已知二次函数

2024-04-14

已知二次函数（精选8篇）

篇1：已知二次函数

(第一课时)

一.教学目标

1.理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角.

2.掌握用反三角表示中的角.

二.教具

直尺、投影仪

三.教学过程

1.设置情境

由函数的定义知，对定义域中的任一元素，在值域中都有一个元素使，我们知道，存在反函数时，上述值域中的元素不仅存在，而且惟一，这时可以用表示，记作。

到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三角函数.试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的大小呢?如果能，又怎样表示呢?本节课就来讨论这个问题，

2.探索研究

请同学回忆一下

(1) ，，，的诱导公式.

(2)师：，，分别表示与的正弦值相等，与的余弦值相等，与的正切值相等，能否说它们表示的角也相等?为什么?

生：不能，因为在0～间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应.

师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求得任意角三角函数值，反过来，如果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出中与之对应的角.这两个过程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解.

(板书课题——已知三角函数值求角(一))

请同学们看一个例题：

【例1】(1)已知，且，求 .

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

(1)由正弦函数在闭区间上是增函数和 .可知符合条件的角有且只有一个，即，于是 .

(2)因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角，∴所求的的集合是 .

下面给出反正弦概念，请看投影：

观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反正弦，记作，即，其中，且 .

表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的正弦值为x，因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角;③由于x为角的正弦值，所以x的值在[-1，1]范围内.

例如，， .那么例1中第(2)小题答案可以写成 .

练习(投影)

(1) 是什么意思?

(2)若，，则 .

(3)若，， .

参考答案：

(1)表示上正弦值等于的那个角，其实应是，故记作

(2)这个应该是，因此

(3) ，它不是特殊角，故只能这样抽象表示了.

下面再来建立反余弦概念.

先看下面例题：

【例2】(1)已知，且，求 ;

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

解：(1)由余弦函数在闭区间上是减函数和，可知符合条件的角有且只有一个，这个角为钝角，利用计算器并由，可得，所以 .

(2)因为，所以是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性和.

可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角或第三象限角，于是所求的的集合是 .

下面我们来给出反余弦定义，先看投影

观察上图，根据余弦函数图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反余弦，作，即，其中，且 .

由学生根据反正弦的意义说明反余弦的意义：

表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的余弦值为x，因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角;③由于x为角的余弦值，所以x的值在[-1，1]范围内.

例如

那么，例2的第(2)题的答案可以写成.

练习(投影)

(1) ，，求 ;

(2)已知，，求 ;

(3)已知，，求 .

参考答案：

(1) ，当时， ;当时，，∴ 或 .

(2)∵ ，∴ 或

(3) ，或 .

最后，我们来尝试用反三角表示角，请看投影.

【例3】(1)已知，且，求 (用弧度表示);

(2)已知，且，求的取值集合.

解：(1)利用计算器并由

可得，所以 (或 )也可写成

(2)由正弦函数的单调性和

可知角，角的正弦值也是，所以所求的的集合是或

注：本例第(2)小题的结果实际上就是

3.演练反馈(投影)：

(1)若，，则的值为( )

A. B. C. D.

(2)若，集合，且，则的值为___________.

(3) .

参考答案：

(1)B.说明：应为钝角，故只有B.

(2) ，说明，只有，故

(3)∵

∴

4.总结提炼

(1)反三角函数的概念是中学数学较难理解的概念之一，它之所以难以理解是由于三角函数在其整个定义域内并不存在反函数，只有在某一特定区间才存在反函数因此，反三角函数的值域也就被限制在某一区间内，这个区间常称为反三角函数的主值区间，如，分别为反正弦、反余弦主值区间.解题出错，往往是主值区间概念不清.

(2)由反正弦、反余弦定义，不难得：

，

(3)用反三角表示中角

已知函数值	范围	值及位置
		在轴正半轴
		或
		或
		或


		或
		或
		或

四.板书设计

课题

例1

反正弦概念

例2

反余弦概念

例3

用反三角函数表示角

演练反馈

总结提炼

篇2：已知二次函数

【例1】(1)已知，且，求 .

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

(1)由正弦函数在闭区间上是增函数和 .可知符合条件的角有且只有一个，即，于是 .

(2)因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角，∴所求的的集合是 .

下面给出反正弦概念，请看投影：

例如，， .那么例1中第(2)小题答案可以写成 .

