或者减少系统内能，即第一类永动机不可能实现。

热力学第一定律的数学表达形式：ΔU = Q + W

物理意义：体系内能的增量等于体系吸收的热量减去体系对环境作的功。包括体系和环境在内的能量守恒。 热力学第二定律：功可以自发地全部变为热，但热不可能全部转化为功，而不引起任何其它变化，即不可能把热从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化。实质：自然界一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的。热力学第二定律指出，凡是自发过程都是不可逆的，而且一切不可逆过程都可以与热功交换的不可逆性相联系。本质：一切不可逆过程都是向混乱度增加的方向进行。 热力学第三定律所描述的就是关于绝对零度时的熵S0的问题：在OK时任何纯物质的完美晶体的熵值等于零。只要测得热容Cp和其它量热数据，便可计算出物质在温度T时的熵值，从而使过程熵变的计算问题得到解决。

五.计算题

纯金属固态相变的体积效应：除非有可以理解的特殊理由，所有纯金属的加热固态相变都是由密排结构向疏排结构的转变。即，加热相变要引起体积的膨胀。

第四篇：热力学与统计物理第三章知识总结

§3.1 热动平衡判据

当均匀系统与外界达到平衡时，系统的热力学参量必须满足一定的条件，称为系统的平衡条件。这些条件可以利用一些热力学函数作为平衡判据而求出。下面先介绍几种常用的平衡判据。 oisd

一、平衡判据

1、熵判据 熵增加原理

，表示当孤立系统达到平衡态时，它的熵增加到极大值，也就是说，如果一个孤立系统达到了熵极大的状态，系统就达到了平衡态。于是，我们就能利用熵函数的这一性质来判定孤立系统是否处于平衡态，这称为熵判据。孤立系统是完全隔绝的，与其他物体既没有热量的交换，也没有功的交换。如果只有体积变化功，孤立系条件相当与体积不变和内能不变。

因此熵判据可以表述如下：一个系统在体积和内能不变的情形下，对于各种可能的虚变动，平衡态的熵最大。在数学上这相当于在保持体积和内能不变的条件下通过对熵函数求微分而求熵的极大值。如果将熵函数作泰勒展开，准确到二级有

d因此孤立系统处在稳定平衡态的充分必要条件为既围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变稳定的平衡状态。

如果熵函数有几个可能的极大值，则其中最大的极大相应于稳定平衡，其它较小的极大相应于亚稳平衡。亚稳平衡是这样一种平衡，对于无穷小的变动是稳定是，对于有限大的变动是不稳定的。如果对于某些变动，熵函数的数值不变，

，这相当于中性平衡了。

，该状态的熵就具有极大值，是熵判据是基本的平衡判据，它虽然只适用于孤立系统，但是要把参与变化的全部物体都包括在系统之内，原则上可以对各种热动平衡问题作出回答。不过在实际应用上，对于某些经常遇到的物理条件，引入其它判据是方便的，以下将讨论其它判据。

2、自由能判据 表示在等温等容条件下，系统的自由能永不增加。这就是说，处在等温等容条件下的系统，如果达到了自由能为极小的状态，系统就达到了平衡态。我们可以利用函数的这一性质来判定等温等容系统是否处于平衡态，其判据是：系统在等温等容条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能最小。这一判据称为自由能判据。

按照数学上的极大值条件，自由能判据可以表示为： 由此可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。

所以等温等容系统处于稳定平衡状态的必要和充分条件为： 3吉布斯函数判据

在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。

可以得到吉布斯函数判据：系统

;

在等温等压条件下，对于各种可能的变动，平衡态的吉布斯函数最小。

数学表达式为

,

等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为除了熵，自由能和吉布斯函数判据以外，还可以根据其它的热力学函数性质进行判断。例如，内能判据，焓判据等。

二、平衡条件

做为热动平衡判据的初步应用，我们考虑一个均匀的物质系统与具有恒定温度和恒定压强的热源相互接触，在接触中二者可以通过功和热量的方式交换能量。我们推求在达到平衡时所要满足的平衡条件和平衡稳定条件。

