二次函数中常见错漏解原因分析

二次函数中常见错漏解原因分析（通用7篇）

篇1：二次函数中常见错漏解原因分析

龙源期刊网 http://.cn

二次函数中常见错漏解原因分析

作者：马中骏

来源：《数理化学习·初中版》2013年第11期

培养解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本的、相通的是离不开思维的训练.从学生解题的行为实际看，学生在解题时难以养成思维习惯，常常盲目解题、马虎草率、错误百出.下面对二次函数中错解、漏解的常见原因进行分析，从发展学生的思维角度和学生的解题实际出发，浅谈如何培养学生的解题能力.一、审题草率，错误理解题意

例1能否适当的利用上下平移函数

y=12x2的图象，使得到的新图象经过（-4，2）点？若能，说出平移方向和距离；若不能，请说明理由.错解：很多同学拿到此题不知道从何下手，有些同学设函数的解析式为

y=12x2+bx+c，然后把点（-4，2）代入y=12x2+bx+c，由于只有一个点所以不能直接解出答案，很多同学就根据b和c的关系，随意代数写出一组b和c的值；还有部分同学由于审题不细，没有看到利用上下平移这一条件，自己误认为这是一道开放性题目，可以随意平移，因此将顶点（0，0）平移到（-4，2）得到函数

y=12（x+4）2+2

.正确解法：因为是利用上下平移函数

y=12x2的图象，所以设函数的解析式为

篇2：二次函数中常见错漏解原因分析

一、隐函数定理

设函数F(x,y)在包含(x0,y0)的一个开集上连续可微,并且满足条件F(x0,y0)=0,,则存在以(x0,y0)为中心的开方块D×E(D=(x0-δ,x0+δ),E=(y0-η,y0+η)),使得(1)对任何一个x∈D,恰好存在唯一的一个y∈E,满足方程F(x,y)=0.这就是说,方程F(x,y)=0确定了一个从D到E的函数y=f(x);(2)函数y=f(x)在D连续可微,它的导数可按下式计算

二、问题

已知椭圆C:.(Ⅰ)点P(x0,y0)是椭圆C上一点,求过P点的椭圆C的切线方程;(Ⅱ)点P(x0,y0)是椭圆C外一点,过P引椭圆C的切线PA、PB,点A、B为切点,求直线AB的方程.

三、推广

命题1已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)点P(x0,y0)是圆C上一点,则过P点的圆C的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(2)点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2外一点,过P引圆C的切线PA、PB,点A、B为切点,则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

命题2已知双曲线C:.(1)点P(x0,y0)是双曲线C上一点,则过P点的双曲线C的切线方程为.(2)点P(x0,y0)是双曲线C:外一点,过P引双曲线C的切线PA、PB,点A、B为切点,则直线AB的方程为

命题3已知抛物线C:x2=2py(p>0).

(1)点P(x0,y0)是抛物线C上一点,则过P点的抛物线C的切线方程为

(2)点P(x0,y0)是抛物线C:x2=2py(p>0)外一点,过P引抛物线C的切线PA、PB,点A、B为切点,则直线AB的方程为

四、在高考中的应用

【例1】如图1,以椭圆的中心为圆心,分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F(c,0)(c>b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆

于点B.设直线BF是小圆的切线.(Ⅰ)证明c2=ab,并求直线BF与y轴的交点M的坐标;(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点,证明

解:(Ⅰ)F(c,0),则A(c,b),所以OA的方程为

则根据隐函数定理,小圆O在B点的切线BF的方程为,又该切线过点F(c,0),

所以c2=ab,M(0,a),

(Ⅱ)由(1)知切线BF的方程为cx+by=ab,

【例2】在平面直角坐标系xOy中,有一个以为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量.求点M的轨迹方程.

评析:例1是过圆上的点作圆的切线,例2是过椭圆上的点作椭圆的切线,都是研究切线的直线方程,是命题1的应用.

【例3】如图3,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.

(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;

(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)证明:由题意设M(x0,-2p),则根据隐函数定理,直线AB的方程为,即x0x-py+2p2=0.