练习(投影)

(1) 是什么意思?

(2)若，，则 .

(3)若，， .

参考答案：

(1)表示上正弦值等于的那个角，其实应是，故记作

(2)这个应该是，因此

(3) ，它不是特殊角，故只能这样抽象表示了.

下面再来建立反余弦概念.

先看下面例题：

【例2】(1)已知，且，求 ;

(2)已知，且，求的取值集合.

师生共同分析：

解：(1)由余弦函数在闭区间上是减函数和，可知符合条件的`角有且只有一个，这个角为钝角，利用计算器并由，可得，所以 .

(2)因为，所以是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性和.

可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角或第三象限角，于是所求的的集合是 .

下面我们来给出反余弦定义，先看投影

由学生根据反正弦的意义说明反余弦的意义：

例如

那么，例2的第(2)题的答案可以写成.

练习(投影)

(1) ，，求 ;

(2)已知，，求 ;

(3)已知，，求 .

参考答案：

(1) ，当时， ;当时，，∴ 或 .

(2)∵ ，∴ 或

(3) ，或 .

最后，我们来尝试用反三角表示角，请看投影.

【例3】(1)已知，且，求 (用弧度表示);

(2)已知，且，求的取值集合.

解：(1)利用计算器并由

可得，所以 (或 )也可写成

(2)由正弦函数的单调性和

可知角，角的正弦值也是，所以所求的的集合是或

注：本例第(2)小题的结果实际上就是

3.演练反馈(投影)：

(1)若，，则的值为( )

A. B. C. D.

(2)若，集合，且，则的值为___________.

(3) .

参考答案：

(1)B.说明：应为钝角，故只有B.

(2) ，说明，只有，故

(3)∵

∴

4.总结提炼

(2)由反正弦、反余弦定义，不难得：

，

(3)用反三角表示中角

已知函数值

范围

值及位置

在轴正半轴

或

四.板书设计

课题

例1

反正弦概念

例2

反余弦概念

例3

用反三角函数表示角

演练反馈

篇3：已知二次函数

一、问题导入, 激发兴趣

已知余弦值求角

回答:假命题, 原因:由终边相同的角的三角函数值都相同可以得出A=60°+k360° (k∈Z)

二、问题分析, 获取新知

提问:除此之外, 还有其他的角余弦值等于二分之一吗? (意图:激发学生兴趣, 引起注意, 没有学生思考出答案)

提问:之前学习过的诱导公式里面有这样一组“cos (-α) =cosα”, 能不能依据此公式找找看呢?

很多学生有了想法举手。

提问:还有没有同学需要补充呢?

回答:应该是A=-60°+k360° (k∈Z)

提问这是两类完全不同的角吗?

学生开始试验, 发现没有重复, 并得出结论。

总结:由此可以得出已知余弦函数值求角可以得到两类角, 而且这两类角之间有对应互补的关系。

(一) 已知正弦值求角

在余弦值求角问题之后, 学生对此类问题有了初步的掌握。回答:不是, 是假命题, 应为A=30°+k360°

提问:那么他有没有像正弦值求角那样有第二类角呢? (有个别基础好的同学举手)

回答:有, A=150°+k360°

提问:你是怎么找到这个角的?

经过试验后发现没有重复角, 同时还发现对应的一类和二类角之间存在和为180°的现象。

总结:已知正弦值求角也有两类, 他们之间存在对应和为180°的情况。

(二) 已知正切值求角

提问:已知tan A=1, 则A=45°是什么命题?

这次基本上所有学生都已经明白已知三角函数值求角的角并不唯一。

回答:假命题, A=45°+k360°。

提问:有没有第二类角。

学生开始寻找不变号的正切诱导公式, 经过一段时间的讨论后, 有三分之一的学生有了结果。

回答:由tanα=tan (α+π) 可以得出A=135°+k360°。

提问:这两类角有没有重复?

学生开始试验并得出结论。

回答:没有重复, 同时还发现这两类角, 角与角之间相隔了180°。

提问, 那么我们能不能将这两类角写为一类?

回答:可以, A=45°+k180°。

总结:已知正切值求角只有一类角, 且角与角之间间隔了180°。

三、例题精讲, 巩固新知

其中0°~360°之间的角有240°和300°。

提问:这道题做的有没有问题?

