角平分线性质课堂实录

角平分线性质课堂实录（通用12篇）

篇1：角平分线性质课堂实录

教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.掌握作角的平分线和作直线垂线的方法 2.学握角平分线的性质

（二）情感态度目标

1.在探讨做角平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。2.培养学生团结合作精神。

教学重点： 掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点： 1.对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2.对于性质定理的运用。

教学工具： 多媒体 课件。直尺，圆规等

二、教学过程设计

（一）复习引入 1.角平分线的定义。2.点到直线的距离。

学生思考，回答问题。（设计意图：复习已学知识，为下面研究创造条件。）

（二）设计活动，引出内容 【活动一】

问题 1 ：利用之前学过的知识，如何确定一个角的角平分线。

问题 2 ：不利用工具，将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你有什么办法？（对折）学生活动：学生用量角器去量，让一个学生上讲台用折纸的方法得到角平分线展示给大家。

（设计意图：掌握作角的平分线的简易方法）

假如我们要将纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？那么我们除了使用量角器外，我再给大家介绍另一种仪器——角平分仪（展示课件）如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BD=DC，将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？

（总结学生思路——利用三角形全等）

（设计意图：训练书写数学语言）

引导学生观察这个角分仪，根据这个角分仪的制作原理，通过小组讨论总结，归纳出作一个已知角角平分线的方法。（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

通过小组讨论的结果，让同学在黑板上演示作图过程及复述画法，再利用多媒体演示，加深印象，并强调尺规的规范性。讨论结果展示：

作已知角平分线的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分线． 作法：

（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 M、N.（2）分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 内部交于点 C.（3）作射线 OC，射线 OC 即为所求.设置问题：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的长”这个条件改成“小于或等于

MN 的长”不行吗？

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠ AOB 的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。）学生讨论结果总结：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的长”，那么所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

2.若分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠ AOB 的内部，也可能在∠ AOB 的外部，而我们要找的是∠ AOB 内部的交点，• 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠ AOB 的平分线了。应用：平分平角∠ AOB(学生口述)由平分平角的步骤，得出结论： 作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

【活动二】

拿出用纸片做的角 ∠ AOB，在这个角的角平分线上任意取一点 P，过点 P 分别向角的两边做垂线，量一量点 P 到将两边的垂线段的长有什么关系？再在这个角平分线上任取 3 个点，也分别向角的两边做垂线，看看这些点到角的两边的垂线段的长有什么关系？

学生动手操作，通过观察，用尺子测量，得出结论： 角平分线上的点到角两边的距离相等。

这是从直观上得出的结论，从理论上要证明这个结论。

（设计意图：解决实际问题，拓展学生思维，引导角平分线的性质定理总结，规律化规范语言，深化记忆定理）

证一证： 引导学生证明角平分线的性质，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明。学生板眼，挑出问题，纠正问题，得出完整过程。

由此，得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。用符号语言表示为： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：证明线段相等。练习：判断正误，并说明理由：

（1）如图 1，P 在射线 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，则 PE=PF。（2）如图 2，P 是∠ AOB 的平分线 OC 上的一点，E、F 分别在 OA、OB 上，则 PE=PF。

（3）如图 3，在∠ AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，若 P 到 OA 的距离为 3cm，则 P 到 OB 的距离边为 3cm。

（三）知识回顾 1.角平分线的画法

2.角平分线的性质：角平分线的点到角两边的距离相等

（四）板书设计

篇2：角平分线性质课堂实录

1、先在纸上画一个角∠AOB，这个角是作为要被平分的角。

2、以任意长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边于C、D。

3、然后以C为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧。

4、接着以D为圆心，同3步骤一样以长度为半径用圆规画圆弧。

5、最后两圆弧交于E点。

篇3：“角的平分线的性质”课堂实录

师:昨天有幸看了“小太阳”艺术团的的表演, 让人耳目一新, 特别是爵士和芭蕾的结合太美了, (教师当场表演芭蕾动作) 还观赏了有地方特色的小青山水库和将军山 (图片播映) , 用一句话形容“清水出芙蓉, 天然去雕琢!”我们的山美水美人更美, 相信大家今天能让老师看到更精彩的表现!体现你们的魅力!

