二次函数教案

二次函数教案（精选8篇）

篇1：二次函数教案

【基础过关】

1、用一根长10 的铁丝围成一个矩形，设其中的一边长为 ，矩形的面积为 ，则 与 的函数关系式为 .

2、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.求S与x之间的函数关系

3、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的

一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 是( )

4、小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.

5、某商场以每台2500元进口一批彩电，如果每台售价定为2700元，可卖出400台，以100元为一个价格单位，若每台提高一个单位价格，则会少卖出50台。

⑴若设每台的定价为 (元)卖出这批彩电获得的利润为 (元)，试写出 与 的函数关系式;

⑵当定价为多少元时可获得最大利润?最大利润是多少?

6、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，

其中 (m)是球的飞行高度， (m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.

(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.(2)请求出球飞行的最大水平距离.

(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式.

比例线段

1.相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形

2.比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

3. 比例的性质

(1)基本性质: ， a∶b=b∶c b2=ac

(2)比例中项:若 的比例中项.

比例尺 = (做题之前注意先统一单位)

以上就是初三数学寒假作业之求二次函数的应用的全部内容，希望你做完作业后可以对书本知识有新的体会，愿您学习愉快。

篇2：二次函数教案

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

(1) 问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产 量

y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.

二、想一想

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?

我们可以列表 表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据 表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试.

x/棵

y/个

三.做一做

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利 息自动按一年定期储蓄转存. 如 果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税).

四、二次函数的定义

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)

注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为 零。

例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2， 圆面积s与半径r的 关系s=Try2等也都是二次函数的例子.

随堂练习

1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次 函数?

y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t

2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.

(1)写出y与x之间的关系表达式;

(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?

五、课时小结

1. 经历探索和表 示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。

2.用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。

六、活动与探究

若 是二次函数，求m的值.

七、作业

习题2.1

1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t ， 填 表表示物体在前5s下落的高度：

t/s 1 2 3 4 5

h/m

⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。

(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示?

(2) 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么?

篇3：二次函数复习

1. 经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程, 抽象出二次函数的概念, 并结合具体情境领会二次函数作为一种数学模型的意义. 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向, 对称轴和顶点坐标.

2. 能画出二次函数的图像, 根据图像和解析表达式探索并理解二次函数的主要性质. 理解一元二次方程与二次函数的关系, 并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.

3. 通过复习逐步提高观察和归纳分析能力, 体验数形结合的数学思想方法.

4. 能依据已知条件确定二次函数的解析式, 并能领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.

二、中考链接

二次函数是中考命题的重点, 主要考查二次函数的图象、性质及表达式的确定, 在填空题、选择题和解答题中都有出现, 常与方程、几何等知识综合编拟压轴题.

三、知识精要整合

请大家根据所学内容完成下面的填空:

1. 二次函数的定义: 形如y = ax2+ bx + c (__________) 的函数为二次函数.

2.二次函数的图像和性质:二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线.顶点为_______, 对称轴_______;当a>0时, 抛物线开口向上, 图像有_____, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而_________;当a<0时, 抛物线开口向下, 图像有_______, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而__________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而___________. (3) 当a>0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最小值________;当a<0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最大值__________.

3.图像的平移:将二次函数y=ax2 (a≠0) 的图像进行平移, 可得到y=ax2+c, y=a (x-h) 2, y=a (x-h) 2+k的图像. (1) 将y=ax2的图像向上 (________) 或向下 (_____) 平移|c|个单位, 即可得到y=ax2+c的图像, 其顶点是 (0, c) , 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同. (2) 将y=ax2的图像向左 (________) 或向右 (______) 平移|h|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2的图像.其顶点是 (h, 0) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同. (3) 将y=ax2的图像向左 (_________) 或向右 (________) 平移|h|个单位, 再向上 (_______) 或向下 (__________) 平移|k|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2+k的图像, 其顶点是 (h, k) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.

二次函数有三种不同的表示方法, 分别是____________________.

二次函数表达式的求法: ( 1) 若已知抛物线上____________, 可利用一般式y = ax2+ bx + c求; ( 2 ) 若已知抛物线的____________, 则可采用顶点式: y= a ( x - h) 2+ k其中顶点为 ( h, k) 对称轴为直线x = h; ( 3) 若已知抛物线___________, 则可采用交点式: y = a ( x - x1) ( x - x2) , 其中与x轴的交点坐标为 ( x1, 0) , ( x2, 0) .