四、讨论练习

五、小结回顾, 记忆知识

以上就是笔者对本节课的设计思路, 整节课尽量降低学生的思维跨度, 减少技巧性的内容, 经试验, 学生的掌握效果很好。中职学生的数学教学工作是非常不易的, 教师需要经常总结, 找到好的教学方法就掌握了中职学生数学学习的先机, 可以逐渐提高学生的学习兴趣, 建立数学学习信心, 并最终达到数学学习的教纲要求。

篇4：已知二次函数

对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。

本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。

二、典例评析

(一) 考查函数定义域、值域

【例1】若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩(

瘙綂 RB)=．

解析由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞),

瘙綂 RB=(-∞,1),于是A∩(

瘙綂 RB)=｛-1,0｝.

点评集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。

(二) 考查函数单调性、奇偶性

【例2】已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为．

解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m

点评指数函数f(x)=ax的底数分为01两类,估算出底数a=5-12属于哪一类,利用指数函数的单调性,是解决本题的关键。

【例3】函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性)

解析由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

点评遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。

(三) 考查函数运算性质及应用

【例4】设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=．

解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010．

点评观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。

想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011．

(四) 考查分段函数图象的应用

【例5】函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］,

log9x,x∈(1,+∞).

使f(x)=12的x的集合为．

解析在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3．

点评分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。

(五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用

【例6】函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为  ．

解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2．

点评学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。

迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之

(六) 建立函数模型问题(二次函数型)

【例7】如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,

设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为．

解设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x,

sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2,

S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22．

点评表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。

(七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想

【例8】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值．

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值．

解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1,

b=-8,

c=7.∴f(x)=x2-8x+7；

(2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m),

①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件；

②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件；

③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0,

Δ≤0即m-1>0,

3m2-19m+28≤0,

解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4．

点评函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0

Δ≤0的格式可有效避免这类错误。

实战演练

1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=.

2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个．

3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有．

4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.

5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=．

6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为.

7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0

f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)=  ．

8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0),

0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个．

无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特

【参考答案】

1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22,

得α=12,于是k+α=32．

2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个．

3. 1或3

4. 由13<3x≤3得：-11,所以c=1．

5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1)

6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6.

7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12．

篇5：已知二次函数

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点

求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．教学过程

一、导入新课

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．从这节课开始，我们就共同解决这几个问题．

二、新课教学

问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

学生结合图象回答：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

问题2 如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

三、巩固练习

探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．

解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长（－l）m．场地的面积S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l（0＜l＜30）．

因此，当l＝－＝－＝15时，S有最大值＝＝225．也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大．

四、课堂小结

利用二次函数解决实际问题的过程是什么？

找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值．

五、布置作业

习题22.3 第1、4题．

22.3.1实际问题与二次函数说课稿

教材分析

本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，商品销售问题何时获得最大利润这正是我们研究的二次函数的范畴，二次函数化为顶点式后，很容易求出最大至于最小值，从而把数学知识运用于实践，即时否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。学生分析

学生活泼好动有大但好奇好胜的特点，本节课对于学生之间的相互合作交流，共同探索，培养和提高学生全新的思维能力，探索规律的能力。设计理念在探索规律的活动中，鼓励学生，提高教学质量，强化解决问题的意识，从而把更多的精力投入到现实的探索性，创造性的数学活动中去。教学目标知识技能：

1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．

2.通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。过程与方法：

1、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。

2、通过对“矩形面积”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。

3、通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题。情感态度价值观：

1、通过“二次函数的最大值“的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣。

2、体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。重点难点重点：

让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法，会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．难点：运用二次函数的知识解决实际问题。关键: 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题中最大（小）值，发展解决问题的能力。教学方法

在教师的指导下自主学习法教学过程

1.创设情境，引入主题

[问题1] 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．

然后让学生计算当t＝

1、t＝

2、t＝

3、t＝

4、t＝

5、t＝6时，h的值是多少？

再让学生根据算出的数据，画出函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（可见教材第49页图）．

根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

教师引导学生求函数的顶点坐标，解决这个问题．当t＝3时，h有最大值＝45．

答：小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45m．

[问题2 ]如何求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值？学生根据问题1归纳总结：当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．