1. 平衡条件

现在利用熵判据求系统的平衡条件。我们将系统和热源合起来构成一个孤立系统，设系统的熵为S，热源的熵为

因为熵是一个广延量，具有可加性，则孤立系统的总熵(用

)为： (1) 当达到平衡态时，根据极值条件可得： (2) 由热力学基本方程

得

注意到组合系统是孤立的，必须满足

(3)

(4) 将(3)代入(2)得

将(4)代入上式得

(5)

因为式中U，V为独立参量，可任意变化，所以为使上式成立，各系数必须恒等于零。由此可得：

(6)

表明系统和外界的温度相等，是系

表明系统和外界压 此式即为系统于外界保持平衡时应满足的条件。统和外界在热接触的情况下应满足的平衡条件，称为热平衡条件。 强相等，称为力学平衡条件。

为了保证平衡状态的稳定性，系统除了满足平衡条件外，还要满足平衡稳定条件。

2、平衡稳定条件

由熵判据可知系统稳定平衡时需满足即

因为系统与热源发生相互作用而破坏平衡时，热源的状态改变很小，也就是对平衡态的偏离很小，所以可忽略。此时系统的平衡稳定条件简化为

(8)

(法一) 由(3)式将上式再微分一次，略去

和

利用线性代数求得

(法二) 根据泰勒展式。将(8)式展为

²

通过导数变换，根据线性代数关系求得 ， (9) 是平衡的稳定性条件。其中系统的力学稳定性的要求。

反映了系统的热动稳定性的要求， 反映了

§3.2 开系的热力学基本方程

一、几个概念k

1、元：把热力学系统的每一种化学组分称为一个组元，简称为元。

2、单元系：仅由一种化学组分组成的系统。例如纯水。

3、多元系：由若干种化学组分组成的系统。例如空气。

4、相：系统中物理和化学性质完全相同且成份相同的均匀部分称为一个相。

5、单相系(均匀系)：仅有单一的相构成的系统称为单相系

6、复相系(多相系)：有若干个相共存的系统称为复相系

又根据组成系统的组元数目，把复相系分为单元复相系和多元复相系。例如，水和水蒸气共存是单元二相系;盐是水溶液与水蒸气共存是二元二相系;

7、相变：在复相系中发生的相转变过程。

8、开系：在相变过程中，物质可以由一相变到另一相，因此一个相的质量或mol数是可以变的，这时系统为开系。

二、开系的热力学方程

1、G的全微分dG 从上一章我们知道，一个封闭的均匀系，在简单情况下，只需两个独立参量即可确定系统的状态，比如用T，P即可确定系统的吉布斯函数。但对均匀开放系统来说，为了确定其状态，还必须把组成系统的物质摩尔数n或者质量m考虑在内，通常选摩尔数，则此时吉布斯函数是T，P，n为独立参量，则吉布斯函数的全微分可扩展表示为

