平方差公式教学案例分析

平方差公式教学案例分析（共15篇）

篇1：平方差公式教学案例分析

平方差公式教学案例分析

一、设计理念

新课程的一个基本理念就是：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，从而提高课堂教学的效率．

把握知识核心是教师课堂设计的前提，只有教师本身对这节课的知识点吃得透，把握得准，然后在围绕着这个中心进行教学设计，这样的教学设计才能为学生创设更加真实的数学学习环境，也能激发学生积极参与的欲望，从而引起学生的兴趣和共鸣． 二 教材分析

（一）教学内容

本节属于《数学课程标准》（修改稿）中“数与代数”领域的内容，是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再一次应用乘法公式对多项式乘法进行简便运算的知识．平方差公式不仅是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础．

技能目标：掌握平方差公式，会运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算．

（二）、核心知识表述

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．(三)、核心解析

平方差公式是基于多项式乘以多项式的法则而提出的特殊情况下的简便计算的法则，它是一种特殊的多项式乘以多项式．

（四）、教学重点及难点

（1）重点：平方差公式

（2）难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力

（五）、学情分析

学生刚过多项式的乘法，学生在解题时由于思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来作这节课的题目，因此在教学中要让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性．

三、教学设计

（一）、创设问题情境引入新课 猜一猜：

（1）在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字（10以内）；（2）计算100与这个数的和，乘以100与这个数的差的积（屏幕打出，给学生半分钟思考、计算的时间）

师：同学们算得很投入，只要告诉我，你运算的结果，我就能马上说出你的幸运数字是几，信吗？并请两位学生来试验．

师：等我们学了今天的知识以后，大家也 能像老师一样，马上猜出其他同学的幸运数字了． [设计意图] 通过游戏使学生产生对新知识的强烈求知欲．在游戏的过程中，学生的思维是活跃的，注意力是高度集中状态，在游戏中能让学生获得知识，发展能力，提高学习兴趣．学生的兴趣和情境一下子被调动起来了，有4—5名已经预习过新课的学生，马上能够摸到题目中的门道，迅速的报出答案． 新课讲解

（二）、新课讲解

引出并推导公式

还记得多项式乘法吗？下面让我们运用多项式的乘法来进行计算：（如果有同类项进行合并）

通过观察思考相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？

（学生归纳，老师补充）

期望得到结论：1）多项式均为两项；2）这两项有一项相同，有一项互为相反数；3）它们乘积的结果都是这两个数的平方差．

归纳平方差公式： ．

（板书课题：5.4乘法公式——平方差公式）

师：请大家在自己的纸上利用多项式乘法的法则，推导一下这个公式．（学生到黑板上板演推导过程）下面老师这里有4块纸片，下面按图拼成两个不同的图形，我们分别计算出它们的面积：（指导学生通过拼图的方法推导平方差公式）

由左右两个图形面积相等，得 ．通过具体的图形验证，让学生了解和体验公式的几何意义． [设计意图] 通过具体问题，归纳总结出平方差公式

平方差公式是一种特殊的多项式乘以多项式，它可以用多项式乘以多项式的方法来证明．让学生通过推导公式来体验：原来两个二项式相乘他们的积有四项，而现在这两个特殊的二项式相乘，他们的积经过整理以后只有两项，这样大大降低了计算的量．

通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解．同时给学生渗透数形结合的思想．

1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：

与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．

2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如

在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，两个数就可以看清楚了．

3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意：

（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．

（三）、教法建议

1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．

2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即

(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．

3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑

(a + b)(a-b)=a2-b2．

这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．

另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．

=1-4x2．

教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

例2 计算(b2+2a3)(2a3-b2)．，变形为

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

＝(2a3+b2)(2a3-b2)

＝(2a3)2-(b2)2

＝4a6-b4．

教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

课堂练习

运用平方差公式计算：

(l)(x+a)(x-a)；

(2)(m+n)(m-n)；

(3)(a+3b)(a-3b)；

(4)(1-5y)(l+5y)．

例3 计算(-4a-1)(-4a+1)．

让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1．

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1．

根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

课堂练习

1．口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)；

(2)(a-b)(b+a)；

(3)(-a-b)(-a+b)；

(4)(a-b)(-a-b)．

2．计算下列各题：

(1)(4x-5y)(4x+5y)；

(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

三、小结

1．什么是平方差公式？

2．运用公式要注意什么？

(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

四、作业

1．运用平方差公式计算：

(l)(x+2y)(x-2y)；

(2)(2a-3b)(3b+2a)；

(3)(-1+3x)(-1-3x)；

(4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x3+15)(2x3-15)；

(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

2．计算：

(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

篇2：平方差公式教学案例分析

高效课堂

白云湖中学

钱玲

在平时的教学过程中，运用激励性的名言警句，从而调动学生学习的积极性、鼓舞学生的斗志是我的教学特色，收到了很好的效果。

我们班的每个学生都有自己的个人激励卡，并且定期更新。全班同学都能脱口而出很多催人奋进的句子，比如：“与其用泪水擦拭明天，不如用汗水拼搏今天”，“知识改变命运，学习成就未来”，“行为决定习惯，习惯形成性格，性格决定命运”，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”，“每个人的内心深处都有两个自我，一个高尚，一个卑下；一个勇敢一个懦弱；一个善良，一个邪恶；一个勤奋，一个懒惰…...我们要用高尚战胜卑下；用勇敢战胜懦弱；用善良战胜邪恶；用勤奋战胜懒惰……”，“天将降于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，空乏其身，行佛乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。”……