2.[探究1]现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，（1）若矩形的长为10米，它的面积是多少？（2）若矩形的长为15米，20米，30米时，它的面积有多大？（3）从上两问，同学们发现了什么？教师提出问题，学生独立回答，通过几个简单的问题，让学生体会两个变量之间的关系在活动中，教师应重点关注：学生是否发现了两个变量。学生是否发现了矩形长的取值范围。通过矩形的面积的探究，激发学习欲望。自主阅读，合作交流

创设自主学习情景教师引导学生分析与矩形面积有关的量，教师要深入小组参与讨论。在活动中，教师应重点关注：(1）学生是否能准确的建立函数关系

（2）学生是否能利用已学的函数知识求出最大面积。（3）学生是否能准确讨论出自变量的取值范围。通过这种设计，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考察问题的完善性。

小组评价，问题生成

(1)创设问题探究性情境有矩形面积问题，你有哪些收获？学生思考回答，师生共同归纳得到：（1）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决实际问题。(2)利用函数的观点来认识问题，解决问题。通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。综合问题，引发思考归纳，总结

本节课你后哪些收获？有哪些新的问题？和同伴交流交流。教学反思

因此在本节课的设计上突出了引导学生观察、分析、思考、归纳、猜想、判断的过程，充分注意了让学生去经历初步用数学的思维方式进行观察、分析判断的体验过程。这一教学过程实质上是课程标准中要求我们达到的目标—不是培养学生“学新知识”而是去“生长知识”，也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础。

篇6：二次函数教案

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

(1) 问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量

y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.

二、想一想

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?

我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试.

x/棵

y/个

三.做一做

银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存. 如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).

四、二次函数的定义

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)

注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。

例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子.

随堂练习

1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数?

y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t

2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.

(1)写出y与x之间的关系表达式;

(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?

五、课时小结

1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。

2.用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。

六、活动与探究

若是二次函数，求m的值.

七、作业

习题2.1

1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t ，填表表示物体在前5s下落的高度：

t/s 1 2 3 4 5

h/m

⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。

(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示?

(2) 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么?

篇7：二次函数教案

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20.1二次函数

一、教学目标：

．知识与技能：

通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.2．数学思考：

学生能对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.3．解决问题：

体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程.4．情感与态度：

通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识.二、教学重点、难点：

教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念.三、教学方法和教学手段：

在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究．

在教学手段方面，选择了多媒体辅助教学的方式．

四、教学过程：

师生活动

设计意图

、问题感知，情境切入.教师展示实际问题：

“第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目，一般情况下，足球运动员的状态会随着时间的变化而变化：比赛开始后，球员慢慢进入状态，中间有一段时间球员保持较为理想的状态，随后球员的状态慢慢下降.经实验分析可知：球员的状态综合指数y随时间t的变化规律有如下关系：

（1）比赛开始后第10分钟时与比赛开始后第50分钟时比较，什么时间球员的状态更好？

（2）比赛开始后多少分钟时，球员的状态最好，这样的最好状态能持续多少分钟？

通过学生之间的讨论，很容易得出第（1）问的答案：比赛开始后第10分钟时，y=140；比赛开始后第50分钟时，y=220；所以，比赛开始后第50分钟时球员的状态更好.当学生开始进行第（2）问的解答时，遇到了不同的困难：

（1）不知道如何讨论当50t90时，y的变化范围？

（2）通过模仿一次函数的性质，学生求出了函数y=

中，y的变化范围是.却无法说出这样做的数学依据是什么？

所有的困难都指向一个焦点问题：

是个什么样的函数？它具有什么样的独特性质？

因此，学生产生了研究函数y= 的兴趣，教师趁势提出今天的学习内容.以“世界杯足球赛”这样贴近学生生活实际的问题为背景，力求更好地激发学生的求知欲，使之成为主动、积极的探索者，并在解决实际问题的过程中体验成功的快乐，同时为新课的引出和学习奠定了基础.这是一道结合实际的自编题，其中的数据于自己做的社会调查.足球运动是一项集体运动项目，对运动员的配合意识要求很高，所以运动员上场后30分钟左右才进入最佳状态，中场休息后状态仍能保持到最佳，50分钟后由于体能的下降影响了状态的发挥.2、讲解新课，提炼知识.（1）对比、分析

教师举出生活中的其它实例，感受二次函数的意义，进一步深化对二次函数概念的认识.①如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积Q和正方形的边长a的函数关系式是____________________．

②某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格m（元）和年降价率p的函数关系式是____________________．