4. 二次函数与一元二次方程的关系:

5. 用二次函数解决实际问题时的基本思路: ( 1 ) 理解问题; ( 2 ) 分析问题中的变量和常量; ( 3) 用函数表达式表示出它们之间的关系; ( 4) 利用二次函数的有关性质进行求解; ( 5) 检验结果的合理性, 对问题加以拓展等.

另外, 二次函数常用来解决最优化问题, 这类问题实际上就是求函数的最大 ( 小) 值; 二次函数的应用包括以下方面: 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 ( 小) 值.

四、数学思想方法提炼

数学思想方法是从数学内容中抽象概括出来的, 是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁. 因此, 领悟并掌握了数学思想方法就等于拿到了解题的金钥匙. 本章主要的思想方法有:

1. 数形结合思想: 将直观的图象与数学语言结合起来, 通过图象的认识、数形的转换, 培养思维的灵活性、形象性, 使问题化难为易, 化抽象为具体;

2. 函数思想: 把实际问题中的变量与变量建立一种特殊的对应关系, 并结合函数图象, 利用函数的性质解决实际问题;

3. 方程思想: 充分挖掘已知量与未知量之间的数量关系, 建立方程 ( 组) , 然后用方程的理论和解方程的方法解决问题;

4. 待定系数法: 为了确定变量间的函数关系, 先设出某些未知系数, 然后根据所给条件得出系数应满足的方程或方程组, 并通过解方程或方程组求出待定的系数.

五、2012年中考链接

考点1抛物线的平移变换

例1 ( 2012 年·四川省德阳市中考) 在同一平面直角坐标系内, 将函数y = 2x2+ 4x + 1 的图象沿x轴方向向右平移2 个单位长度后再沿y轴向下平移1 个单位长度, 得到图象的顶点坐标是 ()

A. ( - 1, 1) B. ( 1, - 2) C. ( 2, - 2) D. ( 1, - 1)

分析: 根据二次函数的平移不改变二次项的系数, 先把函数y = 2x2+ 4x + 1 变成顶点式, 再按照“左加右减, 上加下减”的规律, 把y = 2x2+ 4x + 1 的图象向右平移2 个单位, 再向下平移1 个单位. 即可求得新抛物线的顶点.

解: 函数y = 2x2+ 4x + 1 变形为y = 2 ( x + 1) 2- 1 平移后的解析式为y = 2 ( x - 1) 2- 2, 所以顶点为 ( 1, - 2) . 故选B.

点评: 抛物线平移不改变二次项的系数的值; 讨论两个二次函数的图象的平移问题, 只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.

考点2图象与系数的关系

例2 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象如图, 则一次函数y = mx + n的图象经过 ()

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

解析: 由二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象可知其顶点在第四象限, 所以- m> 0, n < 0, m < 0, n < 0, 当m < 0, n < 0 时, 由一次函数的性质可得其图象过第二、三、四象限. 答案: C.

点评: 由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号; 一次函数图象的性质: 当k > 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、三象限; 当k >0, b < 0 时, 一次函数y = kx + b过一、三、四象限; 当k < 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、四象限; 当k < 0, b < 0时, 一次函数y = kx + b过二、三、四象限.

考点3二次函数解析式的确定

例3 (2012年·江苏泰州市中考) 如图, 在平面直角坐标系x Oy中, 边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上, 二次函数的图像经过B、C两点.

( 1) 求该二次函数的解析式;

( 2) 结合函数的图像探索: 当y > 0 时x的取值范围.

分析: 用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数解析式, 即可求出b, c的值, 然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标, 由图象法求得函数值y为正数时, 自变量x的取值范围.

解: (1) 由题意可得:B (2, 2) , C (0, 2) , 将B、C坐标代入得:c=2, b=4/3, 所以二次函数的解析式是

(2) , 得:x1=3, x2=-1, 由图像可知:y>0时x的取值范围是-1<x<3

点评: 本题考查了二次函数解析式的求法及利用图象法求解一元二次不等式, 渗透了数形结合思想. 其中本题的解法将三个“二次”和谐地结合起来, 突显二次函数的纽带作用, 通过函数, 将方程、不等式进行了综合考查.