平时我很留意积累名言警句，另外也启发引导学生自己去搜集名言警句。让这些名言警句成为学生的“打气筒”！

在学习《平方差

（一）》这一节课时，我又给同学们如下寄语：“选择逃避，失败会越来越多；选择放弃，借口会越来越多；然而，选择挑战，方法会越来越多；选择拼搏，成功会越来越多！”同学们听了后，倍受鼓舞。同时我让同学们大声的读出老师的这一段寄语。

在老师的激励下，同学们个个斗志昂扬，跃跃欲试，我顺势提出了今天这节课要完成的学习任务、学习目标。

师：老师这里有四道计算题：（1）（x+2）(x-2)

（2）(1+3a)(1-3a)

（3）(x+5y)(x-5y)

（4）(2y+z)(2y-z)谁会做？谁能到黑板上做一下？

同学们大部分都举起了手，很多同学几乎拿出了百米冲刺的架势，我随机点了4名同学上来做题。其他同学不约而同遗憾的“哎”了一声，然后就趴在自己的练习本上“刷刷”的做了起来。

师：看谁做得又快又准确？

师：同学们观察这几个算式，看看等式的左边有什么特征？等式右边的结果有什么特征？

生1：等式左边的多项式都是两项。

生2：等式左边多项式的两项有的项完全相同，有的项只是符号相反。生3：结果是平方差的形式。

生4：右边结果中相同的项的平方都是写在前面，符号相反项的平方都是写在后面。

师：同学们能不能直接口答（a+b）（a-b）结果？ 生：能！结果一定是a2-b2 师：嗯，很好！同学们很棒！那么我们就把（a+b）（a-b）= a2-b2叫做整式乘法的平方差公式。

师：同学们想一下，什么样的两个多项式相乘时用平方差公式？ 生5：两个多项式中有完全相同项。生6：两个多项式中有符号相反项。

生7：一个多项式是两数和，另一个多项式是这两个数的差。

师：那么当我们遇到两数和乘以这两个数的差的时候，就可以直接运用公式，把结果写成这两个数的平方差，但是同学们一定要注意：结果必须是相同项的平方减去相反项的平方。

师：老师相信同学们已经会用刚学的新公式做题了，下面我们小试牛刀，做3道题：

（1）（5+6x）（5-6x）

（2）（x-2y）（x+2y）（3）（-m+n）（-m-n）

选3个“小老师”到黑板上做。

师：同学们有没有注意到，在运用公式时我们还要注意什么？为什么第二个同学做错了？

生8:他没有给2y加上括号。应该是（2y）2

而他写成了2y2 师：第三个题，应该注意什么？

生9：给-m带上括号，不然会写错变成-m2.师：说得很好，希望同学们不但要有勇气、胆量、信心，还更要仔细！“彩虹风雨后，成功细节中”，很多时候“细节决定成败”！

在老师的点拨引导下，同学们在做题的时候大大减少了失误。在后来的当堂检测中，合格率超过了百分之九十。从而做到了“高效课堂-堂堂清”

篇3：平方差公式教学案例分析

师:我们已经学过了多项式的乘法, 哪个小组能告诉我, “两个二项式相乘, 在合并同类项之前应该有几项?”

生A (抢答) :我认为应该有四项.

师:我也同意A同学的说法 (教师给这个小组加上一颗五角星) .

但不知同学们有没有注意到我刚才说的是合并同类项之前, 那么在合并同类项之后会出现什么情况呢?

(教师多媒体给出问题串:两个二项式相乘, 在没有合并同类项之后, 有没有只有三项的?有没有只有两项的?举例说明.独立完成后, 今天的小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

师:哪个组来回答? (话一说完就有很多组的同学站了起来, 最后决定用剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答)

生B:我回答第一个问题, 我组分别写出了以下四种情况. (通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

生C:我回答第二个问题, 我们组写出了以下四种情况:

1. (x+1) (x-1) =x2-x+x-1=x2-1;

2. (x+2) (x-2) =x2-2x+2x-4=x2-4;3. (x+y) (x-y) =x2-xy+xy-y2=x2-y2;4. (x-3) (x+3) =x2+3x-3x-9=x2-9.

(通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

……

师:从上面的例子可以看出两个二项式相乘, 合并同类项后积可以是二项式, 那么具备什么样的特征时积才会是二项式呢?它们的积有什么特征? (媒体给出问题串, 要求学生独立完成后, 小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

生D:我们组交流后, 认为两个因式的两项中分别有一项相同, 而另一项互为相反数, 积一定是二项式.

生E:我们组交流后认为, 当乘式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式.