(学生惊讶老师的舞蹈!勾起了学习的兴趣, 有生命的课堂马上就要点燃.)

师:请同学们用准备好的剪刀, 自己动手剪一个角 (教师演示) , 你有什么方法可以确定角的平分线? (教师板书, 走入学生中巡视.图略.)

生: (纷纷动手剪角) 这样对折就能找到角的平分线.

师:那折叠时要注意什么呢? (在小组中参与小组活动.)

生:注意边的重合, 对吗?

师:Yes!非常正确! (加重语气鼓励.)

师:好!大家都找到了角的平分线, 那么把对折的纸片再任意剪一次 (PE) , (师剪纸然后把纸片展开) PE、PF相等吗?

生: (一口同声) 相等.

师: (马上追问) 为什么?再多剪几次呢?

生: (纷纷说) 因为重合, 还是相等.

师:还有别的方法吗?能用以往的知识证明吗?反过来如果PE=PF, 那么折痕 (OP) 一定是角的平分线吗?为什么?请同学们动手试试独立思考后, 小组合作, 汇报展示. (走入学生中巡视.)

生1: (其中一个小组很兴奋) 老师我们组用全等的方法, 是边边边定理……

师:方向很对, 但我们要证什么?一个边, 那能把求证当已知吗?再想想.

生2: (同组马上补充) 那反过来问题的能用它证, 对吧!

师:你太灵活了, 真棒!第一个问题你们组也肯定能想出来. (鼓励的眼神.)

生3:我们组还有方法, 用格尺量.

师:当然可以, 但理论性不强.大家有很好的方法, 也有你们的疑惑, 哪个组愿意展示一下呢?

(一组主动上前, 拿着剪好的角.边比划边说.)

生1:用格尺量相等.

生2:用三角形全等知识, 大家看边角边定理……

生3:第二个问题上面两个方法都可以用, 只是用量角器.全等用边边边定理.

师: (补充) 这可是制作角平分仪的原理所在哦!

生4:我们还剪出了一个特殊的直角.也一样可以利用上面的方法解决.大家还有什么疑问吗?请同学们对我们组进行评价.

生:你们组分工很明确, 可以说出方法, 还能迁移到其他地方……

师:谢谢这个组同学的精彩展示. (掌声响起) 而且发现了特殊位置关系, 一会儿我们深入研究它.

师:请同学们根据上述原理, 制作角平分仪.如果有困难可以参考课本P19探究来制作.可以同桌或小组一起制作, 并请同学们画任意角, 再用角平分仪画这个角的平分线.看看谁最棒!你觉得角平分仪使用起来有哪些利弊点? (在导学案上有说明.)

师:画钝、锐、直、平四个角. (走入学生中巡视, 参与引导解决疑难.)

(学生纷纷用准备好的纸壳、绳子、橡皮筋等材料积极动手制作, 成功的小组展示成果.)

师: (演示教具角平分仪) 你觉得制作它有什么要点?

生:边对应相等……

师:请制作成功的小组去黑板任选一角, 然后画角的平分线.

生: (上下齐动) 有黑板画图的;有继续探究角平分仪制作的;有本上画图的.

生: (第一组锐角) 我们让角平分仪的两边与黑板角两边重合, 按橡皮筋划线, 就是角的平分线.

生: (补充) 橡皮筋太软, 画的不直, 我们可以用尺子把橡皮筋按住在画.这是我们画完之后想到的.

师:这组同学不但聪明, 还能在之后总结寻求更好的方法, 解决问题.我们学习数学就要有这种思维!

生: (第二组钝角) 因为我们用第一组的画不出来, 我们用角平分仪使较短边与之重和, 画法一样.

师:你们也遇到他们的问题了吗?这是为什么呢? (疑惑的表情.)

