角的平分线的性质

第一篇：角的平分线的性质1

13.3.1 角的平分线的性质(一)

§13.3 角的平分线的性质

课时安排 2课时

从容说课

本节课通过设计一些探究活动，应用学过的全等三角形知识引出了角的平分线的性质.通过本节学习，要让学生了解已知角的平分线的作法，掌握角的平分线的两个性质：①在角的平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.并了解这两个性质的互逆性，能利用角的平分线的性质证明一些简单的几何问题，如线段相等、距离相等等问题.

在应用过程中，学生习惯于应用全等解决相等问题，而常忽略角的平分线的性质的应用，这就使问题变得烦琐了.要使学生充分认识这一点，在教学中要设计丰富多彩的活动，使学生能从各个角度认识角的平分线的性质，从而达到运用自如的目的，使学生深刻体会应用角的平分线的性质的优越性.

证明线段相等或等距离问题中，若有角的平分线的已知条件，可直接利用性质，不必再证明全等三角形得等量关系，这在教学中是个要突破的难点，而重点应放在角的平分线的性质的理解与应用上.

§13.3.1 角的平分线的性质

(一)

第六课时

教学目标

(一)教学知识点：角平分线的画法.

(二)能力训练要求

1.应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.2.会用尺规作一个已知角的平分线.

(三)情感与价值观要求

在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神. 教学重点：利用尺规作已知角的平分线. 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼. 教学方法：讲练结合法.

教具准备：多媒体课件(或投影). 教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段.

问题2：你能作出这些线段吗?

[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线.

过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高.

取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线.

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线.

[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的.

[师]你补充得很好.数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习. 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗?

Ⅱ.导入新课

[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB.MC与NC交于C点. 求证：∠MOC=∠NOC.通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线.

- 1 学生讨论结果总结：

1MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线. 21 2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠

2 1.去掉“大于AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可. 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线.

Ⅲ.随堂练习

课本P106练习.

练后总结：

平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直.

Ⅳ.课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法.

Ⅴ.课后作业

1.课本P108习题13.2─

1、2. 2.预习课本P106～107内容.

板书设计

§13.3 角的平分线的性质

(一)

一、角平分线仪器的操作原理

二、角平分线的尺规画法：

1.以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N. 2.分别以M、N为圆心，大于

1MN长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于C点. 2 3.连接OC，射线OC即为所求.

三、课时小结

四、课后作业

- 3 -

第二篇：角的平分线的性质

《角的平分线的性质》说课稿

【序】

尊敬的各位评委老师，亲爱的同学们，大家好!我是号参赛选手，今天，我说课的内容为《角的平分线的性质》。本节选自九年制义务教育人教版八年级数学第十一章第三小节。下面我将从教材分析、教法选择、学法分指导，教学过程四个方面，展开我今天的说课内容。

1.首先第一部分、【教材分析】 1.1【教材的地位与作用】

结合教材内容，我们可以看出，“角的平分线的性质”是在学生学习了全等三角形、角平分线的定义和相关概念的基础上，从探究平分角仪器的原理出发，得出角的平分线的画法、性质和判定定理。角平分线的性质是角轴对称性质的具体化，为证明线段相等、角相等、三角形内三线共点提供了新的方法和依据;同时，性质与判定定理之间的互逆关系，也为学生初步认识互逆命题打下了基础。所以，本节内容在教材中有着乘上启下的重要作用。

1.2【教学目标】

根据以上的分析，结合新课程标准的要求，我将具体的教学目标确定如下：

在知识技能方面我想要达到的目标是：让学生通过本节课的学习，掌握角平分线的画法，理解角平分线的性质和判定定理，并运用它们解决一些有关的证明和计算问题。

过程和方法目标：本节课，我将带领学生经历观察、实验、猜想、证明和探索的过程，体会探索问题的一般方法和转化的数学思想。

在学生的情感态度价值观培养方面：我将让学生通过一系列问题的解决体会数学在实际生活中的强大作用，从而树立学数学、爱数学的信心。并将小组合作贯穿于教学环节的始终，培养学生与人合作的精神，发展他们的个性。