师:我也同意他们的意见.他们从不同的角度分析了乘式的特征, 用两数和及这两数的差表达乘式的特征既简单又确切 (教师给这两组打上星) .那么它们的积有什么特征呢?

生G:积等于乘式中这两数的平方差.

师:我也同意他们的意见.这组同学特别是用了“这两个数”四个字实在是太好了, 说明他观察得很仔细, 表达也很贴切 (教师给这组打上一颗星) .

师:我们再看一下, 为什么具备以上特点的两个二项式相乘, 积会是两项呢?

生F:具备这样特点的两个二项式相乘时, 积的四项中会出现互为相反数的两项, 而这两项合并后为零, 所以就剩下两项了.

师:很好, 假如我们用a, b来表示这两个数, 你能用这两个字母表达出刚才我们所说的等式吗?

生H: (a-b) (a+b) =a2-b2.

师:非常好, 这就是我们今天要学习的平方差公式.

师:你们能算出下面两图中第Ⅰ块和第Ⅲ块的面积之和吗? (几何画板给出)

二、案例评析

1.设置疑问, 引入课题

鲁宾斯坦说过, 思维通常总是开始于疑问或者问题, 开始于惊奇或者疑惑, 开始于矛盾.适当的悬念, 巧布某种卡壳, 引起学生的好奇, 能激发学生的学习兴趣和动机, 而学习兴趣能使学生的主动性积极性剧增, 产生良好的效果.本案例将“两个二项式相乘, 积可能有几项”的问题作为课题引入, 目的是激发学生的学习兴趣.

2.突出了数学课堂教学中的探索性

通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳, 得出为什么有的两个二项式相乘其积为两项, 因为其中两项是两个数的平方差, 而另两项恰是相反数, 合并同类项时为零.让学生经历前人发现这个概念的“浓缩”过程, 让学生尝到了成功的喜悦, 激发了学生发现思维的火花.从而培养了学生的观察、概括能力, 发展学生的符号感和推理能力;

3.引进了计算机 (“几何画板”) 技术

通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释, 目的是使学生对此公式有一个更直观的认识.

4.恰当地处理自主、探究、合作的关系

自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法, 但合作学习必须建立在学生的独立探索的基础上, 否则合作学习将会流于形式, 不能起到应有的效果, 所以我在上课时强调学生先独立思考, 再由当天的小组长组织进行, 并由当天的记录员记录小组成员的活动情况.

5.把竞争机制引入课堂, 同时进行恰当地评价

让学生在合作中学习, 在竞争中收获, 及时对各小组的发言进行恰当地评价, 能调节课堂的气氛, 同时也是时代对我们的要求.

6.充分发挥课堂教学的民主

在课堂教学中多次用到“你们同意吗?”、“我同意”的话语, 让学生体验到他们才是学习的主人, 教师是他们平等的合作者.

摘要：初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“创设问题情境、建立知识的模型”的模式展开.特别对于抽象的概念教学, 要关注概念的实际背景与形成过程, 帮助学生克服记忆概念的学习方式.本文以“平方差公式的概念”为例, 阐述如何“创设问题情境、建立知识的模型”的过程.

篇4：平方差公式教学案例分析

第一环节：问题导入之“故事导入”

根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点，在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”，同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导.

[片段实录]

师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.（课件出示故事和“问题1”）

一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看看吧！（见图1、图2两个示意图）

羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！

问题1：羊二吃亏了吗？

师：羊二吃亏了吗？

生：（异口同声）吃亏了！

师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷高举着手）

在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课，自然地将实际问题抽象为数学问题；运用数形结合思想，将土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路.

第二环节：新知探究之“数形结合探究”

教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为此设计了三个逐层递进的变式题.

[片段实录]

师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1的“变式题1”）

生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

师：若向东增加5米，向北减少5米呢？（“变式题2”）

生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏.

师：若向东增加b米，向北减少b米呢？（“变式题3”）

生1：也是一样的.

师：同学们同意吗？

生：（大声，整齐）同意.

师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下，这样才好推广吧？（师课件出示图3示意图，并带领学生进行计算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算，我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？

生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4所示的矩形，再向东增加一个如图5所示的矩形，由图我们很容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6所示、边长为3的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b向北减少b，则面积减少b2.

老师竖起大拇指；其他同学对这一直观的方法非常佩服，报以热烈掌声.

师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项呢？

生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了.

师：为什么能互相抵消呢？

生：（齐声）因为b与-b互为相反数.

师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？

生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项，一个二项式是a+b，一个二项式是a-b，等式右边是a与b的平方差.

师：看来同学们都是“说理大师”啊.（生笑）

在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的知识点.

第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计”

从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.

[片段实录]

师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将——

生：（齐声）应用.

师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）

课件出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”.

nlc202309090405

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

问题2：计算（+3）（-3）

师：问题2是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？

生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？比较这一题与上一题发生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如下.

问题2：（a+3）（a-3）

系数变↓

变式1：（2a+3）（2a-3）

符号变↓

变式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置变↓

变式3：（3-2a）（-2a-3）

指数变↓

变式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式变↓

变式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

项数变↓（相对于公式而言）

变式6：（a+b+c）（a-b+c）

师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示数，可以表示单独的一个字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式.