考点4二次函数的实际应用

例4 ( 2012 年·哈尔滨中考) 小磊要制作一个三角形的钢架模型, 在这个三角形中, 长度为x ( 单位: cm) 的边与这条边上的高之和为40 cm, 这个三角形的面积S ( 单位: cm2) 随x ( 单位: cm) 的变化而变化.

( 1) 请直接写出S与x之间的函数关系式 ( 不要求写出自变量x的取值范围) ;

( 2) 当x是多少时, 这个三角形面积S最大? 最大面积是多少?

分析: 本题考查确定函数解析式, 二次函数最值. 三角形的边x和高的和是40, 可表示该边上的高位40 - x, 根据三角形面积公式是底乘高除2 可写出, 这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.

所以当x = 20cm时, 这个三角形的面积最大, 最大面积是200cm2.

点评: 二次函数是中考考查的必考内容之一, 本题是综合考查二次函数的最值问题, 需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题. 要注意解题过程的完整性.

考点5用函数观点看方程、不等式

例5 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = ax2+ bx的图象如图, 若一元二次方程ax2+ bx + m = 0有实数根, 则m的最大值为 ()

A.-3 B.3

C.-5 D.9

解析: 方法一: 图象法, 由ax2+ bx + m = 0 得ax2+ bx = - m, 一元二次方程ax2+ bx + m = 0 有实数根, 得函数y = ax2+ bx与函数y = - m有交点, 所以- m≥ - 3, m≤3;

方法二:因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根, 所以b2-4 am≥0, 由y=ax2+bx的图象可得顶点纵坐标, , b2=12 a, 所以12 a-4 am≥0, 解得m≤3.答案:B.

点评: 本题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系, 既可以用图象法, 也可以用算术法, 开拓了学生的思维.

例6 ( 2012 年 · 四川省资阳市中考) 如图是二次函数y = ax2+ bx + c的部分图象, 由图象可知不等式ax2+ bx + c < 0的解集是 ()

A. - 1 < x < 5B. x > 5

C. x < - 1 且x > 5D. x < - 1 或x > 5

解析: 由二次函数的对称性, 在已知了对称轴直线和与x轴的一个交点坐标 ( 5, 0) 即可得出另一个交点坐标 ( - 1, 0) ; 再由不等式ax2+bx + c < 0 的解集即指x轴下方图像所对应的x取值. 故选D.

点评:本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系, 利用数形结合思想不难选出D选项, 但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用, 有可能会采取代入对称轴直线及与x轴交点坐标的方法运算, 将会花去考生大量时间, 故解决本题的关键是熟练初中数学的常见数学思想方法.

考点6几何函数题

例7 (2012年·甘肃兰州中考) 若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根, 则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴的两个交点为A (x1, 0) , B (x2, 0) .利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:

参考以上定理和结论, 解答下列问题:

设二次函数y = ax2+ bx + c ( a > 0 ) 的图象与x轴的两个交点A ( x1, 0) , B ( x2, 0) , 抛物线的顶点为C, 显然△ABC为等腰三角形.

(1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 求b2-4ac的值;

(2) 当△ABC为等边三角形时, 求b2-4ac的值.

分析: (1) 当△ABC为直角三角形时, 由于AC=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.根据本题定理和结论, 得到, 根据顶点坐标公式, 得到, 列出方程, 解方程即可求出b2-4ac的值;

( 2) 当△ABC为等边三角形时, 解直角△ACD, 得, 据此列出方程, 解方程即可求出b2- 4ac的值.

解: (1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.

∵抛物线与x轴有两个交点,

( 2) 如图, 当△ABC为等边三角形时, 由 ( 1) 可知,

点评: 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质, 抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理, 综合性较强.

考点7创新型问题

例8 ( 2012 年·吉林省中考) 问题情境

如图, 在x轴上有两点A (m, 0) , B (n, 0) (n>m>0) .分别过点A, 点B作x轴的垂线, 交抛物线y=x2于点C, 点D.直线OC交直线BD于点E, 直线OD交直线AC于点F, 点E, 点F的纵坐标分别记为yE, yF.