由得x2-2x0x-4p2=0,(1)

即2x0=x1+x2.

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x0=2时,

直线AB的方程为2x-py+2p2=0,

方程(1)即为x2-4x-4p2=0,

因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,

又,所以p=1或p=2,

因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知x1+x2=2x0,则

由题意得C(x1+x2,y1+y2),即

当x0=0时,则x1+x2=2x0=0,此时,点M(0,-2p)符合题意.

当x0≠0时,设D(x3,y3),由题意可得

解关于x0,x3,y3的方程组,经验检该方程组无解.

所以x0≠0时,不存在符合题意的M点.

综上所述,仅存在一点M(0,-2p)符合题意.

【例4】设点P(x0,y0)在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点.(Ⅰ)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足为N,试求△AMN的重心G所在的曲线方程;(Ⅱ)求证:A、M、B三点共线.

(Ⅱ)设P(m,y0),则根据隐函数定理得

过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1,

又满足上述方程,

∴A、M、B三点共线.

点评:例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线,例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线,都是研究切点弦所在的直线方程,是以上命题(2)的应用.

五、评析

篇3：二次函数中常见错漏解原因分析

【关键词】二次函数；实际问题；最大（小）值

应用数学思想来解决生活中的实际问题是学习数学的目的所在，而建立适当的数学模型来解决实际问题是生活中常用的手段。在现实生活中，我们往往会遇到一些复杂的实际问题，而这些实际问题所涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生活、生产等方面，有时很难抓住要领，不易直接用函数知识去观察、分析、概括所给的实际问题。若将其转化为数学问题并建立数学模型，则问题就容易解决了。

在函数中二次函数是解决实际问题的一个重要数学模型，利用二次函数的图像和性质求函数的最大（小）值。此类题是各地中考的重难点，并经常作为压轴题出现。在生活中我们经常会遇到利用二次函数求最大值或最小值的问题，例如下面的问题：

例1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型产品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件） P=50-x

销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q=30+；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：这是一道分段求函数的最大值的问题，学生在解题时往往考虑不全，把21≤x≤40这段函数的问题遗漏，只求1≤x≤20这段函数的问题及最大值。所以在教学时，教师一定要强调自变量的取值范围及分段后的函数的增减性。

解：（1）当1≤x≤20时，令30+=35，得x=10.

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件

（2）当1≤x≤20时，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

当1≤x≤20时，

因为，所以当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5

当21≤x≤40时，因为26250>0

所以随着x的增大而减小，所以当x=21时，最大。

于是，当x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因为y1

所以这40天中第21天时该网店获得的利润最大，最大利润为725元。

例2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆汽车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆汽车的日租金每增加50元，为租出的汽车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆汽车时，日收益为y元。（日收益=日租金收入-平均各日各项支出）

（1）公司每日租出x辆汽车时，每辆汽车的日租金为______元（用含x的代数式表示）

（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

分析：（1）未租出的汽车有（20-x）辆，每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，建立二次函数模型求解。

（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000。

所以当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因为x=24不合题意，舍去。

所以当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。

例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，

（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数解析式

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

分析：（1）在每箱50元的基础上销售，当售价为x元时，则每箱提价（x-50）元；（2）利润=（售价-进价）×箱数

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因为a<0，所以抛物线开口向下，当x==60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，所以当x=55时，w有最大值为1125

所以当每箱苹果售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

注意：求最大值时，要注意自变量的取值范围及自变量的实际意义。

解答这类应用题的基本方法是设法把关于最大（小）值的实际问题转化为二次函数的最大（小）值问题，然后按求二次函数的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解问题的题意；

（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（3）用数学方法表示它们之间的关系，用二次函数解析式表示实际问题中常量与变量之间的关系；

（4）将得到的二次函数通过配方化为y=a（x-h）?+k的形式，求出顶点坐标得出最大值或最小值；

（5）检验结果的合理性，判断是否符合实际要求。

篇4：三角函数常见错解剖析

一、忽视角的概念致错

例1 已知函数undefined, 求x的值。

错解:由undefined, 得undefined, 即undefined或x=-2π.