师：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我们已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式.

师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有了哪些了解？

生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变式.

师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质，问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的“变式大赢家”！（生喜形于色）

引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么，能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策略，认清变化的规律，抓住不变的本质.

第四环节：总结升华之“思维导图归纳法”

用问题3的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力.最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质.

[片段实录]

师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的“归纳之王”呢？（课件出示“问题3”）

问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2）本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？

生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b这两项的差的乘积，结果等于a、b的平方之差，而且是符号相同的项a的平方减去符号相反的项b的平方，前后不能颠倒.

生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运用平方差公式一定要准确地找出公式中的a和b；第二，对于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结合，构造出平方差公式的结构.

两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括，这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌声.

师：好，她们都是“归纳之王”！

接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8）.

教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分尊重学生在学习中的主体地位.

本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”，从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”，并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.

（责编 白聪敏）

篇5：平方差公式重点与难点分析

北井头乡中武英芳

这节课的重点是平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．这节课的难点是平方差公式的运用．对于平方美公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、总结、猜想，然后得出结论来突破．对于平方差公式的运用，教师可以选取典型的题目，而且，引导学生掌握一定的做题规律．对于平方差公式的几何背景的了解，可以让学生亲自动 手，这样，更容易理解． 《平方差公式》教材分析

教材分析：

（一）教材的地位与作用。

《平方差公式》是鲁教版义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级（下）第六章《整式的运算》第六节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。

（二）教学重难点、关键：

1、重点：平方差公式的探索和应用。

2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。

3、关键：准确找到a，b。

目标分析：学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式是难点，所以应该进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。因此我觉得本节课应关注学生对公式的探索过程，让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。参照《数学课程标准》的要求及教材的特点和学生的认知水平与数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。

(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。

篇6：平方差公式教学反思

教学中时间把握还是不足，在设计的题目中不怎么合理，应按题目的难度从易到难。

有些题目的归纳可放手给学生讨论后由学生说出，而不是教师代替。小组评价做的不够，没有足够的小组的活动，没有小组的竞赛。

篇7：《平方差公式》教学反思

1、把数学问题“蕴藏”在游戏中。

导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，首先是一个智力抢答，学生通过抢答初步感知平方差公式，接下来，采用小组合作学习的方式，利用“四问”让学生进行试验操作，学生选择的字母有很多种，让它们都有其共性。由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出(a+b)(a-b)=a2-b2.经过不断的尝试小组合作学习方式的教学，我发现也真正体会到，只要我们给学生创造一个自由活动的空间，学生便会还给我们一个意外的惊喜。

2、充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用。

把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体。使他们在活动中进行规律的总结，并且通过交流练习、应用，深化了对规律的理解。学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的。新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华。在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧。

3、 自置悬念，享受成功

以四人小组为单位，各小组出两道具有平方差公式的结构特征的题目，看谁出得有水平。学生每人都设计了题目，任意叫了四位学生在黑板上写，经评价结果都对了。这种方法，不仅令人耳目一新，而且把学生引入不协调——探究——发现——解决问题的一个学习过程，使学生获得思维之趣，参与之乐，成功之悦。

4、切实落在实效上

本节课在采用小组学习之后，为了让学生的巩固有效果，采用了学生上台讲解、作业实物投影的方式来进行，多种方式的选择，让学生暴露出自己的问题，然后通过生生互动、师生互动解决问题，实现问题及时处理，学习效果不错。

5、值得注意的是：

1、节奏的把握上

这一节我觉得不是很顺，尤其在从几何角度解释平方差公式、例2⑵的其他计算方法等问题上，花了不少时间，节奏把握的不是很好。

2、充分发挥学生的主体地位上

篇8：平方差公式教学案例分析

教学案例 (片段1)

平方差公式的验证与推导 (实录1)

教师:请同学们把制作好的两个正方形, 按幻灯片的样式叠放在一起, 若设大正方形ABCD的边长为a, 小正方形EBGF的边长为b, 分别用两种方式求出没有重叠的面积 (阴影面积) .

学生 (甲) :S阴=a2-b2. (1)

教师:如果连接DF则把阴影部分分成两个什么图形?

学生 (乙) :两个梯形.

教师:能不能根据梯形的面积公式求阴影的面积?

学生:能 (一起回答)

教师:同学们, 试着写一写.

教师:从 (1) (2) 可得到什么规律?

学生 (丁) : (a+b) (a-b) =a2-b2.

评析:1.教法:创设情景, 关键处激疑, 迷茫时引导, 无能为力时牵线搭桥 (如作辅助线) .

2.学法:用眼观察, 动脑思考, 动手操作, 自主建构知识体系.

教学案例 (片段2)

平方差公式的直接应用 (实录2)

教师:请同学们讨论平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2的特点.

学生 (甲) :左边是两数的和乘以这两数差的积, 右边是这两数的平方差.

教师:板书特点 (略) .请同学们根据平方差公式计算 (5+3) (5-3) =?

学生 (乙) : (5+3) (5-3) =52-32, 其中5相当于公式中的a, 3相当于公式的中的b.