答案：m=262

（2）类比、迁移

教师顺势提问：对y=、Q=a2-

16、m=262这三个函数你能用一个一般形式来表示吗？

教师参与到学生的分组讨论中去，合作交流，注意及时抓住学生智慧火花的闪现进行引导.教师鼓励学生用不同字母表示，只要把握概念的实质即可，必要时可提示学生，类比一次函数的知识.（3）二次函数的认识

一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（说明：括号内的条件，在第步之后再补写）的函数叫做二次函数，其中a、b分别是二次项系数、一次项系数，c是常数项.（4）加深理解

二次函数的定义给出后，教师引导学生分别讨论“a、b、c的取值范围”.学生就问题自由发言，教师充分引导学生发表自己的看法，只要合理，都应肯定.最后师生达到共识：

①a不能为0，因为当a=0时，右边不再是x的二次式；

②b、c都能为0，因为当b=0、c=0或b、c都为0时，右边仍是x的二次式.教师对所得出的常量范围，进行概念补写.通过两个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.引导学生侧重从解析式的特征思考，透过“引用不同字母”的表层现象，看到解析式的“结构一致”的本质.敞开思想，广泛议论，实现对二次函数本质的认识.充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.教师的提问意在引起学生的思维冲突，使之产生探究的欲望.遵循学生认知发展及知识系统的形成过程，由一般到特殊逐步为概念的理解铺平道路.3、分层实践，能力升级.[快速抢答]

下面各函数中，哪些是二次函数？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函数

（2）请写出这些二次函数中a、b、a

①y=2x2

c的值.0

②y=－x2+3

－

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特别强调：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a、b、c.1.[轻松完成]：矩形的周长为20cm，它的面积S（cm2）和它的一边长a（cm）的函数关系式是怎样的？并求出此函数的定义域.答案：S=a=-a2+10a，其中函数的定义域为：0

（1）写出即时速度Vt与时间t的函数关系式；

（2）写出平均速度与时间t的函数

关系式；（提示：本题中，平均速度）

（3）写出滚动的距离S（单位：米）与滚动的时间t（单位：秒）之间的关系式.（提示：本题中，距离S=平均速度时间t）

（4）请判断以上三个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

= ；

（3）S=

；

（4）函数Vt=1.5t和

=是一次函数，函数S=

是二次函数，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[请你帮个忙]：某果园有100棵橘子树，每一棵树平均结600个橘子.现准备多种一些橘子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.那么，如何表示增种的橘子树的数量x（棵）与橘子总产量y（个）之间的函数关系式呢？判断这个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出题大家做如图，正方形ABcD的边长是5，E是AB上的一个动点，G是AD的延长线上一点，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

请同学们以小组为单位尝试编一道实际函数问题，列出的函数关系是可以是二次函数，也可以是一次函数.估计学生可能想到：

①矩形AEGF的面积y与BE的长x

之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

②矩形AEmD的面积y与BE的

长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

③矩形BEmc的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

④矩形DmFG的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？

答案：

⑤其它类型：六边形ABcmFG的周长y与BE的长x之间的函数关系；矩形AEGF的周长y与BE的长x之间的函数关系；……

这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，同时认识二次函数解析式中a、b、c的意义.通过求函数的定义域，让学生体会实际问题中的二次函数的特点。

通过这道题的安排，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判定二次函数的方法，进一步了解不同函数的差异，从而对函数的本质有更深入了解。

这道实际问题的解决，培养了学生的观察能力和归纳能力，更重要的是让学生体验了实际问题“数学化”的过程.兴趣是学习的动力源泉，学生在参与编题的过程中，培养了与人合作的精神和创新意识，通过学生多层次、多角度地解决问题的方式，使原本枯燥的数学课堂逐渐被开放、热烈，富于创造性的课堂气氛所代替，成为激发学生潜力的最佳土壤.4、展示交流，总结新知.（1）学生自己总结，并在班上交流

本节课——

我学会了……

使我感触最深的……

我感到最困难的是……

我最值得学习的同学是……

（2）结合学生所述，教师给予指导：

①正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的注意问题.②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题.课堂小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，借此促进师生心灵的交流，学生对自己清醒的认识和总结，必然促进其自主学习，获得可持续发展的动力.5、布置作业、巩固知识.（1）阅读教材相应内容，完成课后习题第45--46页第1、2题.（2）实践题：

推测植物的生长与温度的关系

科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物的增长情况（如下表）

温度t/℃

植物高度

增长量L/mm

由这些数据，科学家推测出植物的增加量L与温度t的函数关系，并由它推测出最适合这种植物增长的温度.你能想出科学家是怎样推测的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，根据图象写出你的分析.必做题促进知识的巩固，实践题供学有余力的学生完成，进一步培养发散思维及社会实践能力.设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔.五、教案设计说明:

篇8：二次函数复习

1. 经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程, 抽象出二次函数的概念, 并结合具体情境领会二次函数作为一种数学模型的意义. 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向, 对称轴和顶点坐标.