特例探究

填空:

当m=1, n=2时, yE=________, yF=__________.

当m=3, n=5时, yE=___________, yF=__________.

归纳证明

对任意m, n ( n > m > 0) , 猜想yE与yF的大小关系, 并证明你的猜想

拓展应用.

( 1) 若将“抛物线y = x2”改为“抛物线y = ax2 ( a > 0) ”, 其它条件不变, 请直接写出yE与yF的大小关系.

( 2) 连接EF, AE. 当S四边形OFEB= 3S△OFE时, 直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状.

分析: 【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】 ( 1) 的特殊情况, 因此以【拓展】 ( 1) 为例说明前三小问的思路: 已知A、B的坐标, 根据抛物线的解析式, 能得到C、D的坐标, 进而能求出直线OC、OD的解析式, 也就能得出E、F两点的坐标, 再进行比较即可.最后一小题也比较简单: 总结前面的结论, 能得出EF∥x轴的结论, 那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系, 能判断出EF、OA的比例关系, 进而得出m、n的关系, 再对四边形OFEA的形状进行判定.

解: 特例探究

当m = 1, n = 2 时, A ( 1, 0) 、B ( 2, 0) 、C ( 1, 1) 、D ( 2, 4) ;

则:直线OC的解析式为:y=x;直线OD解析式为:y=2x;

∴F (1, 2) 、E (2, 2) ;即.yE=yF=2

同理:当m=3, n=5时, yE=yF=15.

归纳证明

猜想: yE= yF,

证明:yD=n2, yC=m2, 则, C (m, m2) , D (n, n2)

OD的解析式为y=nx;OC的解析式为y=mx

E在OC上, 横坐标为n, 当x = n时, yE= mn, F在OD上, 横坐标为m, 当x = m时, yF= mn

拓展应用

(1) 设yD=an2, yC=am2, 则C (m, m2) , D (n, n2)

OD的解析式为yOD=anx, yOC=amx

当x = n时, yE= amn; 当x = m时. yF= amn, ∴ yE= yF

( 2) ∵ 四边形OFEB是直角梯形, EF = n - m, OB = n, BE = mn

可得, EF = m, OA = m, ∴ EF‖OA且EF = OA. ∴ 四边形OFEA是平行四边形.

点评: 本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识, 综合性较强, 本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度, 对于基础知识的掌握是解题的关键.

知识精要整合参考答案:

1.a≠0, a, b, c为常数.

2., 最低点, 增大, 减小, 最高点, 减小, 增大,

3.c>0, c<0, h<0, h>0, h<0, h>0, k>0, k<0, 表格法、图像法、表达式法.

三点坐标, 顶点坐标或对称轴方程, 与x轴的交点坐标或交点的横坐标,

篇4：二次函数教案

对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。

本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。

二、 典例评析

(一) 考查函数定义域、值域

【例1】 若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩(

瘙 綂 RB)=．

解析 由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞),

瘙 綂 RB=(-∞,1),于是A∩(

瘙 綂 RB)=｛-1,0｝.

点评 集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。

(二) 考查函数单调性、奇偶性

【例2】 已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为．

解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m

点评 指数函数f(x)=ax的底数分为01两类,估算出底数a=5-12属于哪一类,利用指数函数的单调性,是解决本题的关键。

【例3】 函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性)

解析 由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

点评 遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。

(三) 考查函数运算性质及应用

【例4】 设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=．

解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010．

点评 观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。

想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011．

(四) 考查分段函数图象的应用

【例5】 函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］,

log9x,x∈(1,+∞).

使f(x)=12的x的集合为．

解析 在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3．

点评 分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。

(五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用

【例6】 函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为  ．

解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2．

点评 学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。

迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之

(六) 建立函数模型问题(二次函数型)

【例7】 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,

设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为．

解 设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x,

sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2,

S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22．

点评 表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。

(七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想

【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值．

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值．

解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1,

b=-8,

c=7.∴f(x)=x2-8x+7；

(2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m),

①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件；

②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件；

③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0,

Δ≤0即m-1>0,

3m2-19m+28≤0,

解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4．

点评 函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0

Δ≤0的格式可有效避免这类错误。

实战演练

1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=.

2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个．

3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有．

4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.

5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=．

6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为.