教师:请同学们根据平方差公式计算 (x+y) (x-y) =?

学生 (丙) : (x+y) (x-y) =x2-y2, 其中x相当于公式中的a, y相当于公式中的b.

教师:请同学们根据平方差公式计算 (5x+3y) (5x-3y) =?学生 (丁) : (5x+3y) (5x-3y) =5x2-3y2.

教师:5x2要加括号写成 (5x) 2, 3y2写成 (3y) 2, 其中5x相当于公式中的a, 3y相当于公式中的b.

教师:要注意公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应. (板书)

请做以下练习: (多媒体字幕)

判断题:1. (3x+4y) (3x-4y) =3x2+4y2 ()

2. (3x+4y) (3x-4y) = (3x) 2- (4y) 2=6x2-8y2 ()

3.请说出公式中的a、b分别与题目中的那一项对应, 再作练习:

教师点评:1.注意公式中的a, b与题目中的哪一项对应. (渗透对应思想)

2.当a, b含有系数时, 注意加括号.

评析

1.教法:探索活动节奏的快慢, 教学活动的轻重缓急, 应由教师根据情况灵活驾驭;设置问题的难易梯度应适合全体学生, 特别关注后进生的情况;要针对学生易出现错误的地方, 有针对性的重点探索, 如公式中的a、b分别与题目中的哪一项对应等, 逐步渗透对应思想方法.

2.学法:根据教师所给的材料, 反复操作、练习、讨论、思考等, 在自主建构知识体系的同时, 形成技能.

教学案例 (片段3)

平方差公式的变式应用 (实录3)

教师:平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2中, 若a=-2, b=3, 则 (-2+3) (-2-3) = (-2) 2-32, 则 (-x+y) (-x-y) =?

学生: (-x+y) (-x-y) = (-x) 2-y2=x2-y2. (1)

教师:若将 (1) 式左边变为 (y-x) (-y-x) =?或 (-x+y) · (-y-x) =?请同学们分组讨论后再回答.

学生: (y-x) (-y-x) = (-x+y) (-x-y) = (-x) 2-y2=x2-y2.

教师:若题目不能直接应用公式, 要通过交换两数的位置, 转换成公式的形式.

练习

评析

1.教法:从具体到一般.如a=-2, b=3, 则 (-2+3) (-2-3) = (-2) 2-32, 让学生把抽象的内容链接感性的经验上.

2.学法:把新知识建构在已有的知识经验上.

教学案例反思

一、教师创设问题情景, 学生积极思考

古人云:学起于思, 思源于疑.学生的积极思维往往是由问题开始, 又在解决问题中得到发展.课堂环节中的适时提问:“请同学们把制作好的两个正方形, 按幻灯片的样式叠放在一起, 若设大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b, 分别用两种方式分别求出没有重叠的面积.”引起学生积极思维.

二、学生自主探究, 教师循循善诱

任何一项科学研究活动或发明创造都要经历自主探究过程.自主探究贯穿案例始终.本案例中从公式的推导、直接应用、变式应用到应用公式的拓展延伸, 都是在学生自主探究或分组讨论中进行.但由于初一年级学生的年龄特征, 探索问题的能力相对有限, 每一步探究都需在教师的循循善诱中进行.

三、教师渗透数学思想方法, 学生潜移默化

数学思想方法, 是数学教学的根本, 是学生思维的基础, 学生只有掌握了思想方法, 才能增加发展的潜力, 提高创新思维能力.案例中渗透了“对应思想方法”, 如, “要注意公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应 (板书) ”以及“请说出公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应, 再做练习”等等, 都渗透了对应思想方法;还渗透了“化归思想”, 如比较大小转化为比较两数的差.学生在不知不觉中, 潜移默化地接受了抽象的数学思想方法, 达到了润物细无声的效果.

四、教师从具体到一般, 学生从形象思维中发展抽象思维

篇9：完全平方公式与平方差公式

（a+b）2= a2 +2ab+b2

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

完全平方公式的文字叙述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.

你能根据图1中和图2的面积说明完全平方公式吗？

图1 图2

完全平方公式 的几何意义

和的完全平方公式

（a+b）2= a2 +2ab+b2

差的完全平方公式：

（a-b）2= a2 - 2ab+b2

公式特征：（a+b）2= a2 +2ab+b2 （a-b）2= a2 - 2ab+b2

1、积为二次三项式；

2、积中两项为两数的平方和；

3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍放中央 .

4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.

想一想： 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？

（1）（x+y）2=x2 +y2 错 （x +y）2 =x2+2xy +y2

（2）（x -y）2 =x2 -y2 错 （x -y）2 =x2 -2xy +y2

（3） （-x +y）2 =x2+2xy +y2 错 （-x +y）2 =x2 -2xy +y2

（4） （2x+y）2 =4x2 +2xy +y2 错 （2x +y）2 =4x2+4xy +y2

例1、运用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

解： （4m+n）2= （4m）2 +2·（4m） ·n +n2 =16m2 +8mn +n2

（2）（x-2y）2

解： （x-2y）2= x2 -2·x ·2y +（2y）2 =x2 -4xy +4y2

例2、运用完全平方公式计算：

（1）1022

解： 1022 = （100+2）2 =10000+400+4 =10404

（2） 992

解： 992 = （100 –1）2 =10000 -200+1 =9801

思考

（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ （a-b）2与a2-b2相等吗？ 为什么？

拓展练习：

1. =_______；

2.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

3.若 是一个完全平方公式， 则 _______；

观察等式

两数和与这两数差的积等于这两数的平方差

概括总结

公式中的字母的意义很广泛，可以代表常数，单项式或多项式

平方差公式的特征：

（1）等号左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差.