2. 能画出二次函数的图像, 根据图像和解析表达式探索并理解二次函数的主要性质. 理解一元二次方程与二次函数的关系, 并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.

3. 通过复习逐步提高观察和归纳分析能力, 体验数形结合的数学思想方法.

4. 能依据已知条件确定二次函数的解析式, 并能领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.

二、中考链接

二次函数是中考命题的重点, 主要考查二次函数的图象、性质及表达式的确定, 在填空题、选择题和解答题中都有出现, 常与方程、几何等知识综合编拟压轴题.

三、知识精要整合

请大家根据所学内容完成下面的填空:

1. 二次函数的定义: 形如y = ax2+ bx + c (__________) 的函数为二次函数.

2.二次函数的图像和性质:二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线.顶点为_______, 对称轴_______;当a>0时, 抛物线开口向上, 图像有_____, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而_________;当a<0时, 抛物线开口向下, 图像有_______, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而__________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而___________. (3) 当a>0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最小值________;当a<0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最大值__________.

3.图像的平移:将二次函数y=ax2 (a≠0) 的图像进行平移, 可得到y=ax2+c, y=a (x-h) 2, y=a (x-h) 2+k的图像. (1) 将y=ax2的图像向上 (________) 或向下 (_____) 平移|c|个单位, 即可得到y=ax2+c的图像, 其顶点是 (0, c) , 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同. (2) 将y=ax2的图像向左 (________) 或向右 (______) 平移|h|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2的图像.其顶点是 (h, 0) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同. (3) 将y=ax2的图像向左 (_________) 或向右 (________) 平移|h|个单位, 再向上 (_______) 或向下 (__________) 平移|k|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2+k的图像, 其顶点是 (h, k) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.

二次函数有三种不同的表示方法, 分别是____________________.

二次函数表达式的求法: ( 1) 若已知抛物线上____________, 可利用一般式y = ax2+ bx + c求; ( 2 ) 若已知抛物线的____________, 则可采用顶点式: y= a ( x - h) 2+ k其中顶点为 ( h, k) 对称轴为直线x = h; ( 3) 若已知抛物线___________, 则可采用交点式: y = a ( x - x1) ( x - x2) , 其中与x轴的交点坐标为 ( x1, 0) , ( x2, 0) .

4. 二次函数与一元二次方程的关系:

5. 用二次函数解决实际问题时的基本思路: ( 1 ) 理解问题; ( 2 ) 分析问题中的变量和常量; ( 3) 用函数表达式表示出它们之间的关系; ( 4) 利用二次函数的有关性质进行求解; ( 5) 检验结果的合理性, 对问题加以拓展等.

另外, 二次函数常用来解决最优化问题, 这类问题实际上就是求函数的最大 ( 小) 值; 二次函数的应用包括以下方面: 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 ( 小) 值.

四、数学思想方法提炼

数学思想方法是从数学内容中抽象概括出来的, 是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁. 因此, 领悟并掌握了数学思想方法就等于拿到了解题的金钥匙. 本章主要的思想方法有:

1. 数形结合思想: 将直观的图象与数学语言结合起来, 通过图象的认识、数形的转换, 培养思维的灵活性、形象性, 使问题化难为易, 化抽象为具体;

2. 函数思想: 把实际问题中的变量与变量建立一种特殊的对应关系, 并结合函数图象, 利用函数的性质解决实际问题;

3. 方程思想: 充分挖掘已知量与未知量之间的数量关系, 建立方程 ( 组) , 然后用方程的理论和解方程的方法解决问题;

4. 待定系数法: 为了确定变量间的函数关系, 先设出某些未知系数, 然后根据所给条件得出系数应满足的方程或方程组, 并通过解方程或方程组求出待定的系数.