生:长边夹角只能是锐角, 短边夹角才可能是钝角.而且直角和平角也需要用短边画. (有问题的学生恍然大悟.)

师:同学们学得真快, 马上就类比、总结了.谁能总结一下利弊?

生:利:很快, 很方便;弊:不准确.

师:大家有没有更准确的方法呢?老师这用几何画板来验证看是否准确. (教师演示几何画板, 用数据说话.)

师:你有准确的方法吗?

生:尺规作图.

师:根据角平分仪原理, 运用直尺、圆规做一个角的平分线, 同桌或小组汇报绘图过程. (再次走入学生中巡视, 参与引导解决疑难.)

温馨提示:如果你感觉有困难请参考书上P19作图过程作图, 并明确原理, 请同学们总结作图过程中有哪些疑问, 一定要大胆地向组内、组间或老师提出.我们喜欢能提出问题的你;欣赏会提问的你;更敬佩能解决同伴问题的学生哦! (导学案上的要求.)

生: (焦急地问) 我画的交不上啊!

师:周围同学看看为什么? (用实物投影展示.)

生:哦!他圆规分得太小了.

师:谁能用规范的语言说一下.

生: (皱皱眉不语) 看看书.

生:是这个, 大于1/2PA半径.

生:等于行不行?

生: (补充) 行, 也有交点.

师:这是一个非常重要的注意点:大于等于1/2半径.

师:我们把第一组汇报的特殊情况放到尺规作图里, 你能总结出什么?

生:角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

师: (板书) 那如果P点动呢?请大家看几何画板演示. (教师演示P为动点, PA和PB的数据以及两个角的数据仍然相等) 数学讲究逻辑推理, 我们要怎样才可以用呢? (学生证明.)

师:我是巧妇难为无米之炊啊!什么都没有怎么证呢?

(师生共同完成已知、求证.)

师:请同学们独立完成证明过程.注意学以致用哦! (再次走入学生中巡视, 参与引导解决疑难) 请男女各一人进行PK.

(学生纠正证明全等写法上的错误.)

师:本节课你都学习到了哪些知识? (内容和能力上的或其他方面的) 对自己或同伴有什么评价和建议?

生:这节课很有意思, 锻炼了我的动手能力和逻辑性.

篇4：角平分线性质的应用

（1）角平分线上的点到角的两边距离相等.

（2）在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

灵活运用上面这两个性质，可以简便地解决许多问题.

一、性质(1)单独亮相

例1如图1，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1=∠2，CD、BE交于O点.求证：OB=OC.

分析：由∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，可知OE=OD，然后再证△BDO≌△CEO.

证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，

∴OE=OD.

又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，

∴△BDO≌△CEO（ASA），OB=OC.

点评：角平分线的性质常用来证明线段相等的相关问题.本题中由角平分线的性质直接得到OE=OD，显然比证明△OAE≌△OAD来说明OE=OD要简便.

例2 如图2，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE.求证：∠PDO+∠PEO=180°.

分析：∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，要证∠PDO+∠PEO=180°，若设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决.由于OC是角平分线，故可过点P作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再利用HL证明这两个直角三角形全等即可.证明略.

点评：遇到角平分线问题，可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线的性质.

二、性质（2）单独亮相

例3如图3，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，交点分别为A、B、C.现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处？请标在图中，并说明理由.

分析：因为到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，所以可供选择的地址在这三条直线所围成的△ABC的内角平分线的交点处，或在这个三角形的外角平分线的交点处.

解：如图4，作∠BAC、∠ABC的平分线，交于点P4，则点P4到直线l1、l2、l3的距离相等，理由是角平分线上的点到这个角的两边距离相等.同理，作△ABC的外角平分线，分别交于点P1、P2、P3，则点P1、P2、P3各点到直线l1、l2、l3的距离也相等.

所以，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处.

点评：性质（2）常用来解决或证明距离相等的相关问题.由本题可以得到“三角形的一内角平分线与另外两个不相邻外角的平分线交于一点”，比如P1，它到AC和BC所在直线的距离相等，故它在∠ACB的平分线上.有时利用它解题更简洁.并且还可证得点P4在∠ACB的平分线上（因P4到AC、BC的距离相等），即“三角形三个内角的平分线交于一点”.