（2）等号右边是这两个数（字母）的平方差.

注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式

练一练

（a+b）（a-b）= a2-b2

阅读算式，按要求填写下面的表格

能力提高

篇10：《平方差公式》教学反思

在例题展示环节中，我通过2道例题的运算，训练学生正确应用公式进行计算，体会公式在简化运算中的作用。实践练习的设计，使学生从不同角度认识平方差公式，进一步加强学生对公式的理解。在运用公式时，学生基本掌握运用平方差公式的步骤：首先要判断算式是否符合平方差公式特征，然后再寻找算式中的a,b项，最后运用平方差公式运算。拓展延伸环节中，学生通过寻找算式中的a,b项，慢慢发现a,b项不仅可以代表数，也可以代表单项式、多项式等代数式，这样设计可以进一步深化学生对字母含义的理解。在学生独立完成练习和堂测中，经过巡视，我发现近三分之一的学生对较复杂的多项式不能准确找出a,b项，特别是b项代表多项式时，负数去括号时出错较多。

最后通过设计递进式的问题串，引导学生自己一步步总结出本节课所学的知识内容，从而培养他们的归纳总结和语言表达能力。

篇11：平方差公式教学设计

教学目标：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学过程

一、复习旧知，引入新课

1、回顾多项式与多项式相乘的运算法则

2、故事引入新课（课件出示

题目略）

二、探索规律，发现结论

1、看谁算得又对又快

计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(x+2)(x-2)= ___________;(2)(1+3a)(1－3a)=__________;(3)(x+5y)(x－5y)=_________.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？请用一句话归纳总结出等式的特点.2、验证猜想，得出结论 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.三、巩固练习，讲解例题

1、找一找，填一填（用课件出示表格题目，让学生填写，并学会用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式）

2、判断下面计算是否正确

111（1）(x1)(x1)=x2

1（）

222（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2

（）（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2

（）

3、教学例题

例1 利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；

（2）（x－2y）（x+2y）（3）（－m+n）（－m－n）巩固练习

利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）；

（2）（3a+2b）（3a－2b）

例2 利用平方差公式计算：（1）(11xy)(xy)；

（2）（ab+8）（ab－8）

44巩固练习

利用平方差公式计算：（1）(x11y)(xy)；

（2）（－mn+3）（－mn－3）3

3（四）观察思考、拓展延伸

1、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

2、练一练

计算

1、（5m－n）（－5m－n）

2、（a+b）（a－b）（a2+b2）

（五）当堂达标、自我检测

利用平方差公式计算：（1）（－x－1）（1－x）（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）

111（3）(x)(x)(x2)

4（六）课堂小结、布置作业

1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

3、作业：

1.教材习题1.9 第1题（2）、（4）、（6）；第2题

篇12：平方差公式教学设计

教学目标

（一）知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

（二）过程与方法：在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力．在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简洁美．

（三）情感、态度与价值观：激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索，有意识地培养学生的合作意识与创新能力． 教学重点:平方差公式的推导和应用． 教学难点:灵活运用平方差公式解决实际问题． 教学方法:创设情境—主体探究—合作交流—应用提高 教学过程设计

一、创设问题情境,引出本节内容

1、知识复习：多项式与多项式相乘的法则（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn． 设计意图：复习旧知识为新知识做铺垫

2、计算下列各题，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）． 再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2． 引导学生得出平方差公式（a+b）（a－b）= a2－b2．

3、请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1 图2

学生活动设计：学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，两个图形阴影部分面积相等，即（a+b）（a－b）= a2－b2．

设计意图：引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式．培养学生交流与探索能力

4、例题 计算：

（1）（3x＋2）（3 x－2）；（2）（b+2a）（2a－b）；（3）（－x+2y）（－x－2y）．

设计意图：学生板演并巩固法则，充分发挥学生主体性。

二、知识应用，加深对平方差公式的理解

1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）

1（1）（x+1）（1+x）；

（2）（1a+b）（b－a）； 22（3）（－a+b）（a－b）；（4）（x2－y）（x+y2）；（5）（－a－b）（a－b）；（6）（c2－d2）（d 2+c2）．

学生活动设计：学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式．

设计意图：让学生在交流中归纳平方差公式的特征：（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．

2巩固练习：利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；（2）（x－2y）（x+2y）；（3）（－m+n）（－m－n）． 设计意图：分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．在做题的过程中巩固平方差公式的特征

三、应用提高、拓展创新

探究：给出下列算式：32－12 = 8 = 8×1； 52－32 = 16 = 8×2； 72－52 = 24 = 8×3； 92－72 = 32 = 8×4．（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？（2）你能用含n的式子表示吗．（3）计算 20052－20032 设计意图：让学生在探究中增强合作意识体会成功的喜悦

四、归纳小结、布置作业

小结：1．通过本节课的学习我有哪些收获？

2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 作业：1．第153页 练习习题 15．2 第1题．

篇13：平方差公式教学案例分析

中学数学内容(基本要求)的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要.这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的;知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即指一般性的思想方法或思维模式).”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.本文就“平方差公式”教学(略去了其详细的教学过程)中如何渗透数学思想方法作一探讨.