又终边相同的角的同名三角函数值相等, 故undefined或x=2kπ-2π, k∈z.

剖析:错解虽然考虑到了终边相同的角的表达形式, 但表达的形式不对。

正解:由undefined得undefined, 即undefined或x=4kπ-2π (k∈z) 。

二、忽视定义域致错

例2 求函数f (x) = (1+4tanx) cos2x-3sin2x的单调递减区间。

错解:undefined

由已知得

undefined, 即undefined。

故原函数的单调递减区间是undefined。

剖析:错解忽视了函数f (x) 的定义域。

正解:考虑tanx有意义, 故原函数的定义域是{x│x∈R且undefined

又undefined

由已知得undefined, 即undefined。

综上, 原函数的单调递减区间是undefined。

三、忽视象限角和区间角的概念致错

例3 函数y=sinx和 y=cosx在第一象限分别是

A.增函数, 减函数 B.减函数, 增函数

C.增函数, 增函数 D.以上都不对

错解: 由于正弦函数y=sinx在区间undefined上为增函数, 而余弦函数y=cosx在区间undefined上为减函数可知, 正弦函数y=sinx在第一象限为增函数, 而余弦函数y=cosx在第一象限为减函数。故应选 (A) 。

剖析 混淆了象限角和区间角的概念, 把区间undefined与第一象限混为一谈等, 这些都是部分学生经常犯的错误。

正解: 由于同在一个象限的角不一定都在所求函数的一个单调区间上, 即在某一象限内无法确定函数的单调性。应选 (D) 。

四、忽视隐含条件致错

例4 已知undefined且0<α<π 求cos2α的值

错解:将undefined两边平方, 得undefined

又因为 0<α<π 所以undefined

故有undefined

剖析:实际上undefined是不可能得到的。

正解:因为undefined①

所以undefined

所以undefined

因为 0<α<π

所以 sinα>0, cosα<0

所以undefined②

①×②得undefined

篇5：二次函数问题中的常见错误

例1当m为何值时,函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.

错解：m2-2=2,故m=2或m=-2.

分析： 根据二次函数的定义，要使y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数，m不仅应满足m2-2=2,还应满足m+2≠0,而上述解法忽略了m+2≠0这一隐含条件.

正解：由题可知m2-2=2，m+2≠0.∴ m=2.

故当m=2时，函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.

例2 已知抛物线y=(m-1)xm-m开口向下，求m的值.

错解:∵抛物线开口向下,

∴ m-1＜0,∴ m＜1.

分析:解题时只考虑了m-1＜0是不全面的，因为抛物线是二次函数的图象，所以x的次数应该是2，即m2-m=2.

正解:根据题意，得m2-m=2，m-1＜0.

解得m=-1.

例3已知抛物线y=x2-2ax+16的顶点在坐标轴上,试求a的值.

错解:∵抛物线y=x2-2ax+16=(x-a)2+16-a2.

∴ 顶点坐标为(a,16-a2).

由题意可知16-a2=0，则 a=±4.

分析：坐标轴包括x轴和y轴，错解只考虑了一种情况，解答此题需分两种情况进行讨论.

正解：∵ y=（x-a）2+16-a2,

∴ 顶点坐标为(a,16-a2).

当顶点在x轴上时，16-a2=0，a=±4.

当顶点在y轴上时，a=0.

故a=-4或a=4或a=0.

例4 已知点P在抛物线y=x2上，又知x轴上有一点A（ ，0），若OP=OA，求点P的坐标.

错解：如图，设P（a，b），过P作PM⊥OA于M.

则OP= =

∵ OP=OA，A（ ，0），

∴ OA= ，OP= ，OP2=6.

∴ a2+b2=6.

又∵ P在抛物线上y=x2上，

∴ b=a2＞0. ∴ b2+b=6, b2+b-6=0.

解得b=2或b=-3.

当b=2时，a=± ,而点P在第一象限，故a=- ，b=-3舍去.

∴ P的坐标为（ ，2）.

分析：错误的原因是舍去了（- ，2）.由抛物线的对称性易知，满足条件的点P有两个，分别在第一、二象限，因此我们要正确舍值，防止多解、漏解.

