数学教学中线性方程组的特殊解法:平方根法

在工程技术问题中, 常常需要求解系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组, 根据其系数矩阵的特点, 可以利用矩阵三角形分解求解, 可得到一有效方法——平方根法。

1 平方根法递推公式

可以证明对于对称正定矩阵A, 可以唯一地分解成A=LLT, 其中L是非奇异下三角形矩阵。 (因篇幅有限, 证明从略)

下面给出平方根法的递推算法。设

根据矩阵乘法法则及矩阵相等, 自左至右逐列计算, 可得L第一列的算式:,

从而确定了第j列的算式为:

因此, 用平方根法求解对称正定矩阵线性方程组A X=b:

(1) 利用递推公式 (1) 、 (2) 将矩阵A分解为A=L L T,

(2) 求解三角形方程组LY=b, 相应的递推算式为

(3) 求解三角形方程组L TX=Y, 相应的递

推算式为

2 例子

例用平方根法求解方程组

解用公式 (1) 计算L的第一列:

用公式 (2) 计算L的第2, 3列:

再用公式 (4) 解方程组LTX=Y, 得

所以原方程组的解为

3 结语

此算法的优点是在计算过程中不需选主元, 当n较大时, 约需次乘除法运算, 相当于高斯消元法计算量的一半, 并且数值稳定、储存量小;但在计算L的对角线上元素时要用到开方运算。

摘要：由对称正定矩阵的性质, 引出平方根法的递推算法, 从而给出了对称正定矩阵的线性方程组的求解方法。

关键词：平方根法,对称正定矩阵,线性方程组

参考文献

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