一、设计竞争情境，让学生在计算比赛中发现规律，渗透探索发现的研究方法

在数学中，探索发现是一种基本的研究方法.在数学知识的教学中，有意识引导学生进行观察、归纳、发现，对培养学生的创造能力十分有益.

在“平方差公式”这节课教学的开始，教师用电脑显示下面的十道计算题：

让学生之间开展竞赛，比准确，比速度，比技巧，要求学生在十分钟内做完，并请做好的立即举手，对解题既快又准确的同学，教师问其成功的秘诀，请他们说出在解题过程中发现的规律，并有意用符号□、△表示其规律，即(□+△) (□-△) =□2-△2.

设计竞争情境，使枯燥的运算变得生动活泼.学生在观察、归纳、猜想的探索中理解了平方差公式的结构特征，同时也提高了数学研究的能力.

二、对符号□、△进行变换，渗透变量变换思想

变量与常量既对立，又统一.辩证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便.在平方差公式的学习中，学生往往不能用“变”的观点来看待平方差公式中的字母，因而往往也不能用公式的结构特征来判断题目能否使用公式.鉴于学生对平方差公式的理解不能一步到位的原因，笔者先有意识地用学生在小学里学过的、熟悉的符号□、△来表示发现的规律，再引导学生对符号□、△进行变化而得到不同的等式.目的是有意识地渗透变量变换的思想方法，同时也为下面运用平方差公式解题而涉及的整体思考方法作铺垫.

于是，令□、△分别变成100和1，得到等式

令□、△分别变为-2a和5b，得到等式

令□、△分别变为，得到等式

得到上面的等式后，教师让学生归纳得出：□处是同一数或式子，△处也是另一个数或式子.然后教师启发学生用字母来表示发现的规律(使学生理解一个字母可以代表一个数，也可以代表一系列的数或式子等)，得到(a+b) (a-b)=a2-b2.接着，教师又请学生对公式(a+b) (a-b)=a2-b2进行命名，由此引出课题：平方差公式.

引导学生将发现的规律(□+△)(□-△)=□2-△2中的符号□、△看作变量，进行变量变换，能使学生正确理解公式中字母的广泛含义，理解其背后隐含的数学思想方法.

三、引导学生对平方差公式进行证明，加强逻辑思维方法

经过学生自己发现的公式，无论从思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维，有了猜想的结果，猜想正确性的证明就变成了学生自发的需要.先猜，后证，这是大多数的发现之道.于是有

证法1： (a+b) (a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

证法2： (a+b) (a-b)=(a+b) a-(a+b) b=a2+ba-ab-b2=a2-b2.

证法3：引导学生将课前发给的图形(硬纸板，图甲)沿虚线剪开，然后用剪开后的两个长方形拼成图乙的长方形得到a2-b2= (a+b) (a-b) .

优美的图形，无字的证明，这不但能提高学生的形象思维能力，而且给学生以数学美的熏陶，同时数形结合的解题能力也得到了提高.

四、在平方差公式的应用中渗透整体思想

整体的思想方法是指在研究问题时有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节或转化使问题获解.有些数学问题，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易.通过上面对符号□、△进行变换，把字母变成数或代数式的铺垫，现在反过来，将某些代数式看作一个字母，利用整体思想去思考，那么学生的思维也就自然而流畅了.

于是，设计下面的问题让学生计算，即

(1) (a+b+c) (a+b-c);【将a+b看作一个整体】

(2) (3a+2b-4c+5) (3a-2b+4c+5);【将3a+5和2b-4c分别看作一个整体】

(3) (x+2y+2001z) 2- (2x+2y+2001z) 2;【将x+2y+2001z和2x+2y+2001z分别看作一个整体】

通过上面这些问题的解决，启迪了学生的思维，加深了学生对平方差公式的理解，使学生从单纯的死记硬背走向深刻理解公式本质的记忆.

当学生经历一个活动过程之后，并不能马上形成活动经验，但在教学时适度引导，例如，通过前面对符号□、△进行变换活动的铺垫，再让学生在平方差公式的应用中运用整体思想，这样学生就可以迅速感悟整体的数学思想方法，并把这个活动过程逐步内化为经验.

学生数学思想方法水平的提高是学生创新能力发展的主要内容.因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力.在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的民主气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.