⑴

G是以 V，P，n为独立变量的特征函数

其中

⑵

称为化学势，它表示在温度、压强不变的情况下，增加一摩尔的物质时，系统吉布斯函数的增量。

µdn表示由于摩尔数改变了dn所引起的吉布斯函数的改变。

由于吉布斯函数是广延量，我们定义一个摩尔吉布斯函数(即1摩尔物质的吉布斯函数)，则系统的吉布斯函数G(T,P,n)=ng(T,P) ⑶

因此将⑶代入⑵式得 ⑷

这就是说，化学势µ等于摩尔吉布斯函数g，这个结果适用于单元相系。

2、dU 由

得内能的全微分

⑸

U是以S，V，n为独立变量的特征函数 ⑸式就是开系的热力学基本方程。它是

的推广，可知，开系的内能U是以S,V,n为独立变量的特性函数。µ也可以表示为 ⑹

即化学势µ也等于在S,V不变的条件下，增加1mol物质时系统内能的改变。

3、 dH 由焓的定义

得焓的全微分为

⑺

H是以S，P，n为独立变量的特性函数。

因此化学势也可表示为

4、dF

⑻

因自由能定义F=U-TS。可得自由能的全微分 —>dU) ⑼

F是以T，V，n为独立变量的特性函数

(注：dV—因此 ⑽

(5)、(7)、(9)称为开系的热力学函数 如果定义一个热力学函数 巨热力势它的全微分为

⑿

J是以T，V，µ为独立变量的特性函数。如果已知巨热力势J(T，V，µ)，其它热力学函数可用下面的偏导数求得：

⑾

⒀

由以上讨论可见，单元开系的热力学特性函数与闭系相比，仅增加了一个变数n,并由此引进了化学势的概念。

§3.3 单元系的复相平衡条件

一、平衡条件

1、推导：为简单起见，考虑一个孤立的单元两相系，我们用上角标α和β表示两个相，用，，和，，分别表示α和β相的内能，体积和摩尔数。因为是孤立系，所以总的内能，体积和摩尔数是恒定的，有 ⑴

若系统发生一个虚变动，则α相和β相的内能，体积和摩尔数分别改变：，和，，。孤立系统的条件式(1)要求： ⑵

由知,两相的熵变为

根据熵的广延性知，整个系统的熵变

⑷

根据熵判据知，当整个系统达到平衡时，总熵有极大值

因为⑷式中δU,δV,δn是独立变量,δS=0要求

，，

即： 热平衡条件

力学平衡条件 ⑸

相变平衡条件

，

⑶

2、讨论

如果平衡条件未被满足，复相系统将发生变化，变化将朝着熵增加的方向进行。

1)如果热平衡条件未能满足，变化将朝着

的方向进行。例如当

的α相传递到低温的β相去。

时，变化朝着的方向进行，即能量将从高温2)在热平衡满足的情况下，若力学平衡未能满足，变化将朝着

的方向进行。例，当方向进行，即压强大的相α膨胀，压强小的相β收缩。

时，变化将朝着的3)在热平衡条件已满足，相变平衡条件未被满足时，变化将朝着

的方向进行。例如当时，变化将朝着的方向进行，即物质将由化学势高的β相相变到化学势低的α相去，这是µ被称为化学势的原因。

二、单元复相系的稳定性条件仍可表示为

一、P—T图：

,

§3.4 单元复相系的平衡性质

1、P—T图：实验指出：系统的相变与其温度和压强有关，在不同的温度和压强下系统可以有不同的相，气相、液相或固相。有些物质的固相还可以具有不同的晶格结构，不同的晶格结构也是不同的相。如水(H2O)构成的系统有三态：水蒸气(气)、水(液)、冰(固)。在不同的条件下，其相有：气态有一相;液态有一相;固态有六种不同的稳定态，它们分属于六相。在直角坐标中，单元系相同可以用P—T图表示。

由单元系相平衡条件

，知

⑴

由式(1)决定的曲线 P=P(T) ⑵ 称为相平衡曲线。画出P—T关系图即为相图。如图为单元系相图。

三条曲线将图分为三个区域，它们分别表示固相、液相和气相单相存在的温度和压强范围。化学势用，，表示，在各自的区域内，温度和压强可以单独变化。如图中分开气、液两相的曲线AC，为汽化线，为气液两相的平衡线，在气化线上气液两相可以平衡共存。气化线上有一点C，温度等于C点时，液相不存在，因而汽化线也不存在，C点称为临界点，相应的温度和压强称为临界温度和临界压强。例如，水的临界温度是647.05K，临界压强是. 分开液相和固相区域的曲线AB称为熔解线(或凝固线)。

⑶

分开气相和固相区域的曲线称为升华线。

⑷

由于固相在结构上与气液相差别很大，所以溶解曲线和升华曲线不存在端点，它们只能与其他相平衡曲线相交而中断。 气化线、熔解线和升华线交于一点A，此点三相共存称为三相点，是三条相平衡曲线的交点。在三相点，物质的气、液、固相共存。对于某一物质三相点的温度和压强是确定的。例如，水的三相点温度为273.16K，压强为