7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0

f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)=  ．

8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0),

0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个．

无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特

【参考答案】

1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22,

得α=12,于是k+α=32．

2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个．

3. 1或3

4. 由13<3x≤3得：-11,所以c=1．

5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1)

6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6.

7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12．

篇5：二次函数复习教案

摘要：水彩画在中学美术教育中占据着重要的地位，它不仅可以提升中学生的造型能力、色彩能力，同时也可以强化他们的审美素养。这里，笔者将结合自己的教学经验，来谈一谈水彩画技法教学的一点心得，以期大方之家给予批评指正。

关键词：中学美术课；水彩画；技法教学

一、水彩画技法指导

学生在画水彩画之前需要有这样的理念：从整体着眼，从局部入手。在脑海中必须有画面的整体构思与布局，在这个大前提下，再将画面有效地分成若干个小部分，逐一完成。具体过程下面将分条阐述。

（一）画面勾勒轮廓阶段

第一步就是教师指导学生先勾勒出素描稿，整体与局部的分配情况需要合理、恰切。为了提升上色的准确性、恰切性，整个过程需要运用铅笔来完成，并且在素描的过程中，需要有效地表现反光、高光、投影以及明暗交界线等。其中投影、暗部需要淡淡地用铅笔进行标记。这个素描过程至关重要，成为关键的开端。

（二）画面着色阶段

接下来就需要用刷子蘸上清水，在画纸上刷一遍，让水完全浸湿画纸。吃水饱和的画纸，在短时间内，就不会立刻干燥，在这种情况下，才有助于具体干湿画法的实践、运用。

水彩的透明特点需要被全面地观照、审视，主要着色程序是由浅至深，特定物体的受光面需要先画出来，紧接着再对其背光面进行绘画。只有这样才能够有效地表现水彩画的明调与暗调。最后，将特定物体颜色最深的细部完成。可以说水彩的表现方法，通常来说，主要分为干画法、湿画法以及干湿并用法。在中学美术教学中，我们提倡采用干湿并用法，即有的地方使用干画法，而有的地方则采用湿画法。这种方法易于被中学生接受，并且表现力相对较强。再者，我们可以有效利用湿画法来绘画每一个客观物象。

最后就是画面的整理、完善环节。局部独立物象的逐一绘画，这种罗列可能会导致整个画面的融合程度不足，进而容易产生层次方面的误差感，给观赏者一种拼凑的印象。鉴于此，教师必须指导学生进行画面的整体处理，旨在让每一个局部都被统摄到整个画面中去，成为一个部分分割的成分。例如前景特定物象应该是实的，需要在这个物象的主要部位，将轮廓线凸显。而后面的特定物象应该是虚的。较之前者，后者需要淡化其色彩和形体方面的处理，只有这样才能够创设出层次分明、立体感较强的画面效果。如果整个画面色彩显得有些乱，就应该在基调的范围内进行有效整理。如果整个画面较为单调的话，就应该将环境色恰当地融入其中，进而色彩的丰富感就可以被提升。

二、重要注意事项强调

在学生对范画的欣赏、感悟过程中，教师需要对每一张画，它的具体画法、运用色彩等方面进行全面而细致地解读，这样才能使得学生对水彩画的特点、画法有一个整体的了解和体认。同时，需要提醒学生：如果调色过多，就可能丧失水彩画明快、透明的风格特征。而且涂色需要争取一次性完成，至多不可以超过三次，涂色越多，整个画面就会变得更为脏乱。鉴于此，在涂色之前，教师必须讲清楚调色与控制画笔中水分的具体措施，并且让学生全面把握绘画所要使用的工具，只有充分熟悉工具的使用方法，才能谈及具体涂色过程的开展。

需要强化实践教学，即可以将学生带到大自然中去绘画。教师可以一边绘画，一边讲解，在此过程中，将特定物象的具体画法，普遍存在的问题以及解决问题的办法，一一告诉学生。教师的这种示范教学，不仅可以给予学生直观的感受，同时也让学生了解了具体的绘画方法，如何规避不该出现的失误。另外，对于学生的作品不足之处，教师需要给予亲自改正，这种教学方法会让学生的绘画技巧迅速提升的。