五、2012年中考链接

考点1抛物线的平移变换

例1 ( 2012 年·四川省德阳市中考) 在同一平面直角坐标系内, 将函数y = 2x2+ 4x + 1 的图象沿x轴方向向右平移2 个单位长度后再沿y轴向下平移1 个单位长度, 得到图象的顶点坐标是 ()

A. ( - 1, 1) B. ( 1, - 2) C. ( 2, - 2) D. ( 1, - 1)

分析: 根据二次函数的平移不改变二次项的系数, 先把函数y = 2x2+ 4x + 1 变成顶点式, 再按照“左加右减, 上加下减”的规律, 把y = 2x2+ 4x + 1 的图象向右平移2 个单位, 再向下平移1 个单位. 即可求得新抛物线的顶点.

解: 函数y = 2x2+ 4x + 1 变形为y = 2 ( x + 1) 2- 1 平移后的解析式为y = 2 ( x - 1) 2- 2, 所以顶点为 ( 1, - 2) . 故选B.

点评: 抛物线平移不改变二次项的系数的值; 讨论两个二次函数的图象的平移问题, 只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.

考点2图象与系数的关系

例2 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象如图, 则一次函数y = mx + n的图象经过 ()

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

解析: 由二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象可知其顶点在第四象限, 所以- m> 0, n < 0, m < 0, n < 0, 当m < 0, n < 0 时, 由一次函数的性质可得其图象过第二、三、四象限. 答案: C.

点评: 由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号; 一次函数图象的性质: 当k > 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、三象限; 当k >0, b < 0 时, 一次函数y = kx + b过一、三、四象限; 当k < 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、四象限; 当k < 0, b < 0时, 一次函数y = kx + b过二、三、四象限.

考点3二次函数解析式的确定

例3 (2012年·江苏泰州市中考) 如图, 在平面直角坐标系x Oy中, 边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上, 二次函数的图像经过B、C两点.

( 1) 求该二次函数的解析式;

( 2) 结合函数的图像探索: 当y > 0 时x的取值范围.

分析: 用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数解析式, 即可求出b, c的值, 然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标, 由图象法求得函数值y为正数时, 自变量x的取值范围.

解: (1) 由题意可得:B (2, 2) , C (0, 2) , 将B、C坐标代入得:c=2, b=4/3, 所以二次函数的解析式是

(2) , 得:x1=3, x2=-1, 由图像可知:y>0时x的取值范围是-1<x<3

点评: 本题考查了二次函数解析式的求法及利用图象法求解一元二次不等式, 渗透了数形结合思想. 其中本题的解法将三个“二次”和谐地结合起来, 突显二次函数的纽带作用, 通过函数, 将方程、不等式进行了综合考查.

考点4二次函数的实际应用

例4 ( 2012 年·哈尔滨中考) 小磊要制作一个三角形的钢架模型, 在这个三角形中, 长度为x ( 单位: cm) 的边与这条边上的高之和为40 cm, 这个三角形的面积S ( 单位: cm2) 随x ( 单位: cm) 的变化而变化.

( 1) 请直接写出S与x之间的函数关系式 ( 不要求写出自变量x的取值范围) ;

( 2) 当x是多少时, 这个三角形面积S最大? 最大面积是多少?

分析: 本题考查确定函数解析式, 二次函数最值. 三角形的边x和高的和是40, 可表示该边上的高位40 - x, 根据三角形面积公式是底乘高除2 可写出, 这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.

所以当x = 20cm时, 这个三角形的面积最大, 最大面积是200cm2.

点评: 二次函数是中考考查的必考内容之一, 本题是综合考查二次函数的最值问题, 需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题. 要注意解题过程的完整性.

考点5用函数观点看方程、不等式

例5 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = ax2+ bx的图象如图, 若一元二次方程ax2+ bx + m = 0有实数根, 则m的最大值为 ()

A.-3 B.3

C.-5 D.9

解析: 方法一: 图象法, 由ax2+ bx + m = 0 得ax2+ bx = - m, 一元二次方程ax2+ bx + m = 0 有实数根, 得函数y = ax2+ bx与函数y = - m有交点, 所以- m≥ - 3, m≤3;

方法二:因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根, 所以b2-4 am≥0, 由y=ax2+bx的图象可得顶点纵坐标, , b2=12 a, 所以12 a-4 am≥0, 解得m≤3.答案:B.