1.3【教学重难点】

根据教材内容的安排，和学生的学习思维特点，我确定本节的教学重点为角的平分线的性质。难点确定为角的平分线的性质和判定定理的综合运用。

2.【教法选择】

我所面对的学生是初中二年级的学生，相对于其它年龄段的孩子，他们的独立意识和行动能力都有了明显的增强，因此，在教学方法上我打算采用情景教学法、引导发现法、直观演示法、小组讨论交流法相结合的教学方法，在教学过程中利用多媒体课件、实物投影仪、超级画板软件、平分角仪器引导学生掌握知识，形成能力，将数学知识与观察演示和动手实践相结合，使我的课堂始终洋溢在一种轻松快乐的氛围之中。

3.【学法指导】

在学法指导方面，我更加注重学生科学探究方法的体验和感受，让他们在自主动手实践、同学之间通力合作的基础上学会运用观察、分析、对比、归纳、证明的方法，得出解决问题的办法，将学习知识与培养能力融为一体，提高学生持续学习的能力。

4.【教学过程】

结合以上的内容，我将我此次的教学过程按照：

创设情境，导入新知——动手实践，探究新知——应用新知，探讨例题 归纳小结，整理反思——布置作业，自我巩固，五个步骤逐层层展开。 4.1【创设情境，导入新知】

在课堂的开始，我利用多媒体课件在大屏幕上出示一道度假村的设计问题，“某地的规划局要在一个三条公路两两相交的地区设计一个度假村”并提出一问题“为了使度假村的客人到三条公路出行同样方便，度假村应该设计在何处呢?”对于这样一道问题，大部分学生会感到无从下手，我就借此机会，因势利导引出本节课的课题“解决这个问题需要用到角平

分线的性质的有关知识，只要我们齐心协力探究出它来，所有同学都可以给规划部门做出一个出色的设计方案”。让学生在好奇心和自信心的趋使下，进入到探索新知的环节中去。

4.2【动手实践，探究新知】

与此同时，为了给学生创建动手、动脑、合作交流的平台，我将我探究新知的所有过程都安排在小组合作的基础之上，并设计了以“闯三关”为主线的教学策略设计了三个有趣的揭秘活动，让所有小组在逐步的挑战活动中，不知不觉的学到了知识，培养了能力。

4.2.1首先带领学生进入第一环节：【揭秘平分角仪器的原理】

让学生拿出课前准备好的学具—“这是一个平分角的仪器，其中AB=CD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB、AD沿着角的两边放上，那么AC所指示的方向就是这个角的角平分线的方向了，你能说出它的原理吗?”学生会自发的展开验证，然后论证它的原理。我深入到各小组中启发学生先写出已知、求证，画出图形，再思考证明。这样学生很容易根据已有的解题经验，利用证明三角形全等得出AC平分角的性质，课堂松闯过第一关。

4.2.2课堂进入第二关【揭秘已知角的角的平分线的画法】 在第一关的基础上，引导画图思路：“我们可不可以根据平分角仪器那样，利用构造两组相等的临边，来画出任意角的角平分线呢?”

在规定时间内，将问题交给各小组，先让各组员独立思考，然后相互交流，写出画法。为了充分发挥学生的主观能动性，我先安排画图成功的小组，简要说明自己的画法，之后引导在黑板上归纳出正确的作图步骤：

再由画图未竟的小组说说自己遇到的问题，全班讨论。在作图思路已知的情况下，大部分学生失败的原因在第二步做弧时半径未取好，导致弧不能相交，画不出点C，由此，我引导出作图的关键点。并鼓励画图未成功的学生：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来，在失败的道路上失败并不可怕，只要我们直面问题，找出失败的原因，就能笑到最后，在智育中渗透德育，完善了学生性格的发展。

这样全体学生齐心协力，通过了第二关。 4.2.3进入第三关：【揭秘角的平分线的性质】

请学生按照我描述的步骤利用准备好的纸和剪刀动手操作，观察两次折叠形成的折痕，思考他们各是什么?利用这些我们能得出什么结论?由于学生实验中如果取的角过小，过大都会影响实验结果的观察，为了更加直观的引导总结，接着我会安排学生观察我用超级画板制作的动画。

先将角对折，两边重合，然后再以折线为斜边折出一个直角，再逐步展开，观察形成的折痕，为了将结论推向一般，教师也可以选取不同位置多做几次，观察多组实验的现象，学生会更加更加确信结论的正确性。在学生举手回答的基础上总结出角平分线的性质，之后安排各小组写出已知求证画出图形后证明，最后填写这样一个表格，有了对全等三角形判定定理的熟练掌握，学生很容易根据边角边的判定定理得出证明，目的在加深学生对性质的理解和认识，同时为转化应用买下伏笔。

之后，出示这样一个练习题交给学生先画图观察、最后做辅助线证明。

对于判定定理，我采用引导的方式“用角平分线性质的结论做条件，是不是会得出性质的条件呢?”