另外，教师也可以将水彩画的绘画技巧编成一系列的口诀，这样，学生记忆与掌握水彩画相关技法将会变得事半而功倍。

三、水彩画技法教学示例

这里以水彩风景写生为示例对象。在写生的起初，需要力求一次性完成天空的绘画，当整体基调确定之后，余下的景物色彩需要与之协调搭配。当天空的绘画尚未“风干”之前，需要立刻将远山，抑或者是远树勾画出来。这样就会使得它与天空叠加的部分自然融合，避免了分离之感的产生。这样就契合了远虚近实的绘画要求。

画每一个特定物象之时，需要从左到右刷一遍清水，因为室外的空气是比较干燥的，这样的环境下，如果不刷水，湿画法则难以为继。倒映在水中的树木和房屋需要在画纸湿条件下，立刻涂色，进而产生朦朦胧胧的倒影效果。待画面干了之后，在使用干画法，小心翼翼地在水面上画出几道波纹来，这样房屋和树木的倒影就显得愈加真实生动了。同时，水岸上的物象，需要使用干画法进行绘画，这样就会使得这些物象更为实在、凸显。进而与水中倒影构成鲜明的对比。

画面的主体部分需要着力进行刻画，进而让整个画面具有凝聚力。在让学生充分领悟水彩画技法的同时，还需要让学生懂得艺术地处理画面的空间。最后，也就是对整个画面进行整理，湿画法的缺陷在于使得画面显得很“碎”，因此需要在画面的色彩和层次方面进行整体的调整，这样，整个画面就会变得和谐统一了。

篇6：二次函数图像教案

略阳天津高级中学 杨 娜

课 型：新授课 课时安排： 1课时 教学目标：

1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。

2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究，而提高识图和用图能力。

3、培养学生数形结合的思想意识。重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用

2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数． 教学过程：

一、导入新课

在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。二、讲授新课

提出问题1 二次函数yax(a0)的图像与二次函数yx的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出yx 的图像，并在此基础上画出y2x的图像。

学生阅读课本41页并在练习本上作图（教师用几何画板演示）2.学生阅读课本41页，并动手实践。

3.概括：二次函数yax(a0)的图像可以由yx的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。4.用几何画板演示a对开口大小得影响。5.抽象概括

二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标 变为原来的a倍得到。

a决定了图像的开口方向:a>o开口向上，a<0开口向下

222222a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 6.练习列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_ 11(1)f(x)=x2;(2)f(x)=x242

问题

212(3)f(x)=-x;(4)f(x)=-3x23函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像之间有什么关系呢？

1.我们先一起回顾y2x2与y=2(x+1)²+3图像的关系。（教师用几何画板演示）

在初中我们已经知道，只要把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可以得到y=2(x+1)²+3的图像。它们形状相同，位置不同（如图2-22）。2.学生动手实践想想并回答课本上的问题2。3.概括：二次函数y=a(x+h)2+k(a0), ①a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小； ②h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”； ③k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

问题3 yax(a0)和yaxbxc(a0)的图像之间有什么关系？ 1.我们先来回顾y2x与y2x4x1的图像关系（教师在黑板演示，可以转化为顶点式）

至此我们知道把y2x的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，就可以得到y2x4x1的图像（如图2-23）。

2.动画演示yaxbxc(a0)中a,b,c对图像的影响。3.概括：

⑴一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+h)2 +k，从而知道可以由y=ax2 的图像

通过平移得到y=ax2+bx+c(a≠0）的图像.⑵a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；b影响了图像的位置不仅2222222上下平移而且左右平移；c决定了图像与坐标轴y轴的交点位置，c>0 交点在y轴上半轴，c<0交点在y轴下半轴。

三、巩固练习

１.完成课后练习题1，2，3 ２.把下列二次函数一般式化为顶点式：

① yx28x9 ② y2x212x16 ③yax2bxc(a0)3.把yx2的图像经过怎样平移可得到yx28x9的图像？

4.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解式为？

5..二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为什么？ 四．小结

1.回顾二次函数ya(xh)2k(a0)中，h,k对函数图像有何影响？

二次函数yaxbxc(a0)中，确定函数开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

2.我们经历了yx到yax2(a0)，yax2(a0)到ya(xh)2k(a0)，通过这个过程，我们就能体会yax2(a0)到yax2bxc(a0)的图像变化过程，到研究一般函数的拓展过程。五．作业

完成课后习题1.2题。六．板书设计

二次函数再研究

问题1 演算过程 练习题 问题2 结论 问题3 附加题：

篇7：课堂导入--二次函数教案

二次函数 22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质

22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

篇8：二次函数教案

解法1因对称轴方程为.t=-I, 由已知条件知, 则2不可能都在-I的左边, 沂则y条件^丨rr, 所以h能作右边或一左一右.