. 举例：以液—气两相的转变为例说明由一相到另一相的转变过程。

如图所示：系统开始处在由点1所代表的气相，如果维持温度不变，缓慢地增加外界的压强，则为了维持平衡态，系统的压强将相应地增大。这样系统的状态将沿直线1—2变化，直到与汽化线相交于2点，这时开始有液体凝结，并放出热量(相变潜热)。在点2，气、液两相平衡共存。如果系统放出的热量不断被外界吸收，物质将不断地由气相转变为液相，而保持其温度和压强不变，直到系统全部转变为液相后，如果仍保持温度不变而增加外界的压强，系统的压强将相应地增大，其状态将沿着直线2—3变化。

2、P—T图的热力学理论解释：

由吉布斯函数判据我们知道，在一定温度和压强下，系统的平衡状态是吉布斯函数最小的状态。各相的化学势是温度和压强确定的函数化学势

，如果在某一温度和压强范围内，α相的较其它相的化学势低，系统将以α相单独存在。这个温度和压强范围就是α相的单相区域。在这个区域内温度和压强是独立的状态参量。

在气化线AC上，气液两相平衡共存。根据热平衡条件，力学平衡条件和相变平衡条件，可知，

，

⑸

在三相点，三个相的温度、压强和化学势都相等，即

⑹

三相点的温度和压强由⑹式决确定。

(5)式给出两相平衡共存时压强和温度的关系，是两相平衡曲线的方程式。在平衡曲线上，温度和压强两个参量中只有一个可以独立改变P=P(T)。由于在平衡曲线上两相的化学势相等，两相的任意比例共存，整个系统的吉布斯函数都是相等的。即

，这就是中性平衡。当系统缓慢地从外界吸收或放出热量时，物质将由一相转变到另一相而始终保持在平衡态，称为平衡相变。

二、克拉珀龙(Clapeyron)方程

1、Clapeyron方程 式子(5)为两相平衡曲线，由于对物质化学势缺乏足够的知识，我们并不知道每一相的化学势，所以相图上的曲线多是由实验直接测定的。但是由热力学理论可以求出相平衡曲线的斜率的表达式称为Clapeyron方程。

如图，在P—T图上画出两相平衡曲线。在相平衡曲线上取邻近的两点A(T，P)和B(T+dT，P+dP)在相平衡曲线上两相的化学势相等，即

⑺

两式相减得:

⑻

这个结果表明，当沿着平衡曲线由A(T，P)变到B(T+dT，P+dP)时，两相化学势的变化必然相等。化学势的全微分为

(9) 其中和分别表示摩尔熵和摩尔体积。

所以有

则由(8)式得

整理变形得 ⑽

定义相变潜热：以L表示1摩尔物质由α相变到β相时吸收的热量，称为，摩尔相变潜热。因为相变时物质的温度不变，由熵的定义得

⑾

代入(10)式得 ⑿

此式称为(Clapeyron)方程，它给出两相平衡的斜率。

分析Clapeyron方程:当物质发生熔解、蒸发或升华时，混乱程度增加，因而熵也增加，相变潜热点是正的。由固相或液相转变到气相体积也增加，因此气化线和升华线的斜率dP∕dT是恒正的。由固相转到液相时，体积也发生膨胀，这时熔解线的斜率也是正的。但有些物质，如冰，在熔解时体积缩小，熔解线的斜率是负的。

2、蒸汽压方程

应用克拉珀龙方程，可以得出蒸汽压方程的近似表达式。与凝聚相(液相或固相)达到平衡的蒸汽称为饱和蒸汽。由于两相平衡时压强与温度间存在一定的关系，饱和蒸汽的压强是温度的函数。描述饱和蒸汽的方程称为蒸汽方程。

若α相为凝聚相，β相为气相，凝聚相的摩尔体积(每摩尔凝聚物的体积)远小于气相的摩尔体积，我们可以略去克拉珀龙方程(10)中的V，并把气相看作理想气体，满足

，则克拉珀龙方程可简化为

分离变量: ⒀

如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关,积分上式，得

⒁

即蒸汽压方程的近似表达式。可以将式⒁写成

⒂

由式(15)可知，饱和蒸汽压随温度的增加而迅速的增加。由蒸汽压方程，可以确定出在一定温度下的饱和蒸汽压;反过来测定饱和蒸汽压，也可确定出该状态的温度。根据这个原理，可以制造蒸汽压温度计。蒸汽压温度计主要用与低温范围的测量。