正解：P（ ，2）或（- ，2）.

篇6：巧用二次函数解方程

一、 利用二次函数的图象

例1求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根.

解析本题比较简单，可以使用代数方法，通过判别式和韦达定理求解.不过，如果利用图象的特征，将给我们直观明了的印象.

设f(x)=2x2+3x-7，其图象是开口向上的抛物线，且f(0)=-7＜0，所以函数的图象与x轴有两个不同的交点，即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根.

这里值得思考的是：(1) 为何要考察f(0)的符号？改成考察f(1)的符号行吗？(2) 由f(0)＜0，可知方程的两个根x1,x2(x1＜x2)与0有何关系？由f(1)＜0呢？(3) 当二次函数中二次项系数改变符号后，又该怎样判断？

深层次的思考，可以加强对思路的进一步理解.一般地，函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上，只要存在实数x0，使f(x0)＜0，即横坐标为x0时函数图象上的对应点在x轴下方，则图象与x轴有两个交点，其横坐标x1,x2(x1＜x2)即为方程的两个相异根，并且有x1＜x0＜x2；如果二次项系数小于0，则抛物线开口向下，情况就应作相反的调整.基于这样的理解，有些问题应用代数方法过程繁琐时，可利用函数图象的特征来解决.

例2已知关于x的二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根大于1，另一个根小于1，求a的取值范围.

图1

解析设f(x)=x2+(a2-1)x+a-2.抛物线开口向上，且f(1)=a2+a-2=(a+2)(a-1).

如图1，当f(1)＜0时，二次函数的图象与x轴的两个交点分布在点（1，0）的两侧，即当-2＜a＜1时，方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根大于1，另一个根小于1.

例3实数a在什么范围内时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2小于0，另一根大于1小于3？

解析本题若用韦达定理求解则过程较繁，而利用函数图象的特征求解则简洁明快.

图2

设f(x)=3x2-5x+a，如图2，抛物线开口向上.所对应的方程在区间（-2，0）和（1，3）内各有一个根，所以

f(-2)＞0,f(0)＜0,f(1)＜0,f(3)＞0,

即22+a＞0,a＜0,a-2＜0,12+a＞0,解得-12＜a＜0.

故所求a的取值范围为：-12＜a＜0.

友情提醒利用二次函数图象研究方程问题时，特别要注意转化过程的等价性.

例4已知方程x2-2mx-m+12=0的两个根都大于2，求实数m的取值范围.

图3

解析设f(x)=x2-2mx-m+12.抛物线开口朝上.

此时，许多同学可能会只由f(2)＞0解得m的范围，这是错误的!因为f(2)＞0时，二次函数的图象可能与x轴没有交点，也可能与x轴有两个交点且都在点（2,0）的左侧，这些都不符合要求.

符合要求的情况如图3，抛物线与x轴的两个交点均在（2，0）的右侧，其对称轴x=m也必须在（2，0）的右侧，故等价条件为：

Δ≥0,f(2)＞0,m＞2,即4m2+4(m-12)≥0,4-4m-m+12＞0,m＞2,

解得3≤m＜165.

所以m的取值范围是：3≤m＜165.

二、 利用二次函数的值域

例5已知关于x的方程x2-32x=k在区间（-1，1）内有实根，求k的取值范围.

解析本题如果利用函数图象，需分为与x轴恰有一个交点在区间（-1，1）内，恰有两个交点在区间（-1，1）内这两种情况讨论.

换一个视角：当x∈(-1,1)时，x2-32x的取值范围为-916，52，那么k∈-916，52时必存在x，使得x2-32x=k且满足-1＜x＜1.

友情提醒-916在二次函数y=x2-32x的顶点34，-916处取得.

例6已知关于x的方程mx2-x+4=0在区间[0,3]上有实数根，求m的取值范围.

解析将方程转化为mx2=x-4.

因为0不满足方程，所以方程没有零根.

所以m=x-4x2=-41x-182+116.

当0＜x≤3时，1x≥13，故x-4x2的值域为-∞,-19.