摘要：在平方差公式教学中渗透数学思想方法的做法:设计竞争情境, 让学生在计算比赛中发现规律, 渗透探索发现的研究方法;对符号□、△进行变化, 渗透变量变换思想;引导学生对平方差公式进行证明, 渗透逻辑思维方法;在平方差公式的应用中渗透整体思想.

关键词：平方差公式,数学思想方法,教学设计

参考文献

篇14：平方差公式应用

例1 计算:(1)(2a+3b)(3b-2a); (2)(2a+2b)(■a-■b); (3)(a+b+c)(a-b-c);

分析:(1)注意本题中“3b”位置上的特点,可以先调整其位置,再应用公式计算。

(2a+3b)(3b-2a)=(3b+2a)(3b-2a)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2

(2)注意本题的系数特点,可以先变化系数再计算。

(2a+2b)(■a-■b)=2(a+b)×■(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2

(3)题目中的项比较多,不妨先观察各项符号的变化规律,把符号相同的项结合,符号相反的项结合,再计算。

(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-b2-2bc-c2

在一些数字计算中,也可用平方差公式。

例2 计算:(1)1999×2001; (2)20073-2006×2007×2008; (3)1002-992+982-972+…+22-12。

解:(1)1999×2001

=(2000-1)×(2000+1)

=20002-1

=3999999

(2)20073-2006×2007×2008

=20073-2007×(2007-1)×(2007+1)

=20073-2007×(20072-1)

=20073-20073+2007=2007

(3)1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)(100-99)+(98+97)·(98-97)+…+(2+1)(2-1)

=100+99+98+97+…+2+1

=■=5050

例3 设m,n为自然数,且满足:n2=m2+12+22+92+92,求m,n的值。

分析:本题看上去似乎与平方差公式没有联系。但是将m2移到等式的左边,就出现了平方差的形式。

解:由条件可知n2-m2=12+22+92+92,即(n+m)(n-m)=167。

而167是质数,只能分解成167×1,又因为m,n为自然数,

所以n+m=167n-m=1解得m=83,n=84

例4 如图,2005个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最外面一层画阴影,最里面一层画阴影,最外面的正方形的边长为2005cm,向里依次为2004cm,2003cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?

■

分析:每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差。而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了。(计算方法可参考例2第(3)题)

解:S阴影=(20052-20042)+(20032-20022)+…+(32-22)+1

=2005+2004+2003+2002+…+3+2+1

=2011015(cm2)

篇15：平方差公式教学设计

1.5平方差公式（第一课时）

益店西街初级中学于红芳 学习目标

1.会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。2.能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。学习重、难点

重点：理解平方差公式的结构特征，会运用公式进行运算。难点:平方差公式的灵活运用。学习过程

一、复习回顾

复习回顾多项式乘以多项式的法则：

文字语言： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。符号语言： + + =+++ 请同学们用多项式乘多项式法则计算下列各题。

二、探究发现 一）计算下列各题：

（1）（x+2）（x-2）（2）（1+3a）（1-3a）（3）（x-5y）（x+5y）（4）（2y+z）（2y-z）

学生在练习本上利用已有的知识进行计算，并让四名同学将自己的计算结果展示在黑板上。

老师引导学生观察上面四个式子，回答下面几个问题： 1.等式左边的两个多项式有什么特点？ 2.等式右边的多项式有什么规律？ 3.请用字母表示上面的等式。

学生小组讨论，老师适时加以指导。然后让学生说出自己的讨论结果。

那么，在平时的学习中，我们怎样才能既快又准确的利用平方差公式进行整式的乘法运算呢。满足怎样特点的两个多项式可以运用平方差公式，下面我们就继续来观察平方差公式的特点。

让学生根据平方差公式，说出平方差公式的文字叙述，并分析平方差公式中等式左右两边多项式的结构特征。

1、结构特征：

左边：两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数。右边：乘数中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方差。

2、符号特征

3、字母a、b的代表性

字母a、b既可以是单项式也可以是多项式。二）小练笔

1、判断下列式子是否可用平方差公式。

（1）（2x+y）（y-2x）（2）（a-b）（a+b）（3）（a+2b）（2b+a）（4）（a-b）（b-a）（5）（2x-3y）（3y-2x）（6）（-2x+3y）（2x+3y）

2、参照平方差公式“（a+b）（a－b）= a2－b2”填空（1）（t+s）（t-s）=（2）（3m+2n）（3m-2n）=（3）（1+n）（1-n）（4）（10+5）（10-5）＝

三、自主探究

例

1、利用平方差公式计算。

（1）（5+6x）（5-6x）（2）（x-2y）（x+2y）（3）（-m+n）（-m-n）

通过例题的讲解，使学生进一步掌握平方差公式的应用。（1）题由老师讲解，（2）（3）由学生自己完成，并由两名学生在黑板上板演。注意：运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式。

四、课堂练习

课本21页 随堂练习

五、课堂小结

1、平方差公式

数学语言：（a+b）（a－b）= a2－b2 文字语言：两数和与这两数差的积等于它们的平方差。

2、平方差公式的特征(1)、结构特征：

左边：两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数。右边：乘数中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方差。（2）字母a、b既可以是单项式也可以是多项式。

3、应用平方差公式时要注意一些什么？