§3.5液滴的形成

前面讨论两相平衡时没有考虑表面相的影响，因而得出的结果只适用于分界面为平面，或液面的曲率半径足够大时的情况。当分界面为曲面时，表面张力会对力学平衡条件和相平衡条件产生影响。

一、 平衡条件：

我们首先讨论在考虑表面相以后系统在达到平衡时所要满足的平衡条件。将液滴与其蒸汽看作一个复合系统。设液滴为α相，蒸汽为β相，表面为γ相，三相的热力学基本方程分别为

⑴

设液滴与其蒸汽构成的复合系统已达到热平衡，则满足

⑵

且设温度和体积保持不变，因而我们可应用自由能判据推导系统的力学平衡条件和相变平衡条件。

设想在温度和总体积保持不变的条件下，系统发生一个虚变动，则三相的n，V和A分别发生,;,;δA的变化。由于在虚变动中的系统的总摩尔数和总体积保持不变，应用

⑶

则

⑷

满足

在三相温度相等的条件下，整个系统的自由能

即

⑸

为简单起见，假设液滴是球形的则,

所以有,

代入⑸式有 ⑹

由于和是任意的独立参量,上式中的系数必为零,所以得

(力学平衡条件)

(相平衡条件) ⑺

力学平衡条件表明由于表面张力的存在，平衡时球形液滴内部的压强比蒸汽的压强大件。 。当r→时，过渡到，这正是分界面为平面时的力学平衡条相变平衡条件表明平衡时两相的化学势仍然相等，但化学势中的压强不相等，其关系由力学平衡条件确定。

二、液滴的形成(中肯半径或临界半径)

首先讨论气液两相平衡时分界面为曲面的蒸汽压强P´与分界面为平面的饱和蒸汽压的关系。 已知在分界面(液面)为平面时，力学平衡条件是，相变平衡条件为

⑻

上式确定饱和蒸汽压与温度的关系。

对分界面为曲面的情况，设两相(气、液)平衡时的蒸汽压强为P´。由分界面为曲面的平衡条件 ⑼

给出曲面上的蒸汽压强P´与曲面半径r的关系。

现在利用(8)、(9)两式推导曲面上的蒸汽压强P´与平液面上的蒸汽压强P的关系。由于液体有不易压缩的性质，压强改变时液体的性质变化很小，所以可将液体的化学势在P的邻域展成泰勒(Taylor)级数，只取一级近似，得

⑽

由

,得

⑾

将蒸汽看作理想气体，根据(2.4.15)和

，可得蒸汽的化学势

⑿

其中 是温度的函数由上式得

⒀

由⑿ ⒀式得 ⒁

下面由⑻ ⑼ ⑾ ⒁四式得 ⒂

在实际问题中，通常，所以⒂式可近似写为

⒃

根据(16)式可以求出与压强为P´的蒸汽处于平衡的液滴半径为

⒄

称为中肯半径(或临界半径)。当因此气相将发生凝结，液滴连续增大;

时， ,液相的化学势降低，当时，就有，因而液滴就要蒸发。

只有当时，蒸汽与液滴互相平衡。

由以上的讨论可以看出，在给定的温度T 压强P′下，要想在系统中出现凝结现象，就必须在系统中存在有半径大于相应于T, P′时的临界半径的液滴。这种液滴起着凝结核心的作用，如果系统非常纯净，或其中的小颗粒半径非常小，那么就会出现系统中的蒸汽压强已超过P，但并没有发生凝结，而形成过饱和蒸汽(过冷现象)。可见，过饱和蒸汽的出现，是由于蒸汽中缺少凝结核的缘故。