三、性质（1），性质（2）财时亮相

例4如图5，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP平分∠MBN.

分析：如图6，作PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.要证BP平分∠MBN，只需证PD=PF.而PA、PC为外角平分线，故可过P作PE⊥AC于E.根据角平分线性质有PD=PE，PF=PE，则有PD=PF，故问题得证.证明略.

点评：本题通过作PE⊥AC于E，沟通了性质（1）及性质（2）.当题目中有角平分线的交点时，常过交点作有关边的垂线，以寻找解题思路.

例5如图7，△ABC中，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：∠DCE=∠CAD.

解：由BD、CD平分∠ABC、∠ACB，可得AD平分∠BAC.于是可设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y，∠5=∠6=z.由三角形内角和定理得x+y+z=90°，于是∠CAD=z=90°-（x+y），只需证出∠DCE=90°-（x+y）即可.

∵CE⊥BD，

∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-（∠2+∠3）=90°-（x+y）.

∴∠DCE=∠CAD.

点评：这种设角并利用角的表达式证明的思路，体现了代数法解几何题的思想，值得重视.

跟踪练习

如图8，在△ABC中，AD是∠A的平分线， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.

篇5：角平分线的性质教案

陈明盛

一、教学目标

（一）知识与技能

1.了解角的平分线的判定定理；

2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法

在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观

在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点

重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定.三、教法学法

自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程

（一）复习、回顾

1.角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．

（二）合作探究

角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】

例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是 ∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．

证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

例2.如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

（三）巩固训练

练习：第2题

（四）小结

请你说说本届课的收获与困惑.（五）作业

篇6：角平分线的画法及性质

材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。

1、首先准备好下图的工具，圆规和尺子是必不可少的`。

2、在纸上随便画一个角AOB。

3、用圆规以O为原点，任意距离为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。

4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。

5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。

角平分线的性质

1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的距离相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

篇7：教案角的平分线的性质

王彦坤

一.教学目标

1、知识与技能

（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。

2、过程与方法

学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观

充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

二.学情分析

刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学的意识和思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

三.重点难点

教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

难点为：（1）角平分线性质定理中，点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）四.教学活动

活动1：感悟实践经验，探索作已知角的平分线的方法 问题1：在纸上任意画一个角，怎样找到这个角的平分线？ 问题2：用平分角的仪器可以平分一个角，你能说明其中蕴含的道理吗？

问题3：在画一个角的平分线时，这个仪器给了你什么启发吗？如何用尺规作图的方法，画已知角的平分线呢？ 活动2：经过探究，猜想角的平分线的性质

问题1：让学生利用尺规，作任意角∠AOB的平分线OC。

问题2：在角平分线OC上，任意取一点P，过点P画OA、OB的垂线段，垂足分别为D、E。

动手测量PD、PE的长，并做好记录。你有什么发现？

问题 3：在角平分线OC上再任取几个点试一试，结论还是一样的吗？ 问题4：图中点P到直线l的距离是什么？那么PD、PE的长可以看作是什么？

问题5：你能大胆提出猜想吗？

活动3： 经过推理，得到角的平分线的性质定理 问题1：上面的猜想出的命题一定是真命题吗？ 问题2：命题中的已知和求证（题设和结论）是什么？ 问题3：你能用数学语言表达已知和求证吗？ 问题4：你可以证明这个命题吗？ 问题5：回忆角的平分线的性质定理的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

问题6：角的平分线的性质定理作用是什么？ 活动4： 运用性质定理，解决简单问题

（一）牛刀小试：

1、判断正误，并说明理由：

（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF。

（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF。

（3）如图3，P在∠AOB的平分线OC上，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm。

2、如图在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，AE+DE=_________。

（二）典例分析：

例1：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：∠B=∠C。

（三）拓展能力：

例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

活动5 ：小结与作业 小结：

1、本节课你学习了哪些内容？

2、角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用此性质时应注意什么？

作业：课本51页第1、2题

活动6【活动】活动6 ：设置疑问，为下节课铺垫

篇8：角平分线性质课堂实录

例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,交AB于点E,DE=3,BD=4,求BC的长度.