所以m≤-19时，方程在区间[0,3]上有实数根.

综上，巧用二次函数的图象和值域求解相应方程，往往可以收到事半功倍的效果.希望同学们加强感悟，灵活选用等价转化途径，有效提高自己的解题能力.

巩 固 练 习

1. 已知关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根，求实数a的范围.

2. 若关于x的方程x2+2(a+3)x+2a-3=0的两个根中，一个大于3，另一个小于3，求实数a的取值范围.

3. 实数m为何值时，关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两根x1,x2满足0＜x1＜1＜x2＜2？

4. 设集合A={x|x2+(p-2)x-p+3=0}且A∩R+=，求实数p的范围.

5. 已知方程x2-(m+1)x+4=0在区间[0,3]内只有一解，求m的范围.

篇7：如何解二次函数问题

关键词：二次函数、对称轴

【中图分类号】：G633.6

摘要二次函数是初中代数的一个重要知识点，在历年中考试题中起着举足轻重的作用。本文就二次函数中有关问题作一些解题探讨。

一、通过图象确定系数的正负

的图象是抛物线。如果已知抛物线在直角坐标系中的位置，如何解决 等代数式的大小呢？

方法：

①开口方向由 来决定：开口向上， ；开口向下， 。

②对称轴由 决定：“左同右异”，即对称轴在 轴左侧，则 同号；对称轴在 轴右侧，则 异号。

③抛物线与 轴的交点由 决定：交点在 轴上方，则 ；交点在 轴下方，则 ；通过原点，则 。

④抛物线与 轴的交点个数由 来决定：当 时，则抛物线与 轴有两个交点；当 时，则抛物线与 轴无交点；当 时，则抛物线与 轴只有一个交点。

⑤当出现如求代数式 ， ， 的值。一般只需看 时 的值。

例题（1）

二次函数 的图象如图所示，则

解答：开口向下，则 ；对称轴在 轴左侧，“左同”，则 ；抛物线与 轴的交点在 轴下方，则 ；抛物线与 轴有两个交点，则 ；当 时， ，则 .

例题（2）

如图为 与 的图象，那一个是正确的？

AB

CD

解答：A中图象二次函数 ，一次函数 ，不成立；

B中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；

C中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，不成立；

D中图象二次函数 、 ，一次函数 、 ，成立.

二、求二次函数解析式

二次函数解析式有三种表示方法，分别是一般式 ，顶点式 ，交点式 。我们要根据不同的已知条件尽可能选择较为简单的设法。

（1）已知条件中出现没有规律的三点坐标，通常用一般式来解决。

例题（3）

已知二次函数图象通过 ，求二次函數解析式.

解答：出现的三点没有规律，宜用一般式来求解析式。

设解析式为 .

，解得 ，

∴二次函数解析式为 .

（2）已知条件中出现顶点或最值、对称轴坐标，通常用顶点式来解决。

例题（4）

已知二次函数图象通过 ，且顶点为 ，求二次函数解析式.

解：设二次函数解析式为 ，过 .

则 ，∴ ，

∴ .

例题（5）

已知二次函数的对称轴为 ，且经过 ，求二次函数解析式.

解答：设二次函数解析式为 .

，解得 ，

∴ .

例题（6）

二次函数图象与 轴相交于 ，且经过（2，5），求解析式.

解答：设抛物线解析式为 ，经过（2，5）.

则 ，∴ ，

∴ ，

即 .

需要说明的是，一般式 是“万能钥匙”，是我们必须掌握的。求二次函数解析式均可通过一般式来解决，但（4）、（5）.（6）两种情况用顶点式，交点式则更为简便。

三、二次函数综合题

二次函数综合题一般是指与几何、方程等相结合，体现知识点的整合，需要我们通过识图探索、归纳来解决，具有较高的要求。现举一例说明。

如图， 图象与 轴相交于A、C，与 轴相交于B，且 ， ，求 .

解题思路：关键在于 的应用。本题中隐含条件 ，则图中存在相似三角形，从而把 、 、 三点坐标之间关系紧密相连。