第一种情况, 若u 2郎在-1的g边, 则根据二次函数的单调性, 就有/u, ) </u 2) .

第二种情况, 若.r, , ^在-1的一左一右, 则只能是x, 在-I的左边, 而.v2在-1的右边, 设A与_1的距离为I设x2与-I的距离为A^-/V=.t|<0, 所以A</V, 又因为抛物线的开口向上, 所以/ (A) </U 2) •

解法2 (特殊值法) 取.v, =-2, 心=2, 对照称轴方程为x=-丨, M然/U, ) </ (〜) •

变式已知函数/ (•!:) =似2+2似.+4 (0<«<3) •若弋<•H+.v2=1-, 则/ (.t, ) 与/ (>»:2) 的大小关系是__________•

解析取《=丨, 即转化为上一题.

比闲数值大小的解题策略:

其一, 根据已知条件确定对称轴, 并•求出相应的对称轴方程.函数的单调性、极值及函数值大小等与对称轴密切相关.在闭K M内, 二次函数的最值问题通过该阐数的单凋性可以确定, 而该函数的单调性, 又根据其对称轴位置 (在区间的右边、左边.还是IK间内) 及开口方向宋确定.如果尤法确定对称轴位置和开口方向, 则要进行分类讨论.

其二, Ml以采用特值法, 即特殊值代入•可以将题目中的某一个未知M•设为较特殊的值, 以降低解题难度•该方法在选择题中比较适用•注意在代人特殊值时, 切不町以偏概全, 要力求全面、恰当.

其=, 转化法.可以将“比较函数值大小”这类问题转化为针对对两个或几个丨:彳变挞间关系的研究问题.继而转换成对变量和对称轴之间距离的研究.

此外, 分类讨论非常®要.要做到不重复、不漏掉任何情况.对K间固定、对称轴不确定的题型, 可以先进行配方, 接着根据对称轴的位置与定义域区间的关系来讨论•对区间不固定、对称轴确定的题型, 可以先求出蚋数的开口方向、对称轴, 进而分析在不N期叫内的最消:状况.对丨^丨’"卜f间定、对称轴也不确定的题型, 可以宄找出该函数对称轴满足的条件, 进而确定对称轴方程, 在分祈定义域R间和对称轴的关系.

问题2若不等式a’+«a'+1為0对■一切a"e f〇, 了j成立, 则《的最小值为 () •

A.O B.-2 C.—1) .-3a

解法1 (转换变M) 取/ («) =$.«+文2+I, 只需/ (〇) ^〇, j i y/j^o f ij«^.

解法2 (分离变置) , 同时在.v e (〇, 了j的范丨韦丨丨4的极小攸为十, 《的最小值为-夺.

变式若对任意的, 为正整数) , n2+ (fl.-2) n+I+«>0恒成立, 求《的取值范围.

略解:分离变量.

提示要求无论《取何值, 该式恒大于〇, 即在最低点该式大于0.而该式开口向上, 可知M低点即为二次喊数的顶点.

求变a范阇的解题策略:

其一, 如果在变ti•所处范m内有两个端点, 则可以将二次函数转化成一次函数 (即进行变M•转换) 或分离变M.

其二, 如果在变敁所处范W内冇一个端点.可以考虑分离变M.

问题3设/ (•'.) =+c, 若ft+6+«•=0, / (0) >0, / (1) > () , 求证:

(l) a>0且-2〈上<-I; (I

(2) 函数/ (a:) 在 (0, 丨) 内有几个零点?说明你的理由•

解析 (I) 由已知, 有c>0, 3«+2/;十r>0, 由条件a+6+c=0, 消去/», 得《>f>0•

由条件《+6+c= () , 消去c, 得《+fc<0, 2h+6>0, 乂已