【再认识】角平分线性质是说明线段相等的一种重要方法. 解题时,注意抓住图形的特征,从已知条件中找到角平分线的点及这点到角两边的垂线段,利用角平分线性质得到两条垂线段相等.

【分析】欲求BC的长,已知BD,且BC=BD+CD,进而将问题转化为求CD的长. 由AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,根据角平分线性质,可得CD=DE,从而求出BC的长度.

解:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,

∴ CD=DE=3,

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【变式】如图2,AB//CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.

【分析】要求AB与CD之间的距离,首先过点O作直线OM⊥AB于点M,交CD于点N,则线段MN的长度即为AB与CD之间的距离. 因为AO、CO分别是∠BAC、∠ACD的角平分线,所以OE=OM=ON,则AB与CD之间的距离可求.

突破2:角平分线性质定理逆定理的再认识

例2如图3,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N. 试说明PM=PN.

【再认识】角平分线性质定理的逆定理是判定角平分线的一种重要方法. 在平面内找到一个点,通过这一点到角两边的距离相等来确定该点在角平分线上. 再根据两点确定一条直线,确定角平分线.

【分析】欲说明的是PM=PN,已知PM⊥AD,PN⊥CD,利用角平分线性质定理的逆定理,可猜测BD平分∠ADC. 已知BD是∠ABC的平分线,AB=BC,可证△ABD≌△ACD,从而证得BD平分∠ADC,进而将问题解决.

证明:∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB=∠CDB.

又∵PM⊥AD,PN⊥CD,

∴ PM=PN.

【变式】如图4,∠C=∠D=90°,BE平分∠ABC,且E为DC的中点,试说明AE平分∠BAD.

【分析】欲说明AE平分∠BAD,过点E作EF⊥AB于点F,由ED⊥AD,故只要说明EF=ED,又由E为DC的中点,即DE=EC,从而只要说明EF=EC即可.

突破3:垂直平分线性质的再认识

例3如图5,DE是△ABC的AC边的垂直平分线,E为垂足,DE交BC于点D,△ABD的周长为18cm,AB=8cm,求BC的长.

【再认识】线段的垂直平分线是证明两条线段相等的一种重要方法.解题时,抓住题中垂直平分线条件,把其上一点与线段的两端点连接起来,得到相等的线段,从而可以把线段进行转移.

【分析】由DE是AC的垂直平分线,得AD=DC,则BC=BD+DC=BD+AD,又AB+BD+AD=18 cm,AB=8 cm,从而求出BC的长.

解:∵DE是AC的垂直平分线,

∴ AD=DC,

∴ BD+AD=BD+DC.

∵ AB+BD+AD=18,AB=8,

∴ BD+AD=18-8=10,

∴ BD+DC=10.

即BC=10cm.

【变式】如图6,已知AB⊥CD于点B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于点E、F,EB=EF,求∠A的度数.

【分析】由CF是AD的垂直平分线想到连接DE,则AE=DE,故∠A=∠ADE. 又EB⊥CD ,EF⊥AD ,EB = EF ,所以DE是∠ADC的角平分线,所以∠CDE=∠ADE.又∠A+∠CDE+∠ADE=90°,从而求出∠A的度数.

突破4:垂直平分线性质定理的逆定理的再认识

例4如图7,AD是△ABC的角平分线 ,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.

【再认识】垂直平分线性质定理的逆定理是证明一个点在某线段的垂直平分线上的一种重要方法. 解题时,关键是找到一个点到线段两个端点的线段,说明这两条线段的长度相等,从而确定该点在线段的垂直平分线上.