学生们会快速的想到证明的方法，在举手回答的基础上，归纳出角平分线的判定定理。同样的填写一个表格。两个表格的对比，让学生认识到性质和判定定理之间的互逆关系，为之后学习互逆命题打下基础。

4.3【应用举例】

例一：让学生利用学得的知识，解决课题导入时的度假村设计问题，由于之前的习题已经提供了解题的思路，所以应用解题已经不是难题。挑学生扮演。

例二：求证：三角形三条角平分线交于一点。这是一个性质与判定定理的综合运用，在这个过程中无论结果是好是坏，是对是错我都将给与学生充分的肯定以及简单的点评。

对于学生成功的解决方法我将利用实物投影仪在大屏幕上展示，完善解题过程，增加解题经验。度假村设计问题的解决，使学生认识到数学知识在生活中的广泛应用，帮助学生树立学数学、爱数学的信心。

4.4【归纳小结】

荷兰数学家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，因此归纳小结环节，我将采用师生共同总结的方式，以

1、今天我们学习了什么?

2、今天我们运用这些知识解决了哪些数学问题?

3、这些知识还能帮助我们解决生活中其他问题吗?

问题序列的方式，引导学生对这节课的知识内容进行梳理，加深学生对知识内容的理解，提高他们分析小结的能力。

4.5【布置作业】

作业布置我采用必做题的选做题相结合的方式。与此同时，同时让学生 【板书设计】

最后是我的板书设计，共分两版，以教学过程为指引逐步展开，有助于学生回忆整理，重点突出，同时很好的服务了课堂教学。

第三篇：角的平分线的性质

(二)

教学目标

1.角的平分线的性质.

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.

Ⅱ.导入新课

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?

PD、PE是否等长?

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.

请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1：20000是什么意思?

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.

III.例题

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

IV.课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.

第四篇：角的平分线的性质教案

学习重点 掌握角的平分线的性质定理

学习难点 角平分线定理的应用

设置情景

1.什么是角的平分线?怎样画一个角的平分线?

2.如图,AB=AD,BC=DC, 沿着AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的角平分线, 你知道为什么吗

3.如根据角平分仪的制作原理如何用尺规作角的平分线?自学课本19页思考：为什么要用大于MN的长为半径

4.OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点,

操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:

观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结论:____________

PD PE 第一次

第二次

第三次

命题:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设:一个点在一个角的平分线上

结论:它到这个角的两边的距离相等

结合第4题图形请你写出已知和求证,并证明命题的正确性

用数学语言来表述角的平分线的性质定理:

如上图∵OC是∠AOB的平分线,

∴

练一练:已知:在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.画图并求证:EB=FC.

超 市作业 1.在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。

A

2.在Rt△ABC中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:

⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?

⑵哪条线段与DE相等?为什么?

⑶若AB=10,BC=8,AC=6,

求BE,AE的长和△AED的周长

3.如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;

求证:CF=EB

4.已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

循环小数教学设计 教学过程: 一动作游戏,过度铺垫

请一名学生做游戏,根据老师的指令,用手指向部位.(眼睛、鼻子、嘴巴、耳朵;眼睛鼻子嘴巴耳朵„„)结合动作口令,请学生说一说,游戏过程有什么特点.(理解关键次:依次、不断、重复出现)用游戏动作作铺垫,激发兴趣,使得学生迅速进入学习的境地，初步感知这节课的重要性语言,生动形象的理解无限、依次、重复等词语) 2生活中,还有哪些现象,象我们刚才的游戏那样,依照一定的次序不断重复出现的现象的呢? 请学生结合自己的生活实际找一找.(例如学生的回答:四季春夏秋冬的更替、一年12个月的交替、每周星期数、老和尚讲故事等) 3以此为契机引入新内容的探索,小数中也有这样有趣的现象,你想知道么?引入并板书课题:循环小数。 二新知探索.