点评: 本题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系, 既可以用图象法, 也可以用算术法, 开拓了学生的思维.

例6 ( 2012 年 · 四川省资阳市中考) 如图是二次函数y = ax2+ bx + c的部分图象, 由图象可知不等式ax2+ bx + c < 0的解集是 ()

A. - 1 < x < 5B. x > 5

C. x < - 1 且x > 5D. x < - 1 或x > 5

解析: 由二次函数的对称性, 在已知了对称轴直线和与x轴的一个交点坐标 ( 5, 0) 即可得出另一个交点坐标 ( - 1, 0) ; 再由不等式ax2+bx + c < 0 的解集即指x轴下方图像所对应的x取值. 故选D.

点评:本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系, 利用数形结合思想不难选出D选项, 但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用, 有可能会采取代入对称轴直线及与x轴交点坐标的方法运算, 将会花去考生大量时间, 故解决本题的关键是熟练初中数学的常见数学思想方法.

考点6几何函数题

例7 (2012年·甘肃兰州中考) 若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根, 则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴的两个交点为A (x1, 0) , B (x2, 0) .利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:

参考以上定理和结论, 解答下列问题:

设二次函数y = ax2+ bx + c ( a > 0 ) 的图象与x轴的两个交点A ( x1, 0) , B ( x2, 0) , 抛物线的顶点为C, 显然△ABC为等腰三角形.

(1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 求b2-4ac的值;

(2) 当△ABC为等边三角形时, 求b2-4ac的值.

分析: (1) 当△ABC为直角三角形时, 由于AC=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.根据本题定理和结论, 得到, 根据顶点坐标公式, 得到, 列出方程, 解方程即可求出b2-4ac的值;

( 2) 当△ABC为等边三角形时, 解直角△ACD, 得, 据此列出方程, 解方程即可求出b2- 4ac的值.

解: (1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.

∵抛物线与x轴有两个交点,

( 2) 如图, 当△ABC为等边三角形时, 由 ( 1) 可知,

点评: 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质, 抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理, 综合性较强.

考点7创新型问题

例8 ( 2012 年·吉林省中考) 问题情境

如图, 在x轴上有两点A (m, 0) , B (n, 0) (n>m>0) .分别过点A, 点B作x轴的垂线, 交抛物线y=x2于点C, 点D.直线OC交直线BD于点E, 直线OD交直线AC于点F, 点E, 点F的纵坐标分别记为yE, yF.

特例探究

填空:

当m=1, n=2时, yE=________, yF=__________.

当m=3, n=5时, yE=___________, yF=__________.

归纳证明

对任意m, n ( n > m > 0) , 猜想yE与yF的大小关系, 并证明你的猜想

拓展应用.

( 1) 若将“抛物线y = x2”改为“抛物线y = ax2 ( a > 0) ”, 其它条件不变, 请直接写出yE与yF的大小关系.

( 2) 连接EF, AE. 当S四边形OFEB= 3S△OFE时, 直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状.

分析: 【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】 ( 1) 的特殊情况, 因此以【拓展】 ( 1) 为例说明前三小问的思路: 已知A、B的坐标, 根据抛物线的解析式, 能得到C、D的坐标, 进而能求出直线OC、OD的解析式, 也就能得出E、F两点的坐标, 再进行比较即可.最后一小题也比较简单: 总结前面的结论, 能得出EF∥x轴的结论, 那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系, 能判断出EF、OA的比例关系, 进而得出m、n的关系, 再对四边形OFEA的形状进行判定.

解: 特例探究

当m = 1, n = 2 时, A ( 1, 0) 、B ( 2, 0) 、C ( 1, 1) 、D ( 2, 4) ;

则:直线OC的解析式为:y=x;直线OD解析式为:y=2x;

∴F (1, 2) 、E (2, 2) ;即.yE=yF=2

同理:当m=3, n=5时, yE=yF=15.

归纳证明

猜想: yE= yF,

证明:yD=n2, yC=m2, 则, C (m, m2) , D (n, n2)

OD的解析式为y=nx;OC的解析式为y=mx

E在OC上, 横坐标为n, 当x = n时, yE= mn, F在OD上, 横坐标为m, 当x = m时, yF= mn

拓展应用

(1) 设yD=an2, yC=am2, 则C (m, m2) , D (n, n2)