三、沸腾现象

对于沸腾现象的讨论，可以完全仿照液滴形成的讨论进行。但是应把液滴的半径r换成气泡的半径-r。所以可以得到两相共存的力学平衡条件为

⒅

表明气泡内的蒸汽压强衡。

将r变为-r后，又可得到

比液体的压强大才能维持气泡在液体中的力学平

⒆

表明为满足相平衡条件，气泡内的压强P′必须小于同温度下平液面上的饱和蒸汽压P 由(18)(19)式可以说明液体的沸腾现象及沸腾前的过热现象。液体沸腾时，内部有大量的蒸汽泡不断形成和扩大。在一班情况下，液体内部和器壁上都有很多小空气泡，它们作为汽化的核心，半径已足够大而接近于分界面为平面时，泡内的蒸汽压P′近似等于P，只有温度再上升一点使P′等于或大于液体的压强P时，气泡就会不断长大，出现沸腾现象。但是，如果液体中没有现成的空气泡做核，或由涨落而引起的气泡非常小，即使达到正常沸点时，也不会出现沸腾现象。这是由于相变平衡条件(19)式要求气泡中的压强P′必须小于分界面为平面的饱和蒸汽压P，不能满足力学平衡条件(18)式，气泡反而被液体压缩，所以不会产生沸腾现象。

在这种情况下，只有当温度较正常沸点更高，使P′增大到满足时，才能沸腾。液体的温度等于正常沸点而不沸腾的现象称为液体的过热现象。可见液体的过热现象的出现，是由于液体内缺少汽化核的缘故。

§3.6相变的分类

以前讨论的气、液、固之间的相变，两相的体积不相等，熵也不相等(有相变潜热)，

,

即相变时，有熵和体积的突变，而是另外一些量，如，等压膨胀函数α，等温压缩系数等发生突变，1933年，爱伦费斯特(Ehrenfest)提出一个理论，把相变分为许多级(类)

一、一级相变

特征：相变时两相的化学势连续，但一级偏导数(熵和体积)有突变。

由，得

, 一级相变的数学表达式即

，得

, ⑴ 可见通常的气、液、固之间的相变是一级相变。

二、二级相变

特征：相变时两相的化学势及一级偏导数(熵和体积)连续，但二级偏导数(发生突变,

，α，)即：

() ()

所以 则可得，α，

发生突变。但没有相变潜热和比容突变。

三、n级相变 类推到n级相变，

特征：相变时两相的化学势及一级，二级……直到(n-1)级偏导数连续，但n级偏导数发生突变。

一级相变的相平衡曲线的斜率由Clapeyron方程给出，对于二级相变，由于,,Clapeyron方程变为不定式，不能应用。但是爱伦费斯特根据二级相变在临近的两个点两相的比熵和比容变化相等,

的条件导出了二级相变点压强随温度变的斜率公式. 证明：当两相系统在压强为P，温度为T的情况下达到平衡时，比容为

,而在

P+dP

和

T+dT

的情况下平衡时，应有

即参量，则

但取T,P为独立

由此得到而

同样，对于两相平衡系统，有，

由此得到称为爱伦费斯特方程。

人们习惯上把二级以上的相变通称为连续相变。由上可知，连续相变在相变点两相的化学势以及化学势的一级偏导数连续。连续相变的相变点称为临界点。通过实验和理论都可以分析连续相变，

第五篇：求极限的方法及例题总结解读

1.定义：

说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：;x2lim(3x1)5

(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限

这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2.极限运算法则

定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有(1)lim[f(x)g(x)]AB (2)limf(x)g(x)AB (3)limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

1 . 利用极限的四则运算法求极限

这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

limx1

例1 3x12x1

(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limn(n2n1)n

nn[(n2)(n1)]分子分母同除以limnn2n1limn31211nn32解：原式=(1)n3nlimnn例3 n23

。 上下同除以3n解：原式

1()n1lim31n2n()13。

3.两个重要极限

sinx1x0x(1) lim(2)x0lim(1x)e1xlim(11)xex;x

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3x3lim1lim(12x)2xelim(1)3ex例如：x03x，x0，x;等等。