1、课件出示情景图.例题1:王鹏跑400米只用了75秒,平均每秒跑多少米? (1)请学生说出已知条件和要求的问题. (2)列算式400÷75,讲明列式理由(速度=路程÷时间) (3)请学生在练习本上试算.教师行间巡视. (4)当学生露出疑问的神情，窃窃私语交流时，及时让学生停下来，说一说自己的疑问，也就是数谈一谈计算中发现算式的特点。余数25不断的重复出现，商一直商3.那么算式的结果怎样写呢?请学生说一说：可以写作5.333......，多写一个重复的数字3然后点上省略号，表示后面还有无数个3.

2、深入探索，说明竖式计算中的特点。

(1)出示练习：28÷18=

78.6÷11= (2)请学生观察算式中特点：第一个算式余数不断重复出现10，因此商不断重复出现5，所以商是1.55„„;第二个算式余数5和6依次不断的重复出现，因此商4和5也依次不断的重复出现，所以商是7.14545„„。

(3)观察写出的3个小数，像这样的小数就叫做循环小数。那么什么样的数叫做循环小数呢?请小组内集思广益交流一下。 (4)反馈交流内容：

a生：有一个数或者多个数不断的重复出现。

B生：小数部分有一个数或者几个数字不断的重复出现。

C生：小数部分有一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。

师：刚才同学们都谈到了依次、不断、重复出现的数字，和课本上循环小数的科学定义进行比较。强调概念重点的词语，加重语气诵读两遍。 在实物投影器上用康熙词典展示“循环”词语的意思。(事物周而复始的运动和变化，叫做循环)

(5)开展写循环小数的比赛，比一比，一分钟谁写的个数多，种类也多。 教师行间巡视，挑拣出现的有典型错误的比赛内容，充分利用课堂生成性资源。比如挑选类似性质的题目：3.2828，5.1444„„，2.0141526„，5.8105105„„，正确的点头，错误的摇头，突出自己的课堂活跃氛围。

[让学生在尝试练习中认识循环小数，发现当两个数相除出现循环小数时商和余数的规律。让学生亲历知识形成的过程，有利于学生形成循环小数的概念。]

三、巩固练习，发散思维。

(1)请同学们判断下面哪几个数是循环小数，为什么?(课件显示) 0.999……

3.1415926…… 0.547745……

3.212121 5.02727…… 6.416416……

这些循环小数能不能简便写法，请自学课本，了解循环节和简便写法。只写出一个循环节，在循环节的首位和末位上面点上小圆点。 (2)将上面的循环小数用简便写法记录下来。

(3)式计算下面各题，哪些是循环小数?将循环小数表示出来。(课本29页第1题。)

5.7÷9

5÷8

6.64÷3.3 (4)跳起来摘葡萄。

循环小数0.48536536„„的小数部分第60位上的数是几?第100位上的数呢?

四、从质疑问难中，畅谈收获

通过这节课的学习，你有什么收获?或什么疑问?

第五篇：角的平分线的性质教案示例

角的平分线的性质

(一) 角的平分线的性质

(二)

角的平分线的性质

(一)

教学目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.

2.会用尺规作一个已知角的平分线.

教学重点

利用尺规作已知角的平分线.

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼.

教学过程

Ⅰ.提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段.

问题2：你能作出这些线段吗?

Ⅱ.导入新课

在学直角三角形全等的条件时有这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB.MC与NC交于C点.

求证：∠MOC=∠NOC.

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线.

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了.

思考：这个方案可行吗?(学生思考、讨论后，统一思想，认为可行)

议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB.

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.

看看条件够不够.

所以△ABC≌△ADC(SSS).

所以∠CAD=∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.

由此，我们总结出作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

作法：

①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.

③作射线OC，射线OC即为所求.

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?

总结：

1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线.

2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

探索活动

按以下步骤折纸

1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C;把角A对折，使得这个角的两边重合;

2、在折痕(即平分线)上任意找一点O;

过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足;

4、将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.我们由此得出：

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.求证：OE=OD.

Ⅲ. 课时小结

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质.

Ⅳ.思考

在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现!”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线.

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢?请你来说明理由.

角的平分线的性质

(二)

教学目标

1.角的平分线的性质.

2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的性质及其应用.

教学难点

灵活应用两个性质解决问题.

教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.

Ⅱ.导入新课

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?

PD、PE是否等长?

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.

请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.

由已知事项推出的事项：PD=PE.

于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.

由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?

2.比例尺为1：20000是什么意思?

结论：

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.

作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.

III.例题

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.

因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.

所以PD=PE.

同理PE=PF.

所以PD=PE=PF.

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

IV.课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.