【分析】欲说明AD垂直平分EF,只需说明AE=AF,DE=DF. 已知AD平分∠BAC,ED⊥AB,DF⊥AC,得DE=DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中,根据DE=DF,AD=AD,得Rt△AED≌Rt△AFD,得AE=AF,从而将问题解决.

证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴ DE=DF,

∴点D在线段EF的垂直平分线上.

∵ DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠AED=∠AFD=90°,

在Rt△AED和Rt△AFD中,

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),

∴AE=AF,

∴A点在线段EF的垂直平分线上,

∴AD是线段EF的垂直平分线,

即AD垂直平分EF.

突破5:角平分线性质,垂直平分线性质的再应用

例5如图8,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DE⊥AB于点E,且AB>AC.求证:BEAC=AE.

【再应用】线段的垂直平分线和角平分线的基本图形往往构成复合体,形成崭新的考查亮点. 熟知角平分线及垂直平分线的基本图形是解答此题的关键.

【分析】补全线段垂直平分线和角平分线性质定理的两个基本图形,问题即可迎刃而解. 具体如下:连接DB、DC,作DG⊥CA于点G. 则由题意易得DB=DC,DE=DG,还可得到AG=AE,进而可得出△DBE≌△DCG(HL),于是有BE=GC=AG+AC=AE+AC,所以BE-AC=AE.

证明:作DG⊥AC于点G,连接BD、CD.

∵AD是外角∠BAG的平分线,DE⊥AB,

∴ DE=DG,

∵ DE⊥AB,DG⊥AC,

∴∠AED=∠AGD=90°,

在Rt△AGD和Rt△AED中,

∴ Rt△AGD≌Rt△AED(HL),

∴ AE=AG,

∵DF是BC的中垂线,

∴ BD=CD,

在Rt△BED和Rt△CGD中,

∴ Rt△BED≌Rt△CGD(HL),

∴ BE=CG=AC+AG,AG=AE,

∴ BE-AC=AE.

【变式】如图9,某地有两个村庄和两条相交叉的公路(点P、Q表示村庄,l1、l2表示公路). 现计划修建一座水库,要求水库到两村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等. 你能确定水库应该建在什么位置吗?在所给图形中画出你的设计方案.(要求保留作图痕迹)

篇9：角平分线性质课堂实录

1.应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。

2.会用尺规作一个已知角的平分线。

二、教材分析

角平分线是初中数中的重要的概念它们都有着十分重要的性质。两者在知识学习及内容上都有非常类同之处是学生学习初中几何的很重要基础，教师通过归纳：记忆口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。这种辅助线做法很重要，但凡遇到角平分线，都可引导学生记忆并熟练应用。

三、重点、难点

重点：利用尺规作已知角的平分线。难点：角平分线的性质的应用及辅助线作法。

四、教学方法

实践；探索；互动；发现

五、教学过程

实践活动一通过实践探究角平分线的作法

1.问题与情境

问题1：三角形中有哪些重要 线段。

问题2：你能作出这些线段吗？

问题3：你可以作出角平分线吗？

师生行为：学生动手实践通过折纸的方法作角的平分线。为尺规作图作准备。

设计意图：说明用其它方法可将角平分，证明可以用全等知识证明，可以引导学生证明。引导学生学好数学几何语言，学会学以致用。注意：去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

2.议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？教师演示教具学生分析原因后回答。

3.从上面的探究中，同学们你可以归纳角平分线的做法吗？

教师提问，学生回答

（1）到（3）学生分组探讨交流找方法。学生独立作图、思考。

学生总结交流方法

课堂小练习。画出下列角的平线

设计意图：培养学生分析解决问题的能力及尺规作图的实际操作能力。

实践活动二探究角平分线的性质一

问题：

（1）能归纳角平分线的性质吗？

角平分线上的性质一：角平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）能证明这个性质吗？

（3）用数学符号描述此性质。

应用：如图：△ABC中，∠C=90°，

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E ， F在AC上，BD=DF，

求证：CF=EB.