1x

利用两个重要极限求极限

1cosx2x03x例5 limxx2sin22lim21limx0x0x63x212()22解：原式=。 2sin2注：本题也可以用洛比达法则。 例6 lim(13sinx)x02x

16sinx3sinxx解：原式=x0 lim(13sinx)lim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。

3 例7 lim(nn2n)n1

n13nn133lim(1)nn1解：原式=33n1lim[(1)]e3nn1。

n13n

4.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsin面的等价

x～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0)，仍有上关系成立，例如：当x0时，e3x1～3x;ln(1x2)～x2。

f1(x)f(x)limg1(x)存在时，xx0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当xx0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于，即=。

利用等价无穷小代换(定理4)求极限

limx0例9 xln(13x)arctan(x2)

4 ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 解：x0时，limx3x3x2。  原式=x0exesinxlim例10 x0xsinx

esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解：原式=。

注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。

正如下面例题解法错误一样：

limx0tanxsinxxxlim0x0x3x3。

1tan(x2sin)xlimsinx例11 x0

解：当x0时，x2sin111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价xxx，

x2sin所以，原式=x0

lim1xlimxsin10x0xx。(最后一步用到定理2)

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

5 例 1. x01/21

lim(1xsinx1sinsin(x1))lim2lnxex1 2. x0

5.洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足：(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;

(2)f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0;

f(x)limg(x)存在(或是无穷大)(3);

limf(x)f(x)limmilg(x)也一定存在，g(x)，且等于即

f(x)f(x)limg(x)=g(x)。 则极限说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件

0(1)是否满足，即验证所求极限是否为“0”型或“”型;条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限

6 说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

1cosx2x03x例12 (例4) limsinx1x06x6。解：原式=(最后一步用到了重要极限) limcosx例13 limx12x1 2sinx解：原式=x1例14 limx0lim212。

xsinxx3 lim1cosxsinx1lim2x0x06x6。3x解：原式==(连续用洛比达法则，最后用重要极限)

sinxxcosx2例15 x0xsinx lim解：

原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2xsinx1limx03x23先用等价无穷小，再用洛必达法则

11lim[]x0xln(1x) 例18

11lim[]0解：错误解法：原式=x0xx。

正确解法：

7 原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx011x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。 例19 limxx2sinx3xcosx

12cosx0lim解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x3sinx，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxxlimxcosx3x(分子、分母同时除以x) 原式=1

1=3(利用定理1和定理2)

6.连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数

8 f(x)的定义去间内的一点，则有xx0limf(x)f(x0)。 利用函数的连续性(定理6)求极限

例4 limx2ex21x

12x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点， 所以原式=2e4e。

7.极限存在准则

定理7(准则1)单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。 例1. 设a0，x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)212

求极限n

limxn。

9 定理8(准则2)已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足： (1)ynxnzn,(n1,2,3,) (2)n则极限

10. 夹逼定理 limynan，nlimzna

nlimxn一定存在，且极限值也是a ，即

limxna。

利用极限存在准则求极限 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求nlimxn

limxnx{x}解：易证：数列n单调递增，且有界(0

xn12xn两边求极限， 10 得：

a2a，解得：a2或a1(不合题意，舍去) 所以nlimxn2lim(1。

1n21n212例21 nn1n212nn 11n2nnn21

)2解：易见：nnn22limnnn2因为n1limnn112，

nn21

1n22lim(所以由准则2得：

n11nn2)1。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法

对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合运用，往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法

12. 利用定积分的定义求极限法

积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

12

8. 利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数些极限nlimf(n)un1n收敛，则nlimun0，故对某，可将函数

f(n)作为级数n1f(n)的一般项，只须证明此技术收敛，便有nlimf(n)0。

13 n!例nnn lim

十一、利用幂级数的和函数求极限

当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数(通常为幂级数，有时为Fourier级数)。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。

例求nlim(11332n1)333

7等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

x的x次方快于 x! 快于 指数函数

快于

幂数函数

快于

对数函数(画图也能看出速率的快慢) !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

16直接使用求导数的定义来求极限，

(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式，

看见了有特别注意)

读书的好处

14

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳;壮而好学，如日中之光;志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根