设计意图：记忆口诀 图中有角平分线，可向两边作垂线。这种辅助线做法很重要，但凡遇到角平分线，都可以这样做。

学以致用 ：

1.如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？

师生行为：学生独立作图、思考。总结交流方法学生分析讨论教师引导得出结论。分析已知条件并证明。独立练习，同组同学交流 ，找生到黑板上板演。

应用：

1.如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？

2.如图：

已知：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：点P到三边的距离相等。

设计意图：强化辅助线的作法：图中有角平分线，可向两边作垂线课堂练习：

本节课学习了那些知识？有哪些运用？

1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径。

布置作业

篇10：角平分线的性质教学设计

一、教学分析：

1.教学内容：

本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径。因此，本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深，则易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。2.教学对象分析：

刚进入八年的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。3.教学环境分析：

利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。选择根据本节课的实际需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，借助几何画板将有关教学内容用动态的方式表示出来，发现变化中的不变，吸引学生的注意力。

二、教学目标：

1．知识与技能

通过作图直观地理解角平分线的性质． 2．过程与方法

经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观

激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

三、重、难点

1.重点：领会角的平分线的性质．

2．难点：角平分线的性质的实际应用．

教具准备投影仪、制作如课本图12．3─1的教具（几何画板）．

四、教学策略与手段

教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会角平分线的性质．

五、教学过程

1.创设情境，导入新课 活动1（投影显示）

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 学生分组讨论测量方法

A O

B

老师总结：可以用对折的方法把∠ABC平分

活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

如课本图12．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 画板演示

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴ △ACD≌ △ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）做出三条边相等

图12.3-1

如何用尺规作角的平分线？

作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于

1ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 2３．作射线OC．

则射线ＯＣ即为所求．

活动4：实践应用（1）1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

（图形在课件上）

活动5：探究角平分线的性质

(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

角的平分线的性质的数学符号表示：

已知：如右图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB（已知）

∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）

∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）

在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO（已证）

∠1= ∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

证明几何命题的一般步骤

1.明确命题中的已知和求证；

2.根据题意画出图形，并用数学符

号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.例：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）

活动6：实践应用（2）

如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB

A F

E

D B

C

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.随堂练习

1.教材50页第1题

2.已知：在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。

3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？

⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。

小结：

1：画一个已知角的角平分线

(注意作图痕迹和几何语言的表达)2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的性质的应用 作业：教科书51页第2题 板书设计：

12.3.1角的平分线的性质

1.作已知的角的平分线

2.角平分线的性质

篇11：角平分线的性质教学设计

湖北口初级中学 刘小丽

教学目标： 1．知识与技能

通过作图直观地理解角平分线的性质． 2．过程与方法

经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观

激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 教学重、难点

1．重点：领会角的平分线的性质． 2．难点：角平分线的性质的实际应用．

教具准备投影仪、制作如课本图12．3─1的教具（几何画板）． 教学过程

一、复习旧知

1、角平分线的概念

2、点到直线的距离

二、情境导入 活动1 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 学生分组讨论测量方法

A O

B 老师总结：可以用对折的方法把∠ABC平分

活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

如课本图12．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 画板演示

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）

∴ △ACD≌ △ACB（SSS）

∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）

图12.3-1

∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）做出三条边相等

如何用尺规作角的平分线？

作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N．

1２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．

2３．作射线OC．

则射线ＯＣ即为所求．

活动4：探究角平分线的性质

(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。

(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

三、探究角平分线的性质

角的平分线的性质的数学符号表示：

已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB（已知）

∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）

∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）

∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）

在△PDO和△PEO中

∠PDO= ∠PEO（已证）

∠1= ∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）

∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

证明几何命题的一般步骤

1、明确命题中的题设和结论；

2.根据题设画出图形并用数学符号表示已知。

3、根据结论写出求证。

4、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.四、知识运用 导学案上对应练习小结：

1：画一个已知角的角平分线

篇12：角平分线性质课堂实录

1.教学目标

知识目标：

1.了解角平分线的判定定理在生活中有哪些应用。2.灵活运用角平分线的判定定理来解决有关问题。能力目标：

培养学生从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题的能力、合作能力和语言组织能力。

情感、态度与价值观：

能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲，体会数学与人们生活密切的联系。

2.教学重点/难点

教学重点：角平分线判定定理的运用 教学难点：角平分线判定定理的证明

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、创设情境 导入课题

小强的家乡有两条相交的公路，小强的爸爸想在相交公路的S区建一个加油站，为了照顾生意，要求加油站到两条公路的距离相等，加油站应建在何处？

设计意图：创设情境，激发学生学习的兴趣，同时让学生体会到数学问题来源于生活，为接下来角平分线的判定定理做好了准备。

二、探一探

1、生活问题转化为数学问题

已知：如图,QD⊥OA, QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE，求证：点Q在∠AOB的平分线上由一名学生展示辅助线的做法及解题思路，同时教师乘胜追问这样的点有多少个，都在哪里。

设计意图：传统的处理方式是将角平分线的性质定理的题设和结论颠倒之后形成命题，再让学生进一步猜想验证，我考虑到这样做虽然省时省力，但对学生的数学思维训练没有达到，所以先将生活问题转化为数学问题，提高了学生应用数学的意识。

证明: 连接OQ ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，∴ ∠QDO和∠QEO都是直角，在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）QD=QE（已知）

∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）

∴ ∠QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

2、引导学生运用自己的语言叙述角平分线判定定理内容，并结合图形运用数学符号语言加以表达

设计意图：让学生大胆展示自己的理解，学会用数学文字语言和符号语言叙述角平分线判定定理内容，提高学生解决问题的能力和自主学习能力。

三、判一判

1、如图1，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线()

2、如图2，若QM =3,QN=3，则OQ平分∠AOB()

3、如图3,若QM⊥OQ于Q，QN⊥OQ于Q,QM=6,QN=6，则OQ平分∠AOB()

设计意图：从三个简单的判断题入手，让学生进一步清楚角平分线判定定理的两个关键：两垂直，一相等。

四、填一填

4、已知如图4，BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,DF=EF,则点F在 的平分线上.5、已知如图5，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°,EF⊥AD,E为BC的中点，且EF=CE,则∠1与∠2的关系为 ；点E在∠A的平分线吗?说明理由。

学生进行口答的说理，并且让学生展示两种不同的解法，一种是连接AF,通过证明三角形全等，另一种是根据条件直接利用角平分线判定定理，并且让学生明白在已知一定条件下，证角平分线不再用全等三角形后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。在此活动中，应关注：

1、学生回答问题和评价的积极性、准确性。

2、能否从两个定理的角度出发证明角相等问题，从而打破依据全等来证明的思维的定势。

3、学生在解决问题时几何语言表达的准确性和规范性。

设计意图：通过由易到难的题目，简单的说理，没有书写，进一步提高学生运用知识的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。

五、证一证

6.已知如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等.（2）点P也在∠A 的平分线上

一名学生进行板演，教师主要通过此题规范学生的解题格式，通过例题，进一步让学生对角平分线的性质和判定有更深的认识。

设计意图：

通过此题，能够检测学生对角平分线的性质和判定的理解和应用的程度，以及解题过程中出现的问题。本练习是两个定理的应用，目的在于考察学生的掌握知识情况，使学生避免走远路、弯路。

六、结一结

设计意图：通过表格的完成，让学生进一步的知道角平分线的性质和判定的区别和联系

七、拓一拓

由于经济发展迅速，小强村庄又修建了一条公路，如图所示，小强家的生意越做越好，现在小强爸爸又想在加油站的附近建一个购物超市，要求到三条公路的距离也相等，可是“黄金地点”S区已经让别人收购，可是聪明的小强很快为爸爸想出了符合条件的其他“黄金地点”，你知这些“黄金地点”有几处？分别在哪里？

设计意图：与课堂的导入相呼应，让学生将所学生的数学知识应用于实际生活，感受数学来源于生活又服务于生活，提高学生应用数学知识的意识，进一步增强学生学习的兴趣与信心

八、作业布置